2.1.2指数函数2
指数函数及其性质
2.1.2 指数函数及其性质（一）一、学习目标：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图象和性质；本节课的重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质，本节课的难点是弄清楚底数a对于指数函数图象和性质的影响。
二、问题引领：1、指数函数的概念、图象和性质2、指数函数图象分布图： 如图，,,,A B C D 分别为指数函数,,,x x x x y a y b y c y d ====的图象，则,,,a b c d 与0、1的大小关系为01a b c d <<<<<。
三、典例剖析：例题1：已知指数函数()(0>=a a x f x 且)1≠a 的图象经过点()2,π，求()()()012f f f -、、的值。
分析：要求()()()012f f f -、、的值，我们需要先求出指数函数()x a x f =的解析式，也就是要先求a 的值。
根据函数图象过点()2,π这一条件，可以求得底数a 的值。
解： ()x a x f =的图象经过点()2,π，()2f π∴= 即2a π=，解得12a π=()2x f x π∴=，即：()()()1012101,12f f f ππππ-====-==。
点评：求函数解析式的典型方法是待定系数法，求指数函数需要待定的系数只有一个a ，只需要一个已知条件，就可以确定一个指数函数。
例题2：1、设1111333b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求,,a b a a a b 的大小关系。
2、 比较23540.5,1.2,1的大小。
分析：利用指数函数的单调性和特殊点比较大小。
解：1、因为函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，又由1111333b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以得：01a b <<<，因为当01a <<时，函数xy a =为减函数，又a b <，所以a b a a >，因为函数x y a =与xy b =在R 上同为减函数且当0x >时，随着x 的增大，函数x y a =比函数xy b =减小的快，所以a aa b <，即b a aa ab <<。
高中数学2.1.2指数函数及其性质教案新人教A版必修1
指数函数及其性质一、【教学目标】1.知识与技能：理解指数函数的概念，画出具体指数函数图象，能经过观察图象得出两类指数函数图象的地位关系；在理解函数概念的基础上，能运用所学知识解决简单的数学成绩；2.过程与方法：在教学过程中，利用画板作图加深对指数函数的认识，让先生在数学活动中感受数学思想方法之美、领会数学思想方法之重要；3.情感、态度、价值观：经过本节课自主探求研讨式教学，使先生获得研讨函数的规律和方法；培养先生自动学习、合作交流的认识。
二、【学情分析】指数函数式在先生零碎学习了函数概念，基本掌握函数性质的基础上进行研讨的，是先生对函数概念及其性质的第一次运用．教材在之前的学习中给出链各个理论的例子（GDP的增长成绩和碳14的衰减成绩），曾经让先生感遭到了指数函数的理论背景，但这两个例子的背景对于先生来说有些陌生．本节课先设计两个看似简单的成绩，但能经过得到超出想象的结果来激发先生学习新知的兴味和愿望。
三、【教材分析】本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学1》（人教A版）第二章第一节第二课【（2．1．2）《指数函数及其性质》．根据理论情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课指数函数及其性质、指数函数及其性质的运用（1）、指数函数及其性质的运用（2）】，这是第一节“指数函数及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及消费理论中有着广泛的运用，所以指数函数应重点研讨。
四、【教学重难点】1.教学重点：指数函数的概念、底数互为倒数的指数函数的图象关于y轴对称。
2.教学难点:底数a的范围讨论，自变量的取值范围和由函数的图象归纳指数函数的性质。
五、【教学方法】自主预习、合作探求、体验践行。
六、 【教学装备】多媒体装备。
七、 【课时安排】第一课时(新知课)。
八、 【教学过程】(一) 创设情境，引出成绩（约3分钟）师：观察图片，你能说出这是甚么吗？生：国际象棋师：这盘象棋隐含了这么一个故事？生：．．．．师：国王为了奖励发明者达依尔特许愿满足他提的任意一个请求，那么达伊尔提出如下要求在棋盘第一格放2粒大米，第二格放4粒大米，第三格放8粒大米，…按这个规律．最初一格棋盘上的大米数就是我要的．请问：最初一格的大米数是多少呢？生：642师：那么国王能否满足他的要求呢？【学情预设】先生会说能．也有说不能的．教师公布数据领会指数函数的爆炸增长，642粒大米是每年全世界粮食产量的1000多倍，明显国王是满足不了他的请求．师：请写出米粒数与棋盘格数的函数关系式．生：{}2,1,2,,64x y x =∈师： “一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话来自著名的《庄子·天下篇》，哪位同学能用数学言语来表述它的含义？生：。
指数函数图像与性质教学设计精选10篇
指数函数图像与性质教学设计精选10篇指数函数及其性质教学设计解读篇一《2.1.2 指数函数及其性质(2 》教学设计【学习目标】1.知识与技能①.熟练掌握指数函数概念、图象、性质。
②.掌握指数函数的性质及应用。
③.理解指数函数的简单应用模型, 认识数学与现实生活及其他学科的联系。
2.情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。
②培养学生观察问题，分析问题的能力。
③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；3.过程与方法让学生通过观察函数图象，进而研究指数型函数的性质, 主要通过小组讨论、小组展示、及时评价完成整个导学过程【学习重点】熟练掌握指数函数的的概念，图象和性质及指数型增长模型。
【学习难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、指数型函数的图象，性质。
【导学过程】教学内容师生互动设计意图互查每组两名同学互查识记内容教师提问记忆方法，学生回答，其他同学可以相互借鉴。
复习指数函数的图象及性质，为本节课中的内容储备知识基础。
展系吗？→请用一句话概括下图是指数函数2x y =, 3xy =, 0.3x y =, 0.5x y =的图象，请指出它们各自对应的图象。
教师随时点评，引导，欣赏，鼓励。
每组选派一名代表课堂上展示交流成果，组内同学补充。
其他同学可让学生从图象直观的理解指数函数，从变化中找到不变的规律，提高学生的总结归纳能示交流结论：针对展示交流成果提出问题，进一步加深理解。
力教学内容师生互动设计意图展示交流探究二：指数形式的函数定义域、值域：求下列函数的定义域、值域：(121 x y =+,(2y =,(3 1 4 2x y-=.首先提问给出的三个函数是否是指数函数，加深学生对指数函数概念的理解。
学生小组讨论，交流。
每组选派一名代表课堂上展示交流成果，组内同学补充。
其他同学可针对展示交流成果提出问题，进一步加深理解。
所给函数虽然不是指数函数，但是由指数函数得到的复合函数，其性质与指数函数密切相关，通过训练能够培养学生的创造性思维能力。
学案8：2.1.2 指数函数及其性质(二)
2.1.2 指数函数及其性质(二)自主学习学习目标1．理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题．2．理解指数函数的底数a 对函数图象的影响．基础自测1．下列一定是指数函数的是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝x x (x >0，且x ≠1)C ．y ＝(a －2)x (a >3)D ．y ＝(1－2)x2. 指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <13．函数y ＝πx 的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．RD ．(－∞，0)4．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( )A ．a <2B ．a >2C ．－1<a <0D ．0<a <1题型探究类型一 比较大小问题【例1】 比较下列各题中两个值的大小：(1)3π与33.14； (2)0.99－1.01与0.99－1.11； (3)1.40.1与0.90.3.规律方法 比较两指数大小时，若底数相同，则先构造出该底数的指数函数，然后利用单调性比较；若底数不同，则考虑选择中间量，通常选择“1”作为中间量．变式迁移1 比较⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412的大小．类型二 解简单的指数不等式【例2】 如果a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．规律方法 解a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为变式迁移2 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是____________．类型三 指数函数的最值问题【例3】 (1)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值； (2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a 的值．规律方法 指数函数y ＝a x (a >1)为单调增函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最小值a s ；当x ＝t 时，函数有最大值a t .指数函数y ＝a x (0<a <1)为单调减函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最大值a s ；当x ＝t 时，函数有最小值a t .变式迁移3 (1)函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，求a 的值；(2)0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值和最小值．课堂小结1．指数函数的定义及图象是本节的关键．通过图象可以求函数的值域及单调区间．2．利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小(1)当两个正数指数幂的底数相同时，直接利用指数函数的单调性比较大小．(2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时，可利用两个指数函数的图象比较它们的大小．(3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时，可考虑能否利用“媒介”数来比较它们的大小．3．通过本节的学习，进一步体会分类讨论思想在解题中的应用．当堂检测一、选择题1．下图分别是函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，a ，b ，c ，d 分别是四数2，43，310，15中的一个，则相应的a ，b ，c ，d 应是下列哪一组( )A.43，2，15，310B.2，43，310，15C.310，15，2，43D.15，310，43，2 2．已知a ＝30.2，b ＝0.2－3，c ＝(－3)0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a3．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(12，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，12)4．设13<(13)b <(13)a <1，则( ) A ．a a <a b <b a B ．a a <b a <a b C ．a b <a a <b a D ．a b <b a <a a5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ， x >14－a 2x ＋2， x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)二、填空题6．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝3x －2的值域是____________．7．a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是____________．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是__________．三、解答题9．解不等式a x ＋5<a 4x －1 (a >0，且a ≠1)．10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x 3. (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性； (3)求证：f (x )>0.【参考答案】基础自测1．C 2.C 3.A 4.C题型探究【例1】 解 (1)构造函数y ＝3x .∵a ＝3>1，∴y ＝3x 在(－∞，＋∞)上是增函数．∵π>3.14，∴3π>33.14.(2)构造函数y ＝0.99x .∵0<a ＝0.99<1，∴y ＝0.99x 在(－∞，＋∞)上是减函数．∵－1.01>－1.11，∴0.99－1.01<0.99－1.11.(3)分别构造函数y ＝1.4x 与y ＝0.9x .∵1.4>1,0<0.9<1，∴y ＝1.4x 与y ＝0.9x在(－∞，＋∞)上分别为增函数和减函数．∵0.1>0，∴1.40.1>1.40＝1.∵0.3>0，∴0.90.3<0.90＝1，∴1.40.1>1>0.90.3，∴1.40.1>0.90.3.变式迁移1 解 将⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412分成如下三类：(1)负数⎝⎛⎭⎫－233； (2)大于0小于1的数⎝⎛⎭⎫3412；(3)大于1的数⎝⎛⎭⎫4313，223.∵⎝⎛⎭⎫4313<413，而413＝223， ∴⎝⎛⎭⎫－233<⎝⎛⎭⎫3412<⎝⎛⎭⎫4313<223. 【例2】 解 (1)当0<a <1时，由于a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6.(2)当a >1时，由于a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，x 的取值范围是：当0<a <1时，x ≥－6；当a >1时，x ≤－6.变式迁移2 (12，＋∞) 解析 a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74>1. ∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 在R 上是增函数．∴x >1－x ，解得x >12. ∴x 的取值范围是(12，＋∞)． 【例3】 解 (1)①若a >1，则f (x )在[1,2]上递增，最大值为a 2，最小值为a .∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去). ②若0<a <1，则f (x )在[1,2]上递减，最大值为a ，最小值为a 2.∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)， 综上所述，所求a 的值为12或32. (2)设t ＝a x ，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2，对称轴为t ＝－1.①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∵t ＝a x 在[－1,1]上递增，∴0<1a≤t ≤a ； ∴y ＝(t ＋1)2－2当t ∈[1a，a ]时递增． 故当t ＝a 时，y max ＝a 2＋2a －1.由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去，∵a >1)．②若0<a <1，t ＝a x 在[－1,1]上递减，t ∈[a ，1a]， y max ＝a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)． 综上，可得a ＝13或3. 变式迁移3 解 (1)∵f (x )＝a x 在[1,2]上是单调函数，∴f (x )在1或2时取得最值．∴a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3，∵a >0，∴a ＝2.(2)y ＝12·22x －3·2x ＋5＝12(22x －6·2x )＋5 ＝12(2x －3)2＋12. ∵x ∈[0,2]，1≤2x ≤4，∴当2x ＝3时，y 最小值＝12， 当2x ＝1时，y 最大值＝52. 当堂检侧1．C2．B 【解析】c <0，b ＝53>3,1<a <3，∴b >a >c .3．B 【解析】函数y ＝(12)x 在R 上为减函数， ∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12. 4．C 【解析】由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .5．D 【解析】因为f (x )在R 上是增函数，故结合图象知 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >14－a 2>04－a 2＋2≤a，解得4≤a <8.6.⎣⎡⎦⎤－53，1 7．c >a >b 【解析】y ＝0.8x 为减函数，∴0.80.7>0.80.9，且0.80.7<1，而1.20.8>1，∴1.20.8>0.80.7>0.80.9.8．(－∞，－1)【解析】∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12得x ∈∅； 当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；因此当x <0时，由2x －1<－12得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)．9．解 当a >1时，原不等式可变为x ＋5<4x －1.