第5章动能定理解读
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A(rC rB ) A(rA rC ) A(rA rB )
由于：
A(rA rB ) V (rA ) V (rB )
故 V(r) 就是势能。
[证毕]
反之，存在势能的力一定是保守力。
保守力与非保守力、势能
注：由证明可见，势能具有一个任意常数 V (rC ) V0
t t t t0 t t0 t0
t t0
i v i dt Fi v i dt f i1 v i dt f i 2 v i dt mi r f i (i 1) v i dt f i (i 1) v i dt f in v i dt
dE k dEk F dr Fv dt 由上式知，动能的时间变化率等于作用在物体上的作用力与速 度的标积。由于能量概念的重要性，我们把 mv2/2 称为动能，把 F﹡v称作力传递给物体的功率。以 P 表示功率，有：
即：
P Fv
因此，上述结论又可以说成：一个物体动能的时间变化率等于作用 在该物体上的力传递给物体的功率。我们把 F﹡dr 称作力对物体作 的元功。对上式积分得： t t 1 2 1 2 Ek Ek Ek 0 mv (t ) mv (t0 ) F dr F cos ds t0 t0 2 2
Ek Eki
i 1 n
A外 Ai
i 1
n
A内
i 1
n
j 1 j i
n
Aij
质点系动能定理
Ek (t ) Ek (t0 ) A外 A内
wenku.baidu.com
该式即为质点系动能定理，我们把它叙述如下：
作用于质点系的所有外力所作之功与所有内力所作之 功的总和等于质点系动能的增量。 需要注意的是，内力产生的总动量虽然为零，但 内力作的总功一般不等于零。
对空间任意点，定义：
V (r) V0 A(rC r)
由于是保守力场，故 A(rC→ r) 唯一确定，与运动的路径 无关，于是对于空间中的任意点 r，我们定义的 V(r) 的值确 定并且唯一。
下面证明 V(r) 就是势能。
保守力与非保守力、势能
V (r) V0 A(rC r)
牛顿─动量、机 械能守恒
笛卡尔─动量守恒
莱布尼兹─“活 力”守恒
质点动能定理
我们知道，力的冲量可以使物体（质点）的动量发生改变；力 又是如何使物体的动能发生改变的呢？为此，我们计算一下单位时 间动能的改变。
对于直线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我们有： dEk d 1 2 dv ds m v m v Fv F dt dt 2 dt dt
rP
rQ
此式只与两端点到力心的距离 rp 和 rQ有关，与路径 L 无 关。上式表明，有心力作功可以化为沿任意半径的一维 问题。
有心力及其沿闭合路径作功
有心力的重要性质： 有心力作功只与始终点的位置有关，与路 径无关。
或：
有心力沿闭合路径作功为零。
F dr 0
保守力与非保守力、势能
由上述可知，存在一类重要的力场，在该力场中， 力对质点所作的功只与该质点的始、末位置有关，而与 该质点所经的具体路径无关。 我们称此力场为保守力场，物体在保守力场中所受 的力称为保守力。 显然，保守力场中力的环路积分必为零。 凡所功不仅与始、末位置有关，而且与具体路径有关， 或沿任一闭合路径一周作功不为零的力称为非保守力。
有心力及其沿闭合路径作功
下面用数学方法给 出验证。如图所示，设 想把质点沿任意路径 L 从 P 点搬运到 Q 点， 有心力所作的功为：
APQ
Q
由于： cos ds KM cos KN K M dr 上式化为：
P ( L)
F (r ) cos ds
APQ F (r )dr
质点动能定理
t t 1 2 1 2 Ek Ek Ek 0 mv (t ) mv (t0 ) F dr F cos ds t0 t0 2 2 此式右边的积分被称为作用于物体的力所做的功，通常把该式称为 质点动能定理：即作用于物体上的合力所做的功等于物体在此过程 中动能的增量。动能定理本质上是能量守恒定律在牛顿力学范畴内 的一种表述。
对于空间中任意两点 rA 和 rB ， 按照我们对的 V(r) 定义，有： V (rA ) V0 A(rC rA ) V (rB ) V0 A(rC rB ) 将上面两式相减，注意到保守 力作功与路径无关，可得： V (rA ) V (rB ) A(rC rB ) A(rC rA )
即：
