第三章刚体力学基础
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第3章刚体力学基础
描述质点系转动的动力学方程
z
取惯性坐标系
dt
oxyz
刚体所受的对
转轴的力矩
x
o
M r F
定义：在垂直于转轴的平 面轴内的,距外离力dF的与乘力积线到转
y z轴为固定转轴
z
M
F
F F
r
垂直转轴的外力分量产生沿
d
转轴方向的力矩, 平行于转
轴的外力分量产生的力矩被
轴承支承力的力矩所抵消
一 、作用于定轴刚体的合外力矩
相对于定轴的合外力矩
（力对转轴的力矩）
M z M iz ri Fi sin i
i
i
即作用在各质元的 力矩的 z 分量之和
二、刚体定轴转动定理
由于刚体只能绕 z 轴转动, 引起转动的力矩只有z方向,
因此转动动力学方程
Mz
dLz dt
dL M
dt
Li
Ri
m
i
v
i
oo ri
mi vi
解：
z
J z mi ri2
i
m i
x
2 i
y
2 i
i
Jy Jx
x
o
yi
ri
m
x
i
i
y
例 均质圆盘：m, R . 求以直径为轴的转动惯量 解：
J 1 mR2 4
例3-6（P181） 挂钟摆锤的转动惯量
解：
o
m1 l
J
1 3
m1l 2
1 2
m2 R2
m2 l
R2
m2 R
例 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半 径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）
第3章 刚体力学
说明 ( 1)
M J , 与 M 方向相同．
(2) 为瞬时关系． (3) 转动中 M J 与平动中 F ma 地位相同．
第三章 刚体力学
如果刚体所受合力为零，同时 合力矩为零， 好，现在我们可以问一个问题： Fi 0 , Mi 0 则刚体会做什么样的运动？
R
2
dm m R
R
r
dr
一质量为m、半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心O并与 盘面垂直的轴的转动惯量。 解：设盘质量面密度为 ,在盘上取半径为r,宽为dr的圆环
m π R2
R 2 0
dm 2 π rdr
3
J r dm
R
0
1 2 π R mR 2πσr dr 2 2
v v0 at 2 x x0 v0t 1 at 2 2 2 v v0 2a( x x0 )
ω ω0 βt θ θ 0 ω 0 t 12 β t 2 ω 2 ω 02 2 β ( θ θ 0 )
第三章 刚体力学
z
重要
刚体定轴转动的特点 O
第三章 刚体力学
5. 角速度正负的判断
0
0
逆时钟转动
顺时钟转动
第三章 刚体力学 （2）角量和线量的关系
z
s r
v r
an r 2
O
at r
dv d(r ) at r dt dt
（3）角量与线量的公式比较
x
质点匀变速直线运动
刚体绕定轴作匀变速转动
平 动 刚体：外力作用下形状和大小都不发生变化的物体。 转 动 二、刚体的运动形式 ［实例］
理论力学第三章刚体力学
d dt
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
刚体和流体
y
角动量的方向: 位矢和动量的矢积方向. 特例: 如果质点绕参考点O作圆周运动
v p
O
L = r p = mv r
注意: 1.角动量与所取的惯性系有关. 2.角动量与参考点O的位置有关.
v r
第三章 刚体力学基础
质点对定轴的角动量
v v v v v L = r × p = r × mv
L = mvr = mr 2ω = Jω
(原点O在棒的左端点)
第三章 刚体力学基础
例题2: 一质量为m, 半径为R的均匀圆盘, 求通过盘中心并与 盘面垂直的轴的转动惯量. 解: dm = σdS = σ 2 π rdr
J = ∫ r dm = 2 πσ ∫ r dr
2
3
J = 2πσ ∫ r dr
3
R
R
r O
dr
πσ R 1 2 = = mR 2 2
v v v 加速度: 合外力矩: M z = ∑ ri × Fi v v v v v M z = ∑ ∆mi ri × aiτ + ∑ ∆mi ri × ain
v第三章v刚体力学基础 v ai = aiτ + ain
v 2 v v v v v 其中: ri × ain = 0 ri × aiτ = ri aiτ sin 90°k = ri β k v v 2 M z = ∑ ∆mi ri β 转动惯量 J v v 转动定律: M z = Jβ
θ ( rad) 角位移: ∆θ , dθ dθ −1 ( rad ⋅ s ) 方向右旋 ω= dt v
第三章 刚体力学基础
线速度与角速度之间的关系
r v v v dv d ω v v dr a= = ×r +ω× dt dt dt v 2 v = β reτ + ω ren
