高中数学必修四导学案2.4 平面向量的数量积 结 Word版缺答案
【期末专练】人教A版数学必修四2.4《平面向量数量积》教学 导学案
复习课:平面向量的数量积一、教学分析向量是近代数学基本和重要的数学概念之一，有着极其丰富的实际背景，它具有代数和几何的双重身份，是沟通代数、几何的桥梁。
它能与中学数学中许多教学内容许多主干知识相结合，形成知识交汇点。
而且初中课本里已经对平面向量做了简单的介绍，再次将平面向量坐标表示引入高中课程，是现行数学教材的重要特色之一。
本节平面向量数量积的复习课在教学内容方面不仅有对于向量相关知识的回顾，也有对于数量积求法的总结，也涉及到向量数量积的应用；课堂中也很好的融入了数形结合的数学思想和化归思想。
二、教学目标1.掌握平面向量数量积的概念，回顾梳理与平面向量数量积相关的知识点。
2.通过体验、归纳，总结求解平面数量积的方法，同时提高对题目的反思重解能力。
3.通过平面向量数量积的应用，提高分析问题解决问题的能力。
三、教学重点平面向量数量积概念的掌握。
四、教学难点应用数量积解决问题。
五、学生学情分析1．知识方面：学生已完成了平面向量这一章知识内容的学习，并已能运用平面向量的知识解决一些简单的向量几何问题，但是还不能融会贯通地综合理解运用知识，尤其知识的迁移能力还不够。
同时整章的知识脉络还没完全成型。
因此，本节复习课对现阶段的学生来说尤为重要。
2．能力方面：因为刚刚完成向量部分的学习，对于向量的相关知识内化的还不够完善。
部分学生解题时数形结合能力弱，但是由于学生的基础较好，所以大部分学生的求知欲和学习主动性较高。
3．心理方面：学生已具备了一定的归纳知识的意识和能力，而且现阶段学生表现欲也很强，本节课的教学设计正好符合高一学生的这个心理特征。
六、教学过程1、知识回顾1．完成以下问题（1）已知等边△ABC 的边长为3，则=⋅ .(29)（2）已知向量(1,2),(,1),a b x ==且a b ⊥,则x = -2（3）判断下列说法正确的是①22a a = （ √ ）②若0a b ⋅=则00a b ==或 （ X ）③若0,,b a b c b a c ≠⋅=⋅=则 （ X ）④若()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，对任意向量,,a b c 都成立 （ X ）2.通过以上问题的解决，引出课题，并对以下知识进行回顾梳理。
人教版高中数学高一A版必修4导学案 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
课堂导学课堂导学1.平面向量数量积的概念【例1】 已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为120°，求：（1）a ·b ；（2）（a +b ）2；（3）a 2-b 2；（4）（2a -b ）·（a +3b ）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a +b ）2=（a +b ）·（a +b ）=（a +b ）·a +（a +b ）·b =a ·a +b ·a +a ·b +b ·b = a 2+2a ·b +b 2.解：（1）a ·b =|a ||b |cos120°=5×4×(-21)=-10. （2）（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=25-2×10+16=21.(3)a 2-b 2=|a |2-|b |2=25-16=9.（4）（2a -b ）·（a +3b ）=2a 2+5a ·b -3b 2=2|a |2+5a ·b -3|b |2=2×25+5×(-10)-3×16=-48.温馨提示（1）在进行向量数量积运算时，要严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a ±b ）2=a 2±2a ·b +b 2,（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c .【例2】已知a 与b 的夹角为30°，且|a |=3,|b |=1,求向量p=a +b 与q=a -b 的夹角的余弦. 思路分析：利用cosθ=||||q p q p •确定p ,q 的夹角，必先求pq 及|p ||q |，而求|p|及|q|利用模长公式|p |2=p 2,|q |2=q 2.解：∵|p |=|a +b |=7130cos 323222=+︒+=+•+b b a a , |q |=|a -b |=,1130cos 323222=+︒-=+•-b b a a ∴cosθ=77272||||==•q p q p . 温馨提示 （1）在求向量的模及两向量夹角时，主要利用公式|a |2=a 2及cosθ=||||b a b a •. （2）向量夹角的计算中涉及了多种形式的向量运算和数量运算，计算时，不仅要防止计算错误的发生，还要区分要进行的是向量运算还是数量运算，从而保证结果准确无误.2.平面向量数量积的应用【例3】 已知|a |=4，|b |=3，a 与b 的夹角为120°，且c =a +2b ，d =2a +k b ，问当k 取何实数时，（1）c ⊥d;(2)c ∥d思路分析：依据两个向量垂直的条件是这两个向量的夹角为90°，而两个向量的平行的条件是夹角为0°或180°；再由夹角公式求得所需条件.解：设c 与d 的夹角为θ，则由已知,得c ·d=（a +2b ）·（2a +k b ）=2a 2+（4+k ）a ·b +2k b 2=2×42+(4+k)×4×3×cos120°+2k·32=8+12k.|c |=|a +2b |=2244b b a a +•+ =2834120cos 344422=⨯+︒⨯⨯+. |d |=|2a +k b |=22244b k b ka a +•+ =2223120cos 34444⨯+︒⨯⨯•+⨯k k =.642492+-k k∴cosθ=.)64249(746||||2+-+=•k k k d c d c (1)要使c ⊥d ，只要cosθ=0,即6k+4=0,∴k=-32. (2)要使c ∥d ,只需cosθ=±1, 即)64249(72+-k =±(6k+4),解得k=4.综上，当k=-32时，c ⊥d ;当k=4时，c ∥d . 温馨提示两向量平行，夹角为0°或180°,故有a ·b =|a ||b |或a ·b =-|a ||b |.而两向量垂直，夹角为90°,所以a ·b =0,反之也成立.3.正确理解两向量夹角的定义【例4】 Rt △ABC 中，已知|AB|=3，|BC|=3，|CA|=23，求·+·+·的值.思路分析：只需求出向量AB 与BC ，BC 与CA ，CA 与AB 的夹角，利用数量积定义求解.解：∵∠A=∠C=45°, ∴与夹角为135°,与夹角为135°,与夹角为90°.∴·+·+· =BC ·CA +CA · =3×32·cos135°+32×3·cos135°=-18.温馨提示正确理解两向量夹角的定义，是指同一点出发的两个向量所构成的较小非负角。
高中数学 2.4《平面向量的数量积》导学案 新人教A版必修4
2.4《平面向量的数量积》导学案【学习目标】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 【导入新课】 复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x ，),(y x a . 若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1 )时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a1111.10．力做的功：W = |F | |s |cos ， 是F 与s 的夹角. 新授课阶段1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤ ≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定.C（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos 有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b ca =c如右图：a b = |a ||b |cos = |b ||OA|，b c = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但a c显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线. 3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为0；当 = 0 时投影为 |b |；当 = 180 时投影为 |b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos 2 a b a b = 03 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a||4 cos =||||b a ba5 |a b | ≤ |a ||b |例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o求(a+2b)·(a -3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.解：评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例5 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.课堂小结 （略） 作业 （略） 拓展提升1.已知向量(3,1)a r，b r 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b r r ，则b r （ ）A ．（31,22） B ．（13,22） C ．（133,44） D ．（1,0） 2. 设B A ,两点的坐标分别为)0,1(),0,1( .条件甲：0AC BC u u u r u u u r；条件乙：点C 的坐标是方程122y x 的解.则甲是乙的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.已知||22,||3,p q p u r r u r 与q r 的夹角为4，则以52,3a p q b p q r u r r r u r r 为邻边的平行四边形的较短的对角线长为 （ ）A.15B.15C.14D.164.把点(2,2)A 按向量(2,2) 平移到点B ，此时点B 在OC 的延长线上，且||2||OB BC u u u r u u u r，则点C 的坐标为 .5.把函数5422x x y 的图象按向量a平移,得到22x y 的图象,且a b r r ,)1,1( c，4 c b ,则 b.6.不共线向量a r ，b r 的夹角为小于120o的角，且||1,||2a b r r ，已知向量2c a b r r r ，求||c r的取值范围.7. 已知向量,a b r r 满足||||1a b r r ，且||3|a kb ka b r r r r，其中0k .（1）试用k 表示a b r r ，并求出a b r r 的最大值及此时a r 与b r的夹角 的值；（2）当a b r r 取得最大值时，求实数 ，使||a b r r的值最小，并对这一结果作出几何解释.8. 已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),[,]222264x x x x a b xr r .（1）求a b r r 及；||a b r r；（2）求函数()()(||a b f x R a b r r r r 且0) 的最小值.参考答案例1 （略） 例2 （略） 例3 （略） 例4解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 例5解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.拓展提升1 提示：设(,)(0)b x y y r 33x y 221(0)x y y .2 提示：设点C 的坐标为(,)x y . 0AC BC u u u r u u u r 2(1)(1)0x x y ,∴0AC BC u u u r u u u r 122 y x ，∴甲是乙的充要条件.3 提示：经验证，知以a b r r 为对角线时，其长度较短，6a b p q r r u r r.4 (0,2)提示：点B 的坐标为(0,4)，设点C 的坐标为(,)x y ，则2OB BC u u u r u u u r，可求得点C的坐标为(0,2).5 )1,3( 提示：由函数 5422x x y 的图象按向量a平移,得到22x y 的图象，可得(1,3)a r；设(,)b m n r ，由a b r r 和4 c b得：304m n m n ，解之得3,1m n .6 解：2222|||2|||44||178cos c a b a a b b r r r r r r r （其中 为a r 与b r 的夹角）.∵0120 o, ∴1cos 12, 13||5c r , ∴||c r 的取值范围为13,5).7解：（1）2221||3|()3()(0)4k a kb ka b a kb ka b a b k kr r r r r r r r r r . ∴111()42a b k k r r ,此时1cos 2 ，23 .∴21(0)4k a b k k r r ，a b r r 的最大值为12 ，此时a r 与b r 的夹角 的值为23. （2）由题意，12a b r r ，故22213||1()24a b r r ，∴当12 时，||a b r r 的值最小，此时1||02a b b r r r ，这表明当1()2a b b r r r .8解：（1）333cos cos sin sin cos()cos 2222222x x x x x xa b x r r ； 223333|||(cos cos ,sin sin )|(cos cos )(sin sin )22222222x x x x x x x xa b r r 3322(coscos sin sin )22cos 22cos 2222x x x xx x .（2）cos 21()(cos )2cos 2cos xf x x xx, ∵[,]64x , ∴1cos 2cos x x是减函数，①当0 时，()f x 的最小值为()04f；②当0 时，()f x 的最小值为()6f.综上，当0 时，()f x 的最小值为0；当0 时，()f x .。
高一数学 必修4示范教案：第二章第四节平面向量的数量积(第二课时) Word版含解析
