苏科版九年级数学培优第5讲：与二次函数有关的综合问题

第5讲 与二次函数有关的综合问题

【思维入门】

1． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D (－1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图1－5－1所示，则以下结论：① b 2－4ac <0；②a ＋b ＋c <0；③c －a ＝2；④方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 ( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．已知二次函数y ＝a (x －1)2－c 的图象如图1－5－2所示，则一次函数y ＝ax ＋c 的大致图象可能是

( )

图1－5－2

3．如图1－5－3，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 的坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a ＋b ＝0；②4a －2b ＋c ＜0；③ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜－1或x ＞2.其中正确的个数是

( )

图1－5－3

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数y ＝⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-2b a x 2－cx －a －b 2在x ＝1时取最小

值－8

5b ，则△ABC 是 ( ) A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形

D ．直角三角形

图1－5－1

【思维拓展】

5．二次函数y＝2

3x

2的图象如图1－5－4，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A n

在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B n在二次函数位于第一象限的图象上．四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形A n－1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠A n－1B n A n＝60°，菱形A n－1B n A n C n的周长为________．

图1－5－4

6．已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)(a，m为常数，且a≠0)．

（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D.

①当△ABC的面积等于1时，求a的值；

②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝2x 2＋mx ＋n 经过点A (0，－2)，B (3，4)． (1)求抛物线的表达式及对称轴；

(2)设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G (包含A ，B 两点)，若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围．

8．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与

y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2＝4

3x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量的取值范围．

9．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ≠c )过点A (1，0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限．

(1)使用a ，c 表示b ；

(2)判断点B 所在象限，并说明理由；

(3)若直线y 2＝2x ＋m 经过点B ，且与该抛物线交于另一点C )8,( b a

c

，求当x ≥1时

y 1的取值范围．

10．已知抛物线y＝

3

2x

2＋bx＋63经过A(2，0)．设顶点为点P，与x轴的另一交点为

点B.

(1)求b的值，点P，点B的坐标；

(2)如图1－5－5，在直线y＝3x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

图1－5－5

11．如图1－5－6①，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.

(1)图①中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE＝EF，请

你叙述一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)；

(2)如图②，若点E在线段BC上滑动(不与点B，C重合)．

①AE＝EF是否总成立？请给出证明；

②在如图②所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y＝－

x2＋x＋1上，求此时点F的坐标．

图1－5－6

【思维升华】

12．二次函数y＝－x2＋6x－7，当x取值为t≤x≤t＋2时有最大值y＝－(t－3)2＋2，则t的取值范围为()

A．t≤0 B．0≤t≤3

C．t≥3 D．以上都不对

13．设实数a，b满足：3a2－10ab＋8b2＋5a－10b＝0，求u＝9a2＋72b＋2的最小值．14．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数．当a≥2 012时，求a的最小值．

答案

第5讲 与二次函数有关的综合问题

【思维入门】

1． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D (－1，2)，与x 轴的

一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象 如图1－5－1所示，则以下结论：① b 2－4ac <0；②a ＋b ＋c <0；③c －a ＝2；④方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两 个相等的实数根，其中正确结论的个数为 ( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

2．已知二次函数y ＝a (x －1)2－c 的图象如图1－5－2所示，则一次函数y ＝ax ＋c 的大致图象可能是 ( A

)

3．如图1－5－3，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与

x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 的坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a ＋b ＝0；②4a －2b ＋c ＜0；③ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜－1或x ＞2.其中正确的个数是 ( B

)

图1－5－3

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数y ＝⎝⎛⎭⎫a －b 2x 2－cx －a －b 2在x ＝1时取最小值－8

5b ，则△ABC 是 ( D )

A ．等腰三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．直角三角形 【解析】 由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧－

－c

2⎝⎛⎭⎫

a －

b 2＝1，a －b 2－

c －a －b 2＝－85b .即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝2a ，c ＝35b ，

所以c ＝35b ，a ＝4

5

b ，因此a 2＋

c 2＝b 2，所以△ABC 是直角三角形．

【思维拓展】

5．二次函数y ＝2

3

x 2的图象如图1－5－4，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A n 在y

轴的正