高中数学《导数》讲义(全)
高中数学导数讲解..ppt
解:
(1)∵Dy=f(0+Dx)-f(0)=|Dx|,
∴ DDyx
=
|Dx| Dx
.
当 Dx<0 时,
Dy Dx
=-1,
lim
Dx0
Dy Dx
=-1;
当 Dx>0 时,
Dy Dx
=1,
lim
Dx0
Dy Dx
=1,
∴
lim
Dx0-
Dy Dx
Dlxim0+DDyx ,
从而
lim
Dx0
Dy Dx
不存在.
故函数 f(x)=|x| 在点 x=0 处不可导.
12[(1+Dx)2+1]Dx
1 2
(12+1)
=Dlxim0 -
(1+
1 2
Dx) =1,
Dlxim0+DDxy
=lim Dx0+
12(1+Dx+1)Dx
1 2
(12+1)
=lim Dx0+
1 2
Dx
Dx
=
1 2
,
∴
Dlxim0-
Dy Dx
Dlxim0+DDxy
,
从而
lim
Dx0
Dy Dx
不存在.
∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2.
整理得 2x02-3x0=0. 解得 x0=
这时
y0=-
3 8
,
k=-
1 4
.
3 2
(∵x00).
∴直线 l 的方程为
y=-
1 4
x,
切点坐标是 (
高中数学-导数的概念课件
(1)求函数 y＝ x在点 x＝1 处的导数；
(2)求函数 y＝x2＋ax＋b 在点 x＝x0 处的导数． [解析] (1)Δy＝ 1＋Δx－1，
ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1 1＋Δx＋1.
liΔmx→0 1＋1Δx＋1＝12，所以 y′|x＝1＝12.
(2)y′|x＝x0
＝liΔmx→0
(x0＋Δx)2＋a(x0＋Δx)＋b－(x20＋ax0＋b) Δx
f[x0＋(－k)]－f(x0) －k
＝－12f′(x0)＝－12×2＝－1，故应选 A.
35
• 二、填空题 • 4． 自由 落体运 动在 t＝ 4s的 瞬 时速度 是
________． • [答案] 39.2m/s
[解析] s＝12gt2
ΔΔst＝12g(t＋ΔΔt)t2－12gt2＝gt＋12g·Δt
16
＝liΔmx→0
x20＋2x0Δx＋(Δx)2＋ax0＋aΔx＋b－x20－ax0－b Δx
＝liΔmx→0
2x0Δx＋aΔx＋(Δx)2 Δx
＝liΔmx→0 (2x0＋a＋Δx)＝2x0＋a.
17
[例 3] 若函数 f(x)在 x＝a 处的导数为 A，求：
(1)liΔmx→0 f(a＋Δx)Δ－xf(a－Δx)；
21
已知 f′(x0)＝A，则 liΔmx→0 f(x0－2ΔΔxx)－f(x0)＝____.
[解析]
liΔmx→0
f(x0－2Δx)－f(x0) Δx
＝－2liΔmx→0 f[x0＋(－－22ΔΔxx)]－f(x0)＝－2A.