第二章第四节平面向量的数量积第二课时教学过程情境1问题回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F所做的功W等于多少？图3设计意图以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念作铺垫．师生互动生：W＝|F||s|cosθ(其中θ是F和s的夹角)．师：功是一个矢量还是标量？它的大小由哪些量来确定？显然功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定．从中我们得到一个启发：能否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果呢？从而得出平面向量的“数量积”的概念．情境21．定义向量数量积．弄清定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果是向量还是数量？2．如何确定两个非零向量的数量积的符号，什么情况下值为零？设计意图使学生从感性到理性去认知数量积的定义．通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，并掌握相关的性质及几何意义．同时加深对投影的认识．师生互动1．仿照物理问题建构“数学模型”，引入“向量数量积”的概念：已知两个非零向量a与b，把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作：a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(其中θ是a与b的夹角)．|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．图42．规定：零向量与任何向量的数量积为0.3．(1)数量积运算结果的符号取决于a与b的夹角θ(θ∈[0，π])的大小；(2)两个向量的数量积是一个数量，它与两个向量的长度及其夹角有关；(3)符号a·b不能写成ab或a×b的形式；(4)找向量的夹角时，应将两向量的起点平移到同一个点上．4．探究其性质：(1)a⊥b⇔a·b＝0(a与b都是非零向量)；设置情境：若a·b＝0，则向量a与b至少有一个是零向量．类比a，b∈R时，若ab＝0⇔a＝0或b＝0.而且此性质在解决有关线段垂直问题时具有很好的作用．(2)当向量a与b共线同向时，a·b＝|a||b|；当向量a与b共线反向时，a·b＝－|a||b|.特别地a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a·a＝a2(与二次根式性质：a2＝|a|进行类比)．这是求向量长度的又一重要方法．情境3由学生自主学习来完成书本例题1.设计意图通过计算巩固对数量积定义的理解，进一步引导学生对|a·b|和|a||b|的大小关系进行一般的研究比较．师生互动从例1容易得出性质|a·b|≤|a||b|和数量积的几何意义．情境4给学生2～3分钟时间，阅读教材，并对前面所学的内容及研究方法作一个归纳小结．设计意图培养学生的阅读能力和及时进行归纳小结的学习习惯．把课堂还给学生，体现师生间的合作探究，不管是老师还是课件，都是为学生服务的，都在同步配合学生的学习和探索．师生互动学生通过自主阅读、总结并发表自己的看法，老师可以有针对性的进行学习方法点拨，并指出对学习过程进行及时反思的重要性．情境5运算律和运算是紧密相联的，类比实数运算中的运算律，探究平面向量数量积的运算律．设计意图通过类比、探究使学生得出数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思维和研究问题的能力．师生互动1．回顾实数运算中有关乘法的运算律．类比数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，需要研究．已知向量a、b、c和实数λ，则(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．对向量数量积的运算律进一步研究．(1)a(b·c)＝(a·b)c成立吗？显然，等式左边与向量a共线，右边与向量c共线，而向量a 与c不一定共线，因此结论不一定成立；(2)由a·b＝b·c能否推出a＝c？(反例：当a＝0，b⊥c时，有a·b＝b·c＝0.但不能得到c ＝0)．结合实数a，b，c(b≠0)，有ab＝bc⇒a＝c进行类比，辨析．3．老师可以通过学生的讨论进行纠错，理解不同的运算具有不同的运算律，体会到数学的法则与法则之间的区别与联系．同时注意利用学生的错误这一重要资源，让学生更容易找到易错点和易混点，从而更清晰、准确地掌握知识．情境6例2、例3、例4的教学．设计意图1．要求学生体会实际解题中运算律的作用，比较向量运算与多项式乘法运算的异曲同工．2．学会利用数量积来解决有关垂直问题，体会运算律带来的优越性．3．上面几个例题，层层递进，都是把较难的问题转化为已经解决的较易的标准问题，体现了知识和方法上的转化．师生互动1．老师可以将例题内容与多项式乘法运算进行类比．2．让学生自己体会用数量积将“几何问题”化归为方程问题来求解的简练，进一步体现向量的工具作用．情境7课后反思：让学生回顾总结本节课的学习内容及探究、解决问题的方法．设计意图让学生整理相关的学习内容，使得“知识系统性、技能熟练性”得到更加充分的体现，体会所学知识的引入基础及探究、解决问题时用到的数学思想和数学方法，培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力．教学反思本节课教学效果不错，主要是把学习的主动权交还给学生，注意学生的主动探索、思考及师生互动，还以物理知识为背景，建立了数学的平面向量数量积的概念和运算．使得学习内容直观、生动，抓住重点．使学生懂得对已有的知识进行迁移、采用类比的方法让学生主动学习合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力．在课堂中会体现自我，学会自己寻找解题的突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观察中学会比较，进而推进整个教学程序的展开．但自我感觉“讲”的还是偏多了一点，对于学生解题中出现的错误这一资源展开、分析得不够，以后应该更加注意引导．。
人教版数学高一A版必修4导学案 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．掌握向量a 与b 的数量积公式及投影的定义．3．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质与运算律解决有关问题．1．平面向量的数量积 定义 已知两个非零向量a 与b ，我们把数量________叫做a 与b 的数量积(或内积)，其中θ是a 与b 的夹角 记法 记作a ·b ，即a ·b ＝|a||b |cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为____投影 ____________(|b |cos θ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影 几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影______________的乘积(1)两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0，0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．(2)向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，如图所示，即为|b|cos θ，它的符号取决于θ角的范围．(3)a ·b 也等于|b|与a 在b 的方向上的投影的乘积．其中a 在b 的方向上的投影与b 在a 的方向上的投影是不同的．【做一做1－1】 若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32D ．2 【做一做1－2】 |a |＝2，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．2B ．120°C ．－1D ．由向量b 的长度确定 2．运算律交换律 a ·b ＝________ 结合律 (λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·________分配律(a ＋b )·c ＝________(1)已知实数a ，b ，c (b ≠0)，则ab ＝bca ＝c .但对于向量的数量积，该推理不正确，即a ·b ＝b ·c D a ＝c .(2)对于实数a ，b ，c 有(ab )c ＝a (bc )；但对于向量a ，b ，c ，(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．【做一做2】 有下列各式：①(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；②a ·b ＝|a |·|b |；③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ；④(a ·b )c ＝a (b ·c )． 其中正确的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3．向量数量积的性质垂直 a ⊥b ________共线 同向 a·b ＝________a ·a ＝a 2＝|a |2 |a |＝a ·a反向a·b ＝________绝对值|a ·b |≤________符号a ·b ＞0θ∈________ a ·b ＝0 θ＝________a ·b ＜0θ∈________夹角公式cos θ＝a ·b|a ||b |(1)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2； (2)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2； (3)a 2－b 2＝(a －b )·(a ＋b )．【做一做3－1】 在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，则AB →·AC →＝__________. 【做一做3－2】 已知|a |＝7，则a ·a ＝__________. 【做一做3－3】 已知|a |＝8，|b |＝1，a·b ＝8，则a 与b 的夹角θ＝__________.答案：1．|a||b|cos θ 0 |a |cos θ |b |cos θ【做一做1－1】 A a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.【做一做1－2】 C |a |cos 120°＝2cos 120°＝－1. 2．b ·a (λb ) a ·c ＋b ·c 【做一做2】 C ①③正确．3．a ·b ＝0 |a||b| －|a||b| |a ||b | ⎣⎡⎭⎫0，π2 π2 ⎝⎛⎦⎤π2，π 【做一做3－1】 0 AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos ∠A ＝|AB →|·|AC →|cos 90°＝0. 【做一做3－2】 49 a ·a ＝|a |2＝72＝49.【做一做3－3】0cos θ＝a·b|a||b|＝1，又θ∈[0，π]，则θ＝0.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算的区别和联系剖析：从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比．(1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号决定；两个实数的积是一个实数，符号由这两个实数的符号决定．(2)从运算的表示方法上看：两个向量a，b的数量积称为内积，写成a·b；大学里还要学到两个向量的外积a×b，而a·b是两个向量的数量积，因此书写时要严格区分，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了．(3)从运算的性质上看：在向量的数量积中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b；在向量的数乘中，若λa＝0，则λ＝0或a＝0；在实数的乘法中，若ab＝0，则a＝0或b＝0.在向量的数量积中，a·b＝b·c b＝0或a＝c或b⊥(a－c)；在向量的数乘中，λa＝λb(λ∈R) a＝b或λ＝0；在实数的乘法中，ab＝bc a＝c或b＝0.在向量的数量积中，(a·b)c≠a(b·c)；在向量的数乘中，(λm)a＝λ(m a)(λ∈R，m∈R)；在实数的乘法中，有(ab)c＝a(bc)．(4)从几何意义上来看：在向量的数量积中，a·b的几何意义是a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积；在向量的数乘中，λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来的|λ|倍；在实数的乘法中，ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距离等于a，b到原点的距离的积．题型一求向量的数量积【例1】已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(3a＋b)的值为__________．反思：已知向量a与b的夹角为θ，且|a|＝m，|b|＝n，求(x a＋y b)·(s a＋t b)，其中x，y，s，t，m，n∈R，且m＞0，n＞0，其步骤是：①先求a·b；②化简(x a＋y b)·(s a＋t b)＝xs|a|2＋(xt＋ys)a·b＋yt|b|2；③将a·b，|a|，|b|代入即可．题型二求向量的长度【例2】若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|a＋b|等于()A．3 B．2 2 C．10 D.10反思：已知不共线的向量a与b，求|x a＋y b|(x，y∈R)时，其步骤是：①求a·b；②求|x a ＋y b|2＝x2|a|2＋2xy a·b＋y2|b|2；③求|x a＋y b|.题型三求两向量的夹角【例3】已知|a|＝1，|b|＝4，(a－b)·(a＋2b)＝－29，求a与b的夹角θ.分析：求出a，b的数量积a·b，代入夹角公式求得cos θ，从而确定θ的值．反思：求向量a与b的夹角θ的步骤：(1)计算a·b，|a|，|b|；(2)利用夹角公式cos θ＝a ·b|a ||b |计算cos θ；(3)根据θ∈[0，π]确定夹角θ的大小．题型四 证明两向量垂直【例4】 已知向量a ，b 不共线，且|2a ＋b |＝|a ＋2b |，求证：(a ＋b )⊥(a －b )． 分析：证明a ＋b 与a －b 垂直，转化为证明a ＋b 与a －b 的数量积为零． 反思：证明a ⊥b ，通常转化为证明a ·b ＝0.题型五 判断平面图形的形状【例5】 在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状．分析：易知a ＋b ＋c ＝0，分别将a ，b ，c 移至等号右边，得到三个等式，分别平方可得a ·b ，b ·c ，c ·a ，选取两个等式相减即可得到a ，b ，c 中两个向量的长度之间的关系．反思：依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向．答案：【例1】 －8 b ·(3a ＋b )＝3a ·b ＋|b |2＝3|a ||b |cos 120°＋16＝－8.【例2】 D 由于(a －b )⊥a ，则(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝0，所以a ·b ＝2.所以|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝10，则|a ＋b |＝10.【例3】 解：∵(a －b )·(a ＋2b )＝|a |2＋a ·b －2|b |2＝1＋a ·b －32＝－31＋a ·b ，∴－31＋a ·b ＝－29，∴a ·b ＝2，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12.又0≤θ≤π，∴θ＝π3.【例4】 证明：∵|2a ＋b |＝|a ＋2b |，∴(2a ＋b )2＝(a ＋2b )2. ∴4a 2＋4a ·b ＋b 2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2.∴a 2＝b 2. ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.又a 与b 不共线，a ＋b ≠0，a －b ≠0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．【例5】 解：在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c .从而⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2＝(－c )2，(a ＋c )2＝(－b )2，两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2， 则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2. 因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ， 所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形．1．△ABC 中，AB ·AC ＜0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形2．已知非零向量a ，b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则||||a b 等于( ) A.14 B ．4 C.12D ．23．设向量a ，b 均为单位向量，且(a ＋b )2＝1，则a 与b 的夹角为( ) A.π3B.π2C.2π3D.3π44．(2011·山东青岛高三质检)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝3，则|2a －b |＝__________.5．已知|a |＝10，|b |＝12，a 与b 的夹角为120°，求：(1)a ·b ；(2)(3a )·1()5b ；(3)(3b －2a )·(4a ＋b )．答案：1．C ∵AB ·AC ＝||||cos AB AC A ＜0， ∴cos A ＜0.∴A 是钝角．∴△ABC 是钝角三角形．2．D 因为a ＋2b 与a －2b 垂直，所以(a ＋2b )·(a －2b )＝0， 所以|a |2－4|b |2＝0，即|a |2＝4|b |2，所以|a |＝2|b |. 3．C (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2a ·b ＝1，则a ·b ＝12-. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝||||⋅a b a b ＝12-，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3， 则|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝13，所以|2a －b |5．解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝10×12×cos 120°＝－60. (2)(3a )·15⎛⎫⎪⎝⎭b ＝3()5⋅a b ＝35×(－60)＝－36. (3)(3b －2a )·(4a ＋b )＝12b ·a ＋3b 2－8a 2－2a ·b ＝10a ·b ＋3|b |2－8|a |2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.。
2015-2016学年高一数学人教A版必修四教案：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 Word版含答案
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教学分析平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.二、教学目标1、知识与技能：掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、过程与方法：通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系，明确数学是研究数与形有机结合的学科。
3、情感态度与价值观：能用所学知识解决有关综合问题。
三、重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.四、教学设想（一）导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.（二）推进新课、新知探究、提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示?②已知两个非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示a ·b 呢?③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和 补充.推导过程如下:∵a =x 1ｉ+y 1j ,b =x 2ｉ+y 2j ,∴a ·b =(x 1ｉ+y 1j )·(x 2ｉ+y 2j )=x 1x 2ｉ2+x 1y 2ｉ·j +x 2y 1ｉ·j +y 1y 2j 2.又∵ｉ·ｉ=1,j ·j =1,ｉ·j =j ·ｉ=0,∴a ·b =x 1x 2+y 1y 2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.2°向量模的坐标表示若a =(x,y),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=.)()(212212y y x x -+-3°两向量垂直的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4°两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得 cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +•++=•讨论结果:略.（三）应用示例例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC 是直角三角形.下面给出证明. ∵AB =(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴·AC =1×(-3)+1×3=0. ∴⊥.∴△ABC 是直角三角形.点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.变式训练在△ABC 中,AB =(2,3),=(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值.解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.若∠A=90°,则⊥,所以·=0.于是2×1+3k=0.故k=32-. 同理可求,若∠B=90°时,k 的值为311; 若∠C=90°时,k 的值为2133±. 故所求k 的值为32-或311或2133±.例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC 的余弦值;(2)a =(3,0),b =(-5,5),求a 与b 的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2)的数量积a ·b =x 1x 2+y 1y 2和模|a |=2121y x +,|b |=2222y x +的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +•++=•.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:(1)AB =(5,1)-(2,-2)=(3,3), AC =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), ∴AB ·AC =3×(-1)+3×6=15. 又∵|AB |=2233+=32,|AC |=226)1(+-=37,∴cos ∠BAC=.74745372315||||=•=•AC AB AC AB (2)a ·b =3×(-5)+0×5=-15,|a |=3,|b |=52.设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=.2225315||||-=⨯-=•b a b a 又∵0≤θ≤π,∴θ=43π. 点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.变式训练设a =(5,-7),b =(-6,-4),求a ·b 及a 、b 间的夹角θ.(精确到1°)解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a |=74)7(522=-+,|b |=52)4()6(22=-+- 由计算器得cosθ=52742⨯-≈-0.03.利用计算器中得θ≈92°.例3 已知|a |=3,b =(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若a ⊥b ,求a ; (2)若a ∥b ,求a.活动:对平面中的两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x 1x 2+y 1y 2=0与向量共线的坐标表示x 1y 2-x 2y 1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a ·b =0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.解:(1)设a =(x,y),由|a |=3且a ⊥b ,得⎩⎨⎧=+==+,032,9||222x x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或 ∴a =或)13136,13139(-a =.13136,13139-(2)设a =(x,y),由|a |=3且a ∥b ,得⎩⎨⎧=-==+.023,9||222y x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x ∴a =或)13139,13136(a =)13139,13136(--. 点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.变式训练求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l 1)与一次函数y=21-x 的图象(直线l 2)互相垂直. 解:在l 1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l 1上取两点A(1,-1),B(2,1).同理,在直线l 2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是:=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1, 2),CD =(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示,可得·CD =1×(-2)+1×2=0, ∴⊥CD ,即l 1⊥l 2.（四）课堂小结1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.（五）作业。
高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积导学案 苏教版必修4(2021年最新整理)
高中数学第二章平面向量2.4 向量的数量积导学案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量2.4 向量的数量积导学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.4 向量的数量积课堂导学三点剖析1.平面向量数量积的概念及其运算律【例1】 已知｜a ｜=4,｜b |=3,若:（1)a ∥b ；（2）a ⊥b ；（3）a 与b 的夹角为60°，分别求a ·b . 思路分析：本题运用数量积的定义求数量积。
已知|a ｜与|b ｜，a 与b 的夹角,由定义可求a ·b . 解:(1)当a ∥b 时,若a 与b 同向,则它们的夹角θ=0°,a ·b =｜a ｜｜b ｜cos0°=4×3×1=12；若a 与b 反向，则a 与b 的夹角θ=180°，a ·b =｜a ｜|b |cos180°=4×3×（—1)=—12.(2)当a ⊥b 时，a 与b 的夹角为90°,a ·b =｜a ｜·|b ｜cos90°=0，(3)当a 与b 的夹角θ=60°时，a ·b =|a ｜|b ｜cos60°=4×3×21=6. 温馨提示利用定义计算a 与b 的数量积，关键是确定两向量的夹角.当a ∥b 时,a 与b 的夹角可能是0°，也可能为180°，解题时容易遗漏180°的情形.2．平面向量数量积的应用【例2】已知|a |=2，|b ｜=3，a 与b 的夹角为45°，求使向量a +λb 与λa +b 的夹角为锐角时，λ的取值范围.解：设a +λb 与λa +b 的夹角为θ.则cosθ=||||)()(b a b a b a b a +++•+λλλλ＞0， 即(a +λb )·（λa +b ）＞0,展开得，λa 2+(λ2+1）a ·b +λb 2＞0.∵｜a ｜=2,｜b ｜=3,a ·b =｜a ｜|b |cos45°=3，∴2λ+3(λ2+1）+9λ＞0，即3λ2+11λ+3＞0。
高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(2021年整理)
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【必修4】 第二章平面向量2.1 练习1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）.2、非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？3、指出图中各向量的长度.4、(1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？2.2.1 练习1、如图，已知b a ，,用向量加法的三角形法则作出b a 。
2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +.3、根据图示填空：（1）________;=+d a（2）.________=+b c4、根据图示填空:（1）________;=+b a（2）________;=+d c（3)________;=++d b a（4）.________=++e d c2.2.2 练习1、如图，已知b a ，，求作.b a -2、填空：________;=- ________;=- ________;=-BA BC ________;=-OA OD .________=-3、作图验证：b a b)(a --=+-2.2。
高中数学必修四2.4平面向量的数量积小结导学案