dE k Fv dt
dEk Fds
这是元过程的表达式，对于有限过程，则可以两边积分得：
t 1 2 1 2 Ek Ek 0 mv mv 0 Fds t0 2 2
质点动能定理
对于一般的曲线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我 们有： dEk d 1 2 dv dr m v mv Fv F dt dt 2 dt dt
沿闭合路径一周作功小于零的力称为耗散力。滑动 摩擦力是非保守力，而且还是耗散力。
保守力与非保守力、势能
为了比较容易地判断常见的力是否保守力，下面给 出保守力的一些充分条件。 1. 对于一维运动，凡是位置单值函数的力都是保守力。 例如服从胡克定律的弹性力 f = f (x) = －k(x－x0) 是 x 的单值函数，故它是保守力。 2. 对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力， 如重力 f = mg 是保守力。 3. 有心力是保守力。例如万有引力就是保守力。
其中：
Ai Fi vi dt
t0
t
Aij fij vi dt
t0
t
分别为作用于第 i 个质点上的合外力所作的功和第 j 个质 点对第 i 个质点的内力所作的功。将上式对所有的i求和， 得： Ek (t ) Ek (t0 ) A外 A内 其中 Ek、A外、A内 分别为质点系的总动能、外力和内力 对质点系作的总功 ：
G mM r mM ˆ G r 2 2 r r r
当然，利用第二式可反推得：
F V (r )
Gm M( xi yj zk )
x
2
y z
2
2 3/ 2
几点注意： 1. 引力势能实际上属于 m, M 两者组成的体系，地球与月 球间的相互引力势能应属地、月系统所共有。
质点系动能定理
质点系动能定理与质点系动量定理的比较： 1. 质点系动量定理是矢量式，而质点系动能定理是标 量式。 2. 质点系动量定理与质点系动能定理是相互独立的。
3. 内力的作用不改变体系的总动量，但一般要改变体 系的总动能。
§5.2
势 能
有心力及其沿闭合路径作功
所谓“有心力”，即在空间中存在一个中心 O，物 体（质点）P 在任何位置上所受的力 F 都与 OP 方向相 同（排斥力）或相反（吸引力），其大小是距离 r = OP 的单值函数。万有引力就是一种有心力，万有引力为： Mm ˆ 表示沿 OP 方向的单位向量。 其中 r ˆ F G 2 r r
一般我们规定 ∞ 点的势能为零。
势能 V(r) 与保守力 F 的关系：
r V (r ) F dr V0 r0 V V V F V ( r ) i j k x y z
保守力与非保守力、势能
例：位于坐标原点的质量为 M 的质点的引力场对位于 r 点质量为 m 的质点的万有引力为： Mm ˆ F G 2 r r 若规定无穷远点 ∞ 的引力势能为零，则空间 r 点质量 为 m 的质点的势能为：
V (r ) F dr
r
r
G
Mm GmM GmM dr r2 r x2 y 2 z 2
功率的其他单位—千瓦、兆瓦和马力
“宝马” M3双门跑车 ， 5.7L V8引擎，功率输出可 达到628HP/468kW
“俄亥俄”级战略核潜艇， 通用电气S8G自然循环压 水冷却式核子反应炉，反 应堆热功率250MW
质点系动能定理
1 F1 f12 f13 f1n m1 r 2 f 21 F2 f 23 f 2 n m2 r 3 f31 f32 F3 f3n m3 r n f n1 f n 2 f n3 Fn mn r
第5章 动能定理
在笛卡儿提出动量守恒原理后42年，德国数学家、哲 学家莱布尼兹（Leibniz，1646~1716）提出了“活力”概 念及“活力”守恒原理。和笛卡儿一样，莱布尼兹也相信 宇宙中运动的总量必须保持不变，不过和笛卡儿不同，他 认为应该用 mv2 表示这个量，而不是 mv。 莱布尼兹与笛卡儿关于 mv2 和 mv 之争，在历史上曾 经历相当长时期的混乱，一百多年后，人们逐渐明白，这 是两种不同的守恒规律，莱布尼兹的“活力” 守恒应归 结为机械能守恒。 下面我们从现代的观点对这些概念一一地予以重新定 义。
A F dr
t0 t t t0
F cos ds
功和功率
有时重要的问题不是能作多少功，而是作功的效率， 即在单位时间内作多少功。单位时间所做的功称为功率：
dA P Fv dt