• [答案] －2A
22
[例 4] 若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：
导数的课件ppt
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
(完整版)高二导数讲义
导数【知识归纳】1、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy ∆∆有极限。
如果x y ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ∆∆→∆0lim。
2、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3、几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=.4、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
高中数学第一章几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)讲义
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1．几个常见函数的导数2．基本初等函数的导数公式设两个函数分别为f(x)和g(x)．4．导数的加法与减法法则(1)两个函数和(或差)的导数等于两个函数的导数的和(或差)，可推广到多个函数的和(或差)，即(f1±f2±…±f n)′＝□17f1′±f2′±…±f n′.(2)两个函数和(或差)的导数还可推广为[mf(x)±ng(x)]′＝□18mf′(x)±ng′(x)(m，n为常数)．基本初等函数的四类求导公式(1)第一类为幂函数，y ′＝(x α)′＝α·xα－1(注意幂指数α可推广到全体实数)．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数．(2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号．(3)第三类为指数函数，y ′＝(a x)′＝a x·ln a ，当a ＝e 时，e x的导数是(a x )′的一个特例．(4)第四类为对数函数，y ′＝(log a x )′＝1x ·ln a ，也可记为(log a x )′＝1x·log a e ，当a＝e 时，ln x 的导数也是(log a x )′的一个特例．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( )(2)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x .( ) (3)若f (x )＝－1x ，则f ′(x )＝12x x.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝________. (2)(2x)′＝________.(3)若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x ，则f ′(x )－g ′(x )＝________. 答案 (1)－3x4 (2)2x ln 2 (3)3x 2－1x ln 3探究1 利用导数公式及运算法则求导 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝5x 3；(2)y ＝log 5x ；(3)f (x )＝(x ＋1)2(x －1)； (4)f (x )＝2－2sin 2x2；(5)f (x )＝e x＋1e x －1.[解] (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35 )′＝35x － 25 ＝355x 2.(2)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5. (3)因为f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋2x －1.(4)因为f (x )＝2－2sin 2x2＝1＋cos x ，所以f ′(x )＝－sin x .(5)解法一：f ′(x )＝x ＋x－－x＋x－x －2＝－2e xx －2.解法二：因为f (x )＝e x＋1e x －1＝1＋2e x －1，所以f ′(x )＝x－－x －x －2＝－2e xx －2.拓展提升(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导．(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．【跟踪训练1】 求下列函数的导数． (1)y ＝13x2；(2)y ＝x 3·e x；(3)y ＝cos x x.解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2′＝(x － 23 )′＝－23x －23－1 ＝－23x － 53 .(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x)′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x＝x 2e x(3＋x )． (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x xx 2＝－x ·sin x －cos x x2＝－x sin x ＋cos xx2. 探究2 曲线切线方程的确定与应用例2 过原点作曲线y ＝e x的切线，求切点的坐标及切线的斜率．[解] 因为(e x )′＝e x，设切点坐标为(x 0，e x 0)，则过该切点的直线的斜率为e x 0，所以所求切线方程为y －ex 0＝ex 0(x －x 0)．因为切线过原点，所以－ex 0＝－x 0·ex 0，x 0＝1.所以切点为(1，e)，斜率为e.[条件探究] 已知点P 是曲线y ＝e x上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[解] 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.y ′＝(e x )′＝e x，ex 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x，y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得距离为22. 