高中数学必修四2.4平面向量的数量积小结导学案4平面向量的数量积小结【学习目标】理解数量积的含义掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．．会用向量方法解决某些简单的实际问题．【新知自学】知识梳理：．向量的夹角已知两个________向量a和b，作oA→＝a，oB→＝b，则_________称作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．向量夹角〈a，b〉的范围是______，且______＝〈b，a〉．若〈a，b〉＝______，则a与b垂直，记作__________．．平面向量的数量积__________叫做向量a和b的数量积，记作a•b＝__________.可见，a•b是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．数量积的记号是a•b，不能写成a×b，也不能写成ab.向量数量积满足下列运算律：①a•b＝__________②•c＝__________③•b＝__________＝a•．．平面向量数量积的性质：已知非零向量a＝，b＝性质几何表示坐标表示定义a•b＝|a||b|cos〈a，b〉a•b＝a1b1＋a2b2模a•a＝|a|2或|a|＝a•a|a|＝a21＋a22若A，B，则AB→＝|AB→|＝a⊥ba•b＝0a1b1＋a2b2＝0夹角cos〈a，b〉＝a•b|a||b|cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22•b21＋b22|a•b|与|a||b|的关系|a•b|≤|a||b||a1b1＋a2b2|≤a21＋a22b21＋b22对点练习：．已知下列各式：①|a|2＝a2；②a•b|a|2＝ba；③2＝a2b2；④2＝a2－2a•b＋b2，其中正确的有．A．1个B．2个c．3个D．4个．设向量a＝，b＝12，12，则下列结论中正确的是．A．|a|＝|b|B．a•b＝22c．a∥bD．a－b与b垂直．已知a＝，b＝，c＝，则a等于．A．B．c．－52D．－78．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为π3，则|a＋b|＝__________.．已知|a|＝2，|b|＝4且a⊥，则a与b的夹角是__________．【合作探究】典例精析：一、平面向量数量积的运算例1、设单位向量＝，b＝．若⊥b，则|x＋2y|＝__________.已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.求a•b及|a＋b|；若f＝a•b－|a＋b|，求f的最大值和最小值．规律总结：利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：|a|2＝a2＝a•a；|a±b|2＝2＝a2±2a•b＋b2；若a＝，则|a|＝x2＋y2.变式练习：已知a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．四、平面向量的应用例4、已知向量oA→＝a＝，oB→＝b＝，oc→＝c＝，其中o为坐标原点，且0＜α＜π2＜β＜π.若a⊥，求β－α的值；若oB→•oc→|oc→|＝1，oA→•oc→|oc→|＝32，求△oAB的面积S.变式练习：△ABc的面积是30，内角A，B，c所对边长分别为a，b，c，cosA＝1213.求AB→•Ac→；若c－b＝1，求a的值．【课堂小结】【当堂达标】．已知向量a＝，b＝，则a⊥b的充要条件是．A．x＝－12B．x＝－1c．x＝5D．x＝0．在△ABc中，∠A＝90°，AB＝1，Ac＝2.设点P，Q满足AP→＝λAB→，AQ→＝Ac→，λ∈R.若BQ→•cP→＝－2，则λ＝．A．13B．23c．43D．2．在长江南岸渡口处，江水以12.5/h的速度向东流，渡船的速度为25/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为__________．．给出以下四个命题：①对任意两个向量a，b都有|a•b|＝|a||b|；②若a，b是两个不共线的向量，且AB→＝λ1a＋b，Ac →＝a＋λ2b，则A，B，c共线⇔λ1λ2＝－1；③若向量a＝，b＝，则a＋b与a－b的夹角为90°；④若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝13，则a，b的夹角为60°.以上命题中，错误命题的序号是__________．【课时作业】已知向量a和b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝A.13B.23c.15D.4．已知a，b是非零向量且满足⊥a，⊥b，则a与b的夹角是A.π6B.π3c.2π3D.5π6已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a|•|b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＝，b＝，则|a×b|的值为A.－8B.－6c.8D.6已知向量a＝，b＝，若a与b的夹角是锐角，则实数的取值范围是________．已知向量a，b满足|2a＋b|＝7，且a⊥b，则|2a－b|＝________.在△ABc中，∠A＝90°，且AB→•Bc→＝－1，则边c 的长为________．已知a=，求与a垂直的单位向量；与垂直的单位向量；与平行的单位向量已知点A，B，c，求∠BAc的正弦值。
人教版高中数学必修四2.4平面向量的数量积2.4.2含答案
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时目标 1.掌握数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．1．平面向量数量积的坐标表示 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________. 即两个向量的数量积等于________________． 2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔________________. 3．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝________________.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝________________________. 4．向量的夹角公式 设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________.一、选择题1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．123．已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－16654．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．256．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17 B.17 C ．－16 D.16题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________. 8．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________. 9．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______． 10．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．三、解答题11．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .12．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．能力提升13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12变动时，a 的范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)14．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角答案知识梳理1．x 1x 2＋y 1y 2 相应坐标乘积的和 2．x 1x 2＋y 1y 2＝03．(1)x 21＋y 21 (2)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 4.a·b|a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22作业设计1．C [由(2a －b )·b ＝0，则2a ·b －|b |2＝0， ∴2(n 2－1)－(1＋n 2)＝0，n 2＝3. ∴|a |＝1＋n 2＝2.故选C.] 2．B [a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.]3．C [∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)，∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13，∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝1665.]4．D [设c ＝(x ，y )，由(c ＋a )∥b 有－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，① 由c ⊥(a ＋b )有3x －y ＝0，②联立①②有x ＝－79，y ＝－73，则c ＝(－79，－73)，故选D.]5．C [∵|a ＋b |＝52， ∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2， ∴|b |＝5.]6．A [由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.]7．1解析 a －2b ＝(1，3)， (a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1. 8．(－4,8)解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0， 则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4， ∴b ＝－4a ＝(－4,8)． 9.655解析 设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32(－4)2＋72＝55，故a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13×55＝655.或直接根据a·b|b |计算a 在b 方向上的投影．10.⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞) 解析 由题意cos α＝a·b|a||b |＝－2λ－15·λ2＋1，∵90°<α<180°，∴－1<cos α<0，∴－1<－2λ－15·λ2＋1<0，∴⎩⎨⎧－2λ－1<0，－2λ－1>－5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ>－12，(2λ＋1)2<5λ2＋5， 即⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2，∴λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)． 11．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0， a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0， (a·b )c ＝10×(2，－1)＝(20，－10)．12．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16， |AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0，∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.13．C[已知OA →＝(1,1)，即A (1,1)如图所示，当点B 位于B 1和B 2时，a 与b 夹角为π12，即∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，此时，∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)，又a 与b 夹角不为零，故a ≠1，由图易知a 的范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)．]14．－2解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)， ∴MA →＝(0,1)，MB →＝(－3，－2)．∴MA →·MB →＝－2.附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
数学苏教版必修4导学案：2.4第1课时 向量的数量积
