2.2基本不等式基础练习题
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（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
4．B
【分析】
，利用基本不等式即可求最值.
【详解】
因为 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故选：B
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
A． B．
C． D．
6．设 ，则 的最大值是（）
A．3B． C． D．0
7．若 则函数 的最大值为（）
A．1B．2C．4D．5
8．下列不等式中，正确的是（）
A．a＋ ≥4B．a2＋b2≥4abC．x2＋ ≥2 D．
9．若 ，则下列不等式成立的是（）
A． B．
C． D．
10．已知 ，且 ，则 的最小值为（）
2.2基本不等式基础练习题
一、单选题
1．已知 ，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
2．已知 ， ，且 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
3．已知实数x，y满足 ， ，且 ，则 的最小值为（）
A．3B．4C．5D．6
4．已知 ，那么 的最小值是（）
A．1B．2C．4D．5
5．若对任意的 都有 ，则 的取值范围是（）
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8．C
【分析】
A.令 判断；，B.根据重要不等式判断；C.利用基本不等式判断；D.令 判断.
【详解】
A.当 时， ，故错误；
BБайду номын сангаас因为a2＋b2≥2ab，故错误；
C.由基本不等式得x2＋ ≥2 ，当且仅当 时，取等号，故正确；
3．A
【分析】
由 ，利用基本不等式求出 的取值范围，即可求解.
【详解】
，
，
令 ，
，
，
当且仅当 时取等号，可得 ，
，
，
， ，
的最小值为 .
故选：A
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
A． B． C． D．
11．已知正数 , 满足 ，则 （）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值50D．有最小值50
12．设 ，若 ，则 的最小值是（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．已知 ，当 ___________时， 的最小值为4.
14．若 , ,则 的最小值为__________.
15．已知 ，且 ，则 的最小值是______
7．A
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故选：A
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
5．A
【分析】
利用基本不等式，可求得 的最小值，即可求得答案.
D.当 时， ，故错误；
故选：C
9．C
【分析】
根据题中条件，由不等式的性质，以及基本不等式，即可比较出结果.
【详解】
因为 ，所以 ， ，
又根据基本不等式可得， ，
所以 .
故选：C.
10．C
【分析】
利用基本不等式直接求解即可
【详解】
解：因为 ，
所以 ，当且仅当 ，即 取等号，
所以 ，所以 的最小值为 ，
21．已知 、 都是正数，求证：
（1）如果积 等于定值 ，那么当 时，和 有最小值 ；
（2）如果和 等于定值 ，那么当 时，积 有最大值 .
22．已知 ， 都是正数.求证：
；
参考答案
1．A
【分析】
分 ， 两种情况讨论，分别利用基本不等式求范围，进而可得结论.
【详解】
，
若 ，则 ， 时等号成立；
若 ，则 ， 时等号成立
【详解】
因为 ，则 ，
当且仅当 ，即x=1时等号成立，
所以 ，
故选：A
6．B
【分析】
把所求的式子变形为 ，由 大于0，利用基本不等式求出 的最小值，即可求出 的最大值．
【详解】
当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号，
，
则 的最大值为 ．
故选：B
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
∴ 的取值范围为 ，
故选：A.
2．A
【分析】
利用换“1”法，展开后利用基本不等式求解即可.
【详解】
∵ ， ，
∴ ，
当且仅当 ，等号成立，
所以最小值为 ，
故选：A.
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
，整理可得： ，即可得解.
【详解】
由 ，可得：
整理可得： ，
16．若 ， ，且 ，则 的最大值是______．
三、解答题
17．已知 .
（1）已知x＞0，求y的最小值；
（2）已知x＜0，求y的最大值．
18．（1）已知 ，且 ，求 的最小值．
（2）已知 是正数，且满足 ，求 的最小值．
19．已知a， ，求证： ．
20．已知 ，求 的最大值，以及y取得最大值时x的值．
故选：C
【点睛】
此题考查基本不等式的应用，属于基础题
11．C
【分析】
根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果.
【详解】
因为正数 , 满足 ，
又 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
即 有最大值50，无最小值.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查由基本不等式求积的最大值，属于基础题型.
