欧拉公式与闭曲面的分类[1]

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现在不难进行所需要的粘合图（e）。我们看到，沿线割开麦比乌斯带给出同胚 于平环的图形。在图（e）上用相同字母表示的点处在对径点的位置。相反的粘合 重新把平环变成麦比乌斯带。因此，如果把平环的一个圆周上的每两个对径点都粘 合起来，则就得到麦比乌斯带。
现在设l是一个曲面Q上的圆孔的周 线。环绕空l从曲面割下狭长条（平 环），且用l’表示这平环的外部周线 （如左图）于是得到一个同胚于Q平 面（只不过有稍大的孔l’）和单独的 平环。现在在割下的平环的周线l上把 每两个对径点都粘起来：那么平环就 变成麦比乌斯带了。把这个麦比乌斯 带与孔l’粘起来。结果我们就在曲面Q （确切地说是也它同胚的曲面）上粘 了一个麦比乌斯带。但是沿周线l’割 开曲面并反过来把割开的地方粘起来 等于什么也没有做，因而简单地说是 在周线l上把每两个对径点都粘起来。 总之，在圆孔的周线l上把每两个对径 点都粘起来相当在这个孔上粘一条麦 比乌斯带。
带k个麦比乌斯带的曲面系列

现在我们可以写出关于曲面分类的麦比乌 斯—约当定理的后一半，那就是列举不可定向 的闭曲面的所有拓扑不同的类型。我们用Np 表示从球面开q个孔且全部用麦比乌斯带封起 来而得到的曲面。可以证明，曲面 N1, N2 , ……Nq , …… 给出不可定向的闭曲面的完全的拓扑分类。
欧拉公式与闭曲面的分类
主讲教师:刘 玉 教授
一 凸多面形的欧拉公式
多面形,其中(一)(二)(三)(四) 为凸多面形.
欧拉示性数：X（P）=V-E+F
正多面形
欧拉示性数：X（P）=V-E+F
凸多面形的欧拉定理
定理1（凸多面形的欧拉定理）
任意一个凸多面形P的欧拉示数都是2：
X（P）=V-E+F=2
边缘曲面
环柄 圆盘是个有边缘的曲面，开了若干个圆空的曲面也是边缘曲面，如 果在环面上开一个空，则就得到一个有边缘的曲面，叫做环柄。
麦比乌斯带
麦比乌斯带
（是一个有边缘的曲面）
麦比乌斯带
麦比乌斯带
麦比乌斯带上存在着这样的闭道路（闭路），曲面的法向 量沿这道路变动能达到与原来位置方向相反的位置。
麦比乌斯带
四 曲面的欧拉示性数

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设Q是可以剖分成多边形的曲面（有边缘或 无边缘，双侧或单侧）；这就是说，在曲面上 可以“画出”一个网络，它把曲面剖分成有限 个同胚于圆盘的片。在网络的顶点和棱的个数 记作V和E，并把由这个网络把Q剖分成的多边 形的个数记作F。数 x(Q)=V-E+F 叫做曲面Q 的欧拉示性数。
带环柄的球面
考虑开有p个圆孔的球面，并且每个孔都用唤环柄封合起来。得到的曲 面叫做带p个环柄的球面。带一个环柄的球面同胚于环面；带两个环柄的 球面同胚于“8字形面包”表面（粘合两个环柄而得到）。
带k个环柄的曲面系列



我们只讨论闭曲面（它没有边缘而且可以剖分成有限 个多边形）。例如平面不是闭曲面：在平面上的有限 网络不能把平面剖分成全部同胚于圆盘的区域。曲面 的拓扑分类问题是这样：指出这样一些两两的互不同 胚的闭曲面，使任意闭曲面总同胚于其中某一个。换 句话说，需要列举拓扑的不同的所有闭曲面。 我们先对可定向的曲面来讨论这个问题的解。用p0表 示球面，并用pk表示带k个环柄的球面。可以证明， 曲面 p0 , p1 , p2 ,……,pk……给出可定向的闭曲面的 全部拓扑分类，即这里列举了这种曲面的全部拓扑不 同的类型。 可以证明曲面pk的欧拉示性数等于2-2k
五 可定向的闭曲面的分类

