数列的函数特性课件
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广东省2022年新课标高考数学总复习《数列的函数特性》课件19张
，
a4
2
2 5
4 5
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2
4 5
1
3 5
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于是可知数列{an}是以
4
ห้องสมุดไป่ตู้
为周期的周期数列，因此 a2020
a4505
a4
4 5
.
数列的单调性及应用 1.判断数列单调性的 2 种方法 (1)作差(或商)法； (2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等 函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
于是可知数列{an}是以 3 为周期的周期数列，因此 a2 020＝a3×673＋1
＝a1＝21.]
【拓展运用】已知数列{an}满足
an1
2an 2an
,0 1,
1 an 2 1 2 an
1，
a1
3 5
，
则 a2 020＝
【解析】由已知得
a1
3 5
，
a2
2
3 5
1
1 5
，
a3
2
1 5
2 5
数列是一种特殊的函数
an f (n)
nN
数列
项数
项
通项公式
函数
自变量
函数值
解析式
数列的图象是横坐标为正整数的一系列的离散的点。 数列作为一种特殊的函数，具有函数的本质属性，我们称之为数 列的函数特性，即用函数的观点来理解数列，用研究函数的方法来解 决数列中的某些问题。 事实上，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的 一些固有特征。
an
n
(2)n 3
，则数
列{an}中的最大项为( )
A．89
1.1.2数列的函数特性课件(北师大版必修五)(精)
示…1ft績体分的述程中出3丰晁轨・请关刖踊有幻灯八・立久打升可正含"・*<情境、导❼不便，W学习目标.1 •知识目标：理解递增、递减、常数列概念；会判断数列的增减性；理解利用解析式、表格、图像表示数列的异同.2•能力目标：学会观察、分析、猜测、归纳，数形结合法的应用.3•情感目标：在学习数列函数特性的过程中，增强学生认识事物的能力，逐步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度.叵弓I入靳课1.数列的概念是什么.2.数列的通项公式的含义是什么.以有件疋乂域i为止整数集N+（或它的有限子集）的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.而数列的通项公式就类似于函数的解析式，因此研究数列的性质我们就可以借助数列的通项公式，而且数列的表示形式也和函数一样，有多种表示方法，下面来看几个例子.」亘课堂探究£课堂探究丄数列的函数特性请看下面例子新中国成立后，我国1952〜1994年间部分年份进出口贸易总额（亿美元）数据排成一数列：19. 4, 31. 0, 42. 5, 45. 9, 147. 5, 381. 4, 696. 0, 1 154. 4, 2 367. 3.2我们可以把一个数列用图像来表示:枣1县数列①：3. 4.乩6. 7.氏9的图像58 6 4 O 246 n贸易总27002 367. 32100 1800 1500 12001154. 4yoo 600 300 19. 431. 00 1952 1957 1965 19701975 1980 1985 1990 1994年份/由上图可以看出我国1952〜1994年部分年份，各 时期进出图3是数列⑥：2100,2100,2100,-, 2100的图像.Cl n2100―1 1 1 1 1 Illi!.1 2 3 4 5 67 8 9 10 H图3思考:通过这几个例子你是否发现用图像来表示数列的好处.从图中可以看岀，数列①的函数图像上升，称这样的这样的数列为递减数列；数列⑥称为常数列.思考：你是否能归纳一下递增数列、递减数列、常数列的概念呢？一般地，一个数列｛a,,｝,如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即那么这个数列叫作递增数列.如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即盼0〃,那么这个数列叫作递减数列.如果数列｛〜｝的各项都相等，那么这个数列叫作常数列.1 *3 Q(1)2,1,0,-1，…,3-仏…⑵〒亍亍…，齐解⑴设勺=3-弘那么©+] =3 —(/1 +1) = 2 —n,。
数列的函数特性课件-北师大版高中数学必修5
(1)1，12，13，…，n1，…； (2)1，2，22，…，263，…； (3)1，－0.1，0.12，…，(－0.1)n－1，…； (4)0，10，20，…，1 000； (5)－1，1，－1，1，…； (6)6，6，6，….
【解析】 (1)是无穷递减数列(1n>n＋1 1)． (2)是无穷递增数列(项随着序号的增加而增大)． (3)是无穷数列，由于奇数项为正，偶数项为负，故为摆动数 列． (4)是有穷递增数列． (5)是无穷数列，也是摆动数列． (6)是无穷数列，且是常数列．
【思路分析】 因为 an＝(n＋1)(1110)n 是积幂式子的形式且 an>0，所以可用比商法比较 an 与 an－1 的大小．
【解析】
(1)令aan－n 1≥1(n≥2)，即（nn·＋（1）1110（）11n10－）1 n≥1.
整理得n＋n 1≥1110.解得 n≤10.
令aan＋n 1≥1，即（（nn＋＋21））（（11111010））n＋n1≥1.