解得x >2；当0<a <1时，原不等式可变为x ＋5>4x －1.解得x <2.故当a >1时，原不等式的解集为(2，＋∞)； 当0<a <1时，原不等式的解集为(－∞，2)．10．(1)解 由2x －1≠0，得x ≠0.∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)解 由于函数f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12－x －1＋12·(－x )3 ＝－⎝⎛⎭⎫2x 1－2x ＋12x 3＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x 3 ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)证明 当x >0时，12x －1>0，x 3>0， ∴f (x )>0，又∵f (x )为偶函数，∴x <0时，f (x )>0，综上所述，对于定义域内的任意x 都有f (x )>0.。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质教材梳理素材 新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、指数函数及其性质 1.指数函数的定义一般地，函数y=a x（a ＞0且a ≠1，x ∈R ）叫做指数函数，其中x 是自变量.由于当a=0时，若x ＞0，a x 恒等于0；若x ≤0，a x无意义. 当a ＜0时，如y=（-2）x，对x=…，-21，41，21，…在实数范围内函数值不存在. 当a=1时，y=1x=1，是一常量，没有研究的必要.综上可知，当a ≤0或a=1时，不是没有意义，就是没有研究的必要，故规定a ＞0且a ≠1.只有形如y=a x （a ＞0且a ≠1）且定义域为R 的函数，才是指数函数，又如y=3·2x ，y=2x-1，y=2x+1等，是由指数函数经过某种变换而得到的，它们都不是指数函数.要点提示 因为指数的概念已经从整数扩充到实数，在底数a ＞0且a ≠1的情况下，对任意一个x 都有唯一确定的值y 与它对应，所以x 是任意实数. 2.指数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=2x 及y=0.5x图象列出x,y 的对应值表，用描点法化出图象： x …-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x 0.13 0.25 0.5 1 2 4 8 y=0.5x84210.50.250.13要点提示 函数y=a x与y=a -x的图象关于y 轴对称.xa ＞10＜a ＜1图象性质①定义域：R ②值域：（0，+∞）③过点（0，1），即x=0时，y=1 ④在R 上是增函数， 当x ＜0时，0＜y ＜1； 当x ＞0时，y ＞1④在R 上是减函数， 当x ＜0时，y ＞1； 当x ＞0时，0＜y ＜1指数函数的单调性是指数函数性质中应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等．指数函数的图象变换有两种：一种是平移变换分上下、左右平移，遵循“左加右减，上加下减”．平移前后的形状没有发生变化，只是位置改变了；另一种是对称变换，它会导致前后的形状发生明显改变．指数函数的图象变换可以推广到我们学过的任何函数． 研究函数的性质，可明确图象的形状；通过函数的图象可以进一步加深对性质的理解．二者相辅相成、缺一不可，可通过解决函数的图象来解决与方程和不等式有关的问题，这时作函数的图象应明确其图象的形状，而确定形状的手段主要有：函数关系式的等价变形、图象的变换、通过研究函数的性质等．要点提示 ①指数函数的图象恒在x 轴上方；②指数函数的单调性取决于它的底数;③y=a x （a ＞1）在 x ＞0的方向上增幅越来越快；④指数函数由唯一的常量a 确定．⑤y=a x （0<a<1）在x ＜0的方向上增幅越来越快.方法点拨 遇到求含有字母的表达式等问题可先用待定系数法确定a ，再求值．深化升华 ①底数相同，指数不同的，可构造指数函数，利用函数的单调性比较大小； ②底数、指数都不相同的，可选一中间值比较大小； ③指数相同，底数不同的可用数形结合法比较大小. 问题·思路·探究问题1 为什么说指数函数的图象是研究函数性质的直观工具？思路：对于指数函数问题，我们不仅仅应该知道其表达式及利用表达式进行计算的问题，而且应注重结合其相应的图象掌握相应的知识且能灵活运用图象来分析问题、解决问题，从而领会图象在指数函数应用方面的作用． 探究:因为通过图象我们可以直观地看到，任取a({a|a>0且a ≠1}),图象始终过定点（0，1），图象始终在x 轴的上方；当a>1时第一象限的图象与0<a<1时第二象限的图象始终在直线y=1的上方，当a>1时第二象限的图象与0<a<1时第一象限的图象始终在直线y=1的下方，当a>1时，图象是上升的，当0<a<1时，图象是下降的．所以应用图象进行数形结合，清晰地刻画了指数函数的性质，它们便于我们记忆起函数性质和变化规律．问题2 函数y=2|x|的图象有什么特征？你能根据它的图象指出其值域和单调区间吗？思路：函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留，再将y 轴右边部分关于ｙ轴作出对称部分；就得到了y=a |x|的图象．探究:函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，这是因为它的图象由y=2x(x ≥0)的图象和y=(21)x（x<0）的图象合并而成，而y=2x（x>0）与y=(21)x（x<0）的图象关于y 轴对称，所以函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，由图象可知值域是［1,+∞)，递增区间为［0,+∞)，递减区间为(-∞,0］问题3 函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）,为什么？思路：一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝探究:函数y=a x+h +k(a>0且a ≠1)的图象可由y=a x(a>0且a ≠1)的图象向左（当h>0时）或向右（当h<0时）平移|h|个单位，再向上（当k>0时）或向右（当k<0时）平移|k|个单位而得到，因为y=a x (a>0且a ≠1)的图象恒过点（0，1），所以函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）． 典题·热题·新题例1 下列函数中，哪些是指数函数？①y=4x ②y=x 4 ③y=-4x ④y=4-x ⑤y=(-4)x ⑥y=4x+1 ⑦y=4x +1⑧y=e x ⑨y=4x(x>0)⑩y=(a-1)x(a>1且a ≠2)思路解析：①④⑧⑩为指数函数，其中④y=4-x 从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（4-1）x，即y=（41）x.它实质上是指数函数. ②中底数x 不是常数，而4不是变数；③是-1与指数函数4x的乘积；⑤中底数-4<0; ⑥中的指数是x 的函数，不是自变量x ；⑦由y=4x向上平移得到的；⑨x 的范围不是R . 答案：②③⑤⑥⑦⑨不是指数函数．误区警示 像y=4x+1，y=4x +1的图象可由y=2x 的图象通过平移或伸缩变换而得到.而y=a -x从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（a -1）x，即y=（a1）x.它实质上是指数函数. 例2 若指数函数y=（2a-1）x是减函数.则a 的范围是多少？ 思路解析：由题意可知1＞2a-1＞0，得21＜a ＜1. 答案：21＜a ＜1 深化升华 解与指数有关的问题时，注意对底数分类讨论，这是考试的一个重点.例3 如右图，在同一坐标系下给出四个指数函数的图象，试比较底数a 、b 、c 、d 的大小.思路解析：作直线x=1与四个图象交于四个点，得四个纵坐标为a 、b 、c 、d ，底数都“跑”到纵轴上去了，可在数轴的位置上直观比较底数的大小，则a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0 . 答案：a ＞b ＞c ＞d拓展延伸 在同一坐标系中，画出函数y=3x，y=（31）x ，y=2x，y=（21）x 的图象，比一比，看它们之间有何联系.从图中可以看到，图象向下无限地与x 轴靠拢，即x 轴是指数函数的渐近线.任何两个函数图象都是交叉出现的，交叉点是（0，1）.在y 轴的右侧，对同一变量x 而言，底数越大，函数值越大；在y 轴的左侧，情况正好相反，即对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小.以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个指数函数的底数的大小关系.怎样定量分析同一坐标系中底数不同的指数函数的底数的大小呢？我们知道，对指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1），当x=1时，y=a ，而a 恰好是指数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线x=1，它同各个图象相交，交点的纵坐标就是各指数函数的底数，以此可比较底数的大小.深化升华 （1）渐近线是指逐渐靠拢，但永远不能到达的线.（2）从联系的观点研究不同底数的指数函数图象间的关系，对深化理解指数函数的图象和性质是有帮助的.例4 画出下列函数的图象：（1）y=2x-1+2;(2)y=0.5|x|思路解析：利用指数函数的图象及结合函数图象的变换来处理.答案：（1）利用函数y=2x的图象沿x 轴正半轴平移一个单位，纵坐标不变，再把所得图象沿y 轴的正半轴平移2个单位，横坐标不变，得到y=2x-1+2的图象，如图(1)（注：画出虚直线的目的是体现平移变换）.（2）由y=0.5|x|=⎪⎩⎪⎨⎧<=≥-,0,25.0,0,5.0x x xx x作y=0.5x的图象但只取y 轴及其右侧部分，再作y=2x的图象但只取y 轴左侧部分，就得到函数y=0.5|x|的图象，如图(2)所示的实线（注：画出虚线的目的是衬托实线的特征）.图（1） 图（2） 深化升华 由指数函数的图象，我们还可以总结出图象的变化规律： ①平移规律若已知y=a x 的图象，则把y=a x 的图象向左平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x+b的图象.把y=a x 的图象向右平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象，把y=a x的图象向上平移b（b ＞0）个单位，则得到y=a x +b 的图象.把y=a x的图象向下平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象. ②对称规律函数y=a x 的图象与y=a -x 的图象关于y 轴对称，y=a x 的图象与y=-a x的图象关于直线x轴对称.函数y=a x 的图象与y=-a -x的图象关于坐标原点对称.函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=a |x|的图象．拓展延伸 一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝.函数y=f （x ）的图象与y=f （-x ）的图象关于y 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （x ）的图象关于x 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （1-x ）的图象关于原点对称.函数y=f(|x|)：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=f(|x|)的图象．例5 用函数单调性定义证明函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 思路解析：函数单调递增：x 1＜x 2⇒f （x 1）＜f （x 2）;或先论证)()(21x f x f ＜1，又f （x 2）＞0⇒f （x 1）＜f （x 2）.证明：在（-∞，+∞）上任取x 1＜x 2，则)()(21x f x f =2121222x x x x -=,∵x 1-x 2＜0，∴212xx -＜1.又f （x 2）=2x2＞0，∴f （x 1）＜f （x 2）.∴函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 深化升华 在用函数单调性定义证明的过程中，除了作差法也可用作商法比较f （x 1）、f （x 2）的大小.例6 求下列函数的单调区间：（1）y=2425.0--x x ;(2)y=x112+.思路解析：将原函数“拆”成两个简单的函数，再依据复合函数的单调性求解． 解：（1）令u=x 2-4x-2,则y=0.5u.因为y=0.5u为减函数，所以y=2425.0--x x 与u=x 2-4x-2的单调性相反．又由u=x 2-4x-2=（x-2）2-6得u=x 2-4x-2在(-∞,2］为减函数，在［2,+∞)为增函数．所以y=2425.0--x x 在（-∞,2）为增函数，在［2,+∞］为减函数;（2）令u=1+x 1，则y=2u ,因为y=2u为增函数，所以y=x 112+的单调性与u=1+x 1的单调性相同．因为u=1+x1（x ≠0）所以在(-∞,0)及（0，+∞）上均为减函数,所以y=x 112+的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).拓展延伸 确定函数的单调性，利用复合函数的单调性的方法或可变形函数解析式，利用已有函数的单调性进行由里及外的层层判断，最终得出函数的单调性.但是要证明单调性必须用单调性定义.本题求函数值域也可以利用解析式变形，由里及外层层求出值域最终而得：y=1212+-x x =1-122+x .x ∈（-∞，+∞）⇒2x ＞0⇒2x+1＞1⇒121+x ＜1，∴-2＜-122+x＜0.∴-1＜y ＜1.∴值域为（-1，1）.例7 已知函数f （x ）=a x（a ＞0，且a ≠1），根据图象判断21［f （x 1）+f （x 2）］与f （221x x +）的大小，并加以证明.思路解析：对a ＞1及0＜a ＜1两种情形的指数函数图象，分别取两点A （x 1，f （x 1））、B （x 2，f （x 2））连线段，其中21［f （x 1）+f （x 2）］就是这线段中点M 的函数值，f （221x x +）就是图象上弧线段与直线x=221x x +的交点M 的函数值，如下图.显然无论哪一种情形总有点N 在点M 下方. ∴f （221x x +）＜21［f （x 1）+f （x 2）］. 证明：f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）=2222)(2112121x x x x xx a aaa a -=-++.由x 1≠x 2，∴21x ≠22x .∴2221xxa a -≠0，∴222)(21xxa a -＞0.∴f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）＞0. 深化升华 通过数形结合我们不难发现凸凹函数的性质. 若f （x ）是凸函数，则f （221x x +）≥21［f （x 1）+f （x 2）］； 若f （x ）是凹函数，则f （221x x +）≤21［f （x 1）+f （x 2）］. 例8 方程2x-1=2x 的实数解的个数为（ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个 思路解析：这不是我们所学的代数等式,也不可能转化成代数式,只有数形结合观察图象交点才能解决.答案：2x-1=2x 可化为2x=2x+1，令⎩⎨⎧+==122x y y x 在同一坐标系中画出y=2x及y=2x+1的图象．如右图所示，可以看出它们图象有两个交点．故选C.深化升华 遇到等式两边的形式属于不同类型的函数而且直接处理无法进行时，这时应联想到用数形结合来解决．。
2.1.2指数函数及其性质2
③ 1.7 ，0.9
0 .3
3.1
解③ ：根据指数函数的性质，得 3.1 0.3 1.7 1 且 0.9 1
3.2
3.2
3
3
2.8
2.8
2.6
2.6
2.4
2.4
2.2
2.2
2
2
1.8
1.8
fx = 0.9x
fx = 1.7x
1.6
1.6
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
2a 1 1 1 a a , 且a 1 2
1 2 a 1
作出函数图像： 1。列表 2。描点
3。连线
y
y= 2- x
4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3
y=2x
x
指数函数: y=ax (a >0且a=1) a>1 0<a<1 y y y=ax y=ax 图 (0<a<1) (a>1)
(0,1)
y=1
y=1
(0,1)
象
0
当 x < 0 时，0＜y < 1； 定
x
0
x
当 义 域 : R x < 0 时，y > 1； 性 当 x > 0 时，y域 : ( 0 , + ∞ 当)x > 0 时，0＜y < 1 。 值 > 1. 必过 点： 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . ( 质 在 R 上是 增函数 在 R 上是 减函数
a 和a
1 2
1 3
的大小，其中a>0
2.1.2 指数函数的概念与性质 (必修一 数学 优秀课件)
二、指数函数的图像和性质
1 x 1、在方格纸上画出： y2 ,y 1 ,y 3 ,y 2 3
x x x
的图像，并分析函数图象有哪些特点？ 画函数图象的步骤：
列表 描点 连线
列表： x
y2
x
x
-2
1 4
-1
1 2
0
1
2
1
1 1
2
1 2
4
1 4
1 y 2
0.3 y a x3.1 1.R 3 上的减函数， 当0 a 1 时， 是 又∵ 2.5<3 1.7 0.9 ∴函数 y=a 为减函数
3 ∴ 又∵ 1.72.5 < 1.7 , x=1.3>0
a3 a2
∴0.81.3>0.61.3
比较指数幂大小的方法：
①同底异指：构造函数法(一个), 利用函数的单 调性,若底数是参变量要注意分类讨论。 ②异底同指:构造函数法(多个),利用函数图象在 y轴左右两侧的特点。 ③异底异指:寻求中间量
记忆方法
一撇，一捺
性质补充
• 1.底数互为倒数的两个指数函数，即 y=ax与y=(1/a)x的图象关于y轴对称。 • 2.当a>1时，a越大，曲线越靠近y轴。 当a<0时，a越小，曲线越靠近y轴。所 谓越靠近y轴，就是表明随着x的增大， y的值增长的速度越快。 • 3.指数函数都不具有奇偶性。
学以致用
x
定义：形如y a (a 0且a 1)的函数称为指数函数； 其中x是自变量，函数的定义域为R.