大学物理第三章刚体力学基础习题答案
方向竖直向下
3-15 由角动量守恒得
mul J mvl 1 1 2 1 2 2 mu m v J 因弹性碰撞，系统机械能守恒： 2 2 2 1 1 2 2 又： J M 2l Ml 12 3 6mu M 3m u 联立可得： v M 3m l M 3m
2 2 2 1 mv l [m( l ) M l 2 ] 3 3 3
o
2 l 3
6mv (4m 3M ) l
v
m
A
3-9 电风扇在开启电源后，经过t1时间到达了额定 转速，此时相应的角速度为 0。当关闭电源后，经 过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为 J， 并假定摩擦力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据 已知量推算电机的电磁力矩。 解： 设电机的电磁力矩为M，摩擦力矩为Mf
1
0
t1
3-9 (1)
mg T ma
T mg sin 30 ma
g 2 a m/s 4
方向竖直向下
T2 N 2
mg
(2)
mg T1 ma
T2 mg sin 300 ma
T1r T2r J
a r
T1
1
mg
J k m r2
g 联立求解得： a 22 k
质点运动 m 质 量 力 F 刚体定轴转动 2 J r 转动惯量 m dm 力矩 M Fr sin
dp dL F m a F 第二定律 转动定律 M J M dt dt p mv 动 量 角动量 L J t t2 动量定理 t Fdt mv2 mv1 角动量定理 t Mdt J 2 J1 1 动量守恒 F 0, mv 恒矢量 角动量守恒 M 0, J 恒矢量 力矩的功 W Md 力 的 功 W F dr
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
刚体力学基础第三章
二、转动惯量J
对分立的质点系： J miri2
i
对刚体： 质量是连续分布
J r2dm
r 2dl 线分布，为线密度
J r 2ds 面分布，为面密度 r 2 dV 体分布，为体密度
z
dm
r
讨论
J r2dm
（1）转动惯量的物理意义：J表示刚体转动时惯性的大小
（2）转动惯量J的大小决定于
r 3dr
1 2
mR2
m
R 2
J
常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
§3 刚体定轴转动定律
一、 力矩
使物体转动，必须给定一 个作用力，另外考虑转动与力 的作用点以及作用力的方向有 关，因此在研究物体转动中引
入力矩这一物理量。 （1）若刚体所受力 F在转动平面内
z
Od r
F
F
P
力臂：rsin = d 表示转轴到力作用线的垂直距离。
m
2(2
m
1
+
m
2
m 1+m 2
+
m
2
)g
T1
a m1 m1g T2 a m2 m2g
§4 力矩的功 动能定理
一、力矩的功
刚体在合外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时
d，A则力F矩 d对r刚体F作d了r功co。s F cos(900 )ds
F sin rd
Md
z
O d
dr
F
r P
元功：力矩对质点(或刚体)所作的 元功等于力矩和角位移的乘积
盘）。如A下降，B与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ，
绳与滑轮之间无相对滑动，试求系统的加速度及绳中的
张力FT1和FT2。 受力分析 FT1
刚体力学基础
0
0t
1 t2
2
2
2 01 刚体 刚体定轴转动的描述
四、绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度
线速度大小与 角速度大小的关系
v r
at
dv dt
r
z
a an r
at ve t
an
v2 r
2r a
ret
r 2en
第三章 刚体力学基础
3-1 刚体 刚体定轴转动的描述 3-2 刚体定轴转动的转动定律 3-3 刚体定轴转动的动能定理 3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守 恒定律
教学基本要求
一 理解刚体绕定轴转动的角速度和角加速 度的概念，理解角量与线量的关系。
二 理解力矩和转动惯量的概念，能应用 平行轴定理和转动惯量的可加性，计算刚体对定 轴的转动惯量。
O
F ri
Fii
i
i
ie
mi
Fie sini Fii sin i miait miri
以 ri 乘上式两边
Fieri sin i Fiiri sin i miri2
rad s1
62.8
rad s1
角位移 0 2πN 2π 10 rad 62.8 rad
角加速度
2 02
0 62.82
rad s2 31.4 rad s2