2.4向量的数量积第1课时向量的数量积1．向量的数量积(1)向量的数量积：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角是θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 和b 的数量积(或内积)记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定零向量与任一向量的数量积为0.(2)两个向量的夹角：对于两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．其范围是0°≤θ≤180°，当θ＝0°时，a 与b 同向，a ·b ＝|a ||b |；当θ＝180°时，a 与b 反向，a ·b ＝－|a ||b |；当θ＝90°时，称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .预习交流1(1)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于__________． (2)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则a ·b ＝__________. (3)已知|a |＝5，|b |＝4，a ·b ＝－102，则a 与b 的夹角θ＝__________. 提示：(1)|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝8＝2 2. (2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4cos 120°＝－10.(3)由公式得cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1025×4＝－22，所以θ＝135°.2．向量数量积的性质及其运算律(1)向量数量积的性质：①a ·a 可简写为a 2，所以a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |②a ⊥b ⇔a ·b＝0；③a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |；④|a ·b |≤|a ||b |.(2)向量数量积的运算律：已知向量a ，b ，c 和实数λ. ①a ·b ＝b ·a ； ②(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a ·b )＝λa ·b ； ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 预习交流2对于向量a ，b ，c ，等式(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )一定成立吗？ 提示：不一定成立，因为若(a ·b )·c ≠0，其方向与c 相同或相反，而a ·(b ·c )≠0时其方向与a 相同或相反，而a 与c 方向不一定相同，故该等式不一定成立．3．向量数量积的几何意义(1)向量b 在a 方向上的投影：设a ，b 是两个非零向量，|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，它是数量．当θ为锐角时，投影为正值．当θ为钝角时，投影为负值；当θ＝90°时，投影为0.(2)数量积a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积．预习交流3下列说法正确的是__________．①a·b＝0⇒a＝0或b＝0；②a∥b⇒a在b上的投影为|a|；③a⊥b⇒a·b＝(a·b)2；④a·c＝b·c⇒a＝b. 提示：③一、平面向量的数量积及几何意义已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°. (1)求a ·b ；(2)求a 在b 上的投影．思路分析：已知向量a ，b 的模及其夹角，求a ·b 及a 在b 上的投影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解便可．解：(1)∵|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4×cos 120°＝5×4×⎝⎛⎭⎫－12＝－10. (2)由数量积的几何意义可知，a 在b 上的投影为|a |cos θ＝5×cos 120°＝5×⎝⎛⎭⎫－12＝－52.1．已知|a |＝3，|b |＝5，且其夹角θ＝45°，则向量a 在向量b 上的投影为__________．★答案★：322解析：向量a 在向量b 上的投影为|a |cos θ，应用公式时要分清|a |与|b |，不能套错公式，由已知|a |＝3，|b |＝5，cos θ＝cos 45°＝22，则向量a 在向量b 上的投影为|a |cos θ＝3×22＝322. 2．已知a ，b ，c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为__________．①|a ·b |＝|a |·|b |⇔a ∥b ； ②a ，b 反向⇔a ·b ＝－|a |·|b |； ③a ⊥b ⇔|a ＋b |＝|a －b |； ④|a |＝|b |⇔|a ·c |＝|b ·c |. ★答案★：3 解析：①∵a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴由|a ·b |＝|a ||b |及a ，b 为非零向量可得|cos θ|＝1，∴θ＝0或π.∴a ∥b ，且以上各步均可逆，故命题①是真命题．②若a ，b 反向，则a ，b 的夹角为π，∴a ·b ＝|a ||b |cos π＝－|a ||b |，且以上各步均可逆，故命题②是真命题．③当a ⊥b 时，将向量a ，b 的起点确定在同一点，以向量a ，b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|a ＋b |＝|a －b |.反过来，若|a ＋b |＝|a －b |，则以a ，b 为邻边的四边形为矩形，故有a ⊥b ，因此命题③是真命题．④当|a |＝|b |，但a 与c 的夹角和b 与c 的夹角不等时，就有|a ·c |≠|b ·c |，反过来由|a ·c |＝|b ·c |也推不出|a |＝|b |，故命题④是假命题．1．数量积的符号同夹角的关系：(1)若a ·b ＞0⇔θ为锐角或零角；(2)若a ·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 至少有一个为0；(3)若a ·b ＜0⇔θ为钝角或平角． 2．平面向量数量积的求法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a ·b . 二、平面向量数量积的运算已知|a |＝4，|b |＝5，且a 与b 夹角为60°，求值： (1)a 2－b 2； (2)(2a ＋3b )·(3a －2b )．思路分析：充分利用条件及数量积的定义性质即可求解． 解：(1)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝42－52＝－9；(2)(2a ＋3b )·(3a －2b )＝6a 2＋5a ·b －6b 2＝6|a |2＋5|a ||b |cos 60°－6|b |2＝6×42＋5×4×5×12－6×52＝－4.1．已知正△ABC 的边长为2，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .解：如图，a 与b ，b 与c ，a 与c 夹角均为120°，∴原式＝|a ||b |cos 120°＋|b ||c |cos 120°＋|a ||c |cos 120°＝2×2×⎝⎛⎭⎫－12×3＝－6. 2．已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a －3b )．解：(a ＋2b )·(a －3b )＝a ·a －a ·b －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2 ＝62－6×4×cos 60°－6×42＝－72.1．利用定义求向量的数量积时，要注意a 与b 的夹角大小．若|a ||b |是一个定值k ，则当这两个向量的夹角从0°变化到180°时，两向量的数量积从k 减到－k ，其图象是从0到π的半个周期内的余弦函数图象．2．求平面向量的数量积的一般步骤：(1)运用数量积的运算律展开、化简；(2)确定向量的模和夹角；(3)根据定义求出数量积．三、求向量的夹角问题设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角． 思路分析：n 和m 是两个单位向量且夹角已知，可求其数量积，又向量a ，b 均有向量n 和m 线性表示，待求向量a ，b 的夹角，求解时可先利用|a |＝|2m ＋n |，|b |＝|2n －3m |求模，再利用a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )求数量积，最后代入cos α＝a ·b|a ||b |求α.解：|m |＝1，|n |＝1，由夹角为60°，得m ·n ＝12，则有|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2 ＝4m 2＋4m ·n ＋n 2＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2 ＝4n 2－12n ·m ＋9m 2＝7.∴a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝－72.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴a ，b 夹角为120°.1．向量m 和n 满足|m |＝1，|n |＝2，且m ⊥(m －n )，求m 与n 的夹角． 解：∵|m |＝1，|n |＝ 2.又m ⊥(m －n )， ∴m ·(m －n )＝m 2－m ·n ＝0. 设m 与n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝m 2|m ||n |＝|m ||n |＝22.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝45°.2．已知a ，b 是两个非零向量，同时满足|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 解：根据|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2. 又由|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，∴a ·b ＝12|a |2.∴|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2. ∴|a ＋b |＝3|a |.设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |3|a |＝32.∴θ＝30°.1．求向量a ，b 夹角的流程图求|a |，|b |→计算a ·b →计算cos θ＝a ·b|a ||b |→结合θ∈[0，π]，求解θ 2．由于|a |，|b |及a ·b 都是实数，因此在涉及有关|a |，|b |及a ·b 的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝__________. ★答案★：－12 2 解析：m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×cos 135°＝－12 2.2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是23，则a ·b 为__________．★答案★：2解析：∵a 在b 方向的投影为|a |cos θ，∴a ·b ＝|b |·|a |cos θ＝3×23＝2.3．已知a 与b 是相反向量，且|a |＝2，则a ·b ＝__________. ★答案★：－4解析：∵a 与b 互为相反向量， ∴|a |＝|b |且两向量夹角为180°. ∴a ·b ＝2×2×cos 180°＝－4.4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为__________．★答案★：π3解析：cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π3.5．已知|a |＝3，|b |＝6，当(1)a ∥b ，(2)a ⊥b ，(3)a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b . 解：(1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝3×6×1＝18； 若a 与b 反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝3×6×(－1)＝－18； (2)当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°， ∴a ·b ＝0；(3)当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3×6×12＝9.。
高中人教版数学必修4学案：第2章 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 【含答案】
2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标核心素养1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. (重点)3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．(难点)4. 向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点) 1.通过学习平面向量数量积及其物理背景的学习，培养学生的数学抽象素养. 2.通过数量积的应用，提升学生的数学运算素养.1．平面向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.特别地，零向量与任一向量的数量积等于0.思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？[提示]数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．2．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①b在a的方向上的投影为|b|cos θ；②a在b的方向上的投影为|a|cos θ.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．思考：投影一定是正数吗？[提示]投影可正、可负也可以为零．3．向量数量积的性质垂直向量a·b＝0平行向量同向a·b＝|a||b|反向a·b＝－|a||b|向量的模a·a＝|a|2或|a|＝a·a求夹角cos θ＝a·b |a||b|不等关系a·b≤|a||b|4.(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．思考：a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？[提示](a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．1．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝()A.12 B.32C．1 D．－1 2A[a·b＝1×1×cos 60°＝1 2.]2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()A.π6 B.π4C.π3 D.π2C[由条件可知，cos θ＝a·b|a||b|＝21×4＝12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π3.]3．已知单位向量a，b夹角为π3，则|a－b|＝________.1 [单位向量a ，b 夹角为π3，则|a －b |＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×1×1×12＋1＝1.]4．己知|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，则a·b ＝________.－1 [|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，可得：a 2＋a·b ＝0，∴a·b ＝－1.]向量数量积的计算及其几何意义【例1】 (1)已知单位向量e 1，e 2的夹角为π3，a ＝2e 1－e 2，则a 在e 1上的投影是________．(2)已知向量a 与b 满足|a |＝10，|b |＝3，且向量a 与b 的夹角为120°.求： ①(a －b )·(a －b )； ②(2a ＋b )·(a －b )．思路点拨：根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答． (1)32 [设a 与e 1的夹角为θ，则a 在e 1上的投影为|a |cos θ＝a ·e 1|e 1|＝a ·e 1＝(2e 1－e 2)·e 1＝2e 21－e 1·e 2＝2－1×1×cos π3＝32.] (2)[解] ①(a －b )·(a －b ) ＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝100－9＝91.