注意 ：
（1）ax为一个整体，前面系数为1； （2）a>0,且 a≠1 ; （3）自变量x在幂指数的位置且为单个x；
高一数学必修1：2.1.2《指数函数及其性质的应用》课件
例3 求下列函数的定义域:
1
(1) y 5 x1 ;(2) y 2 x4 .
问题提出 1.什么是指数函数？其定义域是什么？大致 图象如何？
2.任何一类函数都有一些基本性质，那么指 数函数具有那些基本性质呢？
知识探究（一）：函数 y ax (a 1) 的性质
考察函数
y ax (的a图象:1)
一
2
想 共同点？
指数函数定义：
函数 y=ax （a>0,a≠1）叫做指数函数,
其中x是自变量，函数的定义域为R
探究1：为什么要规定a>0,且a 1呢？
①若a=0，则当x≤0时， ax无意义
②若a<0，对于x的某些数值，可能使 ax无意义11来自如：a 2、a 4等等
③若a=1，则对于任何x R，
a x =1，是一个常量，没有研究的必要性.
思考3:上述函数在其结构上有何共同特点？
思考4:我们把形如 y ax的函数叫做指数函
数，其中x是自变量.为了便于研究，底数a的 取值范围应如何规定为宜？
a 0, a 1
思考5:指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的定义 域是什么？
知识探究（二）:指数函数的图象 思考1:研究函数的基本特性，一般先研究其
探究2：函数 y 2 3x是指数函数吗？
不是！指数函数中要求 a x的系数必须是1
思考:下列函数是指数函数吗,为什么?
y 2x2 y 4x2 y x y 2x
指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
y 2x
列表如下：
y
1
x
2
x -3 -2 -1
2 x 0.13 0.25 0.5
2.1.2指数函数图象及性质(二)
若把函数 f ( x ) 的图象向左平移2 个单位, y=3(x+2)2 则得到函数 ____________ 的图象； 若把函数 f ( x ) 的图象向下平移 3 个单位, y=3x2－3 则得到函数 _________ 的图象； 若把函数 f ( x ) 的图象向上平移 4 个单位, y=3x2+4 则得到函数 _________ 的图象.
C. 0 a 1, 且 b 0 B. a 1, 且 b 0 D. a 1, 且 b 0
y
o
x
0 a 1, 1 b 1 0,
主页
§2.1.2指数函数及其性质(二) y ( 1 ) x 作出函数图象,求定义域、 例1. 已知函数 2 y ( 1 )| x| 的关系. 值域,并探讨与图象 2
y
2
o -2
- x 1
x
所以当x＜0时, f ( x ) 2
主页
.
§2.1.2指数函数及其性质(二)
1.图像过定点问题
由于函数y＝ax(a＞0,且a≠1)恒经过定点 (0,1),因此指数函数与其它函数复合会产生一 些丰富多彩的定点问题
例2.函数y＝ax-3＋2(a＞0,且a≠1)必经 过哪个定点？ (3, 3)
点评:函数y＝ax-3＋2的图象恒过定点(3,３),实 际上就是将定点(0,1)向右平移3个单位,向上平 移2个单位得到.
主页
§2.1.2指数函数及其性质(二)
【1】函数y＝ax+5-1（a＞0,且a≠1）必经 过哪个定点？ ( 5, 0)
【2】函数 y a b=____. 1
x b
2 恒过定点(1,3)则
1 ) x12 2 x1 , f ( x ) ( 1 ) x22 2 x 2 , 则 f ( x1 ) ( 5 2 5
高中数学第二章2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质(二)学案(含解析)新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质(二)学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数的性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式．知识点一 不同底指数函数图象的相对位置思考 y ＝2x与y ＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？答案 经描点观察，在y 轴右侧，2x＜3x，即y ＝3x图象在y ＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y 轴左侧反转，y ＝2x在y ＝3x图象上方．梳理 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：(1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x ＝1时，y ＝a 去理解，如图．(2)指数函数y ＝a x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x (a ＞0且a ≠1)的图象关于y 轴对称．知识点二 比较幂的大小思考 若x 1＜x 2，则1x a 与2xa (a ＞0且a ≠1)的大小关系如何？ 答案 当a ＞1时，y ＝a x在R 上为增函数，所以12,x xa a < 当0＜a ＜1时，y ＝a x在R 上为减函数，所以12.x xa a > 梳理 一般地，比较幂大小的方法有：(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 知识点三 解指数方程、不等式 简单指数不等式的解法(1)形如af (x )＞ag (x )的不等式，可借助y ＝a x的单调性求解；(2)形如a f (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解；(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x ，y ＝b x的图象求解． 知识点四 与指数函数复合的函数单调性 思考 112xy ⎛⎫=⎪⎝⎭的定义域与y ＝1x 的定义域是什么关系？112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性与y ＝1x 的单调性有什么关系？答案 由于y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，故112xy ⎛⎫=⎪⎝⎭的定义域与y ＝1x 的定义域相同，故研究112xy ⎛⎫=⎪⎝⎭的单调性，只需在y ＝1x 的定义域内研究．若设0＜x 1＜x 2，则1x 1＞1x 2，121111,22x x ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不等号方向的改变与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝1x 的单调性均有关．梳理 一般地，有形如y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)函数的性质(1)函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )有相同的定义域．(2)当a >1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有相同的单调性；当0<a <1时，函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反．1．y ＝21－x是R 上的增函数．( × )2．若0.1a>0.1b，则a >b .( × )3．a ，b 均大于0且不等于1，若a x＝b x，则x ＝0.( × )4．由于y ＝a x(a >0且a ≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．( × )类型一 解指数方程 例1 解下列方程．(1)81×32x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19x ＋2；(2)22x ＋2＋3×2x－1＝0.考点 指数方程的解法题点 指数方程的解法解 (1)∵81×32x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19x ＋2，∴32x ＋4＝3－2(x ＋2)，∴2x ＋4＝－2(x ＋2)， ∴x ＝－2. (2)∵22x ＋2＋3×2x－1＝0，∴4×(2x )2＋3×2x－1＝0.令t ＝2x(t ＞0)，则方程可化为4t 2＋3t －1＝0， 解得t ＝14或t ＝－1(舍去)．∴2x＝14，解得x ＝－2.反思与感悟 (1)af (x )＝b 型通常化为同底来解．(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍． 跟踪训练1 解下列方程． (1)33x －2＝81；(2)5x＝325； (3)52x－6×5x＋5＝0. 考点 指数方程的解法 题点 指数方程的解法 解 (1)∵81＝34，∴33x －2＝34，∴3x －2＝4，解得x ＝2.(2)∵5x＝325，23255,x ∴=∴x 2＝23，解得x ＝43. (3)令t ＝5x，则t >0，原方程可化为t 2－6t ＋5＝0， 解得t ＝5或t ＝1，即5x＝5或5x＝1， ∴x ＝1或x ＝0.类型二 指数函数单调性的应用 命题角度1 比较大小例2 比较下列各题中两个值的大小．(1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3；(3)1.70.3,0.83.1. 考点 指数幂的大小比较 题点 比较指数幂大小解 (1)∵1.7＞1，∴y ＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数． ∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.(2)方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y ＝1.7x的图象位于y ＝1.5x的图象的上方． 而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.方法二 ∵1.50.3＞0，且1.70.31.50.3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1.71.50.3，又1.71.5＞1,0.3＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1.71.50.3＞1，∴1.70.3＞1.50.3. (3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1， ∴1.70.3＞0.83.1.反思与感悟 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小． (1)0.8－0.1,1.250.2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π，1； (3)0.2－3，(－3)0.2. 考点 指数幂的大小比较 题点 比较指数幂大小解 (1)∵0＜0.8＜1，∴y ＝0.8x在R 上是减函数． ∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，即0.8－0.1＜1.250.2.(2)∵0＜1π＜1，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx 在R 上是减函数．又∵－π＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1π0＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞1.(3)0.2－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫210－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－3＝53，210.2105(3)(3)3,-=-=1135333,5125 3.∴<==>1330.2535,(3).-∴<>-即0.2命题角度2 解指数不等式 例3 解关于x 的不等式：a 2x ＋1≤ax －5(a >0，且a ≠1)．考点 指数不等式的解法 题点 指数不等式的解法 解 ①当0<a <1时，∵a2x ＋1≤ax －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6. ②当a >1时，∵a2x ＋1≤ax －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥－6}；当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤－6}．反思与感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响． 跟踪训练3 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x，则x 的取值范围是________．考点 指数不等式的解法 题点 指数不等式的解法答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 ∵a 2＋a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋74>1，∴(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x⇔x >1－x ⇔x >12.∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 类型三 求与指数函数复合的函数的单调区间 例4 (1)求函数261712x x y ⎛⎫⎪⎝⎭－＋＝的单调区间；(2)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋17的单调区间．考点 指数函数的单调性 题点 指数型复合函数的单调区间解 (1)函数261712x x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝的定义域为R .在(－∞，3]上，y ＝x 2－6x ＋17是减函数， ∴261712x x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝在(－∞，3]上是增函数．在[3，＋∞)上，y ＝x 2－6x ＋17是增函数， ∴261712x x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝在[3，＋∞)上是减函数．∴261712x x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞)．(2)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋17的定义域为R .设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >0，又y ＝t 2－8t ＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤4，得x ≥－2， ∴当－2≤x 1<x 2时，12114,22x x⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥即4≥t 1>t 2，∴t 21－8t 1＋17<t 22－8t 2＋17.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋17的单调增区间是[－2，＋∞)．同理可得减区间是(－∞，－2]．反思与感悟 复合函数单调性问题归根结底是由x 1<x 2到f (x 1)与f (x 2)的大小，再到g (f (x 1))与g (f (x 2))的大小关系问题． 跟踪训练4 求下列函数的单调区间．223(1);x x y a +-=(2)y ＝10.2x －1.考点 指数函数的单调性 题点 指数型复合函数的单调区间 解 (1)设y ＝a u ，u ＝x 2＋2x －3，由u ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得u 在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数． 当a >1时，y 关于u 为增函数； 当0<a <1时，y 关于u 为减函数，∴当a >1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]； 当0<a <1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞)． (2)已知函数的定义域为{x |x ≠0}． 设y ＝1u －1，u ＝0.2x ，易知u ＝0.2x为减函数． 而根据y ＝1u －1的图象可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y 是关于u 的减函数， ∴原函数的增区间为(－∞，0)和(0，＋∞).1．