2 0 2 62.8
制动过程的时间
t
0
0 62.8 31.4
法向加速度
an r 2 0.5 3.142 m s2 493 m s2
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
理论力学周衍柏第三章
一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用 效果，F与F’等效。 注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
第三章 刚体力学
于原力，该力偶矩等于原力对o点之矩。 说明：该力和力偶矩对刚体的作用与原力等效。
(5) 空间力系向一点简化 力系中每一个力都向简化中心简化得一力和力偶矩， 这些共点力和诸力偶矩可合成为一个单力和一个单 力偶矩，其作用与原力系等效。
结论：作用在刚体上的任意空间力系 F1 , F2 ......Fn ) （
l sin 0 cos 0 f N2 h l sin 0 cos2 0
2
B C
l
说明：也可用二矩式和三矩式 平衡条件求解
l
A
例2：相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根 绳子上，求两球同时又支撑一个等重的均质球，求: 角与 角之间的关系。 解：(1) 本题需求角与 角的关系，
①力偶矩等于力偶中两力对任意一点力矩的矢量 和，故力偶矩的量值与取矩点无关。
证明：o点任取
M o rA F1 rB F2 (rA rB ) F1 rAB F 1 M o
结论：力偶矩是自由矢量 力的作用面不能随意移动。
2
mxc Fx 即： myc Fy mzc Fz
①
由对质心的动量矩定理(平动质心系中)： dJ cx dt M cx dJ c M c 即： dJ cy dt M cy dt dJ cz dt M cz
B C
l
l
A
(3) 本题为平面力系的平衡问题
平衡条件：Fx 0, Fy 0, M z 0
Fx 0 f N1 cos 90 0 0 f N1 sin 0 Fy 0 N 2 N1 sin 90 0 P 0 N 2 P N1 cos 0 M 0 Pl cos N h N Pl sin cos / h 0 1 1 0 0 Az sin 0
(5) 空间力系向一点简化 力系中每一个力都向简化中心简化得一力和力偶矩， 这些共点力和诸力偶矩可合成为一个单力和一个单 力偶矩，其作用与原力系等效。
结论：作用在刚体上的任意空间力系 F1 , F2 ......Fn ) （
l sin 0 cos 0 f N2 h l sin 0 cos2 0
2
B C
l
说明：也可用二矩式和三矩式 平衡条件求解
l
A
例2：相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根 绳子上，求两球同时又支撑一个等重的均质球，求: 角与 角之间的关系。 解：(1) 本题需求角与 角的关系，
①力偶矩等于力偶中两力对任意一点力矩的矢量 和，故力偶矩的量值与取矩点无关。
证明：o点任取
M o rA F1 rB F2 (rA rB ) F1 rAB F 1 M o
结论：力偶矩是自由矢量 力的作用面不能随意移动。
2
mxc Fx 即： myc Fy mzc Fz
①
由对质心的动量矩定理(平动质心系中)： dJ cx dt M cx dJ c M c 即： dJ cy dt M cy dt dJ cz dt M cz
B C
l
l
A
(3) 本题为平面力系的平衡问题
平衡条件：Fx 0, Fy 0, M z 0
Fx 0 f N1 cos 90 0 0 f N1 sin 0 Fy 0 N 2 N1 sin 90 0 P 0 N 2 P N1 cos 0 M 0 Pl cos N h N Pl sin cos / h 0 1 1 0 0 Az sin 0
刚体力学基础
1).形状、大小相同时, m↑→J↑(决定于m); 2).m相同, m分布离轴越远,J越大(决定于m的分布); 3).同一刚体,转轴不同,J不同,(决定于转轴的位置).
3.计算
1).质量不连续分布 J＝ miri2 i
m1
r2
r1
其中ri为Δmi到转轴的垂直距离
J m1r12 m2r22 m3r32
4.均匀细棒可绕棒一端的垂直于棒的水平轴无摩擦转
动.若细棒竖直悬挂,现有一弹性小球水平飞来与细棒
发生完全非弹性碰撞,在碰撞过程中球、棒组成的系
统的动量是否守恒?对转轴的角动量是否守恒?机械能
是否守恒?
动量不守恒,角动量守恒,机械能不守恒.
质点与刚体碰撞组成的系统一般 情况下动量不守恒,而角动量守恒.
1.刚体角动量定理 M J J d
dt
M J J d
dt
2
Mdt Jd J2 J1
1
刚体所受合外力的冲量矩等于其角动量的增量
2.刚体角动量守恒定律
条件：M 0, J 常量
刚体所受合外力矩为零,则其角动量守恒.
