结构力学授课教案

第八章位移法本章的问题：A.什么是位移法的基本未知量？B.为什么求内力时可采用刚度的相对值，而求位移时则需采用刚度的真值？C.在力法和位移法中，各以什么方式来满足平衡条件和变形连续条件？D.位移法的基本体系和基本结构有什么不同？它们各自在位移法的计算过程中起什么作用？E.直接平衡法和典型方程法有何异同？F.力法和位移法的优缺点？G.在位移法中如何运用结构的对称性？§8-1位移法概述对图8-1所示单跨梁，象力法[例题7-4]-[例题 7-6]那样进行求解，从而可建立表8-1所示杆端内力。

需要指出的是，对于斜杆除表中所示弯矩、剪力外，还有轴力。

由位移引起的杆端内力称为“形常数”（shape constant）。

由“广义荷载”产生的杆端内力称为“载常数”（load constant），其中外荷载产生的杆端内力称为固端内力（internal force of fixed-end）。

杆端内力的符号及正、负规定见第3章。

两端固定一固一铰一固一定向图8-1 位移法基本单跨梁示意图*序号计算简图及挠度图弯矩图固端弯矩固端剪力ABM BAM ABF Q BAF Q1 两端固定线位移26lEI-26lEI-312lEI312lEI2 两端固定转角lEI4-lEI2-26lEI26lEIP。

14一固一定向 定向端集中力2P lF -2P lF -P F P F15两端固定 温差h EIt α2-hEIt α2 0 016一固一铰 温差hEIt α3-hl EIt α3 hlEIt α3 A B l EI q M F P 。

序号计算简图及 挠度图弯矩图固端弯矩固端剪力AB MBA MAB F QBA F Q17一固一定向 温差h EIt α2-hEIt α2 0 018两端固定斜杆 满跨均布122ql - 122ql αcos 2qlαcos 2ql-19两端固定斜杆 跨中集中力8P lF -8P lF αcos 2PF αcos 2P F- 20一固一铰斜杆 满跨均布82ql - 0αcos 85qlαcos 83ql-21一固一铰斜杆 跨中集中力163P l F - 0αcos 1611PF αcos 165PF -22一固一定向斜杆满跨均布122ql - 122ql αcos 2qlαcos 2ql-P 有了表8-1，则图8-2 所示的两端固定单跨梁，利用形、载常数和叠加原理可得杆端内力。

例如A 端杆端弯矩为F4322122646ABAB M l EI lEI l EI l EI M ++-+=∆∆∆∆ （a ） A 端杆端剪力为图8-2单跨梁杆段位移和荷载作用AB3∆4∆2∆1∆FQ 42332213Q 612612AB AB F l EI l EI l EI l EI F ++-+=∆∆∆∆ （b ）式（a ）和式（b ）中FAB M 和F Q AB F 为荷载引起的固端弯矩和固端剪力。

同理，也可叠加得到B 端的杆端内力BA M 和BA F Q 。

这些将杆端位移和杆端内力联系起来的式子，称为两端固定单跨梁的转角位移方程（slope-deflection equation ）或刚度方程（stiffness equation ）。

显然，根据形、载常数和叠加原理，也可建立一固一铰、一固一定向单跨梁的转角位移方程。

§8-2位移法方程的建立力法思路强调的是“转换”，当然位移法本质上仍然是将未知问题化为已知问题来解决，也存在转换的思想。

但位移法的转换与力法不同，是“先化整为零，再集零为整”，或称为“离散和归整”。

位移法有两种解题方法：平衡方程法和典型方程方法。

1、平衡方程法为便于理解，仍然用一实例来说明位移法思路。

图8-3a 所示为二次超静定结构。

在不考虑轴向变形的情况下，只有B 结点能产生转角位移，作为广义位移记作1Z 。

从表8-1结果（或转角位移方程）可以想到，如果以结点位移1Z 作基本未知量，先求出位移1Z ，由于结点位移协调，也即得到了杆件AB 和CB （以后称为单元element ）的杆端位移，然后根据形常数和载常数，用叠加原理就可以得到结构的内力。

对一般结构，为实现这个想法，首先需要将待解的结构拆成图8-1所示三种单跨梁的集合。

这一“离散”工作，可采用8-3b 加约束使结构不产生结点独立位移来实现。

图8-3 所示结构可如图8-3b 在B 结点加一个限制转动约束，使AB 杆成为两端固定单元，CB 成为一端铰支一端固定单元。

这个增加约束，除静定部分外，其每一根杆都可看成是表8-1中单跨梁的结构，称为位移法基本结构。

独立的结点位移，则作为位移法的基本未知量，因是广义位移故记作i Z 。

完成了“离散”（也称为“拆”）的过程，在保证结点产生协调的位移i Z 和单元荷载作用下，根据形常数和载常数可以得到各单元的受力、求得杆端内力。

对图8-3b 所示结构AB 单元B 端杆端弯矩为BA M ，BC 单元B 端杆端弯矩为BC M 。

它们分别可表示为F BA BA BA M M M +=∆； FBC BC BC M M M +=∆式中∆M 、F M 分别代表由结点位移、荷载所引起杆端弯矩。

现在以结点或结构部分为对象，对图8-3所示结构也即取B 结点，可以建立和各结点独PF PF ABCCBA只限止转动不限制位移的刚臂约束图8-3 位移法思路立位移相应的广义力平衡条件。