简单机械可以省力，但功率是不能放大的。 在国际单位制中，力的单位是牛顿（N），功的单 位则为牛顿· 米（N· m），通常把1牛顿· 米称作1焦耳 （J），由上面给出的动能、功的定义不难验证，它们具 有相同的量纲。功率的单位是焦耳/秒，也称瓦（W）。 如果用瓦乘以时间就是所作的功，电力公司在计算每家 用电量时，常采用千瓦· 小时来计量用电量的多少，1千 瓦· 小时等于1千瓦乘3600秒，即 3.6×106 焦耳。
保守力与非保守力、势能
定理：对于保守力场，可以定义一 个标量函数 V(r)，称为势能（或势 函数、位能），使保守力作的功为： A(rA→ rB) =V(rA) － V(rB) 。其中 A(rA→ rB)表示质点从空间 rA 点运 动到 rB 点保守力所作的功。 证：这样选择一个标量函数V(r)： 如图，先任取一点 rC ，令： V (rC ) V0
t0 t0 t0 t t
Eki (t ) Eki (t0 ) Ai Ai1 Ai 2 Ai (i1) Ai (i1) Ain
质点系动能定理
Eki (t ) Eki (t0 ) Ai Ai1 Ai 2 Ai (i1) Ai (i1) Ain
有心力及其沿闭合路径作功
我们感兴趣的问题是，如果物体在有心力场中循 环运动一周，其动能会不会有所增加（或减少）呢？ 或许有那么一条特殊的无摩擦的轨道从一点开始，经 过一个循环回到初始点，有心力在过程中不断作功， 使物体的动能有所增加？ 我们可以肯定他说，这是不可能的。因为，如果存 在这样一个轨道，这个物体周而复始地沿此轨道作循环 往复运动，在每次回到初始点时，将会获得越来越大的 动能，而系统本身没有付出代价，这不符合能量守恒原 理。这就是一种永动机，因而是不可能的。因此，结论 是物体在有心力场中环绕任何封闭路径运行一周作的功 必为零。（物体回到初始点动能减少也是不可能的。如 果这样，可以沿原回路反向行进，必使动能增加。）
小结：力的空间累积效应是使物体的动能改变。
质点动能定理
由质点动能定理及其推导可知： 1. 做功是通过力来实现的； 2. 做功的多少一般与路径有关； 3. 质点动能定理成立的参考系为惯性系。
功和功率
物理学上的功定义为力 F 与位移元 dr 标积的线积分， 若以 A 表示功，有：
其意思是：如果有一个力作用于物体上，同时物体在某 一方向上发生位移，则只有位移方向上的分力作了功， 与位移成直角的力不作功。
由于：
A(rA rB ) V (rA ) V (rB )
故 V(r) 就是势能。
[证毕]
反之，存在势能的力一定是保守力。
保守力与非保守力、势能
注：由证明可见，势能具有一个任意常数 V (rC ) V0
t t t t0 t t0 t0
t t0
i v i dt Fi v i dt f i1 v i dt f i 2 v i dt mi r f i (i 1) v i dt f i (i 1) v i dt f in v i dt
dE k dEk F dr Fv dt 由上式知，动能的时间变化率等于作用在物体上的作用力与速 度的标积。由于能量概念的重要性，我们把 mv2/2 称为动能，把 F﹡v称作力传递给物体的功率。以 P 表示功率，有：
即：
P Fv
因此，上述结论又可以说成：一个物体动能的时间变化率等于作用 在该物体上的力传递给物体的功率。我们把 F﹡dr 称作力对物体作 的元功。对上式积分得： t t 1 2 1 2 Ek Ek Ek 0 mv (t ) mv (t0 ) F dr F cos ds t0 t0 2 2
Ek Eki
i 1 n
A外 Ai
i 1
n
A内
i 1
n
j 1 j i
n
Aij
质点系动能定理
Ek (t ) Ek (t0 ) A外 A内
wenku.baidu.com
该式即为质点系动能定理，我们把它叙述如下：
作用于质点系的所有外力所作之功与所有内力所作之 功的总和等于质点系动能的增量。 需要注意的是，内力产生的总动量虽然为零，但 内力作的总功一般不等于零。
对空间任意点，定义：
V (r) V0 A(rC r)
由于是保守力场，故 A(rC→ r) 唯一确定，与运动的路径 无关，于是对于空间中的任意点 r，我们定义的 V(r) 的值确 定并且唯一。
下面证明 V(r) 就是势能。
保守力与非保守力、势能
V (r) V0 A(rC r)
牛顿─动量、机 械能守恒
笛卡尔─动量守恒
莱布尼兹─“活 力”守恒
质点动能定理