下列大小关系正确的是( ) A ．0.43<30.4<π0B ．0.43<π0<30.4C ．30.4<0.43<π0D ．π0<30.4<0.43考点 指数幂的大小比较 题点 比较指数幂大小 答案 B解析 0.43<0.40＝π0＝30<30.4. 2．方程42x －1＝16的解是( )A ．x ＝－32B ．x ＝32C ．x ＝1D ．x ＝2考点 指数方程的解法 题点 指数方程的解法 答案 B 解析 ∵42x －1＝42，∴2x －1＝2，x ＝32.3．函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)考点 指数函数的单调性 题点 指数型复合函数的单调区间 答案 A解析 ∵211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0<12<1，∴f (x )的单调递增区间为u (x )＝x 2－1的单调递减区间，即(－∞，0]．4．设0＜a ＜1，则关于x 的不等式22232223x x x x a a －＋＋－＞的解集为________．考点 指数不等式的解法 题点 指数不等式的解法 答案 (1，＋∞)解析 ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x在R 上是减函数， 又∵22232223x x x x aa －＋＋－＞，∴2x 2－3x ＋2＜2x 2＋2x －3，解得x ＞1. 5．f (x )＝2x＋2－x的奇偶性是________． 考点 与指数函数相关的函数的奇偶性 题点 与指数函数相关的函数的奇偶性 答案 偶函数解析 f (x )的定义域为R .f (－x )＝2－x ＋2－(－x )＝2x ＋2－x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数．1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y ＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m<c 且c <b n，则a m<b n；若a m>c 且c >b n ，则a m >b n .2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x>a y的不等式，可借助y ＝a x的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1两种情况进行讨论．(2)形如a x>b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解． (3)形如a x>b x 的不等式，可借助图象求解． 3．(1)研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1.当a >1时，y ＝af (x )与f (x )单调性相同． 当0<a <1时，y ＝af (x )与f (x )单调性相反．(2)研究y ＝f (a x)型单调区间时，要注意a x属于f (u )的增区间还是减区间．一、选择题1．设x <0，且1<b x <a x，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <aD ．1<a <b考点 指数不等式的解法 题点 指数不等式的解法 答案 B解析 ∵1<b x<a x，x <0，∴0<a <1,0<b <1. 当x ＝－1时，1b <1a，即b >a ，∴0<a <b <1.2．函数y ＝a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( ) A ．6B ．1C ．3D.32考点 指数函数的最值题点 根据指数函数的最值求底数 答案 C解析 函数y ＝a x在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3. 3．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的关系为( ) A ．m ＋n <0 B ．m ＋n >0 C ．m >nD ．m <n考点 指数不等式的解法 题点 指数不等式的解法 答案 D 解析 ∵0<5－12<1，∴f (x )＝a x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x 在R 上单调递减， 又∵f (m )>f (n )，∴m <n ，故选D. 4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]考点 指数函数的单调性 题点 指数型复合函数的单调区间 答案 B解析 由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13(a ＝－13舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 故选B.5．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2考点 指数幂的大小比较 题点 比较指数幂大小 答案 D 解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5＝21.5， 根据y ＝2x 在R 上是增函数， 得21.8>21.5>21.44，即y 1>y 3>y 2，故选D.6．设f (x )＝|3x－1|，c <b <a 且f (c )>f (a )>f (b )，则下列关系式中一定成立的是( ) A ．3c≤3bB ．3c >3bC ．3c＋3a>2D ．3c＋3a<2考点 指数函数性质的综合应用 题点 指数函数的综合问题 答案 D解析 f (x )＝|3x－1|的图象如下．由c ＜b ＜a 且f (c )>f (a )>f (b )可知c ，b ，a 不在同一个单调区间上． 故有c <0，a >0.∴f (c )＝1－3c，f (a )＝3a－1.∴f (c )>f (a )，即1－3c >3a －1,3c ＋3a <2.7．已知函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )，若f (x )是偶函数，记a ＝m ，若f (x )是奇函数，记a ＝n ，则m ＋2n 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．－1考点 与指数函数相关的函数的奇偶性题点 与指数函数相关的函数的奇偶性答案 B解析 当f (x )是偶函数时，f (x )＝f (－x )，即x (e x ＋a e －x )＝－x (e －x ＋a e x )，即(1＋a )(e x ＋e －x )x ＝0，因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1，即m ＝－1.当f (x )是奇函数时，f (x )＝－f (－x )，即x (e x ＋a e －x )＝x (e －x ＋a e x )，即(1－a )(e x －e －x)x ＝0，因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝1，即n ＝1，所以m ＋2n ＝1.8．若存在正实数x 使2x (x －a )<1，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞) 考点 指数函数的单调性题点 根据指数函数的单调性求参数的取值范围答案 D解析 由2x (x －a )<1，得a >x －12x (x >0)， 令f (x )＝x －12x ，即a >f (x )有解，则a >f (x )min ，又f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴f (x )>f (0)＝－1，∴a >－1.故选D.二、填空题 9．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13245x x －－的单调递减区间是________． 考点 指数函数的单调性题点 指数型复合函数的单调区间答案 (2，＋∞)解析 函数由f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ，t (x )＝x 2－4x －5复合而成，其中f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 是减函数，t (x )＝x 2－4x －5在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为(2，＋∞)．10．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f (x )(mg/mL)随时间x (h)变化的规律近似满足解析式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x >1.规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02mg/mL ，据此可知，此驾驶员至少要过______h 后才能开车．(精确到1h)考点 指数函数的实际应用题点 指数函数的实际应用答案 4解析 当0≤x ≤1时，125≤5x －2≤15，此时不宜开车；由35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤0.02，可得x ≥3.10.故至少要过4h 后才能开车．11．若4x ＋2x ＋1＋m >1对一切实数x 成立，则实数m 的取值范围是__________．考点 指数函数性质的综合应用题点 与指数函数有关的恒成立问题答案 [1，＋∞)解析 4x ＋2x ＋1＋m >1等价于(2x )2＋2·2x ＋1>2－m ，即(2x ＋1)2>2－m .∵2x ∈(0，＋∞)， ∴2x ＋1∈(1，＋∞)，∴2－m ≤1，解得m ≥1.三、解答题12．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x－1.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>0；(2)当a ＝12，x ∈[0,2]时，求f (x )的值域． 考点 指数函数性质的综合应用题点 与指数函数有关的恒成立问题解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1. f (x )>0，即2·(2x )2－2x －1>0，解得2x >1或2x <－12(舍去)， ∴x >0，∴不等式f (x )>0的解集为{x |x >0}．(2)当a ＝12时，f (x )＝4x －2x －1，x ∈[0,2]．设t ＝2x，∵x ∈[0,2]，∴t ∈[1,4]．令y ＝g (t )＝t 2－t －1(1≤t ≤4)，画出g (t )＝t 2－t －1(1≤t ≤4)的图象(如图)，可知g (t )min ＝g (1)＝－1，g (t )max ＝g (4)＝11，∴f (x )的值域为[－1,11]．13．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，(1)写出f (x )的单调区间；(2)求不等式f (x )<－12的解集． 考点 指数函数性质的综合应用题点 与指数函数有关的恒成立问题解 (1)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．(2)f (x )<－12＝－f (1)＝f (－1)， 由(1)知f (x )在R 上是增函数，∴x <－1.即f (x )<－12的解集为(－∞，－1)． 四、探究与拓展14．设f (x )满足f (x )＝f (4－x )，且当x >2时，f (x )是增函数，则a ＝f (1.10.9)，b ＝f (0.91.1)，c ＝f (2)的大小关系是________．(按由大到小排列)考点 指数幂的大小比较题点 比较指数幂大小答案 b >a >c解析 ∵f (x )＝f (4－x )，∴f (x )关于x ＝2对称．又∵f (x )在(2，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(－∞，2)上是减函数．又∵1.10.9>1,0<0.91.1<1，∴0.91.1<1.10.9<2，∴f (0.91.1)>f (1.10.9)>f (2)，即b >a >c .15．已知函数f (x )＝3x ＋k ·3－x 为奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若关于x 的不等式f (9221ax x －－)＋f (1－3ax －2)<0只有一个整数解，求实数a 的取值范围． 考点 指数函数性质的综合应用题点 指数函数的综合问题解 (1)显然f (x )的定义域为R .∵f (x )是奇函数，∴f (x )＋f (－x )＝3x ＋k ·3－x ＋3－x ＋k ·3x＝(k ＋1)(3x ＋3－x )＝0对一切实数x 都成立，∴k ＝－1.(2)由(1)可知f (x )为R 上的增函数，又f (x )是奇函数，∴f (9221ax x －－)＋f (1－3ax －2)<0⇒9221ax x －－<3ax －2－1⇒3224ax x －<3ax －2⇒2ax 2－4x <ax －2 ⇒(ax －2)(2x －1)<0.当a ≤0时，显然不符合题意；当a >0时，由不等式只有一个整数解，可知不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2a ，且1<2a ≤2⇒1≤a <2， ∴实数a 的取值范围是[1,2)．。
教学设计6：2.1.2 指数函数及其性质
§2.1.2 指数函数及其性质【入门向导】指数函数图象诗歌鉴赏多个图象像束花，(0,1)这点把它扎． 撇增捺减无例外，底互倒时纵轴夹． x ＝1为判底线，交点y 标看小大． 重视数形结合法，横轴上面图象察．此诗每行字数相等，且押韵，读起来倍感顺口，内容简洁明了，使读者在无形之中把指数函数图象的特点牢记于心．如图所示的就是上面举的指数函数的图象．不难看出，它们就像一束花．每个指数函数的图象都经过(0,1)这点，所以说“(0,1)这点把它扎”就顺理成章了．对于指数函数的图象来说，“撇增捺减”就绝对是事实．当a >1时，从左往右看指数函数y ＝a x 的图象是上升的，类似于汉字中的撇，这时，指数函数y ＝a x 是增函数；当0<a <1时，从左往右看指数函数y ＝a x 的图象是下降的，类似于汉字的捺，这时，指数函数y ＝a x 是减函数．由y ＝2x 和y ＝(12)x 的图象，可以看出它们是关于y 轴对称的．而底数2与12是倒数，所以自然而然地得到“底互倒时纵轴夹”，这也可以从y ＝3x 和y ＝(13)x 的图象中得到充分的体现．解读指数函数图象的应用 一、要点扫描学习指数函数要记住图象，理解图象，由图象能说出它的性质．关键在于弄清楚底数a 对于函数值变化的影响，对于a >1与0<a <1时函数值变化的情况不同，不能混淆，为此必须利用图象，数形结合．二、指数函数的图象及性质 a >10<a <1图象图 象图象分布在一、二象限，与y 轴相交，落在x 轴的上方都过点(0,1)特 征第一象限的点的纵坐标都大于1； 第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1； 第二象限的点的纵坐标都大于1从左向右图象逐渐上升从左向右图象逐渐下降性 质定义域为R值域为(0，＋∞)图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1x >0⇔y >1； x <0⇔0<y <1 x >0⇔0<y <1； x <0⇔y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数三、图象应用 1．比较大小例1 若a <0，则2a ，(12)a,0.2a 的大小顺序是________．解析 分别作出函数y ＝2x ，y ＝(12)x 和y ＝0.2x 的图象，如图所示，从图象可以看出，当a <0时，有0.2a >(12)a >2a .答案 0.2a >(12)a >2a点评 本题涉及三个指数函数图象，因此在作图时，一定要抓住图象的特征点(0,1)或特征线y ＝1及指数函数图象的走向正确作图：当a >1时，底数a 越大图象越陡；当0<a <1时，底数a 越小图象越陡．2．求解方程根的问题例2 确定方程2x ＝－x 2＋2的根的个数．解 根据方程的两端分别设函数f (x )＝2x ，g (x )＝－x 2＋2.在同一坐标系中画出函数f (x )＝2x 与g (x )＝－x 2＋2的图象，如图所示． 由图可以发现，二者仅有两个交点，所以方程2x ＝－x 2＋2的根的个数为2.点评 利用指数函数的图象确定方程的根的关键是要正确作出方程两端对应的函数的图象，遇到含有参数的方程时，还要注意分类讨论．3．求解参数问题例3 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|＋1(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析 当a >1时，通过平移变换和翻折变换可得如图1所示的图象，则由图可知1<2a <2， 即12<a <1与a >1矛盾．