注意:1).L=Jω=常量, J、ω可变但乘积不变;
2).M、L、ω均对同一转轴, M为合外力矩;
a1 a2 a
a R
J 1 m R2
2
a1
a2
a
(m2 m1 )g
m1
m2
1 2
m
T1
m1
2m2g m1 m2
1 2
mg 1m 2
T2
m2
2m1g m1 m2
1 mg 2 1m
2
注意:1.涉及滑轮转动,滑轮两端绳的张力不相等T1≠T2; 2.绳与滑轮无相对滑动, a=R α
大学物理教案-第3章 刚体力学基础
J —描述刚体的转动惯性，称之为转动惯量。
二、力矩的功
对于 i 质点，其受外力为 F i ，则
Wi Fi dsi Fi cos α i ridθ Fiτ ridθ
Mid 对 i 求和，当整个刚体转动 d ，则力矩
的元功
dW ( Mi )d Md
∴ 当刚体转过有限角时，力矩的功为
W 2 Md 1
对于单个质点 转动惯量
J mr2 ，
质点系 转动惯量
n
J miri2 ，式中 ri 为 i 质点到轴的矩离。 i 1
质量连续分布的刚体 转动惯量 I r2dm 。 m
2
大学物理学
大学物理简明教程教案
刚体的转动惯量与
刚体的质量的有关, 刚体的质量分布有关, 。
轴的位置有关。
三、转动定律的应用
三、刚体定轴转动的动能定理
Md
J
d dt
d
J
d dt
dt
J
d
d
1 2
J2
2 1
M
d
1 2
J22
1 2
J12
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
§3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
一、质点的角动量 角动量定理和角动量守恒定律（教材 P40 §2.4）
1、质点对固定点的角动量
ani ri 2
质点（a =常数）
v v0 at
x
x0
v0t
1 at 2 2
v2 v02 2ax x0
刚体（ ＝常数）
0 t
0
0
t
1
2
t2
2 02 2 0
1
大学物理学
第3章 刚体力学基础
刚体力学的基础知识包括刚体绕定轴转 动的动力学方程和动能定理，刚体绕定轴 转动的角动量定理及角动量守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
§3-1 刚体 刚体定轴转动的描述
dt
当输---出----功----率-----一----定----时----,-力----矩-----与----角----速----度-----成----反----比----。------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W
2 1
Md
2 1
Jd
2 1
J d d
dt
W
2 1
Jd
第3章 刚体力学基础
§3.1 刚体 刚体定轴转动的描述 §3.2 刚体定轴转动的转动定律 §3.3 刚体定轴转动的动能定理 §3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量 守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
➢刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速度) 相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度) 大小与质元到转轴的距离成正比 。
-------------------------------------------------------------------------------
§3-2 刚体定轴转动的转动定律
对滑轮 ， 由转动定律
T2R T1R J ④
由于绳不可伸长
aA aB R
⑤
J 1 mR2
刚体力学基础讲解
J 1 MR2 a R
2
R1
M1 M2
R2
T2
m1g T1 m1a1 T2 m2 g m2a2
T1R1 T2 R2 J
T1 mm1
m2 M2 g
J
1 2
M1R12
1 2
M 2R22
a1 R1
m1g
a2 R2
P.19/34
第3章 刚体力学基础
例3-6. 一质量为m，长为l 的均质
乘积定义为对转轴的力矩.
M r F
单位：N·m
M
r
F
大小: M Fr sin 方向: 右手螺旋
力矩的方向由右螺旋法则确定 3.2.2 定轴转动定律 转动惯量 1. 定轴转动定律 转动惯量
P.8/34
3.2.2 定轴转动定律 转动惯量 1. 定轴转动定律 转动惯量 把刚体看作一个特殊质点系
M
R
T1 Mg T2 mm1 m
m1g 2 m2g
m2 g T2 m2a T1 m1g m1a
T2 R T1R J
J 1 MR2 2
a R
N1
m1
T1
N2 MR
m1g
T2
Mg
m2
m2g
第3章 刚体力学基础
m2 g T2 m2a T1 m1a
T2R T1R J
定轴转动：转轴固定不动的 转动.
A
A
B
A
B
B
3.平面平行运动(plane-parallel
motion) 刚体在运动过程中，其上每
一点都在与某固定平面相平行 的平面内运动.自由度为3.
2
R1
M1 M2
R2
T2
m1g T1 m1a1 T2 m2 g m2a2
T1R1 T2 R2 J
T1 mm1
m2 M2 g
J
1 2
M1R12
1 2
M 2R22
a1 R1
m1g
a2 R2
P.19/34
第3章 刚体力学基础
例3-6. 一质量为m，长为l 的均质
乘积定义为对转轴的力矩.
M r F
单位：N·m
M
r
F
大小: M Fr sin 方向: 右手螺旋
力矩的方向由右螺旋法则确定 3.2.2 定轴转动定律 转动惯量 1. 定轴转动定律 转动惯量
P.8/34
3.2.2 定轴转动定律 转动惯量 1. 定轴转动定律 转动惯量 把刚体看作一个特殊质点系
M
R
T1 Mg T2 mm1 m
m1g 2 m2g
m2 g T2 m2a T1 m1g m1a
T2 R T1R J
J 1 MR2 2
a R
N1
m1
T1
N2 MR
m1g
T2
Mg
m2
m2g
第3章 刚体力学基础
m2 g T2 m2a T1 m1a
T2R T1R J
定轴转动：转轴固定不动的 转动.