我们知道，力的冲量可以使物体（质点）的动量发生改变；力 又是如何使物体的动能发生改变的呢？为此，我们计算一下单位时 间动能的改变。
对于直线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我们有： dEk d 1 2 dv ds m v m v Fv F dt dt 2 dt dt
rP
rQ
此式只与两端点到力心的距离 rp 和 rQ有关，与路径 L 无 关。上式表明，有心力作功可以化为沿任意半径的一维 问题。
有心力及其沿闭合路径作功
有心力的重要性质： 有心力作功只与始终点的位置有关，与路 径无关。
或：
有心力沿闭合路径作功为零。
F dr 0
保守力与非保守力、势能
由上述可知，存在一类重要的力场，在该力场中， 力对质点所作的功只与该质点的始、末位置有关，而与 该质点所经的具体路径无关。 我们称此力场为保守力场，物体在保守力场中所受 的力称为保守力。 显然，保守力场中力的环路积分必为零。 凡所功不仅与始、末位置有关，而且与具体路径有关， 或沿任一闭合路径一周作功不为零的力称为非保守力。
有心力及其沿闭合路径作功
下面用数学方法给 出验证。如图所示，设 想把质点沿任意路径 L 从 P 点搬运到 Q 点， 有心力所作的功为：
APQ
Q
由于： cos ds KM cos KN K M dr 上式化为：
P ( L)
F (r ) cos ds
APQ F (r )dr
质点动能定理
t t 1 2 1 2 Ek Ek Ek 0 mv (t ) mv (t0 ) F dr F cos ds t0 t0 2 2 此式右边的积分被称为作用于物体的力所做的功，通常把该式称为 质点动能定理：即作用于物体上的合力所做的功等于物体在此过程 中动能的增量。动能定理本质上是能量守恒定律在牛顿力学范畴内 的一种表述。
对于空间中任意两点 rA 和 rB ， 按照我们对的 V(r) 定义，有： V (rA ) V0 A(rC rA ) V (rB ) V0 A(rC rB ) 将上面两式相减，注意到保守 力作功与路径无关，可得： V (rA ) V (rB ) A(rC rB ) A(rC rA )
即：
dE k Fv dt
dEk Fds
这是元过程的表达式，对于有限过程，则可以两边积分得：
t 1 2 1 2 Ek Ek 0 mv mv 0 Fds t0 2 2
质点动能定理
对于一般的曲线运动，考虑物体在力的作用下动能的改变，我 们有： dEk d 1 2 dv dr m v mv Fv F dt dt 2 dt dt
沿闭合路径一周作功小于零的力称为耗散力。滑动 摩擦力是非保守力，而且还是耗散力。
保守力与非保守力、势能
为了比较容易地判断常见的力是否保守力，下面给 出保守力的一些充分条件。 1. 对于一维运动，凡是位置单值函数的力都是保守力。 例如服从胡克定律的弹性力 f = f (x) = －k(x－x0) 是 x 的单值函数，故它是保守力。 2. 对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力， 如重力 f = mg 是保守力。 3. 有心力是保守力。例如万有引力就是保守力。
其中：
Ai Fi vi dt
t0
t
Aij fij vi dt
t0
t
分别为作用于第 i 个质点上的合外力所作的功和第 j 个质 点对第 i 个质点的内力所作的功。将上式对所有的i求和， 得： Ek (t ) Ek (t0 ) A外 A内 其中 Ek、A外、A内 分别为质点系的总动能、外力和内力 对质点系作的总功 ：
G mM r mM ˆ G r 2 2 r r r
当然，利用第二式可反推得：
F V (r )
Gm M( xi yj zk )
x
2
y z
2
2 3/ 2
几点注意： 1. 引力势能实际上属于 m, M 两者组成的体系，地球与月 球间的相互引力势能应属地、月系统所共有。
质点系动能定理
质点系动能定理与质点系动量定理的比较： 1. 质点系动量定理是矢量式，而质点系动能定理是标 量式。 2. 质点系动量定理与质点系动能定理是相互独立的。
3. 内力的作用不改变体系的总动量，但一般要改变体 系的总动能。
§5.2
势 能
有心力及其沿闭合路径作功
所谓“有心力”，即在空间中存在一个中心 O，物 体（质点）P 在任何位置上所受的力 F 都与 OP 方向相 同（排斥力）或相反（吸引力），其大小是距离 r = OP 的单值函数。万有引力就是一种有心力，万有引力为： Mm ˆ 表示沿 OP 方向的单位向量。 其中 r ˆ F G 2 r r