【解析】 (5)是有穷数列； (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列； (2)是递增数列； (1)(4)是递减数列； (6)是摆动数列； (3)(5)是常数列．
题型二 数列的单调性 例 2 已知数列{an}的通项公式为 an＝n2n＋2 1.求证此数列为递 增数列．
【证明】 ∵an＋1－an＝（（n＋n＋1）1）2＋2 1－n2n＋2 1 ＝（n＋1）[（2（n＋n21＋）12）＋－1]（n2[n（2＋n＋1）1）2＋1] ＝[（n＋1）22＋n＋11]（n2＋1）， 由 n∈N*，得 an＋1－an>0，即 an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列．
整理得nn＋＋21≥1110.解得 n≥9.又 a9＝a10， ∴从第 1 项到第 9 项递增，从第 10 项起往后递减． (2)由(1)知 a9＝a10＝1101190最大．
【解析】 (1)是无穷递减数列(1n>n＋1 1)． (2)是无穷递增数列(项随着序号的增加而增大)． (3)是无穷数列，由于奇数项为正，偶数项为负，故为摆动数 列． (4)是有穷递增数列． (5)是无穷数列，也是摆动数列． (6)是无穷数列，且是常数列．
【思路分析】 因为 an＝(n＋1)(1110)n 是积幂式子的形式且 an>0，所以可用比商法比较 an 与 an－1 的大小．
【解析】
(1)令aan－n 1≥1(n≥2)，即（nn·＋（1）1110（）11n10－）1 n≥1.
整理得n＋n 1≥1110.解得 n≤10.
令aan＋n 1≥1，即（（nn＋＋21））（（11111010））n＋n1≥1.
【解析】 (5)是有穷数列； (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列； (2)是递增数列； (1)(4)是递减数列； (6)是摆动数列； (3)(5)是常数列．
题型二 数列的单调性 例 2 已知数列{an}的通项公式为 an＝n2n＋2 1.求证此数列为递 增数列．
【证明】 ∵an＋1－an＝（（n＋n＋1）1）2＋2 1－n2n＋2 1 ＝（n＋1）[（2（n＋n21＋）12）＋－1]（n2[n（2＋n＋1）1）2＋1] ＝[（n＋1）22＋n＋11]（n2＋1）， 由 n∈N*，得 an＋1－an>0，即 an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列．
整理得nn＋＋21≥1110.解得 n≥9.又 a9＝a10， ∴从第 1 项到第 9 项递增，从第 10 项起往后递减． (2)由(1)知 a9＝a10＝1101190最大．
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第一章 1.2 数列的函数特性
解法二:an=3n2-n,an+1=3(n+1)2-(n+1),则
+1 3(+1)2 -(+1) +1 3+2
=
=
×
>1.
2
3 -
3-1
又an>0,故an+1>an,即数列{an}是递增数列.
解法三:令 y=3x2-x,则函数的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为直线
1
1
2
x= <1,则函数 y=3x -x 在区间 , + ∞ 上单调递增,故数列{an}是递增数列.
使用作商比较法较方便.
≥ -1 ,
2.利用当n≥2时, ≥
确定n的取值范围,进而确定{an}的最大项,也
+1
是常用的解题方法.
2
【变式训练3】 在数列{an}中,an= 2 + 1 .判断数列{an}的增减性,并求最
小项.
2
2
解:∵an+1-an=
− 2
2
(+1) +1 +1
(3)若∃m,n∈N+,且m<n,使得am>an,则数列{an}不是递增数列.( √ )
(4)若数列{an},an=kn+b是递增数列,则k>0.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
数列增减性的判断
【例1】 已知数列{an}的通项公式为an=3n2-n,判断数列{an}的增减性.
分析
解法一:先写出an+1,通过比较an+1-an与0的大小判断{an}的增减性,解
(第4题)
1.1.2数列的函数特性(同步课件)高二数学(北师大版2019选择性必修第二册)
1.1.2数列的函数特性
温故知新 一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中
的每一个数叫作这个数列的项.数列一般形式可以写成
简记为数列 ，其中数列的第1项 也称首项；
是数列的第n项，也叫数列的通项.
引入新课 请看下面例子
新中国成立后，我国1952～1994年间部分年份进
出口贸易总额（亿美元）数据排成一数列：
[解析] ∵an＋1－an＝－4(n＋1)＋10－[－4n＋10]＝ －4<0.
∴an＋1<an，∴数列为递减数列．
1．数列的单调性
(1)单调性理解，数列是特殊的函数，特殊在于其定义域为正整
数集或它的子集．有些数列不存在单调性如an＝(－1)n或常数 数 列 ． 有 些 数 列 在 正 整 数 集 上 有 多 个 单 调 情 况 ， 如 an ＝ (n － 10)2在n∈{1,2，…，10}上单调递减．在n∈{10,11，…}单调 递增．有些数列在正整数集上单调性一定如an＝2n＋1. (2)判断方法：①比较an＋1与an的大小(即定义法)
(2)递推公式存在一定的弊端，不能直接写出指定的某一项的值， 有时需转化成通项公式，往往需运用归纳猜想或逻辑推理的方 法得到．
3．函数与数列的联系与区别
一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用 函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特 殊问题．
另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N＋或它
为递减数列；数列⑥称为常数列. 思考：你是否能归纳一下递增数列、递减数列、常数列的
概念呢？ 一般地，一个数列{an}，如果从第2项起,每一项都大
于它前面的一项，即an+1> an,那么这个数列叫作递增数列. 如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项，即
温故知新 一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中
的每一个数叫作这个数列的项.数列一般形式可以写成
简记为数列 ，其中数列的第1项 也称首项；
是数列的第n项，也叫数列的通项.