拓展提升利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标．【跟踪训练2】 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′| x ＝x 0＝2x 0.又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 所以所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. 探究3 导数的综合应用例3 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0. (2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 拓展提升求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．【跟踪训练3】 已知f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx (b ，c ∈R )，f ′(1)＝0，当x ∈[－1,3]时，曲线y ＝f (x )的切线斜率的最小值为－1，求b ，c 的值．解 f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c ＝(x ＋b )2＋c －b 2， 且f ′(1)＝1＋2b ＋c ＝0.① 若－b ≤－1，即b ≥1，则f ′(x )在[－1,3]上是增函数， 所以f ′(x )min ＝f ′(－1)＝－1， 即1－2b ＋c ＝－1，②由①②，解得b ＝14，不满足b ≥1，应舍去．若－1＜－b ＜3，即－3＜b ＜1， 则f ′(x )min ＝f ′(－b )＝－1， 即b 2－2b 2＋c ＝－1，③由①③，解得b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1. 若－b ≥3，即b ≤－3，f ′(x )在[－1,3]上是减函数， 所以f ′(x )min ＝f ′(3)＝－1， 即9＋6b ＋c ＝－1，④由①④，解得b ＝－94，不满足b ≤－3，应舍去．综上可知，b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，要认真观察函数的结构特征，积极地进行联想划归.2.准确记忆导数的运算法则是进行导数运算的前提，但在解题过程中要注意如何使用运算法则可使运算较为简单，例如求y ＝x ·x 的导数，若使用积的导数公式可以求出结果，但不如先化简为y ＝x ·x ＝x 32 ，再求y ′＝32x 12简单.3.三次函数的导数为二次函数，当涉及与二次函数最值有关的问题时，常需要讨论，而讨论的立足点是二次函数的图象的对称轴与区间的位置关系.1．已知函数f (x )＝5，则f ′(1)等于( ) A ．5 B ．1 C ．0 D ．不存在 答案 C解析 因为f (x )＝5，所以f ′(x )＝0，所以f ′(1)＝0. 2．已知f (x )＝x 3＋3x＋ln 3，则f ′(x )为( ) A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x·ln 3＋13C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x·ln 3答案 C解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)＝13的错误，∵f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，∴f ′(x )＝3x 2＋3x·ln 3.3．曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程为________．答案 x ＋2y －3－π6＝0解析 因为y ′＝(cos x )′＝－sin x ，所以k ＝－sin π6＝－12，所以在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0.4．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ， ∴f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，从而有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1，故填1. 5.已知直线y ＝kx 是函数y ＝ln x 的一条切线，试求k 的值． 解 设切点坐标为(x 0，y 0)．∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴y ′| x ＝x 0＝1x 0＝k .∵点(x 0，y 0)既在直线y ＝kx 上，也在曲线y ＝ln x 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，①y 0＝ln x 0，②把k ＝1x 0代入①式得y 0＝1，再把y 0＝1代入②式求出x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e .。
《高中数学导数讲解》课件
积分
导数是积分的基础，通过 求导可以推导出原函数的 表达式。
微分方程
导数在解决微分方程问题 中起到关键作用，如物理 中的动力学问题。
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高中数学导数讲解
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的实际应用 • 导数的扩展知识
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处 的导数定义为$f'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$，其中$Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)$ 。导数表示函数在点$x_0$处的切线斜率。