A
A
B
A
B
B
3.平面平行运动(plane-parallel
motion) 刚体在运动过程中，其上每
一点都在与某固定平面相平行 的平面内运动.自由度为3.
第三章 刚体力学基础
J mi ri2
m1
r1
r2
m2
若质量连续分布
质量为线分布
J r dm
2
质量为面分布
质量为体分布
dm dl
为质量的线密度
dm ds
为质量的面密度
dm dV
为质量的体密度
线分布
面分布
体分布
注 意
只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才 用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。
0 x
d 角速度 dt 2 d d 角加速度 2 dt dt 由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周 运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法，此处全部 可用。
d
２) 刚体定轴转动角量与线量的关系 所有质点的角量都相同 ； 质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比 。
2
物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小 反映了改变刚体转动状态的难易程度。
2. 与转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布; ②转轴的位置; ③刚体的形状。 3. 转动惯量的计算 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质 点的质量与这一质点到转轴的距离平方的 乘积之和。 质量离散分布的刚体
ri
0
f ji
rj
rij
f ij
二、刚体定轴转动的转动定律
如右图所示：刚体绕定轴z转动，在 刚体上任取一质元mi ，它绕z轴作 圆周运动，取自然坐标系 对mi 用牛顿第二定律：
z
fi
Or i
Fi
i
mi
i
Fi f i mi ai
cos i f i cos i ) mi ain mi ri 2
m1
r1
r2
m2
若质量连续分布
质量为线分布
J r dm
2
质量为面分布
质量为体分布
dm dl
为质量的线密度
dm ds
为质量的面密度
dm dV
为质量的体密度
线分布
面分布
体分布
注 意
只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才 用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。
0 x
d 角速度 dt 2 d d 角加速度 2 dt dt 由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周 运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法，此处全部 可用。
d
２) 刚体定轴转动角量与线量的关系 所有质点的角量都相同 ； 质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比 。
2
物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小 反映了改变刚体转动状态的难易程度。
2. 与转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布; ②转轴的位置; ③刚体的形状。 3. 转动惯量的计算 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质 点的质量与这一质点到转轴的距离平方的 乘积之和。 质量离散分布的刚体
ri
0
f ji
rj
rij
f ij
二、刚体定轴转动的转动定律
如右图所示：刚体绕定轴z转动，在 刚体上任取一质元mi ，它绕z轴作 圆周运动，取自然坐标系 对mi 用牛顿第二定律：
z
fi
Or i
Fi
i
mi
i
Fi f i mi ai
cos i f i cos i ) mi ain mi ri 2
第三章 刚体力学基础 课后作业
第三章 刚体力学基础 课后作业班级 姓名 学号一、选择题1、一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A , 且向x 轴正方向移动，代表此简谐振动的旋转矢量为( )1、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：(1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；(2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零；(3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；(4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零．对上述说法下述判断正确的是( )(A ) 只有(1)是正确的 (B )(1)、(2)正确，(3)、(4)错误(C ) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误 (D )(1)、(2)、(3)、(4)都正确2、关于力矩有以下几种说法：(1) 对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会改变刚体的角加速度；(2) 一对作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零；(3) 质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的运动状态一定相同．对上述说法下述判断正确的是( )(A ) 只有(2)是正确的 (B ) (1)、(2)是正确的(C )(2)、(3)是正确的 (D ) (1)、(2)、(3)都是正确的3、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法正确的是( )(A ) 角速度从小到大，角加速度不变(B ) 角速度从小到大，角加速度从小到大(C ) 角速度从小到大，角加速度从大到小(D ) 角速度不变，角加速度为零4、 一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动，轴间摩擦不计．如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，它们同时射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘和子弹系统的角动量L以及圆盘的角速度ω的变化情况为( ) (A) L 不变，ω增大 (B) 两者均不变(C) L不变，ω减小 (D) 两者均不确定5、假设卫星环绕地球中心作椭圆运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的( )(A) 角动量守恒，动能守恒 (B) 角动量守恒，机械能守恒(C) 角动量不守恒，机械能守恒 (D) 角动量不守恒，动量也不守恒(Ｅ) 角动量守恒，动量也守恒二、填空题1、有甲、乙两个飞轮，甲是木制的，周围镶上铁制的轮缘。