引入新课 请看下面例子
新中国成立后，我国1952～1994年间部分年份进
出口贸易总额（亿美元）数据排成一数列：
[解析] ∵an＋1－an＝－4(n＋1)＋10－[－4n＋10]＝ －4<0.
∴an＋1<an，∴数列为递减数列．
1．数列的单调性
(1)单调性理解，数列是特殊的函数，特殊在于其定义域为正整
数集或它的子集．有些数列不存在单调性如an＝(－1)n或常数 数 列 ． 有 些 数 列 在 正 整 数 集 上 有 多 个 单 调 情 况 ， 如 an ＝ (n － 10)2在n∈{1,2，…，10}上单调递减．在n∈{10,11，…}单调 递增．有些数列在正整数集上单调性一定如an＝2n＋1. (2)判断方法：①比较an＋1与an的大小(即定义法)
(2)递推公式存在一定的弊端，不能直接写出指定的某一项的值， 有时需转化成通项公式，往往需运用归纳猜想或逻辑推理的方 法得到．
3．函数与数列的联系与区别
一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用 函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特 殊问题．
另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N＋或它
为递减数列；数列⑥称为常数列. 思考：你是否能归纳一下递增数列、递减数列、常数列的
概念呢？ 一般地，一个数列{an}，如果从第2项起,每一项都大
于它前面的一项，即an+1> an,那么这个数列叫作递增数列. 如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项，即
数列数列含函数特性课件理
数列数列含函数特性课件理pptxx年xx月xx日CATALOGUE目录•数列的定义与分类•数列的应用场景•数列的表示方法与计算方法•数列的性质与特点•数列的相关定理与公式01数列的定义与分类数列是一组有序的数排列，具有一定的规律性。
数列的基本定义定义数列数列由项、项数、数列的项、数列的项数等构成。
构成要素可以用图示法、列表法和数学式子表示。
数列的表示方法1不同类型的数列介绍23根据项数的有限性分为有穷数列和无穷数列。
有穷数列和无穷数列根据数列项的增减性分为递增数列和递减数列。
递增数列和递减数列根据数列项的变化规律分为常数列和摆动数列。
常数列和摆动数列数列的函数特性数列中的项是孤立的，不是连续变化的。
离散性周期性无限性函数关系有些数列有一定的变化规律，可以看作一种周期函数。
数列的项数是无限的，至少是可数的。
数列可以看作一种特殊的函数，其定义域是正整数集或自然数集，值域是各项的值。
02数列的应用场景03期权定价模型在期权定价模型中，数列可以用于计算标的资产的收益率和波动率，为期权定价提供依据。
金融领域01利率计算数列常常被用于计算复利、折现等金融计算中，例如等比数列的求和公式被广泛应用于计算累计利息。
02投资组合优化在投资组合理论中，数列可以用于计算不同资产配置的期望收益率和方差，进而优化投资组合。
数列在物理学中被广泛应用于周期性现象的研究，例如波的传播、振动等。
物理学在化学中，数列可以用于研究化学反应速率、化学键能等。
化学在生态学中，数列可以用于研究种群数量变化、生物进化等。
生物学自然科学领域社会调查在社会调查中，数列可以用于对数据进行分类、统计和分析。
人口统计在人口统计学中，数列可以用于研究人口数量变化、人口结构等。
经济分析在经济分析中，数列可以用于研究经济增长、通货膨胀等经济指标的变化趋势。
社会科学领域在计算机科学中，数列可以用于数据结构的设计和分析，例如数组、链表等。
计算机科学密码学图像处理在密码学中，数列可以用于加密和解密算法的设计和分析。
《数列的函数特征》课件
有界性是指数列的项在一定范围内变化，不会无限增大或减小；周期性是指数列的项按照一定的周期重复出现； 对称性是指数列的项在正序和倒序时相同或呈现一定的对称关系。
02
等差数列
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列类型，其特点是任意两个相邻项 的差相等。
详细描述
等差数列是一种有序的数字序列，其中任意两个相邻项的差 是一个常数，这个常数被称为公差。在等差数列中，第一个 项和第二个项之间的差等于第二个项和第三个项之间的差， 以此类推。
$y=kx+b$，其中$k$和$b$为常数， $k neq 0$。
数列与一次函数的关联
实例
等差数列${ a_{n}}$，其中 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$，可以转化为 一次函数形式$y=dn+a_{1}-d$。
一次函数在数列中可以表示等差数列 ，其中$k$表示公差，$b$表示首项。
数列与二次函数的关系
一个数列，从第二项起，每一项与它 的前一项的比都等于同一个常数，这 个数列就叫做等比数列。
等比数列的表示方法
用符号“a_n”表示第n项的值，用符 号“q”表示公比，则等比数列的一般 形式可以表示为“a_n=a_1*q^(n1)”。
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式是“a_n=a_1*q^(n1)”，其中“a_1”是首项，“q”是公比， “n”是项数。
《数列的函数特征》ppt课件
目录
• 数列的定义与性质 • 等差数列 • 等比数列 • 数列的函数特征 • 数列与函数的关系
01
数列的定义与性质
数列的基本概念
总结词
数列是按照一定次序排列的一列数。
详细描述
02
等差数列
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列类型，其特点是任意两个相邻项 的差相等。
详细描述
等差数列是一种有序的数字序列，其中任意两个相邻项的差 是一个常数，这个常数被称为公差。在等差数列中，第一个 项和第二个项之间的差等于第二个项和第三个项之间的差， 以此类推。
$y=kx+b$，其中$k$和$b$为常数， $k neq 0$。
数列与一次函数的关联
实例
等差数列${ a_{n}}$，其中 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$，可以转化为 一次函数形式$y=dn+a_{1}-d$。
一次函数在数列中可以表示等差数列 ，其中$k$表示公差，$b$表示首项。
数列与二次函数的关系
一个数列，从第二项起，每一项与它 的前一项的比都等于同一个常数，这 个数列就叫做等比数列。
等比数列的表示方法
用符号“a_n”表示第n项的值，用符 号“q”表示公比，则等比数列的一般 形式可以表示为“a_n=a_1*q^(n1)”。
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式是“a_n=a_1*q^(n1)”，其中“a_1”是首项，“q”是公比， “n”是项数。
《数列的函数特征》ppt课件
目录
• 数列的定义与性质 • 等差数列 • 等比数列 • 数列的函数特征 • 数列与函数的关系
01
数列的定义与性质
数列的基本概念
总结词
数列是按照一定次序排列的一列数。
详细描述
数列的函数特性PPT
§1.2 数列的函数特性
1．了解递增数列、递减数列、常数列概念． 2．掌握判断数列单调性的方法.