01
02
03
起源
导数最初由牛顿和莱布尼 茨在17世纪分别独立发现 ，为微积分学奠定了基础 。
早期发展
18世纪，欧拉、拉格朗日 等数学家进一步发展了导 数理论，将其应用于函数 研究。
现代应用
随着数学的发展，导数在 物理、工程、经济等领域 得到广泛应用，成为解决 实际问题的重要工具。
导数的其他性质
导数的几何意义
详细描述
在物理中，导数具有实际意义。例如，物体运动的瞬时速度 可以由速度函数的导数表示，物质扩散的瞬时速度可以由扩 散函数的导数表示。导数可以描述物体或物质在极短时间内 速度或加速度的变化。
02
导数的计算
切线斜率与导数
切线斜率
导数描述了函数在某一点的切线斜率 ，即函数在该点的变化率。
高中数学导数自学讲义——认识导数
导数的简单自学讲义1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率()()0000lim lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝()()0lim x f x x f x x∆→+∆-∆为f (x )的导函数．3．基本初等函数的导数公式（*）4．利用导数的定义求函数的导数（1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法： ①求函数的增量； ②求平均变化率； ③得导数，简记作：一差、二比、三极限.（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.5．导数的运算法则1) ．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；2) ．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3) ．()()()()()()()2f x f x g x f x g x g x g x '⎡⎤''-=⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦(g (x )≠0) 4) 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．例题精析【例题1】求函数y =x=1处的导数. 【例题2】一质点运动的方程为.（1） 求质点在t=1时的瞬时速度；（2） 求质点在t=1时的瞬时加速度；【例题3】求下列函数的导数.【例题4】已知曲线，（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程；。
完整版)导数讲义(学生新版)
完整版)导数讲义(学生新版)导数一、导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量Δx，那么函数y 相应地有增量Δy=f(x+Δx)−f(x)，比值化率，即Δy/Δx叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率。
如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或y’|x=x。
例如，若lim(Δy/Δx)=k，则lim(Δy/f(x+2Δx)−f(x)/Δx)=lim(2k)等于（）=k，因此f’(x)=lim(Δy/Δx)。
变式训练：设函数f(x)在点x处可导，试求下列各极限的值：1.lim(f(x−Δx)−f(x))/Δx；2.lim(f(x+h)−f(x−h))/2h；3.若f’(x)=2，则lim(f(x−k)−f(x))/k=？二、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
切线方程为y−f(x)=(f’(x))(x−x)。
三、导数的运算1.基本函数的导数公式：①C’=0；（C为常数）②x^n’=nx^(n−1)；③(sin x)’=cos x；④(cos x)’=−sin x；⑤(e^x)’=e^x；⑥(ax)’=axln a；⑦(ln x)’=1/x；⑧(log_a x)’=log_a e/x。
题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）1）f(x)=π；（2）f(x)=x^4；（3）f(x)=x；（4）f(x)=sin x；（5）f(x)=−cos x；（6）f(x)=3x；（7）f(x)=e^x；（8）f(x)=log_2 x；（9）f(x)=ln x；（10）f(x)=1/(1+x)；（11）y=x^4+cos x；（12）y=x/(4+x^2)；（13）y=log x−e^x；（14）y=x^3 cos x。
高中数学讲义(人教A版选择性必修二)：导数的概念及其意义 (教师版)
Δt
＝1＋Δt，
∴lim (1＋Δt)＝1. Δt→0
即物体的初速度为 1 m/s.
（3）设物体在 t0 时刻的瞬时速度为 9 m/s.
又ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0＝(2t0＋1)＋Δt.
lim
Δt→0
ΔΔst＝Δlit→m0(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则 2t0＋1＝9，∴t0＝4.
∵质点 M 在 t＝2 附近的平均变化率为
Δs＝s2＋Δt－s2＝a2＋Δt2－4a＝4a＋aΔt，
Δt
Δt
Δt
∴lim Δs＝4a＝8， Δt→0 Δt
即 a＝2.
知识点 3 函数在某点处的导数
如果当Δx→0
时，平均变化率Δy无限趋近于一个确定的值，即Δy有极限，则称
Δx
Δx
y＝f(x)在
x＝x0
s3＋Δt－s3＝18 m/s， Δt
则下列说法中正确的是( )
A．18 m/s 是物体从开始到 3 s 这段时间内的平均速度
B．18 m/s 是物体从 3 s 到(3＋Δt)s 这段时间内的速度
C．18 m/s 是物体在 3 s 这一时刻的瞬时速度
D．18 m/s 是物体从 3 s 到(3＋Δt)s 这段时间内的平均速度
则物体在 4 s 时的瞬时速度为 9 m/s.
【即学即练 6】一质点 M 按运动方程 s(t)＝at2＋1 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点 M 在 t
