高三数学一轮复习 数列(解析版)

数 学

D 单元 数列

D1 数列的概念与简单表示法

17．、、[2014·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n

2

，n ∈N *.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．

17．解：(1)由S n ＝3n 2－n

2

，得a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，a 1也符合

上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2.

(2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2

＝1·

(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2.而此时m ∈N *

，且m ＞n ，

所以对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 18．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间；

(2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．

18．解：(1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x

＝0得x ＝2

5或x ＝2，由f ′(x )＞0

得x ∈⎝⎛⎭

⎫0，2

5或x ∈(2，＋∞)． 故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭

⎫0，2

5和(2，＋∞)． (2)因为f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）

2x ，a ＜0，

所以由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a

2

.

当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 10，－a

2时，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭

⎫－a

2，＋∞时，f (x )单调递增． 易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝⎛⎭

⎫－a

2＝0. ①当－a

2

≤1，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，

得a ＝±22－2，均不符合题意．

②当1<－a

2

≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]时的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝0，不符合题意．

③当－a

2

＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4时取得，而

f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)．

当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意． 综上有，a ＝－10.

16．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 数列{a n }满足a n ＋1＝1

1－a n ，a 8

＝2，则a 1＝________．

16.12 [解析] 由题易知a 8＝11－a 7＝2，得a 7＝12；a 7＝11－a 6＝12，得a 6＝－1；a 6＝11－a 5

＝－1，得a 5＝2，于是可知数列{a n }具有周期性，且周期为3，所以a 1＝a 7＝1

2

.

D2 等差数列及等差数列前n 项和 2．[2014·重庆卷] 在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．14

2．B [解析] 由题意，得a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，解得d ＝1，所以a 7

＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.

5．[2014·天津卷] 设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )

A ．2

B ．－2 C.12 D ．－12

5．D [解析] ∵S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×3

2

×(－1)＝4a 1－6，且S 1，S 2，S 4成等比数列，

∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－1

2

.

15．、[2014·北京卷] 已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．

(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．

15．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得

d ＝a 4－a 13＝12－33

＝3.

所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得 q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.

所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －

1＝2n －

1.

从而b n ＝3n ＋2n －

1(n ＝1，2，…)．

(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －

1(n ＝1，2，…)．

数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1

}的前n 项和为1×1－2n 1－2＝2n －1，

所以，数列{b n }的前n 项和为3

2

n (n ＋1)＋2n －1.

17．，[2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；

(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 17．解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得

⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －

1.

(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，