观察下列数列：
1）3，4，5，6，7，8，9
2）1, 1 , 1 , 1 , 357
3）100，100，100，…，100
名称
定义
表达式
递增数列 递减数列
常数列
从第2项起每一项都大于它前面的一项 an+1>an
1.下列叙述中正确的个数为( )
①数列{2}是常Biblioteka 列；√②数列{(-1)n·1 }是摆动数列；√
③数列{
n
n
}是递增数列；√
2n+1
④若数列{an}是递增数列，则数列{an·an+1}也是
递增数列.×
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【例3】已知函数
f (x)
x2 x2 1
，设
f (n) an (n N )
站号
1 2 345678
邮件剩余数 7 12 15 16 15 12 7 0
【例5】已知数列｛an｝的通项公式为an=3n2-28n。
（1）写出数列的第4项； 是，第7项
（2）-49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？ 68是否是？ 不是
（3）该数列中是否存在最小的项，若有，求出最小
项。
存在，第5项
1.课本第10页5，6题；
从第2项起每一项都小于它前面的一项 an+1<an
各项都相等
an+1=an
【例1】判断下列无穷数列的增减性。
（1）2，1，0，-1，…，3-n， …
(2) 1 , 2 , 3 ,, n , 2 3 4 n1
1．了解递增数列、递减数列、常数列概念． 2．掌握判断数列单调性的方法.
观察下列数列：
1）3，4，5，6，7，8，9
2）1, 1 , 1 , 1 , 357
3）100，100，100，…，100
名称
定义
表达式
递增数列 递减数列
常数列
从第2项起每一项都大于它前面的一项 an+1>an
1.下列叙述中正确的个数为( )
①数列{2}是常Biblioteka 列；√②数列{(-1)n·1 }是摆动数列；√
③数列{
n
n
}是递增数列；√
2n+1
④若数列{an}是递增数列，则数列{an·an+1}也是
递增数列.×
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【例3】已知函数
f (x)
x2 x2 1
，设
f (n) an (n N )
站号
1 2 345678
邮件剩余数 7 12 15 16 15 12 7 0
【例5】已知数列｛an｝的通项公式为an=3n2-28n。
（1）写出数列的第4项； 是，第7项
（2）-49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？ 68是否是？ 不是
（3）该数列中是否存在最小的项，若有，求出最小
项。
存在，第5项
1.课本第10页5，6题；
从第2项起每一项都小于它前面的一项 an+1<an
各项都相等
an+1=an
【例1】判断下列无穷数列的增减性。
（1）2，1，0，-1，…，3-n， …
(2) 1 , 2 , 3 ,, n , 2 3 4 n1
高中数学 第一部分 第一章 §1 1.2 数列的函数特性课件 北师大版必修5
(或
)，有无正整数解来判断．
n－ 97 4．已知数列{an}的通项公式为 an＝ (n∈N＋)，则在 n－ 98 数列{an}的前 30 项中，最大项和最小项分别是( A．a30，a1 C．a10，a9 B．a1，a30 D．a10，a30 )
解析：由于数列中的项是函数 an＝f(n)图 像上的一些孤立的点， 用图像可以反映数 98－ 97 列的构成规律， 且 an＝1＋ ，故 n－ 98 可作出图像．显然 a9 最小，a10 最大．
1．数列是一个特殊的函数，因此，与函数一样，数列
也可以用图像、列表等方法来表示．数列的图像是一群孤 立的点． 2．数列象函数一样，有些具备单调性，有些不具备 单调性．判断数列的增减性主要有两种方法：
(1)图像法：利用数列的函数图像的升、降趋势进行判
断． (2)定义法：根据相邻两项an，an＋1的大小关系来判断.