对图8-3所示结构也即令0FF =+++=+BC BA BC BA BC BA M M M M M M ∆∆由形常数可得 1)34(Z lEIl EI M M BC BA +=+∆∆，从上式就可以求得位移1Z 。

同样，对一般结构，有多少独立结点位移，就可以建立多少广义力平衡条件，这些方程称为位移法方程，由此就可以解决位移的计算，然后就可以用转角位移方程求得各杆端内力，进而作出内力图。

这就是位移法中平衡方程法解题的思路。

2、典型方程法平衡方程法力学概念非常清楚，但不能象力法那样以统一的形式给出位移法方程。

为此讨论第二种位移法思路──典型方程法。

象力法一样，首先确定待分析问题位移法的结点独立位移未知量个数，对图8-3所示结构基本未知量只一个，即结点B 的转角位移。

然后加限制结点位移的相应约束，线位移加链杆，角位移加限制转动的刚臂，建立位移法基本结构。

图8-3a 的基本结构如图8-3b 。

和平衡方程法一样，基本结构是一个可以拆成图8-1所示三类单跨梁的超静定结构。

和力法一样受基本未知量和外因共同作用的基本结构，称为基本体系。

仍然象力法那样，令基本结构分别产生单一的单位基本位移1=i Z ，根据形常数可做出基本结构单位内力图（对刚架为单位弯矩图i M ）。

根据载常数可作出基本结构“荷载”内力图（对刚架为“荷载”弯矩图P M ）。

对于图8-3a 所示结构其两个弯矩图如图8-4所示。

图中AB i 和BC i 分别为ABABl EI 和BCBCl EI ，称为AB 和BC 杆的线刚度（line stiffness ）。

习惯上单位长度的抗弯刚度记作l EI i =。

根据单位和“荷载”内力图，从单位内力图取结点或部分隔离体可计算1=j Z 所引起的i Z 位移对应的附加约束上的反力系数ij k ，从“荷载”内力图取结点或部分隔离体可计算i Z 位移对应的附加约束上的反力P i R 。

对于图8-3a 所示结构BC AB i i k 3411+=，FP 1BA M R -=。

基本结构和原结构有两点区别：原结构在外因下是有结点位移的，而基本结构是无结点位移的；基本结构有附加的约束，而原结构是无附加约束的。

基本体系是令基本结构发生原结构待求的位移i Z （n i ,,2,1Λ=）同时受有外因作用，从结点位移方面看基本体系和原结构没有了差别，但是由于待求位移i Z （n i ,,2,1Λ=）和外因作用，第i 个附加约束上将产生∑+=ji j ij i R Z k R P 的约束总反力，显然这是和原结构仍然不同的。

为了消除这一差别（原结构没有附加约束），第i 个附加约束上的总反力应该等于零，也即0=i R 或11=∆ABi 4BCi 3ABi 2F BAM F ABM 图8-4 单位和荷载弯矩图0P =+∑ji j ij R Z k （n i ,,2,1Λ=） （8-2）对于图8-3a 所示结构为0)34(F1=-+ABBC AB M Z i i 。

式（8-2）称为位移法典型方程，和力法一样对线弹性结构是线性代数方程组。

求解即可得到基本未知量i Z （n i ,,2,1Λ=），求得位移基本未知量以后，和力法相仿由∑+=jj j M Z M M P 进行叠加，可以获得基本体系也即原结构的弯矩（内力），进而可求超静定结构的任意位移等等。

显然，典型方程位移法和力法的思路是十分相象的，对照力法，位移法典型方程也可用矩阵方程表示 0=+R K ∆ （8-3）式中K 是由反力系数ij k 组成的方阵，称为结构刚度矩阵。

反力系数ij k 的物理意义是，由单位位移1=j Z 引起的，在与i Z 对应的约束上沿i Z 方向所产生的反力。

或理解为：仅产生单位位移1=j Z 时，在i Z 处沿i Z 方向所需施加的力。

ij k 也称为刚度系数（stiffness coefficient ），ii k 称为主系数，ij k 称为副系数。

由形常数可知，要产生位移当然要加力，因此主系数一定恒正。

∆为由i Z 组成的未知位移矩阵，R 为由P i R 组成的广义荷载反力矩阵，P i R 称为广义荷载反力（reaction force of generalized load ）。

3、 位移法基本未知量及基本结构结构的结点位移分两类：线位移和角位移，位移法基本未知量是结点的独立位移，当然未知量总数应该是独立线位移和独立角位移的和。

确定未知量总的原则是：“在原结构的结图8-5位移法基本未知量确定和对应基本结构)(a )(c )(b )(d )(e点上逐渐加约束，直到能将结构拆成具有已知形常数和载常数的单跨梁为止”。

因为单跨梁有多种，如果考虑到可由力法计算结果来添加表8-1单跨梁类型的话，可想而知位移法基本未知量数量是很灵活的。

从人工手算角度，当然是未知量个数最少的方案最好。

对手算常规问题来说，独立角位移个数=位移未知的刚结点个数，独立线位移数量=变刚结点为铰后，为使铰结体系几何不变所要加的最少链杆数（铰结体系几何不变，线位移数为零）。

需要指出的是，如果待求结构中有静定部分，由于静定部分内力可用平衡方程直接获得，不需要用位移法求解，因此其位移不必作为位移法基本未知量。

确定了独立位移未知量，在结点上加约束消除独立位移，即得基本结构。

对应线位移加支座链杆，对应角位移加限制转动的刚臂，确定位移法基本未知量的例子如图8-5所示。