＝2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求常数 a 的值． 【解析】质点 M 在 t＝2 s 时的瞬时速度即为函数在 t＝2 处的瞬时变化率．
(4)几何意义：已知
P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数
高中数学导数的概念课件
优化问题求解
总结词
导数在数学优化中常用于求解最值问题，通过求导可以 找到函数的极值点。
详细描述
在数学优化中，最值问题是最常见的一类问题，导数可 以用来求解这类问题。通过对函数求导，可以找到函数 的极值点，从而确定函数的最值。例如，一个企业要制 定一个营销策略，目标是最大化利润，利润函数为P(x) ，对其求导得到利润函数的导数P'(x)，通过求解P'(x)=0 ，可以找到使利润最大的最优策略。
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数可以用于数值分析中，如求 解微分方程、积分方程等，通过 求导数可以得到数值解的近似值
。
图像处理
导数可以用于图像处理中，如边 缘检测、图像滤波等，通过求图 像函数的导数可以得到图像的边
缘信息。
信号处理
导数可以用于信号处理中，如滤 波器设计、信号降噪等，通过求 信号函数的导数可以得到信号的
高中数学导数的概念课件
汇报人：
202X-01-05
CATALOGUE
目 录
• 导数的定义 • 导数的性质 • 导数的应用 • 导数的计算 • 导数在实际问题中的应用案例
01
CATALOGUE
导数的定义
导数的起源
01
导数起源于微积分，最初由牛顿 和莱布尼茨等数学家提出，用于 描述函数在某一点的变化率。
导数与函数极值
总结词
导数等于0的点可能是极值点
详细描述
函数在极值点的一阶导数等于0，但一阶导数为0的点不一定是极值点，需要进一 步判断二阶导数的正负。
导数与函数最值
总结词
导数可以帮助寻找函数最值
详细描述
通过求导数并令其为0，可以找到可能的极值点，再结合一阶或二阶导数的符号变化，判断是极大值还是极小值 ，从而确定函数的最值。
导数讲义(学生新版)
导数一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。
f ’(x 0)=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
例、 若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim000等于（ ） A ．k 2 B ．k C ．k 21D ．以上都不是变式训练： 设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值．1．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000；2．.2)()(lim 000hh x f h x f h --+→3．若2)(0='x f ，则k x f k x f k 2)()(lim 000--→=？二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。
切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
三、导数的运算1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数）②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=;⑧()1l g log a a o x e x'=.习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）（1）()f x π= （2）4()f x x = （3）()f x （4）()sin f x x = （5）()cos f x x =- （6）()3x f x = （7）()x f x e = （8）2()log f x x = （9）()ln f x x = （10）1()f x x = （11）31cos 44y x =+ （12）1xy x=+ （13）lg x y x e =- （14）3cos y x x = 2、导数的四则运算法则：)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'='练习：求下列函数的导数：（1）x x y 22+=； （2）x x y ln -=；（3）x x y sin =； （4）x x y ln =。
人教版高中数学选择性必修2《导数的概念及其意义》PPT课件
选择性必修第二册 RJ
RJA
第五章
1
5.1导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念
及其几何意义
学习目标
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念以及它们之间的关系.
3.掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法.
4.掌握导数的概念及其几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲
4x (x) 2 7 x
x 3，
x
了原油温度在时刻x0附近的变化情况.
y
lim (x 3) 3.
x 0 x
x 0
所以f '(2) lim
同理可得 ′（6）＝5.
在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为−3 ℃/h与5 ℃/h.说明在第2 h附近，
y
所以v '(2) lim
lim t 2 2. 同理可得 ′（6）＝ − 6.
t 0 t
t 0
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与−6 m/s2.说明在第2 s附近，汽车的速度
每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s.
我们知道，导数 ′（0）表示函数＝（）在＝0处的瞬时变化率，反映了函数
＝（）在＝0附近的变化情况.那么导数 ′（0）的几何意义是什么？
思考：观察函数＝（）的图象（如下图），平均变化率
原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升.
