初中数学旋转专题

旋转证明

一． 利用旋转添加辅助线

例1. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且始终

.过点A 做

AP ⊥EF.（1）求证：EF=DE+BF.(2)求证：AP=AD.

（3）若△EFC 周长为，求正方形的面积.

变式1：如图，点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，已知AB=a ，△MCN 的周长为2a ， 求证：∠MAN=45°

1.如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB ⊥BC,AD=2,BC=3,将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90到ED ，连结AE 、CE,则△ADE 的面积是 。

2.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且始终满足AF 平分， 探究：BF 、DE 与AE 的关系.

5.如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=45°，则有结论EF=BE+FD 成立。

（1）如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B=∠D=90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF 是∠BAD 的一半，那么结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得∠EAF 仍然是∠BAD 的一半，则结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立。请写出它们之间的数量关系，并证明。

例2.在等边△ABC 中，O 为△ABC 内一点，连接AO 、BO 、

A B C D E

F

A

B

D C

E

F A D

M B C

N A B C E

D

CO 且AO=2,BO=1,CO=,求∠AOB ，∠BOC 的度数分别是多少？

2.如图，点D 为等边△ABC 外一点，,AD=4,CD=3，求BD 的长。

3.在等边△ABC 中，O 为△ABC 内一点，连接AO 、BO 、CO ，有∠AOB ＝

，∠BOC=

.问：AO 、BO 、

CO 三条线条能否构成一个三角形若能，求出这个三角形的三个内角分别是多少度？若不能，请说明理由。

25（09朝阳一模）. （本小题8分）

图① 图② （1） 已知：如图①，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 在斜边AB 上，且

∠DCE=45°. 求证：线段DE 、AD 、EB 总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图②，等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，

使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数； （3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD·AE 的值．

25（09西城一模）．已知：，，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线

AB 的两侧.

（1）如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长； （2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应∠APB 的大小. 二． 旋转型相似

A

B C

D

例1.图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．

（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连结AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．

（2）操作：若将图1中的△C′DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连结AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．

（3）根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段AD的长度最大？是多少？当为多少度时，线段AD的长度最小？是多少？（不要求证明）

图1 图2 图3

例2.如图为等边△ABC和菱形BDEF,∠DBF=60°

（1）观察图形○1,猜想AF与CD之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不必证明.

（2）将菱形BDEF绕点B按顺时针方向旋转,使菱形BDEF的一边落在等边△ABC内部,在图○2中画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,请问:(1)中的结论是否依然成立?若成立请证明;若不成立,请说明理由;

（3）在上述旋转过程中,AF与CD之间所夹的锐角度数是否发生变化?若不变,请你求出它的度数,并说明理由;若改变,请说明它的度数是如何变化的.

练习

1．点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作和，连接AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN，MN．

（1）若和是等腰直角三角形，且(如图1)，则是

三角形．

（2）在和中，若BA=BE,BC=BF,且，（如图2），则是三角形，且.

（3）若将（2）中的绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.

A

C

B

D

F

E

○1

A

C

B

○2

3.填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。

(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________；

(2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；

(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。

4、我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另外一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形。

（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：

（2）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O。求证：AD2+BC2=AB2+DC2。即四边形ABCD 是等平方和四边形。

（3）如果将图①中的△AOD绕点O按逆时针方向旋转a度

（0

形？若能，请证明；若不能，请说明理由。

三．正方形中的旋转

例1.如图1已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D