古代数学趣题欣赏

古代趣题

（一）远望巍巍塔七层，红光点点倍加增；

共灯三百八十一，请问各层几盏灯？

【解说】这是明代数学家程大位编写的一道著名诗题。题目的意思可以是：有一座高大雄伟的宝塔，共有七层。每层都挂着红红的大灯笼。各层的盏数虽然不知道是多少，但知道从上到下的第二层开始，每层盏数都是上一层盏数的2倍，并知道总共有灯381盏。问：这个宝塔每层各有多少盏灯？

显然，这宝塔的灯是上少下多的。现在设从上到下的第一层（最上层）的盏数为1，则第二层至第七层（在地面的一层）的盏数就分别是1×2=2，2×2=4，4×2=8，8×2=16，16×2=32，32×2=64。总的份数就是（1 +2+ 4+ 8+ 16+ 32+ 64）=127份，故每一份的盏数（即最上层的盏数）是

381÷（1+2+4+8+16+32+64）=381÷127=3（盏）

从上到下的第二层盏数是3×2=6（盏）；第三层盏数是6×2=12（盏）；第四层盏数是12×2=24（盏）；第五层盏数是24×2=48（盏）；第六层盏数是48×2=96（盏）；第七层（地面上的一层）盏数是96×2=192（盏）。（答略）

（二）三百七十八里关，初行健步不为难；

此后脚痛递减半，六朝才能到边关。

请君仔细算一算，每日里数各若干？

【解说】这是一道在我国民间广泛流传的著名数诗算题，在题目中，“六朝”即“6日”的意思。诗题的意思可以作如下的叙述：

从某地到某一边关的路程为378里，某人第一天行了若干里。他自第二日开始，每天行的路程都是前一天路程数的一半。这样经过了6日，他才到达目的地。他每天行的路程各是多少里？

解答时，我们可以假定第六天行的里数为“1份”，那么，其他天数所行里数便是

第五天――1×2=2（份）

第四天――2×2=4（份）

第三天――4×2=8（份）

第二天――8×2=16（份）

第一天――16×2=32（份）

这六天行程的总份数就是

1+2+4+8+16+32=63（份）

因为六天行的总路程数为378里，而这路程已经分成了63份，所以每一份的里数便是

378÷63=6（里）

于是，每天行的里数就是

第一天：6×32=192（里）；

第二天：6×16=96（里）；

第三天：6×8=48（里）；

第四天：6×4=24（里）；

第五天：6×2=12（里）；

（三）一百馒头一百僧，大僧三个更无增；

小僧三人分一个，大小和尚各几丁？

【解说】明代大数学家程大位著的《算法统宗》中记载的。意思是把100个馒头分给100个和尚。大和尚每人分3个馒头，小和尚三人分得1个馒头，大和尚、小和尚各有多少人？

方法一：这题可用假设法求解。现假设大和尚100个，

（3×100－100）÷（3－1÷3）

＝75（人）…………小和尚人数

100－75＝25（人）大和尚人数

方法二：把一个大和尚和一个小和尚当成一组，

100÷（3+1）=100÷4=25（组）

这25也就是大和尚的人数，

再用总人数100减去大和尚人数25，

100-25=75（人）

得到小和尚有75人。

（四）有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日字数翻一倍，问君每日读多少。（《孟子》全书34685字）、

【解说】这也是明代数学家程大位编写的一道诗题，记录在他的名著《算法统宗》上。这一诗题的意思是：有一个读书人的记忆力很强，《孟子》这部古籍他只用3天就读熟了。从第二天起，他每日记熟的字数都是前一天的2倍，问：这三天他每天熟记的字数是多少？