高中数学选修4-4习题(含答案)

统考作业题目——4-4

6.2

1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,

(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩

为参数），以原点O 为

极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。曲线C 的极坐标方程为 2

2cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；

（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.

2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同。直线l 的极坐标方程为：ρ=√2sin(θ−π

4)

，点P(2cosα,2sinα+2)，参数α∈[0,2π]．

（I ）求点P 轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值．

1、【详解】 （1）

12,

2x t y t

=+⎧⎨

=-⎩10x y ∴+-= 因为2

2

2

,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，

所以2

2

2440x y x y ++++=，即2

2

(1)(2)1x y +++=

（2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=

=

所以点M 到直线l 距离的最大值为 1.r =

2、解：（Ⅰ）设P(x,y)，则{x =2cosαy =2sinα+2

，且参数α∈[0,2π]，

消参得：x 2+(y −2)2=4

所以点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 （Ⅱ）因为ρ=

√2sin(θ−π

4)

所以ρ√2sin (θ−π

4)=10 所以ρsinθ−ρcosθ=10，

所以直线l 的直角坐标方程为x −y +10=0 法一：由（Ⅰ）点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 圆心为（0,2），半径为2． d =

√12+12

=4√2，

P 点到直线l 距离的最大值等于圆心到直线l 距离与圆的半径之和， 所以P 点到直线l 距离的最大值4√2+2． 法二：d =

√12+12

=√2|cosα−sinα+4|=√2|√2cos (α+π

4)+4|

当a =74

π时，d max =4√2+2，即点P 到直线l 距离的最大值为4√2+2．

6.3

3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =cosθy =√3sinθ

（θ为参数），曲

线C 2的参数方程为{

x =4−√2

2t

y =4+√2

2t （t ∈R ，t 为参数）. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；

(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.

4．在直角坐标系xOy 中曲线1C

的参数方程为cos x y α

α

=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原

点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C

的极坐标方程为

sin 4πρθ⎛

⎫

+

= ⎪⎝

⎭

（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；

（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.

3、【详解】

（1）对曲线C 1：cos 2

θ=x 2

，sin 2

θ=y 23

，

∴曲线C 1的普通方程为x 2+

y 23

=1．

对曲线C 2消去参数t 可得t =(4−x)×√2,且t =(y −4)×√2, ∴曲线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0．

又∵x =ρcosθ,y =ρsinθ，∴ρcosθ+ρsinθ−8=√2ρsin (θ+π

4)−8=0 从而曲线C 2的极坐标方程为ρ=

4√2sin(θ+π

4

)

。

（2）设曲线C 1上的任意一点为P( cosθ , √3sinθ )， 则点P 到曲线C 2：x +y −8=0的距离d =

√3sinθ−8|

√2

=

|2sin(θ+π6

)−8|

√2，

当sin(θ+π

6)=1，即θ=π

3时，d min =3√2，此时点P 的坐标为( 1

2 , 3

2 )． 4、【详解】

（1

）曲线1C 的参数方程为cos x y α

α=⎧⎪⎨

=⎪⎩

（α为参数），

移项后两边平方可得，2

2

22cos sin 13

y x αα+=+= 即有椭圆2

2

1:13

y C x +=；

曲线

2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭，

即有ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭

由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得40x y +-=， 即有2C 的直角坐标方程为直线40x y +-=；

（2）设(cos )P αα，

由P

到直线的距离为d =

=