第3章 刚体力学基础
3-7如图所示，长为 的均匀细杆水平地放置在桌面上，质心离桌边缘的距离为 ，从静止开始下落。已知杆与桌边缘之间的摩擦系数为 。试求：杆开始滑动时的临界角。
分析细杆滑动前以 点为轴在重力矩作用下转动，细杆质心做以 点为圆心的圆周运动，根据转动定律及质心运动定律即可求出 点摩擦力 与 角关系，细杆开始滑动的临界条件为 。
(1)
(2)
式中 为圆环对 轴的转动惯量，圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为 ，根据垂直轴定理
(3)
由（1）~（3）式解得
(4)
(5)
取小珠、环及地球为系统，在小珠下落过程中，外力做功为零，系统中又无非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。设小珠落至 、 处时，相对于环的速度分别为 、 ，则有
解无滑动时，杆绕过 点的固定轴做定轴转动，由转动定律有
(1)
由平行轴定理求细杆绕 点转动时的转动惯量
(2)
无滑动时，杆绕 点转动，杆上各点做圆周运动，对质心 ，由牛顿运动定律得
(3)
(4)
杆绕 点转动，只有重力作功，机械能守恒，有
得
(5)
将式（5）代入式（3），并利用式（2），得
(6)
将式（1）代入式（4），并利用式（2），得
分析滑块与细杆碰撞角动量守恒，由此求细杆转动的 ，此后，细杆受摩擦力矩作用转速逐渐减为零，由摩擦力矩，根据角动量定理即可求出时间 。
解（1）以杆和滑块为研究系统。由于碰撞时间极短，杆所受到的摩擦力矩远小于滑块的冲力矩，故可认为合外力矩为零，因此系统的角动量守恒，即
(1)
解得
（2）碰后杆在转动过程中所受的摩擦力矩为
第3章 刚体力学基础
一、目的与要求
1．确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质，并掌握角量与线量的关系。
分析细杆滑动前以 点为轴在重力矩作用下转动，细杆质心做以 点为圆心的圆周运动，根据转动定律及质心运动定律即可求出 点摩擦力 与 角关系，细杆开始滑动的临界条件为 。
(1)
(2)
式中 为圆环对 轴的转动惯量，圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为 ，根据垂直轴定理
(3)
由（1）~（3）式解得
(4)
(5)
取小珠、环及地球为系统，在小珠下落过程中，外力做功为零，系统中又无非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。设小珠落至 、 处时，相对于环的速度分别为 、 ，则有
解无滑动时，杆绕过 点的固定轴做定轴转动，由转动定律有
(1)
由平行轴定理求细杆绕 点转动时的转动惯量
(2)
无滑动时，杆绕 点转动，杆上各点做圆周运动，对质心 ，由牛顿运动定律得
(3)
(4)
杆绕 点转动，只有重力作功，机械能守恒，有
得
(5)
将式（5）代入式（3），并利用式（2），得
(6)
将式（1）代入式（4），并利用式（2），得
分析滑块与细杆碰撞角动量守恒，由此求细杆转动的 ，此后，细杆受摩擦力矩作用转速逐渐减为零，由摩擦力矩，根据角动量定理即可求出时间 。
解（1）以杆和滑块为研究系统。由于碰撞时间极短，杆所受到的摩擦力矩远小于滑块的冲力矩，故可认为合外力矩为零，因此系统的角动量守恒，即
(1)
解得
（2）碰后杆在转动过程中所受的摩擦力矩为
第3章 刚体力学基础
一、目的与要求
1．确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质，并掌握角量与线量的关系。
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（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。z
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
O d
rf
P
f
Z M z
f
f2
O r P f1
转动平面
Mz
Mz
rf
r
sin
f
rf
穿过转轴Z的力 和平行转轴Z的 力对转轴Z的力
方向如图
矩为0。
转动平面
Mz
r
f1
Mz rf1 sin rf
方向如图
再看一个模型力矩
M
r
F
z
rF||
O
d
P
F
F
大小： 方向：
M沿rFFrs方in 向。F定d轴转动中沿转动轴的方向。
第三章 刚体力学基础
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
• 刚体是实际物体的一种理想的模型
二、刚体的自由度 用以确定一个物体在空间的位置所需的独立坐 标的个数。
自由刚体的自由度数 n=6 非自由刚体的自由度数小于6
C
2、对于转动定律的应用
解题要点
1）受力分析及力矩分析
质点 :根据牛顿第二定律
:
F
ma
2）列方程： 刚体 :根据转动定律 : M J
无滑动条件 : a R
3）解方程
例6-1、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的 光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位
置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。
四：刚体定轴转动定律的应用和转动惯量的计算
M J d J J r 2dm
dt
1、对于转动惯量：
质量为线分布 dm dl 其中、、分
质量为面分布
dm ds
别为质量的线密 度、面密度和体
质量为体分布 dm dV 密度。
线分布
面分布
体分布
例6-3 求一质量为 m ，长为 l 的均匀细棒的转动惯量。
研究方法：用 质心代表整个 刚体的运动。 可视为质点。
特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
2.定轴转动（n=1） 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称
为刚体的转动。这条直线称为转轴。 定轴转动： 转轴固定不动的转动。
z
O
解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对O的力矩。 当 O
棒处在下摆角时，重力矩
C
为：
M 1 mgl cos
2
mg
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml 2
2l
3
M J J d J d d J d dt d dt d
Md Jd 代入M＝1 mgl cos
当有n个外力作用有定轴转动的刚体上时，其总力矩的 量值应等于这n个外力对转轴产生分力矩的代数和。
？为什么
二. 定轴转动定律 转动惯量
质的点变系化角率动(P8量5)定M理外:质点ddLt系所受外力矩之和等于系统总角动量
对于定轴z轴转动刚体,上式同样成立,
且M只沿z轴方向,故有:
Mz
dLz dt
如图所示，考虑以角速度 绕z轴转
θ
θ0
ω0 t
1 2
βt
2
x
x0
v0t
1 at 2 2
ω ω0 βt v v0 at
ω2 ω0 2 2βθ θ0 vt 2 v02 2a( x x0 )
刚体获得角加速度的原因？
第二节 刚体定轴转动定律 角动量守恒定律
一、力对转轴的力矩
1、力在转动平面内
2、力不在转动平面内
Z Mz
4.刚体定点转动（n=3） 刚体运动时，始终绕一固定点转动.