例3
一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设 s时汽车的速度（单位：m/s）为
＝（）＝ − 2 + 6 + 60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
导数的概念课件
导数的物理性质
速度与加速度
在物理中，导数可以表示速度和加速度。例如，物体运动的瞬时速度是位移函数 的导数；物体运动的瞬时加速度是速度函数的导数。
斜率与加速度
在工程学中，斜率可以表示物体的加速度。例如，在电路中，电流的变化率可以 表示为电压函数的导数；在机械系统中，速度的变化率可以表示为力函数的导数 。
利用导数研究函数的曲率
总结词
描述函数曲线的弯曲程度
详细描述
导数的二阶导数可以用来描述函数的曲率。二阶导数越大， 表示函数曲线在该点越弯曲；二阶导数越小，表示函数曲线 在该点越平坦。通过计算二阶导数，可以了解函数曲线的弯 曲程度。
04
导数在实际生活中的应用
导数在经济学中的应用
总结词
导数在经济学中有着广泛的应用，它可以帮助我们理解经济现象的变化率和优化经济决 策。
链式法则
商的导数公式
若$u(x)$和$v(x)$在某点可导，且 $v(x) neq 0$，则$frac{u'(x)}{v'(x)}$ 存在。
若$u(x)$在某点可导，$f$是常数，则 复合函数$f(u(x))$在同一点也可导， 且$(f circ u)' = f' times u'$。
导数的几何性质
导数在数学分析、函数研究、优化问题、经济学等领域中 有着广泛的应用，是解决许多问题的重要工具。
导数的发展趋势与未来展望
发展趋势
随着科学技术的发展，导数在各个领域的应 用越来越广泛，如物理学、工程学、经济学 等。同时，对导数本身的研究也在不断深入 ，如对高阶导数、复合导数、变分法等的研 究。
未来展望
导数的起源与早期发展
起源
导数起源于17世纪，最初是为了解决 物理学和几何学中的问题，如速度和 切线斜率等。
导数知识归纳(课件)
一、导数有关概念1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ′（x 0）或y ′|0x x =。
即f ′（x 0）=0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果x y ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
2、导函数（1）定义：如果函数f(x)在开区间（a ，b ）内每一点都可导，就说f(x)在区间（a ，b ）内可导，这时对于区间（a ，b ）内每一个确定的值x 0，都对应着一个导数f ′（x 0）。
这样在开区间（a ，b ）构成一个新函数，称为f(x)在（a ，b ）内导函数（简称导数）。
记f ′（x ）f ′（x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim →∆x ()()f x x f x x +∆-∆ （2）在点x 0处导数、导函数关系函数在点x 0处导数就是在该点的函数改变量y ∆与自变量改变量x ∆的比的极限，是一个数值。
是导函数f ′（x ）在x ＝x 0处的函数值3、求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： 方法一、定义法：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim 。
高数导数概念ppt课件
解:
xn an f ( x) f (a) lim lim x a x a x a xa
lim ( x n 1 a x n 2 a 2 x n 3 a n 1 )
x a
9
对一般幂函数 y x ( 为常数)
( x ) x 1
例如， ( x ) ( x ) x
1 2
1 2
（以后将证明）
1 2
2 x 1 1 11 1 ( x ) x 2 x x
3 4 )
1
1 ( ) ( x x x
3 x 4
7 4
10
的导数. 解: 则
f ( x h) f ( x ) sin( x h) sin x lim lim h 0 h 0 h h
处的
法线方程:
( f ( x0 ) 0 )
15
哪一点有铅直切线 ? 哪一点处
的切线与直线 平行 ? 写出其切线方程.
1 2 x 3 y x 0 , 解: 3 故在原点 (0 , 0) 有铅直切线 1 1 1 令 3 2 , 得 x 1 , 对应 y 1 , y 3 x 3 1 则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 1 平行的切线方程分别为 O 1 x
即
的导数. 记作: y x x0 ; f ( x0 ) ; d y ; dx x x0 y y x x0 f ( x0 ) lim x 0 x
6
运动质点的位置函数 s f (t ) 在 t 0 时刻的瞬时速度
O
f (t0 ) t0
f (t ) t
s
f ( t0 )
高中数学新教材选择性必修第二册《5.2导数的运算》全部课件
思考2 试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数.并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，
g′(x)的关系. 答案 ∵Δy＝(x＋Δx)＋x＋1Δx－x＋1x＝Δx＋x－ x＋ΔΔxx， ∴ΔΔyx＝1－xx＋1 Δx. ∴Q′(x)＝Δlixm→0ΔΔyx＝Δlixm→01－xx＋1 Δx＝1－x12. 同理，H′(x)＝1＋x12. Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和.H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差.
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，
∴切点坐标为12，41，
∴所求的最短距离
d＝12－142－2＝7
8
2 .