当0<a <1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图2所示的图象， 则由图可知1<2a <2， 即12<a <1，即为所求． 答案 12<a <1点评 (1)解答此题时要注意底数的不确定性，因此作图时要注意讨论；(2)根据条件确定直线y ＝2a 与函数的图象位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果，其处理的过程体现了数形结合的思想．指数函数定义学习中的两个注意点定义：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R . 注意点1：为什么要规定a >0且a ≠1呢？ (1)若a ＝0，则当x >0时，a x ＝0； 当x ≤0时，a x 无意义．(2)若a <0，则对于x 的某些数值，可使a x 无意义．如(－2)x ，这时对于x ＝14，x ＝12，…在实数范围内函数值不存在．(3)若a ＝1，则对于任意x ∈R ，a x ＝1是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况，所以规定a >0且a ≠1.在规定以后，对于任意x ∈R ，a x 都有意义，且a x >0.因此指数函数的定义域是R ，值域是(0，＋∞)．注意点2：函数y ＝3·(12)x 是指数函数吗？根据定义，指数函数的解析式y ＝a x 中，a x 的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y ＝a x ＋k (a >0且a ≠1，k ∈Z )；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y ＝a －x (a >0且a ≠1)，因为它可以化为y ＝(1a )x ，其中1a >0，且1a≠1.习根式和分数指数幂的运算三注意有关根式和分数指数幂的运算，和我们学过的加、减、乘、除运算一样，是十分重要的，它也是我们继续学习指数函数和对数函数的基础．由于这一部分内容的概念较多，初学时很容易出错，首先要注意以下三点．(1)根式的运算中，有开方和乘方两种情况并存的情况，此时要注意两种运算的顺序是否可换．如当a ≥0时，n a m ＝(na )m ，而当a <0时，则不一定可换，应视m ，n 的情况而定．(2)分数指数幂不能对指数随意约分．(3)对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数，不能同时含有分母和负指数．错例分析一、有关方根的概念不清与忽视方根的性质致错分析 例4 设f (x )＝x 2－4，且0<a ≤1，求f (a ＋1a )的值．错解 f (a ＋1a)＝（a ＋1a）2－4＝（a －1a ）2＝a －1a.剖析 在开方运算中忽视根式的两个重要性质： (1)当n 为奇数时，na n ＝a ； (2)当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.性质(2)在解题中是很容易被忽视的，因为此时的n 为偶数，所以不论a 取怎样的值，na n总有意义．因此在上面的解答中应有：由0<a ≤1，得1a ≥1，所以1a －a ≥0，从而（a ＋1a）2－4＝ (a －1a )2＝|a －1a |＝1a－a .教材中，规定了正分数指数幂的意义a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且mn 为既约分数)，从而指数的概念扩充到了有理数指数，继而又扩充到了实数指数．这时底数、指数的范围发生了变化，这在解题中是很容易被忽视的，由于在后面有关指数函数求定义域的问题中经常用到，这里就不再赘述．三、指数函数图象出错例5 根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？错解由方程|2x－1|＝m可得2x＝1±m，结合指数函数的图象(如图)可知：当2x＝1±m≤0，即m≤－1或m≥1时，方程|2x－1|＝m无解；当2x＝1±m>0，即－1<m<1时，方程|2x－1|＝m有一解；不存在实数m使方程|2x－1|＝m有两解．剖析不能充分理解函数图象的交点与方程解的关系．没有充分结合指数函数的图象的变换加以解答．可以把这个问题加以转换，将求方程|2x－1|＝m的解的个数转化为求两个函数y＝|2x－1|与y＝m的图象交点个数去理解，而不能结合运算加以分析，这样容易导致错误．正解函数y＝|2x－1|的图象可由指数函数y＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示．函数y＝m的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当m<0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m无解；当m＝0或m≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m有一解；当0<m<1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x－1|＝m有两解．点评由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点的个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以分析，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键.指数运算中的几种变形技巧常见的指数运算问题有：化简、求值、证明等，而分数指数幂的引入为这类问题的解决增加了难度，为帮助大家更好的学习，本文就这类问题的求解方法试作分析．一、逆用公式例1 已知a ＝5，b ＝311，c ＝6123，试比较a ，b ，c 的大小． 解 因为a ＝5＝653＝6125， b ＝311＝6112＝6121，c ＝6123， 而121<123<125，所以a >c >b . 即5>6123>311.例2 计算(3－2)2 008·(3＋2)2 009.分析 注意到两个底数3＋2与3－2互为有理化因式，且它们的指数相差不大，所以互化为同指数计算．解 原式＝(3－2)2 008·(3＋2)2 008·(3＋2) ＝[(3－2)·(3＋2)]2 008·(3＋2) ＝12 008·(3＋2)＝3＋ 2. 五、化负为正例3 化简4x4x ＋2＋41－x 41－x ＋2.解 方法一 原式＝4x4x ＋2＋41－x ·4x 41－x ·4x ＋2·4x＝4x 4x ＋2＋44＋2×4x ＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝4x ＋24x ＋2＝1. 方法二 原式＝4x4x ＋2＋4·4－x 4·4－x ＋2·4x ·4－x＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x＝1. 点评 对于式子41－x41－x ＋2，方法一是利用分子分母同时乘4x 化简，而方法二是把2写成2·4x ·4－x ，通过约分化简，两种方法都是巧用4x ·4－x ＝1实现化简的．数函数常见题型解法探究 一、指数函数的定义例4 已知指数函数f (x )的图象经过点(2,4)，试求f (－12)的值．解 设指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)，由已知得f (2)＝4，即a 2＝4(a >0，a ≠1)，所以a ＝2.故f (－12)＝2－12＝22.二、考查指数的运算性质例5 若f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝e x ＋e －x2，则f (2x )等于( )A ．2f (x )B ．2g (x )C ．2[f (x )＋g (x )]D ．2f (x )·g (x )解析 f (2x )＝e 2x －e－2x 2＝(e x ＋e －x )(e x －e －x )2＝2·(e x ＋e －x )(e x －e －x )4＝2f (x )·g (x )．故选D. 答案 D三、指数函数的单调性例6 设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2解析 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5.由于指数函数f (x )＝2x 是R 上的增函数，且1.8>1.5>1.44，所以y 1>y 3>y 2，选D.答案 D四、定义域和值域例7 已知函数y ＝f (x )的定义域为(1,2)，则函数y ＝f (2x )的定义域为________． 解析 由函数的定义，得1<2x <2⇒0<x <1. 所以应填(0,1)． 答案 (0,1)五、图象过定点问题例8 已知不论a 为何正实数，y ＝a x ＋1－2的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________．解析 因为指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点(0,1)，而函数y ＝a x ＋1－2的图象可由y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位而得到，于是，定点(0,1)→(－1,1)→(－1，－1)．所以函数y ＝a x ＋1－2的图象恒过定点(－1，－1)．答案 (－1，－1) 六、图象依据：(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象；(2)函数y ＝f (x )的图象与y ＝f (x ＋a )、y ＝f (x )＋b 、y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝|f (x )|、y ＝f (|x |)的图象之间的关系．例9 利用函数f (x )＝2x 的图象，作出下列各函数的图象： (1)y ＝f (x －1)；(2)y ＝f (|x |)；(3)y ＝f (x )－1； (4)y ＝－f (x )；(5)y ＝|f (x )－1|.解 利用指数函数y ＝2x 的图象及变换作图法可作所要作的函数图象．其图象如图所示：点评 函数y ＝2|x |，y ＝2－|x |，y ＝|2x －1|的值域和单调性如何？七、考查参数的取值范围例10 已知函数y ＝a a 2－2(a x －a －x )(a >0，a ≠1)在(－∞，＋∞)上递增，求a 的取值范围．解 设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)<0， 即aa 2－2(ax 1－a －x 1)－aa 2－2(ax 2－a －x 2) ＝a a 2－2(ax 1－ax 2)(1＋1ax 1＋x 2)<0， 所以(a 2－2)(ax 1－ax 2)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2>0ax 1－ax 2<0.或⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2<0，ax 1－ax 2>0.解得a >2或0<a <1. 异底指数比大小五法 一、化同底例11 比较20.6，(12)－0.7,80.3的大小．解 化同底得20.6，(12)－0.7＝20.7,80.3＝20.9.因为函数y ＝2x 在R 上是增函数，且0.6<0.7<0.9， 所以20.6<20.7<20.9，即20.6<(12)－0.7<80.3.点评 因为化同底后即可运用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．二、商比法例12比较下列两个数的大小：1.1－0.2与1.3－0.1.解 因为1.1－0.21.3－0.1＝(1.211.3)－0.1＝(1.31.21)0.1>(1.31.21)0＝1，所以1.1－0.2>1.3－0.1.点评 不同底但可以化为同指数的两数比较大小，用商比法即可迎刃而解，这时要特别注意分母的正负．三、取中间值例13下列大小关系正确的是( ) A ．0.43<30.4<π0 B ．0.43<π0<30.4 C ．30.4<0.43<π0D ．π0<30.4<0.43解析 因为π0＝1,0.43<0.40＝1,30.4>30＝1， 所以0.43<π0<30.4，故选B. 答案 B点评 不同底也不同指数时比较大小，宜先与中间值0或1比较大小，再间接地得出所求解．四、估算法例14 若3a ＝0.618，a ∈[k ，k ＋1]，则k ＝________. 解析 因为k ≤a ≤k ＋1，所以3k ≤3a ≤3k ＋1. 把3a ＝0.618代入得3k ≤0.618≤3k ＋1.估算得13≤0.618≤1，即3－1≤0.618≤30.解得k ＝－1.答案 －1点评 估算法既可快速达到比较大小的目的，又可培养同学们的估算能力，它是同学们必备的一种技能，在考试中解答填空、选择题时可用．五、图解法例15 已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，下列五个关系式：①0<b <a ； ②a <b <0； ③0<a <b ； ④b <a <0； ⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 在同一坐标系中，分别画出函数y ＝(12)a ，y ＝(13)b 的图象．由图观察可知，当b <a <0时，等式(12)a ＝(13)b 不可能成立；又当0<a <b 时，等式(12)a ＝(13)b 也不可能成立，故选B.答案 B点评 把所要比较的指数化为指数函数，在同一坐标系中画出它们的图象，可以直观地看出其中的大小关系．指数函数考什么？1．(福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解； ②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1， ∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. 答案 A2．(全国Ⅰ高考)已知函数f (x )＝a －12x ＋1.若f (x )为奇函数，则a ＝________.解析 ∵定义域为R ，且函数为奇函数， ∴f (0)＝0，即a －12＝0，∴a ＝12.答案 123．(全国高考)函数y ＝－e x 的图象( ) A ．与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 B ．与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称 C ．与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 D ．与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解析 函数y ＝－e x 与y ＝e －x 的自变量x 取相反数时，函数值y 也为相反数，所以其图象关于原点对称．答案 D4．(湖北高考)若函数y ＝a x ＋b －1 (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则必有( )A ．a >0，b <1B ．0<a <1，b <0C ．0<a <1，b >0D ．a >1，b <0解析 数形结合是解题中常用的方法之一，熟练掌握基本初等函数的图象及性质是利用数形结合法解题的前提．由指数函数y ＝a x 向下平移1－b 个单位，使1－b >1即可得知．答案 B5．(湖北高考)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x ) 解析 ∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x .又∵f (x )＋g (x )＝e x ，∴g (x )＝e x －e －x 2. 答案 D。
《2.1.2指数函数及其性质(2)》导学案3
《2.1.2指数函数及其性质（2）》导学案3
学习目标
1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；
2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域；
学习重点
灵活应用指数函数的图像和性质
学习难点
指数函数的图像和性质的应用
学习过程
一．复习：
1.指数函数的定义：
2.指数函数的图像及其性质：
3.函数x a a a y )232(2+-=是指数函数，则a =
4.比较下列各题中两个值的大小
(1)35.28.1,8.1 (2)1.328.067.0,3.2--
二．典型例题
例1已知指数函数()x f x a =(a ＞0且1a ≠)的图象过点(3，π)，求()0f 、
(1)(3)f f 及的值.-
例2：求下列函数的定义域
(1) 132-⎪⎭⎫ ⎝⎛=
x y (2) x y 121⎪⎭⎫ ⎝⎛= (3) 12-=x y
(4) 1-22-1x
y = (5)1a -=x y (其中 a >0，且a ≠1)
例3：求下列函数的值域
(1)x y 12= (2)x y 2x
22-=
例4：将三个数3
17.02.032,3.1,
5.1⎪⎭⎫ ⎝⎛-按从小到大的顺序排列.