12．A
【分析】
由 ，可得：
4．B
【分析】
，利用基本不等式即可求最值.
【详解】
因为 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故选：B
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
A． B．
C． D．
6．设 ，则 的最大值是（）
A．3B． C． D．0
7．若 则函数 的最大值为（）
A．1B．2C．4D．5
8．下列不等式中，正确的是（）
A．a＋ ≥4B．a2＋b2≥4abC．x2＋ ≥2 D．
9．若 ，则下列不等式成立的是（）
A． B．
C． D．
10．已知 ，且 ，则 的最小值为（）
2.2基本不等式基础练习题
一、单选题
1．已知 ，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
2．已知 ， ，且 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
3．已知实数x，y满足 ， ，且 ，则 的最小值为（）
A．3B．4C．5D．6
4．已知 ，那么 的最小值是（）
A．1B．2C．4D．5
5．若对任意的 都有 ，则 的取值范围是（）
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8．C
【分析】
A.令 判断；，B.根据重要不等式判断；C.利用基本不等式判断；D.令 判断.
【详解】
A.当 时， ，故错误；
BБайду номын сангаас因为a2＋b2≥2ab，故错误；
C.由基本不等式得x2＋ ≥2 ，当且仅当 时，取等号，故正确；
3．A
【分析】
由 ，利用基本不等式求出 的取值范围，即可求解.
【详解】
，
，
令 ，
，
，
当且仅当 时取等号，可得 ，
，
，
， ，
的最小值为 .
故选：A
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
A． B． C． D．
11．已知正数 , 满足 ，则 （）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值50D．有最小值50
12．设 ，若 ，则 的最小值是（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．已知 ，当 ___________时， 的最小值为4.
14．若 , ,则 的最小值为__________.
15．已知 ，且 ，则 的最小值是______
7．A
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故选：A
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
5．A
【分析】
利用基本不等式，可求得 的最小值，即可求得答案.
D.当 时， ，故错误；
故选：C
9．C
【分析】
根据题中条件，由不等式的性质，以及基本不等式，即可比较出结果.
【详解】
因为 ，所以 ， ，
又根据基本不等式可得， ，
所以 .
故选：C.
10．C
【分析】
利用基本不等式直接求解即可
【详解】
解：因为 ，
所以 ，当且仅当 ，即 取等号，
所以 ，所以 的最小值为 ，
21．已知 、 都是正数，求证：
（1）如果积 等于定值 ，那么当 时，和 有最小值 ；
（2）如果和 等于定值 ，那么当 时，积 有最大值 .
22．已知 ， 都是正数.求证：
；
参考答案
1．A
【分析】
分 ， 两种情况讨论，分别利用基本不等式求范围，进而可得结论.
【详解】
，
若 ，则 ， 时等号成立；
若 ，则 ， 时等号成立
【详解】
因为 ，则 ，
当且仅当 ，即x=1时等号成立，
所以 ，
故选：A
6．B
【分析】
把所求的式子变形为 ，由 大于0，利用基本不等式求出 的最小值，即可求出 的最大值．
【详解】
当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号，
，
则 的最大值为 ．
故选：B
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
∴ 的取值范围为 ，
故选：A.
2．A
【分析】
利用换“1”法，展开后利用基本不等式求解即可.
【详解】
∵ ， ，
∴ ，
当且仅当 ，等号成立，
所以最小值为 ，
故选：A.
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
，整理可得： ，即可得解.
【详解】
由 ，可得：
整理可得： ，
16．若 ， ，且 ，则 的最大值是______．
三、解答题
17．已知 .
（1）已知x＞0，求y的最小值；
（2）已知x＜0，求y的最大值．
18．（1）已知 ，且 ，求 的最小值．
（2）已知 是正数，且满足 ，求 的最小值．
19．已知a， ，求证： ．
20．已知 ，求 的最大值，以及y取得最大值时x的值．
故选：C
【点睛】
此题考查基本不等式的应用，属于基础题
11．C
【分析】
根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果.
【详解】
因为正数 , 满足 ，
又 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
即 有最大值50，无最小值.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查由基本不等式求积的最大值，属于基础题型.
12．A
【分析】
由 ，可得：