数列的图像可直观地反映数列各项的变
化趋势，从而判断数列的增减性．
1． 根据下面 3 个数列的通项公式， 分别作出它们的图像， 并判断它们是递增数列还是递减数列． －1 n 2n (1)an＝－ ；(2)bn＝ ；(3)cn＝ n . 4 3
n
解：(1)图像如图(1)，由图像知数列{an}为递减数列． (2)图像如图(2)，由图像知数列{bn}为递增数列． (3)图像如图(3)，由图像观察表示数列{cn}的各点在横轴上、 下摆动，它不是递增数列，也不是递减数列．
①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列；
②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．
(2)利用作商比较法： ①若 an＞0，则 an＋1 当 a ＞1 时，数列{an}是递增数列； n an＋1 当 a ＜1 时，数列{an}是递减数列； n an＋1 当 a ＝1 时，数列{an}是常数列． n
高中数学北师大版必修5《第1章11.2数列的函数特性》课件
数学北师大版 高中数学
1.2
数列的函数 特性
学习目标
核心素养
1.了解递增数列、递减数列、常数列的 1.通过数列的函数性质的学
概念． 习培养数学抽象的核心素养．
2．掌握判断数列增减性的方法．(重点) 2．借助数列单调性的研究培
3．利用数列的增减性求最大值、最小 养学生的逻辑推理的素养.
值．(难点、易混令aan－n 1＞1(n≥2)， 即nn＋·11110·n11－101 n＞1，整理得n＋n 1＞1110，解得 n＜10. 令aan＋n 1＞1，即nn＋＋21··11111010n＋n 1＞1，
25
整理得nn＋＋12＞1110，解得 n＞9. 所以数列{an}从第 1 项到第 9 项递增，从第 10 项起递减，即数列 {an}先增后减． (2)由(1)知 a9＝a10＝1101190为最大值．
13
法一：(作差法)an＋1－an＝3nn＋＋14－3nn＋1 ＝n＋13n3＋n＋413－n＋n13n＋4 ＝3n＋413n＋1， ∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即 an＋1>an， ∴数列3nn＋1为递增数列．
14
法二：(作商法)∵n∈N＋，∴an>0. n＋1
∵aan＋n 1＝3nn＋4＝n＋31n＋34n＋n 1＝3n32n＋2＋4n4＋n 1＝1＋3n2＋1 4n>1， 3n＋1
A．an＝2n
B．an＝n2
C．an＝13n
D．an＝log2n
(2)若an＝n2＋bn是单调递增数列，则实数b的取值范围是
________．
19
(1)C (2)(－3，＋∞) [(1)由于函数 f(x)＝13x 是减函数，故数列 an＝13n 是递减数列，选 C．
1.2
数列的函数 特性
学习目标
核心素养
1.了解递增数列、递减数列、常数列的 1.通过数列的函数性质的学
概念． 习培养数学抽象的核心素养．
2．掌握判断数列增减性的方法．(重点) 2．借助数列单调性的研究培
3．利用数列的增减性求最大值、最小 养学生的逻辑推理的素养.
值．(难点、易混令aan－n 1＞1(n≥2)， 即nn＋·11110·n11－101 n＞1，整理得n＋n 1＞1110，解得 n＜10. 令aan＋n 1＞1，即nn＋＋21··11111010n＋n 1＞1，
25
整理得nn＋＋12＞1110，解得 n＞9. 所以数列{an}从第 1 项到第 9 项递增，从第 10 项起递减，即数列 {an}先增后减． (2)由(1)知 a9＝a10＝1101190为最大值．
13
法一：(作差法)an＋1－an＝3nn＋＋14－3nn＋1 ＝n＋13n3＋n＋413－n＋n13n＋4 ＝3n＋413n＋1， ∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即 an＋1>an， ∴数列3nn＋1为递增数列．
14
法二：(作商法)∵n∈N＋，∴an>0. n＋1
∵aan＋n 1＝3nn＋4＝n＋31n＋34n＋n 1＝3n32n＋2＋4n4＋n 1＝1＋3n2＋1 4n>1， 3n＋1
A．an＝2n
B．an＝n2
C．an＝13n
D．an＝log2n
(2)若an＝n2＋bn是单调递增数列，则实数b的取值范围是
________．
19
(1)C (2)(－3，＋∞) [(1)由于函数 f(x)＝13x 是减函数，故数列 an＝13n 是递减数列，选 C．
高中数学北师大版必修5课件：1.1.2数列的函数特性
������ (2) 证明 ������+1 ������������
=
(������+1)2 +1-(������+1) ������2 +1-������
=
������2 +1+������ (������+1) +1+(������+1)
2
<1.
∵an>0,∴an+1<an. ∴数列{an}是递减数列.
9 2 ������4 105 + . 8
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
判断数列的单调性
2 3 4 【例1】 写出数列1 , , , , … 的通项公式, 并判断它的增减性. 3 5 7 分析:观察得到数列的通项公式,用作差法判断an与an+1之间的大 小关系.
解 :题中数列的通项公式为 an=
∵an+1-an= 2������+1 − 2������-1 = ∴an+1<an, ∴数列{an}是递减数列.