三．自主练习：
1.已知指数函数)(x f 的图像过点)8,3(，求)6(f
2.求下列函数的定义域和值域. (1)12+=x y (2) 23-=x y (3) x
y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21-1
3.比较两个数的大小 (1)7171
5.2,2.3 (2)1,5434-⎪⎭⎫ ⎝⎛。
2.1.2 指数函数及其性质(第二课时)
(1) y 2 (3) y 2
x 1
(2) y 2 1
x
|x|
( 4 ) y | 2 1 |
x x
(5) y 2
(6 ) y 2
x
二、比较大小
例2 比较大小
(1) 1 .8 1
2 .2 1
(3) ( ) 3 2
_ 1 __
_ _ _ 1 .8
3
( 2 ) 0 .7 ( 4 ) 1 .9
指数函数及其性质（第二课时）
学习目标
1、掌握函数图象变换的相关问题；
2、会利用指数函数的单调性和图象比较大小；
3、会解决与指数函数相关的定义域、值域问题；
4、会判断简单复合函数的单调性
知识回顾， 课前练习
1、指数函数的定义:
y a ( a 0 , 且 a 1)
x
练习：若函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数，则 a= . 2、指数函数的图象和性质
例3 求下列函数的定义域和值域
1
(1)
y 2 x4
(2 ) y ( ) 3
2
|x|
(3 ) y 2
2xx
2
练习：
(1) y 12x (2 ) 1 y ( ) 3
3 x
三、与指数函数有关的定义域、值域问题
例4 求函数y=-9x+2×3x+3，x∈[-1,2]的值域
练习： 求函数y=4x-2x+1，x∈[-2,1]的值域
四、简单的复合函数单调性
例5 判断 f
( x) ( ) 3 1
x 2x
2
的单调性
练习： 已知函数f(x)=a-x(a>0且a≠1)满足f(-2)>f(3),则函 数g(x)=a1-x的单调递增区间为 .
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1.2指数函数及其性质(第1课时)指数函数的图象及性质
12/13/2021
第十二页，共三十八页。
(1)判断一个函数是指数函数的方法 ①看形式：只需判断其解析式是否符合 y＝ax(a>0，且 a≠1)这 一结构特征； ②明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要 有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．
12/13/2021
第十三页，共三十八页。
解析：选 B.法一：由图象可知③④的底数必大于 1，①②的底
数必小于 1.
作直线 x＝1，在第一象限内直线 x＝1 与各曲线的交点的纵坐
标即各指数函数的底数，则 1＜d＜c，b＜a＜1，从而可知 a，b，
c，d 与 1 的大小关系为 b＜a＜1＜d＜c.
法二：根据图象可以先分两类：
③④的底数大于 1，①②的底数小于 1，再Байду номын сангаас③④比较 c，d 的
12/13/2021
第十八页，共三十八页。
求解指数函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
12/13/2021
第十九页，共三十八页。
1．指数函数①f(x)＝mx，②g(x)＝nx 满足不等式 0<m<n<1，则 它们的图象是( )
第二十一页，共三十八页。
2．已知 0＜a＜1，b＜－1，则函数 y＝ax＋b 的图象必定不经过
() A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选 A.函数恒过点(0，1＋b)，因为 b＜－1，所以点(0，1 ＋b)在 y 轴负半轴上．故图象不经过第一象限．
12/13/2021
2.1.2第2课时 指数函数及其性质的应用课件人教新课标
(3)强化定义域优先的意识：
解答函数问题始终是在定义域内进行的，如本例中定义域为{x∈R|x≠0}，所以第
(3)问要分别证明 x>0，x<0 时都有 f(x)>0.
人教A版数学·必修1
[随堂训练]
1．要得到函数 y＝8·2－x 的图象，只需将函数
y＝12x 的图象(
)
A．向右平移 3 个单位长度
B．向左平移 3 个单位长度
人教A版数学·必修1
返回导航 上页
下页
第 2 课时 指数函数及其性质的应用
人教A版数学·必修1
返回导航 上页
下页
考纲定位
重难突破
1.掌握指数函数的图象和性质． 重点：利用指数函数的图象和性
2．掌握函数图象的平移变换和 质解题．
对称变换．
难点：利用函数图象的平移变换
3．会解指数函数型的应用题. 和对称变换画复杂函数的图象.
义域内为减函数，所以原函数 y＝13 x2－2x－1在[1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1]上单调递 增．
人教A版数学·必修1
返回导航 上页
下页
求 y＝af(x)单调区间的步骤： (1)确定 f(x)的定义域 D. (2)若 a>1，要求原函数的增区间，只需求定义域 D 内 f(x)的增区间；要求原函数的减区 间，只需求定义域 D 内 f(x)的减区间． 若 0<a<1，要求原函数的增区间，只需求定义域 D 内 f(x)的减区间；要求原函数的减区 间，只需求定义域 D 内 f(x)的增区间．
(2)函数 y＝a2x＋b＋1(a>0 且 a≠1，b∈R)的图象恒过定点(1,2)，则 b 的值为
________．
(3)y＝a|x|的图象关于________对称( )
精品教案 2.1.2 指数函数及其性质
2.1.2 指数函数及其性质第1课时本教学设计获福建省数学设计大赛一等奖.整体设计教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教A版)第二章第一节第二课(2.1.2)《指数函数及其性质》．根据实际情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课〔指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用(1)，指数函数及其性质的应用(2)〕，这是第一节课“指数函数的图象及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究．学生学习情况分析指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用．教材在之前的学习中给出了两个实际例子(GDP的增长问题和碳14的衰减问题)，已经让学生感受到了指数函数的实际背景，但这两个例子的背景对于学生来说有些陌生．本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望．设计思想1．函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置．如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机地结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望——持久的好奇心．我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的．本节课力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．2．在本节课的教学中我努力实践以下两点：(1)在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式．(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法．3．通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法．教学目标根据学生的实际情况，本节课的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识．重点难点教学重点：指数函数的概念、图象和性质．教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.教学过程一、创设情境、提出问题(约3分钟)师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重．师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学情预设学生可能说出很多或能算出具体数目．师：大家能否估计一下51号同学该准备的米有多重吗？教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨． 师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨．这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！设计意图用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望．在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y 表示，每位同学的座号数用x 表示，y 与x 之间的关系分别是什么？学生很容易得出y ＝2x (x ∈N *)和y ＝2x (x ∈N *)． 学情预设学生可能会漏掉x 的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x 的取值范围． 二、师生互动、探究新知 1．指数函数的定义师：其实，在本章开头的问题中，也有一个与y ＝2x 类似的关系式y ＝1.073x (x ∈N *，x ≤20)．(1)让学生思考讨论以下问题(问题逐个给出，约3分钟)：①y ＝2x (x ∈N *)和y ＝1.073x (x ∈N *，x ≤20)这两个解析式有什么共同特征？ ②它们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 设计意图引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型．学生对比已经学过的一次函数、反比例函数、二次函数，发现y ＝2x ，y ＝1.073x 是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣．引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量．师：如果可以用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成y ＝a x 的形式．自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数．(2)让学生讨论并给出指数函数的定义(约6分钟)． 对于底数的分类，可将问题分解为：①若a ＜0，会有什么问题？(如a ＝－2，x ＝12，则在实数范围内相应的函数值不存在)②若a ＝0，会有什么问题？(对于x ≤0，a x都无意义)③若a ＝1又会怎么样？(1x 无论x 取何值，它总是1，对它没有研究的必要) 师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a ＞0且a ≠1. 在这里要注意生生之间、师生之间的对话． ①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求a ＞0，且a ≠1；a ＝1为什么不行？②若学生只给出y ＝a x ，教师可以引导学生通过类比一次函数(y ＝kx ＋b ，k ≠0)、反比例函数(y ＝kx，k ≠0)、二次函数(y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0)中的限制条件，思考指数函数中底数的限制条件．学情预设设计意图①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；②讨论出a ＞0，且a ≠1，也为下面研究性质时对底数的分类做准备． 接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如y ＝2×3x，y ＝32x ，y ＝－2x .学情预设学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其他的．设计意图加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解． 2．指数函数的性质(1)提出两个问题(约3分钟)①目前研究函数一般可以包括哪些方面？ 设计意图让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三要素(对应法则、定义域、值域)和函数的基本性质(单调性、奇偶性)．②研究函数(比如今天的指数函数)可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？ 可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手(即底数取一些数值)；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考．设计意图①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)两个不同的角度对函数进行研究；②对学生进行数学思想方法(从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论)的有机渗透． (2)分组活动，合作学习(约8分钟)师：下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究．①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；②每一大组再分为若干合作小组(建议4人一小组)； ③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流． 学情预设考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导． 通过自主探索、合作学习，不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解．设计意图(3)交流、总结(约10～12分钟) 师：下面我们开一个成果展示会！教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果．教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析．这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其他性质？师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？〔〕如过定点(0，1)，y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x的图象关于y 轴对称学情预设①首先选一个从解析式的角度研究的小组上台汇报；②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；③问其他小组有没有不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化．设计意图①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的．②让学生上台汇报研究成果，使学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题，使该难点的突破显得自然．师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性，以及过定点(0,1)，但定义域、值域却不可确定；从解析式(结合列表)可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到．教师通过几何画板中改变参数a 的值，追踪y ＝a x 的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律．师生共同总结指数函数的 0＜a ＜1a ＞1(0，＋∞)过定点(0,1)非奇非偶在R 上是减函数 在R 上是增函数分钟)1．例：已知指数函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点(3，π)，求f (0)，f (1)，f (－3)的值．解：因为f (x )＝a x 的图象经过点(3，π)，所以f (3)＝π，即a 3＝π.解得13πa=，于是f (x )＝3πx .所以f (0)＝1，f (1)＝3π，f (－3)＝1π.设计意图通过本题加深学生对指数函数的理解．师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了．设计意图让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想．2．练习：(1)在同一平面直角坐标系中画出y ＝3x 和y ＝⎝⎛⎭⎫13x的大致图象，并说出这两个函数的性质；(2)求下列函数的定义域：①y=112xy⎛⎫= ⎪⎝⎭. 3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？ 学情预设学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数．设计意图①让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从多个角度进行)，让学生体会本节课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．②总结本节课中所用到的数学思想方法．③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通． 4．作业：课本习题2.1A 组 5.教学反思1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”．2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本节课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的变化过程，让学生直观地观察底数对指数函数单调性的影响．3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉地运用这些数学思想方法去分析、思考问题．指数函数及其性质的应用整体设计三维目标1．知识与技能理解指数函数的图象和性质，会利用性质来解决问题．2．过程与方法能利用指数函数的图象和性质来比较两个值的大小，图象间的平移，去探索利用指数函数的单调性来求未知字母的取值范围．3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．重点难点教学重点：指数函数的图象和性质．教学难点：指数函数的性质应用．教学过程第2课时指数函数及其性质的应用(1)导入新课思路1．复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质，下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质．如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题，这就是本堂课要讲的主要内容．教师板书课题．思路2．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在理论上，我们能否严格的证明(特别是指数函数的单调性)，以便于我们在解题时应用这些性质，本堂课我们要解决这个问题．教师板书课题：指数函数及其性质的应用(1)．应用示例例1 比较下列各题中的两个值的大小：(1)1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1.活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的方法，再写出答案(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)．比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；图1二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并评价．解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y ＝1.7x 的图象，如图1.