曲面系列p0 , p1, p2……pk ……两两不同胚， 因为他们有不同的欧拉示性数，我们可以证明 任何可定向的闭曲面总同胚于曲面系列p0 , p1, p2……pk ……中的一个。
六 不可定向的闭曲面的分类

不可定向的闭曲面在空间中的位置只能是有自 交线的。
如上图（a)上曲面画着边缘l的曲面，图（b）上画着它穿过“瓶颈”的剖面。用圆 盘把孔l缝合给出闭曲面图（c），但它是自交的。实际上不应该有自交线，我们可 以认为，发生这种情况只是由于曲面在空间的”不利的“位置。得到的曲面叫做克 莱因瓶。它是单侧的：从瓶表面外侧的点开始移动可以进入瓶的内侧，图(b)
用麦比乌斯带封合一个孔还 可以换个说法。沿中位线把麦 比乌斯带割开。为此我们需要 先把矩形的侧边粘起来（为了 得到麦比乌斯带要扭转一下）， 然后沿mnp线割开图（a）。 但可以按相反的顺序来完成： 先沿mnp线把矩形割开图 （b），然后再把两侧线段粘 合（按箭头所指的方向）。为 了粘合，我们把矩形的下半部 翻转图（c），并把两半放在 图（d）那样的位置。
麦比乌斯带的边缘同胚于圆周，所以可以把麦比乌斯带沿其边缘粘到从某个 曲面开出的孔的边缘上。在图（ a）上画着麦比乌斯带（扭转了的平环），而在 图（b ）上画的是开过孔的曲面Q的一部分。如果把曲面Q的内部的“螺旋桨页 片”“摊开”，则容易看出图（c）在它上面开了个同胚于圆盘的孔。因为画在 图（a）和（b）上的曲面有同样的边缘，所以可以把它们的边缘粘起来，即把 麦比乌斯带粘到在曲面Q上开出的圆孔上。当然，这时麦比乌斯带显然要与曲面 相交，但是我们认为，相交只是由于曲面在空间的“不利的”位置。
麦比乌斯带

在麦比乌斯带上有这样的道路（闭路），当圆周沿这道路变动时， 圆周上的方向会改变到相反的位置，这样的闭路叫做反转定向的。
如果在曲面上没有反转定向的闭路，则这曲面叫做可定向的（或双侧 的），而如果有这种闭路，则叫做不可定向的（或单侧的）。 现在设Q1和Q2是两个曲面，每一个都有同胚于圆周的边缘。把这两个曲 面的边缘接起来（“粘和”），得到一个新曲面。这时就说，在曲面Q1上 的孔，用曲面Q2封合起来（或反之）
二 球面的欧拉示性数
设在球面（或同胚于它的曲面）上画有连同的网络G，它有V个顶点 和E条棱，并把球面分割F个区域（面），那么V-E+F=2也成立。
两个同胚曲面
映射f: A B说是同胚映射(或同胚),是指它既是一一对 应的,又是双方连续的,即不仅映射f连续,而且逆映射f-1也 连续.
三 曲面
在“三页册”中点 x,y,z邻近有不同结构， 点y邻域是半圆形，且y 在它的边界上，称点y在 图形的边缘，点z的邻域 由沿公共直径相连接的 三个半圆组成，这时称 图形在这地方分叉，点x 有圆盘形域，且点x在圆 盘内部，图形在这里没 有边缘也没有分叉。每 个点x都有同胚于圆盘的 邻域（点x在其内部）的 图形叫做曲面，曲面没 有边缘和分叉，球面和 环面都是曲面，也可以 讨论有边缘的曲面，他 们有边缘但没有分叉。