【做一做1】 已知数列{an},an=n+1,则数列{an}是( ). A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 解析:∵an+1-an=[(n+1)+1]-(n+1)=1>0, ∴{an}为递增数列. 答案:A 【做一做2】 数列{-2n2+9n+3}中的最大项为 . 解析:由题意知an 因为n为正整数,所以当n取2时,an取到最大值,为13. 故数列{-2n2+9n+3}的最大项为a2=13. 答案:13 =-2n2+9n+3= -2
高中数学北师大版必修五《1.2数列的函数特性》课件
本节课通过六个方面学习了数列的函数特性，我们利用函 数的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁， 揭示了数列和函数它们间的内在联系，通过数列与函数知识 的相互交汇，把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中， 渗透了函数与方程、数形结合的数学思想；从而有效地解决 数列问题。同时也看到函数与数列由于定义域的不同解题方 法有本质的不同，使我们的视野拓宽了，解题能力和思维能 力得到了不断发展与提高。
二、以函数概念为载体，合理消化数列问题
设计意图：通过对数列中的通项公式，前 n 项和公式等这些特殊函数关系的 概念的理解与分析，充分认识 an 与 n ，Sn 与 n 之间的对应关系，从而合理地找到 解决问题的办法。
三、以函数图象为工具，直观简化数列问题
设计意图：函数图象是函数特征的直观体现，利用图象解决数学问题 （以形助数）是我们在解决问题中经常采用的手段。在数列中，我们可 以利用等差数列通项公式、前n项和公式及等比数列的通项公式中展示 的图象关系来解决问题，常常会起到意想不到的效果。
(1)证明：设 的公比为 ,由题设条件设
①当时
，从而
②当时
，从而
由①，②知， 根据对数函数的性质知
（2）解：要使 有
成立，则
①
②
①当时
，从而
由此可知：不满足条件①，即不存在常数c>0，使结论成立
②当时
，若条件①成立，因
且
，故只能有
即
此时，
但
时，
不满足条件②，即不存在常数c>0,使结论成立. 综合①②,即不存在常数c>0,使结论成立.
五、以构造函数为途径，奇妙转化数列问题
构造函数解决数学问题是函数思想中的中心所在，其实 质是把所求问题转化为以函数背景的问题，再利用函数的有 关概念、图象、性质来帮助解决，这样有利于培养学生的数 学思想方法与解题能力。
二、以函数概念为载体，合理消化数列问题
设计意图：通过对数列中的通项公式，前 n 项和公式等这些特殊函数关系的 概念的理解与分析，充分认识 an 与 n ，Sn 与 n 之间的对应关系，从而合理地找到 解决问题的办法。
三、以函数图象为工具，直观简化数列问题
设计意图：函数图象是函数特征的直观体现，利用图象解决数学问题 （以形助数）是我们在解决问题中经常采用的手段。在数列中，我们可 以利用等差数列通项公式、前n项和公式及等比数列的通项公式中展示 的图象关系来解决问题，常常会起到意想不到的效果。
(1)证明：设 的公比为 ,由题设条件设
①当时
，从而
②当时
，从而
由①，②知， 根据对数函数的性质知
（2）解：要使 有
成立，则
①
②
①当时
，从而
由此可知：不满足条件①，即不存在常数c>0，使结论成立
②当时
，若条件①成立，因
且
，故只能有
即
此时，
但
时，
不满足条件②，即不存在常数c>0,使结论成立. 综合①②,即不存在常数c>0,使结论成立.
五、以构造函数为途径，奇妙转化数列问题
构造函数解决数学问题是函数思想中的中心所在，其实 质是把所求问题转化为以函数背景的问题，再利用函数的有 关概念、图象、性质来帮助解决，这样有利于培养学生的数 学思想方法与解题能力。
北师版选择性必修第二册1.1.2数列的函数特性【课件】
10 11
9
＝
1010 119
.
方法归纳
1．数列{an}中，若存在m∈N＋，对任意n∈N＋都有am≥an恒成立， 则am为数列{an}中的最大项；若存在t∈N＋，对任意n∈N＋都有at≤an 恒成立，则at为数列{an}中的最小项.
2．求数列的最大(小)项，其实质就是求相应函数的最大(小)值，但 要注意数列中的n∈N＋.
判断数列增减性的方法
(1)根据给出的通项公式画出图象，观察图象的变化趋势； (2)作差法：用数列的后一项减去前一项，an－an－1(n≥2，n∈N＋)或 an＋1－an，若结果为正，则是递增数列，若结果为负，则是递减数列； (3)作商法：在确定an为正或为负的情况下，作商，比较商值与1的关 系，从而确定数列的单调性； (4)借助数列通项公式对应函数的单调性进行判断.
1．2 数列的函数特性
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点] 要点一 数列与函数 可以把一个数列视作定义在__正__整__数__集(或其子集)上的函数，因此 可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点 的坐标为__(k_，__a_k)__，k＝1，2，3，….