②因为|a |＝10，|b |＝3，且向量a 与b 的夹角为120°， 所以a·b ＝10×3×cos 120°＝－15， 所以(2a ＋b )·(a －b )＝2a 2－a·b －b 2 ＝200＋15－9＝206.求平面向量数量积的步骤(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)分别求|a |和|b |；(3)求数量积，即a·b ＝|a ||b |cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.求投影的两种方法：(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.(2)b 在a 方向上的投影为，a 在b 方向上的投影为[跟进训练]1．(1)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角θ为60°，求： ①a ·b ；②(2a －b )·(a ＋3b )．(2)设正三角形ABC 的边长为2，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .[解] (1)①a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2×3×cos 60°＝3. ②(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5a ·b －3|b |2＝2×22＋5×3－3×32＝－4.(2)∵|a |＝|b |＝|c |＝2，且a 与b ，b 与c ，c 与a 的夹角均为120°，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2×2×cos 120°×3＝－3.与向量模有关的问题【例2】 b |＝________. (2)已知向量a 与b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，求|b |. 思路点拨：灵活应用a 2＝|a |2求向量的模．(1)23 [|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2·|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，所以|a ＋2b |＝12＝2 3.](2)[解] 因为|2a ＋b |＝10，所以(2a ＋b )2＝10， 所以4a 2＋4a·b ＋b 2＝10.又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×22＋|b|2＝10，整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)．求向量的模的常见思路及方(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方.(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等.[跟进训练]2．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为π3，求|a＋b|，|a－b|.[解]∵|a|＝|b|＝5且夹角θ为π3，∴ |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝52＋2×5×5×cos π3＋52＝75，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝52－2×5×5×cos π3＋52＝25，∴|a＋b|＝53，|a－b|＝5.与向量垂直、夹角有关的问题[1．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？提示：a⊥b⇔a·b＝0.2．|a ·b |与|a ||b |的大小关系如何？为什么？对于向量a ，b ，如何求它们的夹角θ？提示：|a ·b |≤|a ||b |，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ. 两边取绝对值得： |a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |. 当且仅当|cos θ|＝1，即cos θ＝±1，θ＝0°或π时，取“＝”， 所以|a ·b |≤|a ||b |，cos θ＝a ·b |a ||b |.【例3】 (1)已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角，则k 的取值范围为________．(2)已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．思路点拨：(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同．(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a |与|b |的关系，再求a 与b 的夹角．(1)(0,1)∪(1，＋∞) [∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， ∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2 ＝2k ＞0，∴k ＞0.当k ＝1时，e 1＋k e 2＝k e 1＋e 2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去． 综上，k 的取值范围为k ＞0且k ≠1.] (2)[解] 由已知条件得 ⎩⎨⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0， 即⎩⎨⎧7a 2＋16a·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a·b ＋8b 2＝0， ②②－①得23b 2－46a·b ＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cos θ＝a·b|a||b|＝12b2|b|2＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.1．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．[解]∵e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为钝角，∴(e1＋k e2)·(k e1＋e2)＝k e21＋k e22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0.当k＝－1时，e1＋k e2与k e1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1.2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“π3”，求k的值．[解]由已知得|e1＋k e2|＝e21＋2k e1·e2＋k2e22＝1＋k2，|k e1＋e2|＝k2e21＋2k e1·e2＋e22＝k2＋1，(e1＋k e2)·(k e1＋e2)＝k e21＋k e22＋(k2＋1)e1·e2＝2k，则cosπ3＝(e1＋k e2)(k e1＋e2)|e1＋k e2||k e1＋e2|＝2k1＋k2，即2k1＋k2＝12，整理得k2－4k＋1＝0，解得k＝4±122＝2±3.1．求向量夹角的方法(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝a·b|a||b|求解．(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解．(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ＞0时，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2；当cos θ＜0时，θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当cos θ＝0时，θ＝π2.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2. 3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab ＝0，则a 与b 中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a ·b ＝0推出a ＝0或b ＝0.实际上由a ·b ＝0可推出以下四种结论：①a ＝0，b ＝0；②a ＝0，b ≠0；③a ≠0，b ＝0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b . (2)在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |·|b |，但对于向量a ，b ，却有|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，而|cos θ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a .在向量数量积的运算中，若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则向量c ，b 在向量a 方向上的投影相同，因此由a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得到b ＝c .(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．1．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝cB [A 错，当a 与b 夹角为π2时，a ·b ＝0；C 错，a 2＝b 2即|a |＝|b |；D 错，数量积不能约分；只有B对．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝() A．4B．3C．2D．0B[因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B.]3．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影为________．125[设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，所以|a|cos θ＝12 5，即a在b方向上的投影为12 5.]4．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3，求|a＋b|，|a－b|.[解]a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×12＝252.|a＋b|＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a－b|＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝25－2×252＋25＝5.。
平面向量的数量积(经典导学案及练习答案详解)
§5.3 平面向量的数量积学习目标1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 与b 是方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θ e . 4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积 a·b ＝|a ||b |cos θ a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 a ∥b 的充要条件 a ＝λb (λ∈R ) x 1y 2－x 2y 1＝0|a ·b |与|a ||b |的关系 |a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 教材改编题1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．0·a ＝0B ．a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC ．a ·b ＝0⇒a ⊥bD ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2 答案 CD2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________．答案 －59解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_________；a ·b ＝________. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0， a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →| ＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.答案 －2 解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3， cos θ＝23，则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫34AB →－AD → ＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2 ＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋(t －3)2＝1， 解得t ＝3， 所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos ∠DBM ＝|BM →|2＝1. 思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝____________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°， 所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144 ＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( ) A ．－3135 B ．－1935 C.1735 D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝(1，3)·(3，4)32＋42＝1525＝35.教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝3，则|e1－e2|＝________.答案 1解析由|e1＋e2|＝3，两边平方，得e21＋2e1·e2＋e22＝3.又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝e21－2e1·e2＋e22＝1，所以|e1－e2|＝1.