跟踪训练3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O 是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧 AOB上求一 点P，使△ABP的面积最大. 解 由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点， ∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大， 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0， ∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1. 故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0. 故P(1,1)点即为所求弧 AOB 上的点，使△ABP的面积最大.
x f(x)＝ x
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_1__ f′(x)＝__2_x_ f′(x)＝_－__x1_2 _
1 f′(x)＝_2__x__
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
5.1.2 导数的概念及其几何意义课件ppt
y
y
,即
x
x
=
f(x 0 +x)-f(x 0 )
x
叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.
(x0+Δx)-x0
名师点析 (1)Δx是自变量的变化量,它可以为正,也可以为负,但不能等于零,
而Δy是相应函数值的变化量,它可以为正,可以为负,也可以等于零.
(2)函数平均变化率的物理意义:如果物体的运动规律是s=s(t),那么函数s(t)
Δ
所以 =-Δx-2x+3.故函数的导数
Δ
Δ
f'(x)= lim
Δ→0 Δ
= (-Δx-2x+3)=-2x+3.
Δ→0
反思感悟 (1)利用定义求函数 y=f(x)的导数的步骤
①求函数值的变化量 Δy=f(x+Δx)-f(x);
Δ
②求函数的平均变化率
Δ
③取极限,得
=
(+Δ)-()
(2)若函数y=f(x)在某区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为0,能不能说明函数值在区
间[x0,x0+Δx]上的函数值都相等?
提示 不能.因为函数在某区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为0只能说明
f(x0+Δx)=f(x0).
(3)函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率的几何意义是什么?
它是一个确定的值,与给定的函数及x(或x0)的位置有关,而与Δx无关;导函
数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,也与Δx无
关.
微练习
求函数 y=f(x)= x的导数.
解 函数的导数为
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高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。
一般地，a x b a x =∆+→∆)(lim 0，其中b a ,为常数。
特别，a a x =→∆0lim 。
二、练习1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2s s t gt ==若t ∆无限趋近于0时，(1)(1)s t s t+∆-∆无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ）A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度B ．9.8/m s 是在1～（1+t ∆）s 这段时间内的速度C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ∆）s 这段时间内的平均速度D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度.2．若/(1)2015f =，则x f x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim 0= ，xf x f x ∆--∆+→∆)1()1(lim 0= ，x x f f x ∆∆+-→∆4)1()1(lim 0= ， xf x f x ∆-∆+→∆)1()21(lim 0= 。
三、导数如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。
称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即 )(/x f ＝/y ＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y=就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 。
所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作)(0/x f 。
注：1.如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导。
2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分3.求导函数时，只需将求导数式中的0x 换成x 就可，即)(/x f ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 04.由导数的定义可知，求函数)(x f y =的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆。
（2）.求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(。
（3）.取极限，得导数/y ＝xy x ∆∆→∆0lim 。
例1.求122-=x y 在x ＝－3处的导数。
例2.已知函数x x y +=2 （1）求/y 。
（2）求函数x x y +=2在x ＝2处的导数。
四、练习与作业： 1.求下列函数的导数：（1）43-=x y ； （2）x y 21-= (3)x x y 1232-= (3)35x y -=2.求函数12+=x y 在－1,0，1处导数。