一般我们规定 ∞ 点的势能为零。
势能 V(r) 与保守力 F 的关系：
r V (r ) F dr V0 r0 V V V F V ( r ) i j k x y z
保守力与非保守力、势能
例：位于坐标原点的质量为 M 的质点的引力场对位于 r 点质量为 m 的质点的万有引力为： Mm ˆ F G 2 r r 若规定无穷远点 ∞ 的引力势能为零，则空间 r 点质量 为 m 的质点的势能为：
V (r ) F dr
r
r
G
Mm GmM GmM dr r2 r x2 y 2 z 2
功率的其他单位—千瓦、兆瓦和马力
“宝马” M3双门跑车 ， 5.7L V8引擎，功率输出可 达到628HP/468kW
“俄亥俄”级战略核潜艇， 通用电气S8G自然循环压 水冷却式核子反应炉，反 应堆热功率250MW
质点系动能定理
1 F1 f12 f13 f1n m1 r 2 f 21 F2 f 23 f 2 n m2 r 3 f31 f32 F3 f3n m3 r n f n1 f n 2 f n3 Fn mn r
第5章 动能定理
在笛卡儿提出动量守恒原理后42年，德国数学家、哲 学家莱布尼兹（Leibniz，1646~1716）提出了“活力”概 念及“活力”守恒原理。和笛卡儿一样，莱布尼兹也相信 宇宙中运动的总量必须保持不变，不过和笛卡儿不同，他 认为应该用 mv2 表示这个量，而不是 mv。 莱布尼兹与笛卡儿关于 mv2 和 mv 之争，在历史上曾 经历相当长时期的混乱，一百多年后，人们逐渐明白，这 是两种不同的守恒规律，莱布尼兹的“活力” 守恒应归 结为机械能守恒。 下面我们从现代的观点对这些概念一一地予以重新定 义。
A F dr
t0 t t t0
F cos ds
功和功率
有时重要的问题不是能作多少功，而是作功的效率， 即在单位时间内作多少功。单位时间所做的功称为功率：
dA P Fv dt
简单机械可以省力，但功率是不能放大的。 在国际单位制中，力的单位是牛顿（N），功的单 位则为牛顿· 米（N· m），通常把1牛顿· 米称作1焦耳 （J），由上面给出的动能、功的定义不难验证，它们具 有相同的量纲。功率的单位是焦耳/秒，也称瓦（W）。 如果用瓦乘以时间就是所作的功，电力公司在计算每家 用电量时，常采用千瓦· 小时来计量用电量的多少，1千 瓦· 小时等于1千瓦乘3600秒，即 3.6×106 焦耳。
保守力与非保守力、势能
定理：对于保守力场，可以定义一 个标量函数 V(r)，称为势能（或势 函数、位能），使保守力作的功为： A(rA→ rB) =V(rA) － V(rB) 。其中 A(rA→ rB)表示质点从空间 rA 点运 动到 rB 点保守力所作的功。 证：这样选择一个标量函数V(r)： 如图，先任取一点 rC ，令： V (rC ) V0
t0 t0 t0 t t
Eki (t ) Eki (t0 ) Ai Ai1 Ai 2 Ai (i1) Ai (i1) Ain
质点系动能定理
Eki (t ) Eki (t0 ) Ai Ai1 Ai 2 Ai (i1) Ai (i1) Ain
有心力及其沿闭合路径作功
我们感兴趣的问题是，如果物体在有心力场中循 环运动一周，其动能会不会有所增加（或减少）呢？ 或许有那么一条特殊的无摩擦的轨道从一点开始，经 过一个循环回到初始点，有心力在过程中不断作功， 使物体的动能有所增加？ 我们可以肯定他说，这是不可能的。因为，如果存 在这样一个轨道，这个物体周而复始地沿此轨道作循环 往复运动，在每次回到初始点时，将会获得越来越大的 动能，而系统本身没有付出代价，这不符合能量守恒原 理。这就是一种永动机，因而是不可能的。因此，结论 是物体在有心力场中环绕任何封闭路径运行一周作的功 必为零。（物体回到初始点动能减少也是不可能的。如 果这样，可以沿原回路反向行进，必使动能增加。）
小结：力的空间累积效应是使物体的动能改变。
质点动能定理
由质点动能定理及其推导可知： 1. 做功是通过力来实现的； 2. 做功的多少一般与路径有关； 3. 质点动能定理成立的参考系为惯性系。
功和功率
物理学上的功定义为力 F 与位移元 dr 标积的线积分， 若以 A 表示功，有：
其意思是：如果有一个力作用于物体上，同时物体在某 一方向上发生位移，则只有位移方向上的分力作了功， 与位移成直角的力不作功。