思维升华(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a||b|，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．跟踪训练2(1)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝7a＋2b，则sin〈a，c〉等于()A.73 B.23 C.79 D.29答案 B解析方法一设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(7，2)，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝73，∴sin〈a，c〉＝2 3.方法二a·c＝a·(7a＋2b)＝7a2＋2a·b＝7，|c|＝(7a＋2b)2＝7a2＋2b2＋214a·b＝7＋2＝3，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝71×3＝73，∴sin〈a，c〉＝2 3.(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( ) A ．|OP 1—→|＝|OP 2—→| B ．|AP 1—→|＝|AP 2—→| C.OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→ D.OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→ 答案 AC解析 由题意可知， |OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋(－sin β)2＝1， 所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故A 正确； 取α＝π4，则P 1⎝⎛⎭⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝⎛⎭⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故B 错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)， 所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故C 正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA —→·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故D 错误． 题型三 平面向量的实际应用例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 ACD解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |22(1＋cos θ).当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求： (1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2 ＝12＋2×1×6＋22cos 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ，则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋(1＋3)2＋2×1×(1＋3)cos θ， 解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋(1＋3)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×(1＋3)＝32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10 km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6 km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[](a ＋b )2－(a －b )2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，P A →·PB →有最小值，即P A →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， M 为AB 的中点， 由极化恒等式有 (a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2 ＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·石家庄模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2，所以|a －b |＝|a －b |2 ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝(a －b )·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32，因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫255，－55或⎝⎛⎭⎫－255，55 B.⎝⎛⎭⎫－255，－55或⎝⎛⎭⎫255，55 C.⎝⎛⎭⎫255，55 D.⎝⎛⎭⎫－255，55 答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b 62＋(－3)2＝±⎝⎛⎭⎫255，－55. 5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) C ．a ·b ≤|a |·|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b | 答案 ACD解析 根据数量积的分配律可知A 正确；选项B 中，左边为c 的共线向量，右边为a 的共线向量，故B 不正确； 根据数量积的定义，可知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a |·|b |，故C 正确；|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 〈a ，b 〉≤|a |2＋|b |2＋2|a ||b |＝(|a |＋|b |)2， 故|a －b |≤|a |＋|b |，故D 正确．6．(多选)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 上的投影向量为22b C ．2m ＋n ＝4 D ．mn 的最大值为2 答案 CD解析 对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)， 则a·b ＝2－1＝1>0， 又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误； 对于B ，向量a 在b 上的投影向量为 a·b |b |·b |b |＝12b ，B 错误； 对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝⎛⎭⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1－(－1)＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， 所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos 60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·湛江模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin 2x ＋12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－12. 令2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6－12＝0， sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233，在△BCE 中， BE ＝22＋⎝⎛⎭⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( ) A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD → ＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos ∠BDA －|DC →||BD →|cos ∠BDC ＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形 答案 A解析 AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC →|AC →|所在的直线为∠BAC 的平分线． 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ， 所以AB ＝AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC＝12， 所以cos ∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，则物体的重力大小为________ N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ， ∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20 N ， ∴物体的重力大小为20 N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________． 答案 11120解析 设BE ＝x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ， ∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ， DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos 0°＋(1－2x )2＝1，∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝⎛⎭⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( ) A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1 答案 AD解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 正确．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝ (cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 解 (1)m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m·n ＝sin C ， 又m·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。
高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积小结导学案(无答案)新人教A版必修4(2021
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2.4 平面向量的数量积小结【学习目标】1. 理解数量积的含义掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．3．会用向量方法解决某些简单的实际问题．【新知自学】知识梳理:1．向量的夹角已知两个________向量a和b,作错误!＝a，错误!＝b,则_________称作向量a与向量b的夹角，记作〈a,b〉．向量夹角〈a，b〉的范围是______，且______＝〈b，a〉．若<a，b〉＝______，则a与b垂直，记作__________．2．平面向量的数量积__________叫做向量a和b的数量积(或内积），记作a·b＝__________。
可见，a·b是实数，可以等于正数、负数、零．其中｜a｜cos θ(｜b｜cos θ）叫做向量a在b方向上(b在a方向上）的投影．数量积的记号是a·b,不能写成a×b，也不能写成ab.向量数量积满足下列运算律：①a·b＝__________(交换律)②(a＋b）·c＝__________（分配律)③(λa）·b＝__________＝a·（λb）(数乘结合律)．3．平面向量数量积的性质：已知非零向量a＝（a1，a2)，b＝（b1，b2）定义 a ·b ＝|a |｜b ｜cos<a ,b >a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2模 a ·a ＝｜a ｜2或｜a ｜＝错误!｜a ｜＝错误!若A （x 1，y 1)，B (x 2,y 2），则错误!＝(x 2－x 1，y 2－y 1)｜错误!|＝错误!a ⊥b a ·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＝0夹角 cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ｜|b |(|a |｜b ｜≠0）cos 〈a ,b >＝错误!｜a ·b ｜与|a |｜b |的关｜a ·b ｜≤｜a ||b ｜|a 1b 1＋a 2b 2|≤错误!错误!系对点练习：1．已知下列各式：①｜a｜2＝a2；②错误!＝错误!；③(a·b)2＝a2b2；④（a－b）2＝a2－2a·b＋b2，其中正确的有（)．A．1个 B．2个C．3个 D． 4个2．设向量a＝（1,0)，b＝错误!，则下列结论中正确的是( ）．A．｜a|＝｜b| B．a·b＝错误!C．a∥b D．a－b与b垂直3．已知a＝(1，－3），b＝(4,6），c＝（2,3），则（b·c）a等于（)．A．（26，－78） B．(－28，－42)C．－52 D．－784．若向量a，b满足|a｜＝1,｜b｜＝2且a与b的夹角为错误!,则｜a＋b|＝__________。
高中数学人教A版必修四课时训练：2.4平面向量的数量积2.4.1Word版含答案(20200620162603)
6． D [ a 在 b 方向上的投影是 |a |cos θ＝ 2× cos 120 ＝°－ 1.]
7． 0 解析 b·(2a＋ b)＝ 2a·b＋ |b|2 ＝2× 4× 4× cos 120 °＋ 42＝ 0.
8．④ 解析 因为两个非零向量 a、b 垂直时， a·b＝ 0，故①不正确； 当 a＝ 0，b⊥c 时，a·b＝ b·c＝ 0，但不能得出 a＝c，故②不正确； 向量 (a·b)c 与 c 共线， a( b·c) 与 a 共线，故③不正确；
∴|2a－ b|cos〈 2a－ b， a＋ b〉＝ |2a－ b|
·2a－ b
·a＋ b
＝
2a－b
·a＋ b
＝
1 .
|2a－ b| ·|a＋ b|
|a＋ b|
2
∴向量 2a－ b 在向量
a＋ b 方向上的投影为
1 2.