3.求下列函数在指定点处的导数：（1）2,02==x x y ； （2）0,3102==x x y ；（3）1,)2(02=-=x x y （4）1,02-=-=x x x y .4.求下列函数的导数：（1）;14+=x y （2）210x y -=； （3）;323x x y -= （4）722+=x y 。
5.求函数x x y 22-=在－2,0，2处的导数。
作业1.若)(lim 0x f x →存在，则/)](lim [x f x →＝＿＿＿＿＿2.若2)(x x f =，则1)1()(lim 1--→x f x f x ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3.求下列函数的导数：（1）14020224+--=x x x y （2）432615423x x x x y --++= （3）)3)(12(23x x x y ++= （4）32)1()2(-+=x x y4.某工厂每日产品的总成本C 是日产量x 的函数，即2571000)(x x x C ++=，试求： （1）当日产量为100时的平均成本；（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本； （3）当日产量为100时的边际成本.5.设电量与时间的函数关系为1322++=t t Q ，求t ＝3s 时的电流强度.6.设质点的运动方程是1232++=t t s ，计算从t ＝2到t ＝2＋t ∆之间的平均速度，并计算当t ∆＝0.1时的平均速度，再计算t ＝2时的瞬时速度.7.若曲线1232+=x y 的切线垂直于直线0362=++y x ，试求这条切线的方程. 8.在抛物线22x x y -+=上，哪一点的切线处于下述位置？（1）与x 轴平行（2）平行于第一象限角的平分线.（3）与x 轴相交成45°角9.已知曲线22x x y -=上有两点A （2,0），B （1,1），求：（1）割线AB 的斜率AB k ； （2）过点A 的切线的斜率AT k ；（3）点A 处的切线的方程.10.在抛物线2x y =上依次取M （1,1），N （3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.11.已知一气球的半径以10cm/s 的速度增长，求半径为10cm 时，该气球的体积与表面积的增长速度.12.一长方形两边长分别用x 与y 表示，如果x 以0.01m/s 的速度减小，y 边以0.02m/s 的速度增加，求在x ＝20m ，y ＝15m 时，长方形面积的变化率.13.（选做）证明：过曲线2a xy =上的任何一点（00,y x ）（00>x ）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.（提示：2/1)1(xx-=）第一部分 函数求导一、导数定义1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限）（1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00。
（3）取极限求导数=)(0'x f xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0002．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。
函数在某一点)(0'x f 的导数就是导函数)(x f ，当0x x =时的函数值。
3．常用的导数公式及求导法则： （1）公式xx a x x e e a a a x x x x x n x c a xx x x n n 1n l ln 1g lo )(ln )(sin s co cos n si )(01='⋅='='⋅='-='='⋅='='- （2）法则：)()()()()())()(()()()()())()(()()())()((2x g x f x g x g x f x g x f x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f ⋅'-⋅'='⋅'+⋅'='⋅'+'='+ 二、例：（1）()324y x x =- （2）sin x y x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+ （5）()ln 2y x =+第二部分 复合函数的导数一、基本公式：如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，并且 (f [)(x ϕ])ˊ=[])(x f ϕ')(x ϕ' 或记作x y '=u y '•x u '二、例题： 例1求下列函数的导数x y 23-= 4)31(1x y -=51x x y -= 例2求下列函数的导数 （1）y=x 21-cos x （2）y=ln (x +21x +) (3) ()ln(ln(ln ))f x x =(4) 22()(32)sin 3f x x x x =-+三、求下函数的导数.1、（1）cos3xy = （2）21y x =- 2、(1)y =(5x －3)4 (2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3(4)y =(2x 3+x )23、(1)y =32)12(1-x (2)y =4131+x (3)y =sin(3x －6π) (4)y =cos(1+x 2) 4、⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =；⑶)4cos(x y -=π； ⑷)13sin(ln -=x y ．5、 (1) y =sin x 3+sin 33x ； （2）122sin -=x x y (3))2(log 2-x a (4))132ln(2++x x导数的应用一：求切线方程导数的几何意义：)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率曲线C ：y =f （x ）在其上一点P （x 0，f （x 0））处的切线方程为y －f （x 0）=f '（x 0）（x －x 0）. 问题1：如何求解曲线的切线？求切线问题的基本步骤：找切点 求导数 得斜率 题1.求曲线y=x 2在点(1,1)处的切线方程.练习1：已知1()f x x -=，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程． 练习2： 如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则)5()5(f f '+= .变式1:求曲线y=x 2过点(0,－1)的切线方程 变式2．已知曲线21y x =+(1)求曲线在点(1,2)P 处的切线方程；(2)求曲线过点(1,1)Q 的切线方程；变3：已知2()1f x x =-，求曲线()y f x =在12x =处的切线斜率是多少？题2、在曲线31y x x =+-上求一点P ，使过点P 点的切线与直线47y x =-平行。