在图象上找出横坐标分别为2.5,3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1. 解法三：利用函数单调性，(1)1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y ＝1.7x ，当x ＝2.5和3时的函数值；因为1.7＞1，所以函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y ＝0.8x ，当x ＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，所以函数y ＝0.8x 在R 上是减函数，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2；(3)因为1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，所以1.70.3＞0.93.1. 点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决，但解法三不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值．思考在上面的解法中，你认为哪种方法更实用？活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多例活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．证法一：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2－y 1＝21121(1)x x xx aa a ax -=--．因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a -，即21x xa -－1＞0.又因为1xa ＞0，所以y 2－y 1＞0，即y 1＜y 2. 所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数． 同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数．证法二：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2与y 1都大于0，则y 2y 1＝2211x x x xaaa-=.因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a -＞1，即y 2y 1＞1，y 1＜y 2.所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数．x例3 1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底 人口约为13亿；经过1年 人口约为13(1＋1%)亿；经过2年 人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿； 经过3年 人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿； ……经过x 年 人口约为13(1＋1%)x 亿； 经过20年 人口约为13(1＋1%)20亿．解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则 y ＝13(1＋1%)x ，当x ＝20时，y ＝13(1＋1%)20≈16(亿)．答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．点评：类似此题，设原值为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后总量y ＝N (1＋p )x (x ∈N )，像y ＝N (1＋p )x 等形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1)的函数称为指数型函数．知能训练1．函数y ＝a |x |(a ＞1)的图象是( )图2解析：当x ≥0时，y ＝a |x |＝a x的图象过(0,1)点，在第一象限，图象下凸，是增函数． 答案：B2．下列关系中正确的是( )A ．221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案：D3．已知函数f (x )的定义域是(0,1)，那么f (2x )的定义域是( )A ．(0,1)B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)解析：由题意得0＜2x ＜1，即0＜2x ＜20，所以x ＜0，即x ∈(－∞，0)． 答案：C4．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅ 解析：A ＝{y |y ＞0}，B ＝{y |y ≥0}，所以A B . 答案：A5．对于函数f (x )定义域中的任意的x 1、x 2(x 1≠x 2)，有如下的结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；④f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝10x 时，上述结论中正确的是__________．解析：因为f (x )＝10x ，且x 1≠x 2，所以f (x 1＋x 2)＝1212101010xxx x +=⋅＝f (x 1)·f (x 2)，所以①正确；因为f (x 1·x 2)＝1212101010xxxx ⋅≠+＝f (x 1)＋f (x 2)，②不正确；因为f (x )＝10x 是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号，所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，所以③正确．因为函数f (x )＝10x 图象如图3所示是上凹下凸的，可解得④正确．图3答案：①③④另解：④.∵10x 1＞0,10x 2＞0，x 1≠x 2，∴1210102xx +>∴1210102xx +>即121221010102x x x x ++>.∴f (x 1)＋f (x 2)2＞f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.拓展提升在同一坐标系中作出下列函数的图象，讨论它们之间的联系．(1)①y ＝3x ，②y ＝3x ＋1，③y ＝3x －1；(2)①y ＝⎝⎛⎭⎫12x，②y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，③y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1. 活动：学生动手画函数图象，教师点拨，学生没有思路，教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．解：如图4及图5.观察图4可以看出，y ＝3x ，y ＝3x ＋1，y ＝3x －1的图象间有如下关系：y ＝3x ＋1的图象由y ＝3x 的图象左移1个单位得到；y ＝3x －1的图象由y ＝3x 的图象右移1个单位得到；y ＝3x －1的图象由y ＝3x ＋1的图象向右移动2个单位得到．观察图5可以看出，y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象间有如下关系： y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象由y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象左移1个单位得到； y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象由y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象右移1个单位得到； y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象由y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象向右移动2个单位得到． 你能推广到一般的情形吗？同学们留作思考． 课堂小结 思考本节课我们主要学习了哪些知识，你有什么收获？把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容，学生互相交流学习心得，看是否与多媒体显示的内容一致．本节课，在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想，加深了对问题的分析能力，形成了一定的能力与方法．作业课本习题2.1 B 组 1,3,4.设计感想本节课主要是复习巩固指数函数及其性质，涉及的内容较多，要首先组织学生回顾指数函数的性质，为此，必须利用函数图象，数形结合，通过数与形的相互转化，借助形的直观性解决问题，本节课要训练学生能够恰当地构造函数，根据函数的单调性比较大小，有时要分a ＞1,0＜a ＜1，这是分类讨论的思想，因此加大了习题和练习的量，目的是让学生在较短的时间内，掌握学习的方法，提高分析问题和解决问题的能力，要加快速度，多运用现代化的教学手段．第3课时 指数函数及其性质的应用(2)导入新课思路1．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y ＝3x ，②y ＝3x ＋1，③y ＝3x －1的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y ＝a x 与y ＝a x ＋m (a ＞0，m ∈R )有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题：指数函数及其性质的应用(2)．思路2．我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本节课要解决的问题——指数函数及其性质的应用(2)．推进新课新知探究提出问题(1)指数函数有哪些性质？(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？(3)对复合函数，如何证明函数的单调性？(4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地，指数函数y＝a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：图象分布在一、二象限，与轴相交，落在x轴的上方都过点(0,1)第一象限的点的纵坐标都大于1第二象限的点的纵坐标都大于且小于1第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点的纵坐标都大于1从左向右图象逐渐上升从左向右图象逐渐下降①取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．④判断．根据单调性定义作出结论．(3)对于复合函数y＝f(g(x))可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f(g(x))是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f(g(x))是减函数；又简称为口诀“同增异减”．(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考查式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．应用示例例1 在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系．(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．图6比较可知函数y＝2x＋1、y＝2x＋2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图象；将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象．0.031 250.062 50.1250.250.5图7比较可知函数y＝2x－1、y＝2x－2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x－1的图象；将指数函数y＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x－2的图象．点评：类似地，我们得到y＝a x与y＝a x＋m(a＞0，a≠1，m∈R)之间的关系：y＝a x＋m(a＞0，m∈R)的图象可以由y＝a x的图象变化而来．当m＞0时，y＝a x的图象向左移动m个单位得到y＝a x＋m的图象；当m＜0时，y＝a x的图象向右移动|m|个单位得到y＝a x＋m的图象．上述规律也简称为“左加右减”．。
教学设计：2.1.2 指数函数及其性质
2．1.2 指数函数及其性质（分2个课时讲解）第1课时指数函数的概念一．教学目标：1．知识与技能①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质．③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2．情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．②培养学生观察问题，分析问题的能力．3．过程与方法展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质．二．重、难点重点：指数函数的概念和性质及其应用．难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用．三、学法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法．②教具：多媒体．教学过程提出问题1．一种放射性物质不断衰减为其他物质，每经过一年剩留量约是原来的84%，求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是_________．(y=0.84x)2．某种细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成十六个，依次类推，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的关系式是_________．(y=2x)提出问题(1)你能说出函数y=0.84x与函数y=2x的共同特征吗?(2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念?(3)为什么指数函数的概念中明确规定a>0，a≠1?(4)为什么指数函数的定义域是实数集?(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤． 活动：先让学生仔细观察，交流讨论，然后回答，教师提示点拨，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，针对学生共性的问题集中解决．问题(1)看这两个函数的共同特征，主要是看底数和自变量以及函数值． 问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量． 问题(3)为了使运算有意义，同时也为了问题研究的必要性．问题(4)在(3)的规定下，我们可以把a x 看成一个幂值，一个正数的任何次幂都有意义． 问题(5)使学生回想指数函数的定义，根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数，紧扣指数函数的形式．讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x 一个值，y 都有唯一确定的值和它对应，再就是它们的自变量x 都在指数的位置上，它们的底数都大于0，但一个大于1，一个小于1，0.84与2虽然不同，但它们是两个函数关系中的常量，因为变量只有x 和y ．(2)对于两个解析式y =0.84x 和y =2x ，我们把两个函数关系中的常量用一个字母a 来表示，这样我们得到指数函数的定义:一般地，函数y =a x (a >0，a ≠1)叫做指数函数，其中x 叫自变量，函数的定义域是实数集R ． (3)a =0时，x >0时，a x 总为0；x ≤0时，a x 没有意义．a <0时，如a =－2，x =21，a x =(－2)21=2-显然是没有意义的．a =1时，a x 恒等于1，没有研究的必要．因此规定a >0，a ≠1．此解释只要能说明即可，不要深化．(4)因为a >0，x 可以取任意的实数，所以指数函数的定义域是实数集R ．(5)判断一个函数是否是一个指数函数，一是看底数是否是一个常数，再就是看自变量是否是一个x 且在指数位置上，满足这两个条件的函数才是指数函数． 提出问题(1)前面我们学习函数的时候，根据什么思路研究函数的性质，对指数函数呢? (2)前面我们学习函数的时候，如何作函数的图象?说明它的步骤． (3)利用上面的步骤，作函数y =2x 的图象．(4)利用上面的步骤，作函数y =(21)x的图象． (5)观察上面两个函数的图象各有什么特点，再画几个类似的函数图象，看是否也有类似的特点?(6)根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出指数函数的性质吗? (7)把y =2x 和y =(21)x的图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗? (8)你能证明上述结论吗? (9)能否用y =2x 的图象画y =(21)x的图象?请说明画法的理由． 活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质，共同讨论研究指数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画得好的部分学生的图象，同时投影展示课本表21，22及图2.12，2.13及2.14，及时评价学生，补充学生回答中的不足．学生独立思考，提出研究指数函数性质的思路，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对指数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体的认识． 讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的性质．(2)一般是列表，描点，连线，借助多媒体手段画出图象，用计算机作函数的图象． (3)列表．作图如图1图1(4)列表．作图如图2图2(5)通过观察图1，可知图象左右延伸，无止境说明定义域是实数．图象自左至右是上升的，说明是增函数，图象位于x 轴上方，说明值域大于0．图象经过点（0，1），且y 值分布有以下特点，x <0时0<y <1，x >0时y >1．图象不关于x 轴对称，也不关于y 轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．通过观察图2，可知图象左右延伸，无止境说明定义域是实数．图象自左至右是下降的，说明是减函数，图象位于x 轴上方，说明值域大于0．图象经过点（0，1），x <0时y >1，x >0时0<y <1．图象不关于x 轴对称，也不关于y 轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数． 可以再画下列函数的图象以作比较，y =3x ，y =6x ，y =(31)x ，y =(61)x ．重新观察函数图象的特点，推广到一般的情形．（6）一般地，指数函数y =a x 在a >1和0<a <1的情况下，它的图象特征和函数性质如下表所示．一般地，指数函数y=a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：（7）在同一坐标系中作出y=2x和y=(2)x两个函数的图象，如图3．经过仔细研究发现，它们的图象关于y轴对称．图3(8)证明:设点p(x1，y1)是y=2x上的任意一点，它关于y轴的对称点是p1(－x1，y1)，它满足方程y=(21)x=2－x，即点p1(－x1，y1)在y=(21)x的图象上，反之亦然，所以y=2x和y=(21)x两个函数的图象关于y轴对称．(9)因为y=2x和y=(21)x两个函数的图象关于y轴对称，所以可以先画其中一个函数的图象，利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有好处．应用示例例1判断下列函数是否是一个指数函数？y =x 2，y =8x ，y =2·4x ，y =(2a －1)x (a >21，a ≠1)，y =(－4)x ，y =πx ，y =6x 3+2． 