14． 解 ∵ |n|＝ |m|＝1 且 m 与 n 夹角是 60°，
∴m·n＝ |m||n|cos
B． 0
C.2
D．3
4．若非零向量 a， b 满足 |a|＝ |b|，(2 a＋b) ·b＝ 0，则 a 与 b 的夹角为 ( )
A ． 30°
B． 60°
C．120 °
D ． 150 °
5．若向量 a 与 b 的夹角为 60°， |b|＝ 4， (a＋ 2b) ·( a－ 3b)＝－ 72，则向量 a 的模为 ( )
3
3
3
A. 2
B．－ 2
C． ±2
D． 1
2．已知向量 a， b 满足 a·b＝ 0， |a|＝ 1， |b|＝ 2，则 |2a－ b|等于 ( )
A．0
B．2 2
必修四 2.4平面向量数量积导学案 导学案
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义【课标要求】1、掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系。
2、平面向量积的重要性质及运算律。
【考纲要求】1、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
【学习目标叙写】1、知道平面向量数量积的物理意义，记住其含义；2、会用向量数量积的公式解决相关问题；3、记住数量积的几个重要性质。
4、【使用说明与学法指导】先阅读教材P103-P105.在理解物理学中作“功”的实例引出数量积的几何概念之后，学习向量数量积的性质与运算律。
【预习案】1.____________________叫做a b r r与的夹角。
2.已知两个____向量a b r r 与，我们把_________叫a b r r与的数量积。
（或______）记作_________即a b ⋅r r ＝_________________其中θ是a b r r与的夹角。
___________叫做向量a b r r在方向上__。
3.零向量与任意向量的数量积为_________。
4.平面向量数量积的性质：设a b r r与均为非零向量：①a b ⊥⇔r r ___________②当a b r r 与同向时，a b •r r ＝_____ 当a b r r与反向时，a b •r r ＝_____，特别地，a b •r r ＝________或a =r_________。
③cos =θ_________ ④a b ⋅r r_____________ 5. a b •r r的几何意义：______________ _____ 6.向量的数量积满足下列运算律已知向量a b c r r r ，，与实数λ。
①a b ⋅r r＝__ _ （___律）②()a b λ⋅r r＝___ __ __③()a+b c ⋅r r r＝_____ __【探究案】例1.已知a =4,b =2a b r r r r且与的夹角为120º，则a b=•r r例2.已知ABC V 中，AB =AC =4AB AC=8•u u u r u u u v u u u v且，则这三角形的形状为______________。
人教A版高中数学必修四 2.4《平面向量的数量积》导学案2
名师精编 优秀教案高中数学人教版必修4： 2.4《平面向量的数量积》导学案【学习目标】1、知道平面向量数量积的含义及其物理意义；2﹑知道平面向量数量积积与投影的关系；3、会运用平面向量的数量积及其运算律.【重点难点】▲重点：向量数量积的定义及运算律▲难点：数量积的应用【知识链接】1、 向量的线性运算；2、向量),(11y x a =，),(22y x b =共线01221=-⇔y x y x .【学习过程】阅读课本第103页到第105页的内容，尝试回答以下问题：知识点1:平面向量数量积的物理背景及其含义问题1﹑物体在力F 作用下产生位移S ，那么力F 所做的功_________=W .力和位移是矢量，功是标量，类比我们引入两个向量的数量积的概念： 已知两个非零向量a 与b ，我们把___________叫做a 与b 的数量积,记作a b ∙，即________ _________,其中θ是与的夹角.问题2、请叙述投影的定义.问题3、由投影的定义，你能叙述∙的几何意义吗？问题4﹑设与是非零向量则：（1）______⇔⊥；（2）当a 与b 同向时，b a ∙=_____________；当a 与b 反向时，b a ∙=_______________.特别地∙=_____________;名师精编 优秀教案（3； （4）=θcos.问题6、尝试用数量积的运算律证明下列等式：（1）()2222a ba ab b +=+∙+；（2）()()22a b a b a b +∙-=-；例15=2=，与的夹角为 120，求()()23a b a b +∙-的值.知识点2: 平面向量数量积的坐标表示，模，夹角阅读课本第106页到107页的内容，尝试回答以下问题：问题1、已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 与b 的坐标表示b a ∙呢？（提示：j y i x a 11+=，j y i x b 22+=）问题2﹑由问题1，若),(y x a ==____=_________.问题3、如果),(11y x =，),(22y x =，θ是与的夹角，则_____cos =θ.例2、在ABC ∆中，已知)2,1(-A ，)1,3(-B ，)2,5(C ，求BAC ∠∙cos ,.名师精编 优秀教案【基础达标】A1、已知8,6,p q ==p 和q 的夹角是60︒，求p q ∙.A26=，为单位向量，当与之间夹角θ分别为 135,90,45时，分别求出在方向上的投影.B3、已知）（3,2a =，）（4,2b -=，）（2,1c --=，求b a ∙，）（）（b a b a -∙+，)(c b a +∙，2)(+.B44=3=，61)2)(32(=+-，求∙的夹角θ.C5、在ABC ∆中，设b CA a BC c AB ===,,，且a c c b b a ∙=∙=∙，试判断ABC ∆的形状.名师精编 优秀教案D6、已知∙-==，求与+的夹角【小结】【当堂检测】A1、已知∆ABC 中，5,8,60BC AC C ︒===,求BC CA ∙.B2、求证：A(1，0)，B(5，-2),C(8,4),D(4,6)为顶点的四边形是一个矩形.【课后反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是名师精编优秀教案。
高一数学人教A版必修四教案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义Word版含答案
a ?b
4° cos θ＝ .
| a || b |
5°| a·b| ≤｜a|| b |. 上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证
也有下面类似的结论 ?
a、 b,是否
(1)(a+b)2 =a2+2a·b +b2; (2)(a+b) ·(a-b)=a2-b2. 活动 :已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量 | a|| b|cos θ叫做 a 与 b 的数量积 (或内积 ),记作 a·b,
即
a·b =| a|| b |cos θ (0 ≤θ≤π ). 其中 θ是 a 与 b 的夹角 ,| a|cos θ(|b|cos θ叫）做向量 a 在 b 方向上 (b 在 a 方向上 )的投影 .如图 2
图4 定义 :| b|cos θ叫做向量 b 在 a 方向上的投影 .并引导学生思考 :
1°投影也是一个数量 ,不是向量 ; 2°当 θ 为锐角时投影为正值 ;当 θ为钝角时投影为负值 ; 当 θ为直角时投影为 0;当 θ =0时°投影为 | b|; 当 θ =180时°投影为 -| b|. 教师结合学生对 “投影 ”的理解 ,让学生总结出向量的数量积的几何意义 : 数量积 a·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 | b|cos θ的乘积 . 让学生思考 :这个投影值可正、 可负 ,也可为零 ,所以我们说向量的数量积的结果是一个实
功 W 可由下式计算 :
W=| F||s|cos θ 其中 θ是 F 与 s 的夹角 .我们知道力和位移都是向量 ,而功是一个标量 (数量 ).
故从力所做的功出发 ,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念 .
高中数学必修四2.4平面向量的数量积小结导学案【推荐下载】
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
高中数学必修四2.4平面向量的数量积小结导学案
2.4 平面向量的数量积小结
【学习目标】
1. 理解数量积的含义掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
3．会用向量方法解决某些简单的实际问题．
【新知自学】
知识梳理：
1．向量的夹角
已知两个________向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则_________称
作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
向量夹角〈a，b〉的范围是______，且______＝〈b，a〉．
若〈a，b〉＝______，则a与b垂直，记作__________．
2．平面向量的数量积
__________叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab＝__________. 可见，ab是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a|cos θ(|b|cosθ)
叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．
数量积的记号是ab，不能写成a×b，也不能写成ab.
向量数量积满足下列运算律：
①a b＝__________(交换律)
专注下一代成长，为了孩子。
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平面向量的数量积 小结
编审：周彦 魏国庆
【学习目标】
. 理解数量积的含义掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． ．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． ．会用向量方法解决某些简单的实际问题． 【新知自学】
知识梳理：
．向量的夹角
已知两个向量和，作＝，＝，则称作向量与向量的夹角，记作〈，〉． 向量夹角〈，〉的范围是，且＝〈，〉． 若〈，〉＝，则与垂直，记作．
．平面向量的数量积 叫做向量和的数量积(或内积)，记作·＝.可见，·是实数，可以等于正数、负数、零．其中 θ( θ)叫做向量在方向上(在方向上)的投影．
数量积的记号是·，不能写成×，也不能写成. 向量数量积满足下列运算律： ①·＝(交换律) ②(＋)·＝(分配律)
③(λ)·＝＝·(λ)(数乘结合律)．
．平面向量数量积的性质：已知非零向量＝(，)，＝(，)
对点练习：
．已知下列各式：
①＝；②＝；③(·)＝；
④(－)＝－·＋，其中正确的有( )．
．个．个
．个．个
．设向量＝()，＝，则下列结论中正确的是( )．．＝．·＝
．∥．－与垂直
．已知＝(，－)，＝()，＝()，则(·)等于( )．．(，－) ．(－，－)
．－．－
．若向量，满足＝，＝且与的夹角为，则＋＝. ．已知＝，＝且⊥(－)，则与的夹角是．
【合作探究】
典例精析：
一、平面向量数量积的运算
例、（)在等边△中，为的中点，＝，求·，；
()若＝(，－)，＝()，求(－)·(＋)和＋.。