跟踪训练2 已知数列{an}的通项公式an＝n2n+1(n∈N＋)，试判断该数 列的增减性，并说明理由．
解析：{an}为递减数列，理由如下：
an＋1－an＝
n+1 n+1 2+1
− n2n+1＝
n+1
n2+1 −n n+1 2+1
n+1 n2+1
2+1
＝
−n2−n+1 n+1 2+1 n2+1
高中数学 112 数列的函数特性课件 新人教版必修5
D．4
第十一页，共33页。
解析：an＝n2－5n＋4＝n－522－94，所以其图像的对称轴为 直线 n＝2.5，由图像性质可知 n＝2 或 n＝3 时数列有最小项．
答案：C
第十二页，共33页。
4．给定函数 y＝f(x)的图像在下列图中，并且对任意 a1∈ (0,1)，由关系式 an＋1＝f(an)得到数列{an}满足 an＋1>an(n∈N＋)， 则该函数的图像是( )
B．单调递增数列
C．摆动数列
D．常数列
第七页，共33页。
解析：∵an＋1－an＝3>0，即 an＋1>an， ∴数列{an}是单调递增数列，故选 B. 答案：B
第八页，共33页。
2．若数列{an}满足 an＋1＝12an，a1＝2，则 an＋1 与 an 大小相
比，( )
A．an＋1>an
B．an＋1<an
(1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{an}是递减数列．
第三十一页，共33页。
解：(1)解：∵f(x)＝2x－2－x， ∴f(log2an)＝2log2an－2－log2an＝an－a1n＝－2n， ∴a2n＋2nan－1＝0，∴an＝－2n±24n2＋4， 又∵an>0，∴an＝ n2＋1－n.
答案：C
第十九页，共33页。
二、填空题(每小题 6 分，共 18 分) 7．已知数列{an}满足 a1＝0，a2＝1，a3＝2，an＋3＝an(n∈N ＋)，则 a2012 等于________．
第二十页，共33页。
解析：由题意可知此数列是以 3 为周期的周期数列，2012 被 3 除余数是 2，故 a2012＝a2＝1.
C．an＋1＝an
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工具
第一章 数列
栏目导引
1 已知函数 f(x)＝x－x .数列{an}满足 f(an)＝－2n，且 an＞ 0. (1)求数列{an}的通项公式． (2)判断数列{an}的增减性．
先将条件看作：关于an的方程，通过解方程求出an，再用作 差法或作商法判断增减性．
工具
第一章 数列
栏目导引
[解题过程]
工具
第一章 数列
栏目导引
[题后感悟]
(1)对于正项数列的单调性判断除利用作差
an＋1 an＋1－an 来研究外，还可以利用 a 与 1 的大小来判断． n (2)若求一数列中最大项
an≥an＋1 an，只需满足 an≥an－1
求出 n
值，求最小项
an≤an＋1 an，只需满足 an≤an－1
求出 n 值.
工具
第一章 数列
栏目导引
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则(1)数列中 有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解析： (1)an＝n
2
52 9 －5n＋4＝n－2 － ， 4
当 n＝2,3 时，an＜0. ∴数列中有两项是负数．
10 n＋111n an 令 ≥1，即 ≥1， 10 an＋1 n＋211n＋1
工具
第一章 数列
栏目导引
n＋1 10 整理得 ≥ .解得 n≥9， n＋2 11 当 n＝9 时取等号． 所以从第 1 项到第 9 项递增，从第 10 项起递减． 所以数列{an}有最大项，最大项为第 9、10 项， 1010 即 a9＝a10＝ 9 . 11
1010 且 a9＝a10＝ 119 .
，解得 9≤k≤10.
又 k∈N＋， ∴数列{an }中存在的最大项是第 9 项和第 10 项．
工具
第一章 数列
栏目导引
10 n＋111n an 方法三：令 ≥1(n≥2)，即 10 ≥1， an－1 － n11 n 1
n＋1 11 整理，得 n ≥10，解得 2≤n≤10， 当 n＝10 时取等号．
工具
第一章 数列
栏目导引
1．数列的单调性
(1) 单调性理解，数列是特殊的函数，特殊在于其定义域为
由n∈N＋，得an＋1－an＞0，即an＋1＞an， ∴数列{an}是递增数列．
工具
第一章 数列
栏目导引
已知数列{an}的通项公式为
10 an＝(n＋1)11n(n∈N＋)，试
问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明 理由．
工具
第一章 数列
栏目导引
[策略点睛]
工具
工具
第一章 数列
栏目导引
cn＋1 cn 解析： an＋1－an＝ － bn＋1＋1 bn＋1 c ＝ ＞0， bn＋b＋1bn＋1 ∴an＋1＞an.