活动：学生观察，小组讨论，尝试解决以上题目，学生紧扣指数函数的定义解题，因为y =x 2，y =2·4x ，y =6x 3+2都不符合y =a x 的形式，教师强调y =a x 的形式的重要性，即a 前面的系数为1，a 是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式），指数必须是x 的形式或通过转化后能化为x 的形式． 解：y =8x ，y =(2a －1)x (a >21，a ≠1)，y =(－4)x ，y =πx 是指数函数；y =x 2，y =2·4x ，y =6x 3+2不是指数函数． 变式训练函数y =23x ，y =a x +k ，y =a －x ，y =(a 2)－2x (a >0，a ≠1)中是指数函数的有哪些? 答案：y =23x =(23)x ，y =a －x =(a 1)x ，y =(a 2)－2x =［(a2)－2］x 是指数函数．例2比较下列各题中的两个值的大小: （1）1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1．活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的，再写出（最好用实物投影仪展示写得正确的答案），比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并及时评价．解法一：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出y =1.7x 的图象，如图4．图4在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5<1.73，同理0.8－0.1<0.8－0.2，1.70.3>0.93.1．解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77，1.73≈4.91， 所以1.72.5<1.73．同理0.8－0.1<0.8－0.2，1.7.3>0.93.1．解法三：利用函数单调性，①1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y =1.7x ，当x =2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y =1.7x 在R 上是增函数，而2.5<3，所以1.72.5<1.73； ②0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y =0.8x ，当x =－0.1和－0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y =0.8x 在R 上是减函数，而－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2；③因为1.70.3>1，0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1．点评：在第（3）小题中，可以用解法一、解法二解决，但解法三不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值． 思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用?活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多种解法中选择最优解法，这要通过反复练习，强化来实现． 变式训练1．已知a =0.80.7，b =0.80.9，c =1.20.8，按大小顺序排列a ，b ，c ． 答案：b <a <c (a 、b 可利用指数函数的性质比较，而c 是大于1的)． 2．比较a 31与a 21的大小（a ＞0且a ≠0）．答案：分a ＞1和0<a <1两种情况讨论．当0<a <1时，a 31>a 21；当a >1时，a 31<a 21．例3求下列函数的定义域和值域:(1)y =241-x ；(2)y =(32)||x -；(3)y =10112-+x x ．活动：学生先思考，再回答，由于指数函数y =a x ，(a ＞0且a ≠1)的定义域是R ，所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求，教师适时点拨和提示，求定义域，只需使指数有意义即可，转化为解不等式． 解：(1)令x －4≠0，则x ≠4，所以函数y =241-x 的定义域是｛x ∈R ∈x ≠4｝，又因为41-x ≠0，所以241-x ≠1，即函数y =241-x 的值域是｛y |y >0且y ≠1｝．(2)因为－|x |≥0，所以只有x =0． 因此函数y =(32)||x -的定义域是｛x ∈x =0｝．而y =(32)||x -=(32)0=1，即函数y =(32)||x -的值域是｛y ∈y =1｝．(3)令12+x x ≥0，得12+x x ≥0，即11+-x x ≥0，解得x <－1或x ≥1， 因此函数y =10112-+x x 的定义域是｛x ∈x <－1或x ≥1｝．由于12+x x －1≥0，且12+x x≠2，所以112-+x x ≥0且112-+x x ≠1． 故函数y =10112-+x x的值域是｛y ∈y ≥1，y ≠10｝．点评：求与指数函数有关的定义域和值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性，特别是第(1)题千万不能漏掉y >0． 变式训练求下列函数的定义域和值域: (1)y =(21)22x x -；(2)y =91312--x ；(3)y =a x －1(a >0，a ≠1)． 答案：(1)函数y =(21)22x x -的定义域是R ，值域是［21，+∞）；(2)函数y =91312--x 的定义域是［21-，+∞），值域是［0，+∞）；(3)当a >1时，定义域是{x |x ≥0}，当0<a <1时，定义域是{x |x ≤0}，值域是［0，+∞）． 知能训练课本P 58练习 1、2． 【补充练习】1．下列关系中正确的是( )A ．(21)32<(51)12<(21)31B ．(21)31<(21)32<(51)32C ．(51)32<(21)31<(21)32D ．(51)32<(21)32<(21)31答案：D2．函数y =a x (a >0，a ≠1)对任意的实数x ，y 都有( ) A ．f (xy )=f (x )·f (y ) B ．f (xy )=f (x )+f (y )C．f(x+y)=f(x)·f(y) D．f(x+y)=f(x)+f(y)答案：C3．函数y=a x+5+1(a>0，a≠1)恒过定点________．答案：（－5，2）拓展提升探究一：在同一坐标系中作出函数y=2x，y=3x，y=10x的图象，比较这三个函数增长的快慢．活动：学生深刻回顾作函数图象的方法，交流作图的体会．列表、描点、连线，作出函数y=2x，y=3x，y=10x的图象，如图5．图5从表格或图象可以看出:(1)x<0时，有2x>3x>10x；(2)x>0时，有2x<3x<10x；(3)当x从0增长到10，函数y=2x的值从1增加到1 024，而函数y=3x的值从1增加到59 049．这说明x>0时y=3x比y=2x的函数值增长得快．同理y=10x比y=3x的函数值增长得快．因此得：一般地，a>b>1时，(1)x<0时，有a x<b x<1；(2)x=0时，有a x=b x=1；(3)x>0时，有a x>b x>1；(4)指数函数的底数越大，x>0时其函数值增长就越快．探究二：分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图象(图6)，对照底数为2、3、5的指数函数的图象，研究指数函数y=a x(0<a<1)中a对函数的图象变化的影响．图5由此得：一般地，0<a<b<1时，(1)x>0时，有a x<b x<1；(2)x=0时，有a x=b x=1；(3)x<0时，有a x>b x>1；(4)指数函数的底数越小，x>0时，其函数值减少就越快．课堂小结1．指数函数的定义．2．指数函数的图象和性质．3．利用函数的图象说出函数的性质，即数形结合的思想(方法)，它是一种非常重要的数学思想和研究方法．4．利用指数函数的单调性比较几个数的大小，特别是中间变量法．作业课本P59习题2.1 A组5、6、8、10．第2课时指数函数的应用一．教学目标：1．知识与技能①进一步熟练掌握指数函数的概念、图象、性质；②会求指数形式的函数定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性、奇偶性；③能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小，解不等式．2．情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．②培养学生观察问题，分析问题的能力．3．过程与方法能够解决指数函数有关的应用问题．二．重、难点重点：指数函数的概念和性质及其应用．难点：能够解决指数函数有关的应用问题．三、学法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法．②教具：多媒体．教学过程1、复习指数函数的图象和性质提出问题(1)指数函数有哪些性质?(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些?(3)对复合函数，如何证明函数的单调性?(4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法?活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容.讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地，指数函数y=a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：(4)x >0时，y >1;x <0时，0<y <1(4)x >0时，0<y <1;x <0时，y >1 （5）在R 上是增函数（5）在R 上是减函数(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：①取值.即设x 1、x 2是该区间内的任意两个值且x 1＜x 2. ②作差变形.即求f （x 2）－f （x 1），通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.③定号.根据给定的区间和x 2－x 1的符号确定f （x 2）－f （x 1）的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论.④判断.根据单调性定义作出结论.(3)对于复合函数y =f (g (x ))可以总结为:当函数f (x )和g (x )的单调性相同时，复合函数y =f (g (x ))是增函数;当函数f (x )和g (x )的单调性相异即不同时，复合函数y =f (g (x ))是减函数;又简称为口诀“同增异减”.(4)判断函数的奇偶性:一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考察式子f (x )与f (－x )的关系，最后确定函数的奇偶性;二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性.2、例题讲解例1：（P 66例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出 1.7xy =的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5， 3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标1.7x y =为2.5的点的上方，所以 2.531.7 1.7<.解法2：用计算器直接计算： 2.51.7 3.77≈ 31.7 4.91≈所以， 2.531.7 1.7<解法3：由函数的单调性考虑因为指数函数 1.7x y =在R 上是增函数，且2.5＜3，所以， 2.531.7 1.7< 仿照以上方法可以解决第（2）小题 .注：在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合 .由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小 .思考：1、已知0.70.90.80.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c .2. 比较1132a a 与的大小（a ＞0且a ≠0）.指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多实际的应用. 例2（P 67例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底 人口约为13亿经过1年 人口约为13（1+1%）亿经过2年 人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿经过3年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿经过x 年 人口约为13(1+1%)x 亿经过20年 人口约为13(1+1%)20亿解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则 13(11%)x y =+当x =20时，2013(11%)16()y =+≈亿答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.小结：类似上面此题，设原值为N ，平均增长率为P ，则对于经过时间x 后总量(1),(1)(x x x y N p y N p y ka K R =+=+=∈像等形如，a ＞0且a ≠1）的函数称为指数型函数 .思考：P 68探究：（1）如果人口年均增长率提高1个平分点，利用计算器分别计算20年后，33年后的我国人口数 .（2）如果年平均增长率保持在2%，利用计算器2020~2100年，每隔5年相应的人口数 .（3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？（4）如何看待计划生育政策？例3设a >0，f (x )=x x ea a e +在R 上满足f (－x )=f (x ). (1)求a 的值;(2)证明f (x )在(0，+∞)上是增函数.活动：学生先思考或讨论，如果有困难，教师提示，引导.(1)求单独一个字母的值，一般是转化为方程，利用f (－x )=f (x )可建立方程.(2)证明增减性一般用定义法，回忆定义法证明增减性的步骤，规范书写的格式.(1)解：依题意，对一切x ∈R 有f (－x )=f (x )成立，即x ae1+ae x =x x e a a e +. 所以)1)(1(x x ee a a --=0对一切x ∈R 成立.由此可得a a 1-=0，即a 2=1. 又因为a >0，所以a =1.(2)证明:设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)=212111x x x x e e e e -+-=)11)((2121--+x x x x e e e =)1(121--x x x e e ·2121)1(x x x x e e ++-. 由x 1>0，x 2>0，x 2－x 1>0，得x 2+x 1>0，12x x e ->0，112x x e +-<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在（0，+∞）上是增函数.点评：在已知等式f (－x )=f (x )成立的条件下，对应系数相等，求出a ，也可用特殊值求解.证明函数的单调性，严格按定义写出步骤，判断过程尽量明显直观.知能训练求函数y =(21)|1+2x |+|x －2|的单调区间.活动：教师提示，因为指数含有两个绝对值，要去绝对值，要分段讨论，同时注意底数的大小，分析出指数的单调区间，再确定函数的单调区间，利用复合函数的单调性学生思考讨论，然后解答.解：由题意可知2与21-是区间的分界点. 当x <21-时，因为y =(21)－1－2x －x +2=(21)1－3x =23x －1=21•8x ， 所以此时函数为增函数. 当21-≤x <2时，因为y =(21)1+2x －x +2=(21)3+x =2－3－x =81•(21)x ， 所以此时函数为减函数. 当x ≥2时，因为y =(21)1+2x +x －2=(21)3x －1=21－3x =2•(81)x ， 所以此时函数为减函数.当x 1∈［21-，2），x 2∈［2，+∞）时，因为2•(81)x 2－81•(21)x 1=12222233x x •-•-- =1233122x x ----，又因为1－3x 2－(－3－x 1)=4－3x 2+x 1=4+x 1－3x 2<0，所以1－3x 2<－3－x 1，即2•(81)x 2<81•(21)x 1. 所以此时函数为减函数. 综上所述，函数f (x )在（－∞，21-］上单调递增，在［21-，+∞）上单调递减. 拓展提升设m <1，f (x )=244+x x，若0<a <1，试求: (1)f (a )+f (1－a )的值; (2))10011000()10013()10012()10011(f f f f ++++ 的值. 活动：学生思考，观察，教师提示学生注意式子的特点，做这种题目，一定要有预见性，即第(2)问要用到第(1)问的结果，联系函数的知识解决.解：(1)f (a )+f (1－a )=24424411+++--a a a a =24444244+++a a a a =aa a 4244244•+++=a a a 422244+++=2424++a a =1. (2))10011000()10013()10012()10011(f f f f ++++ =［)]1001501()1001500([)]1001999()10002([)]10011000()10001([f f f f f f ++++++ =500×1=500.点评：第(2)问是第(1)问的继续，第(1)问是第(2)问的基础，两个问号是衔接的，利用前一个问号解决后一个问号是我们经常遇到的情形，要注意问号与问号之间的联系.课堂小结本节课复习了指数函数的性质，借助指数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中升华提高.作业：P 69 A 组第 7 ，8 题 P 70 B 组 第 1，4题。
高中新课程数学(新课标)必修一《2.1.2-2指数函数的性质及应用》课件.pptx
类型三 指数函数的最值问题 【例3】 设a>0，且a≠1，如果函数y＝a2x＋2ax－1在 [－1,1]上的最大值为14，求a的值．
解：本题是二次函数与指数函数的综合问题．
y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，由 x∈[－1,1]知：令 t ＝ax，此时 y＝(t＋1)2－2，
①当 a>1 时，t＝ax 为增函数，所以 t∈[a－1，a]，显 然函数 y＝(t＋1)2－2 在[a－1，a]上单调递增，从而最大值 在 t＝a，即 x＝1 时取到，从而(a＋1)2－2＝14，解之得 a ＝3 或 a＝－5(舍去)．
当 a>1 时，讨论函数 f(x)＝aaxx－＋11的奇偶性．
1．指数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指 数函数单调性有关的问题首先要看底数的范围．
2．解与指数函数有关的问题要注意数形结合． 3．y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f[g(x)]的单调性有如 下特点：
u＝g(x) y＝f(u) y＝f[g(x)]
(2)f(x)＝2＋ 2(2(2x－x－11) )·x3＝2(22xx＋－11)·x3. ∴f(－x)＝2(22－－xx＋－11)·(－x)3 ＝2(11＋－22xx)(－x3)＝2(22xx＋－11)·x3.
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)证明：x>0时，2x>1，∴2x－1>0， 又∵x3>0，∴f(x)>0. x<0时，2x<1，∴2x－1<0， 又∵x3<0，∴f(x)>0. ∴当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时f(x)>0.
一种放射性物质不断变为其他物质，每经过1年剩留 的质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量y关于时间t的 函数关系式，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象， 并从图象上求出大约要经过多少年，剩留量是原来的 50%.(结果保留1个有效数字)