5. 刚体的一般运动（n=6）
O
刚体的一般运动可视为随刚体上
某一基点A的平动和绕该点的定点
转动的合成.
O
O
四、 刚体定轴转动的描述
1. 定轴转动的角量描述
角位置： (t)
角位移： (t) (t0 )
角速度： d
角加速度：
dt
Lz Liz miri2
i
i
令：J
miri2
i
Lz J
J ：称为刚体对于
转轴的转动惯量
由: Mz
dLz dt
d J
dt
对定轴刚体，
J为常量，∴
Mz
J
d
dt
J
定轴下，可不写角标 Z，记作： M J
刚体定轴转动定律
M~ F
与牛顿第二定律比较： J ~ m
F=ma
~a
三. 转动惯量
d
dt
d 2
dt2
• 角速度和角加速度均为矢 量，定轴转动中方向沿转轴 的方向。角速度方向并满足 右手螺旋定则。
2. 角量和线量的关系
v r
a r
an
r 2
3、匀变速转动的公式
在刚体作匀角加 速转动时，=常数， 有以下相应的公式:
在质点作匀加速直 线运动时，a =常数， 有以下相应的公式:
A
B
物体系运动自由度n，决定了其独立的微分方程组的数目 有n个，其中每个方程均为二阶微分方程.若运动被限制或被 约束,其自由度将减少。多一个约束条件,就减少一个自由度。
三、 刚体运动的几种形式
刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点 的轴线的转动
1. 平动（平移） （n=3）
运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保 持方向不变。
1. 转动惯量的物理意义：刚体转动惯性大小的量度。
2. 转动惯量的计算 J miri2
dm
连续体： J r 2dm
m
r
在（SI）中，J 的单位：kgm2
转动惯量大小有关因素:与刚体的质量及 质量相对于给定轴的分布有关。
注:在定轴转动定律中，不论是对M还是对于J，首先都要 明确的是转轴的位置，只有轴确定，M和J才有意义。
特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速 度。——刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴 转动的规律
3.平面平行运动（n=3）
刚体运动时, 各点始终和某一平面保持一定的距离, 或者说 刚体中各点都平行于某一平面而运动
将刚体的运动看作质心的平动 与相对于通过质心并垂直运动平 面的轴的转动的叠加。
动的一个刚体，其上任一质元 m相i 对
于原点0的角动量为
Li Ri (mivi ) mi Ri vi Li mi Rivi
Li在z轴上的分量为：
Liz Li sin mi Rivi sin mirivi miri2
因此，定轴转动刚体的总角动量 L 对转动轴 z 轴的分量
的大小为：
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
O d
rf
P
f
Z M z
f
f2
O r P f1
转动平面
Mz
Mz
rf
r
sin
f
rf
穿过转轴Z的力 和平行转轴Z的 力对转轴Z的力
方向如图
矩为0。
转动平面
Mz
r
f1
Mz rf1 sin rf
方向如图
再看一个模型力矩
M
r
F
z
rF||
O
d
P
F
F
大小： 方向：
M沿rFFrs方in 向。F定d轴转动中沿转动轴的方向。
第三章 刚体力学基础
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
• 刚体是实际物体的一种理想的模型
二、刚体的自由度 用以确定一个物体在空间的位置所需的独立坐 标的个数。
自由刚体的自由度数 n=6 非自由刚体的自由度数小于6
C
2、对于转动定律的应用
解题要点
1）受力分析及力矩分析
质点 :根据牛顿第二定律
:
F
ma
2）列方程： 刚体 :根据转动定律 : M J
无滑动条件 : a R
3）解方程
例6-1、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的 光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位
置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。
四：刚体定轴转动定律的应用和转动惯量的计算
M J d J J r 2dm
dt
1、对于转动惯量：
质量为线分布 dm dl 其中、、分
质量为面分布
dm ds
别为质量的线密 度、面密度和体
质量为体分布 dm dV 密度。
线分布
面分布
体分布