答案： an＋1＞an
工具
第一章 数列
栏目导引
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝ n2＋1，证明数列 {an}为递增数列．
证明： ∵an＝ n2＋1，∴an＋1＝ n＋12＋1， ∴an＋1－an＝ n＋12－1－ n2＋1 2n＋1 ＝ ＞0. 2 2 n＋1 ＋1＋ n ＋1 ∴an＋1＞an，∴数列{an}为递增数列．
图像：
由图像知，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，所以 是递增数列．
工具
第一章 数列
栏目导引
[题后感悟]
(1)数列的表示方法有列表法、图像法、解析法，
这同函数的表示方法相一致． (2)利用图像可直观判断数列的增减性．
工具
第一章 数列
栏目导引
1．把数列{n2－9n}用列表法表示出来，并在直角坐标系中
画出它的图像，并根据图像指出它的增减性． 解析： 列表
n an 1 －8 2 －14 3 －18 4 －20 5 －20 6 －18 7 －14 8 －8 „ „ k k2－9k „ „
工具
第一章 数列
栏目导引
图像
由图像直观地看出它在{1,2,3,4}是递减的，在{5,6,7,8，„}
上是递增的．
第一章 数列
栏目导引
[规范作答] 方法一：因为 an＋1－an 10 ＋ 10 n 1 ＝(n＋2)11 －(n＋1)11 n 10 9－n ＝11n·11 ， 当 n＜9 时，an＋1－an＞0，即 an＋1＞an； 当 n＝9 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n＞9 时，an＋1－an＜0，即 an＋1＜an；
，相应的项为 纵标 描 点 画 图 ， 其 图 像 是 相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一群孤立的点．
横标 (2) 从 函 数 的 观 点 看 ， 数 列 的 表 示 方 法 有
列表法、图像法、解析法．
工具
第一章 数列
栏目导引
2．数列的函数特性 一个数列{an}，如果从第 第二项 二项 起，每一项都 大于
工具
第一章 数列
栏目导引
n＋1＋n ＝ －1 2 2 n＋1 ＋1＋ n ＋1 显然 n＋12＋1＞n＋1， n2＋1＞n. n＋1＋n ∴ ＜1 2 2 n＋1 ＋1＋ n ＋1 ∴an＋1－an＜0，即 an＋1＜an. ∴数列{an}是递减数列．
工具
第一章 数列
栏目导引
方法二：(作商法) ∵an＞0， an＋1 n＋12＋1－n＋1 ∴ ＝ an n2＋1－n ＝ [ n＋12＋1－n＋1] n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1] n2＋1－n n2＋1＋n[ n＋12＋1＋n＋1] n2＋1＋n ＝ ＜1 2 n＋1 ＋1＋n＋1 ∴an＋1＜an.∴数列{an}是递减数列．
(2)a1＝3，an＋1＝3an(n∈N＋)．
根据递推公式写出前4项，再由这4项寻找规律，归纳出通
项公式．
工具
第一章 数列
栏目导引
[解题过程] (1)由递推关系，得a1＝0＝02，
a2＝a1＋(2×1－1)＝1＝12，
a3＝a2＋(2×2－1)＝4＝22，
a4＝a3＋(2×3－1)＝9＝32. 观察前4项，可归纳出an＝(n－1)2. (2)由递推关系式，得 a1＝3＝31，a2＝3a1＝9＝32， a3＝3a2＝27＝33，a4＝3a3＝81＝34. 观察前4项，可归纳出an＝3n.
1．2 数列的函数特性
工具
第一章 数列
栏目导引
1．了解数列的几种简单的表示方法(列表、图像、通项公 式)．
2．了解递增数列、递减数列、常数列的概念．
3．掌握判断数列增减性的方法．
工具
第一章 数列
栏目导引
1．判断数列的增减性(重点)
2．利用数列的增减性求最大、最小项(难点)
3．三种考查方式均有可能出现，属中档题.
工具
栏目导引
第一章 数列
[题后感悟] 数列{an}增减性的判定方法：
(1)作差比较法
①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列． (2)作商比较法
an＋1 an＋1 an ＞1 an ＜1 递增数列 递减数列 递减数列 递增数列
工具
第一章 数列
栏目导引
工具
第一章 数列
栏目导引
把正奇数按从小到大的顺序构成的数列1,3,5,7，„用列表法 表示出来，并在直角坐标系中画出它的图像，根据图像指出它 的增减性．
先列表，描点得到图像，再观察图像得到数列的增减性．
工具
第一章 数列
栏目导引
[解题过程] 列表 n an 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9 „ „ k 2k－1 „ „
1 (1)∵f(x)＝x－x ，f(an)＝－2n.
1 ∴an－ ＝－2n.即 an2＋2nan－1＝0， an 解得 an＝－n± n2＋1， ∵an＞0，∴an＝ n2＋1－n.
(2)方法一(作差法)： ∵an＋1－an＝ n＋12＋1－(n＋1)－( n2＋1－n) ＝ n＋12＋1－ n2＋1－1 [ n＋12＋1－ n2＋1][ n＋12＋1＋ n2＋1] ＝ －1 2 2 n＋1 ＋1＋ n ＋1
工具
第一章 数列
栏目导引Biblioteka 工具第一章 数列栏目导引
1 1 1 1 1．若数列{an}的前 4 项分别为－2，6，－12，20，则其 －1n 一个通项公式为 an＝ . nn＋1 2．若{an}的通项公式 an＝3n－1，则 an＋1＝3n＋2，an＋1 －an＝3，an 与 an＋1 的大小关系为 an＋1＞an. 3． 对于函数 f(x)， 若对于定义域内任意 x1＜x2， 总有 f(x1) ＜f(x2)成立，则称 f(x)是单调递增函数．
第一章 数列
an＞0 an＜0
工具
an＋1 an ＝1 常数列 常数列
栏目导引
n2 2．已知数列{an}的通项公式为 an＝ 2 .求证此数列为 n ＋1 递增数列．
n＋12 n2 证明： ∵an＋1－an＝ － 2 2 n＋1 ＋1 n ＋1 n＋12n2＋1－n2[n＋12＋1] ＝ [n＋12＋1]n2＋1 2n＋1 ＝ . 2 2 [n＋1 ＋1]n ＋1
工具
第一章 数列
栏目导引
4．数列也可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集
{1,2,3，„，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数
对应的一列函数值就构成一个数列．
工具
第一章 数列
栏目导引
1．数列的表示方法 (1) 数 列 可 用 图 像 来 表 示 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 以 序 号 为