例6-3 求一质量为 m ，长为 l 的均匀细棒的转动惯量。
研究方法：用 质心代表整个 刚体的运动。 可视为质点。
特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
2.定轴转动（n=1） 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称
为刚体的转动。这条直线称为转轴。 定轴转动： 转轴固定不动的转动。
z
O
解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对O的力矩。 当 O
棒处在下摆角时，重力矩
C
为：
M 1 mgl cos
2
mg
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml 2
2l
3
M J J d J d d J d dt d dt d
Md Jd 代入M＝1 mgl cos
当有n个外力作用有定轴转动的刚体上时，其总力矩的 量值应等于这n个外力对转轴产生分力矩的代数和。
？为什么
二. 定轴转动定律 转动惯量
质的点变系化角率动(P8量5)定M理外:质点ddLt系所受外力矩之和等于系统总角动量
对于定轴z轴转动刚体,上式同样成立,
且M只沿z轴方向,故有:
Mz
dLz dt
如图所示，考虑以角速度 绕z轴转
θ
θ0
ω0 t
1 2
βt
2
x
x0
v0t
1 at 2 2
ω ω0 βt v v0 at
ω2 ω0 2 2βθ θ0 vt 2 v02 2a( x x0 )
刚体获得角加速度的原因？
第二节 刚体定轴转动定律 角动量守恒定律
一、力对转轴的力矩
1、力在转动平面内
2、力不在转动平面内
Z Mz
4.刚体定点转动（n=3） 刚体运动时，始终绕一固定点转动.
5. 刚体的一般运动（n=6）
O
刚体的一般运动可视为随刚体上
某一基点A的平动和绕该点的定点
转动的合成.
O
O
四、 刚体定轴转动的描述
1. 定轴转动的角量描述
角位置： (t)
角位移： (t) (t0 )
角速度： d
角加速度：
dt
Lz Liz miri2
i
i
令：J
miri2
i
Lz J
J ：称为刚体对于
转轴的转动惯量
由: Mz
dLz dt
d J
dt
对定轴刚体，
J为常量，∴
Mz
J
d
dt
J
定轴下，可不写角标 Z，记作： M J
刚体定轴转动定律
M~ F
与牛顿第二定律比较： J ~ m
F=ma
~a
三. 转动惯量
d
dt
d 2
dt2
• 角速度和角加速度均为矢 量，定轴转动中方向沿转轴 的方向。角速度方向并满足 右手螺旋定则。
2. 角量和线量的关系
v r
a r
an
r 2
3、匀变速转动的公式
在刚体作匀角加 速转动时，=常数， 有以下相应的公式:
在质点作匀加速直 线运动时，a =常数， 有以下相应的公式:
A
B
物体系运动自由度n，决定了其独立的微分方程组的数目 有n个，其中每个方程均为二阶微分方程.若运动被限制或被 约束,其自由度将减少。多一个约束条件,就减少一个自由度。
三、 刚体运动的几种形式
刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点 的轴线的转动
1. 平动（平移） （n=3）
运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保 持方向不变。
1. 转动惯量的物理意义：刚体转动惯性大小的量度。
2. 转动惯量的计算 J miri2
dm
连续体： J r 2dm
m
r
在（SI）中，J 的单位：kgm2
转动惯量大小有关因素:与刚体的质量及 质量相对于给定轴的分布有关。
注:在定轴转动定律中，不论是对M还是对于J，首先都要 明确的是转轴的位置，只有轴确定，M和J才有意义。
特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速 度。——刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴 转动的规律
3.平面平行运动（n=3）
刚体运动时, 各点始终和某一平面保持一定的距离, 或者说 刚体中各点都平行于某一平面而运动
将刚体的运动看作质心的平动 与相对于通过质心并垂直运动平 面的轴的转动的叠加。
动的一个刚体，其上任一质元 m相i 对
于原点0的角动量为
Li Ri (mivi ) mi Ri vi Li mi Rivi
Li在z轴上的分量为：
Liz Li sin mi Rivi sin mirivi miri2
因此，定轴转动刚体的总角动量 L 对转动轴 z 轴的分量
的大小为：