用向量方法解决平行问题

[自主解答] (1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)， ∴a·b＝8－6－2＝0， ∴a⊥b，即l1⊥l2. (2)∵u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)， ∴v＝－3u， ∴v∥u，即α∥β.
(3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)， ∴a·u≠0且a≠ku(k∈R)， ∴a与u既不共线也不垂直，即l与α相交但不垂直． (4)∵a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)， ∴a·u＝－3＋4－1＝0， ∴a⊥u，即l⊂α或l∥α.
3．空间中平行关系的向量表示
线线平行 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b
＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔
． a∥b
线面平行
设平面α外的直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)， 平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则
l∥α⇔ a⊥u ．
面面平行 设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，
因为 FC1 ·n1＝－2＋2＝0，所以 FC1 ⊥n1. 又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE.
(2)∵ C1B1 ＝(2，0，0)， 设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量．
∵AD⊥平面 SAB， ∴ AD ＝(1，0，0)是平面 SAB 的一个法向量． 设平面 SCD 的法向量为 n＝(1，y，z)， 则 n·DC ＝(1，y，z)·(1，2，0)＝1＋2y＝0， ∴y＝－12. 又 n·DS ＝(1，y，z)·(－1，0，2)＝－1＋2z＝0， ∴z＝12. ∴n＝(1，－12，12)即为平面 SCD 的一个法向量.
[悟一法]
1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面 垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内 或线面平行． 3．两个平面的法向量共线时，两平面平行．
[通一类] 1．根据下列条件，判断相应的线线、线面、面面的位置关系．
课前预习 ·巧设计
第 三 3.2 章
第 一 课 时
名师课堂 ·一点通
创新演练 ·大冲关
考点一 考点二 考点三 解题高手
NO.1课堂强化 NO.2课下检测
第一课时 用向量方法解决平行问题
பைடு நூலகம்
[读教材·填要点]
1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线 平行或共线 的向量． 2．平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的 方向向量a ，则a叫做平面α的法向 量．
(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，0，－1)，b＝(－3， 0，3)； (2)直线l的方向向量为a＝(1，2，－1)，平面α的法向量是u ＝(－2，1，0)； (3)两平面α，β的法向量分别为u＝(1，1，3)，v＝(1， 2，0)．
解：(1)∵b＝－3(1，0，－1)＝－3a， ∴l1∥l2. (2)∵a·u＝－2＋2＋0＝0， ∴a⊥u，∴l⊂α或l∥α. (3)∵u·v＝1＋2＝3≠0， 又u≠kv，∴u与v既不共线也不垂直， ∴两平面相交但不垂直.
所以 FC1 ＝(0，2，1)，
DA ＝(2，0，0)， AE ＝(0，2，1)．
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，
则 n1⊥ DA ，n1⊥ AE ， 即n1·DA ＝2x1＝0，
n1·AE ＝2y1＋z1＝0， 得xz11＝＝－0，2y1，令 z1＝2，则 y1＝－1， 所以 n1＝(0，－1，2)．
b2，c2)，则α∥β⇔
. u∥v
[小问题·大思维]
1．直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？若不唯一， 直线的方向向量之间的关系是怎样的？平面的法向量之间的 关系是怎样的？ 提示：直线的方向向量和平面的法向量不是唯一的，直线的 不同方向向量是共线向量，平面的不同法向量是共线向量．
2．若直线l的方向向量为u，平面α的一个法向量为v，且 u⊥v，那么l与α平行吗？ 提示：不一定，也可能l在α内.
[研一题] [例3] 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分 别是BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.
[自主解答] 证明：如图所示建立空间直角坐标 系 Dxyz，
则有 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，
[悟一法] 利用待定系数法求平面法向量的解题步骤：
[通一类]
2．四边形 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，求平面 SCD 和平面 SAB 的一个法向量． 解：∵AD、AB、AS 是三条两两垂直的线段， ∴以 A 为原点，以 AD ， AS ， AS 的方向分 别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角 坐标系如图所示，则 A(0，0，0)，D(1，0，0)，C(2，2， 0)，S(0，0，2)，
[研一题]
[例1] 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)， b＝(8，2，2)； (2)平面α，β的法向量分别是u＝(1，3，0)，v＝ (－3，－9，0)； (3)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝ (1，－4，－3)，u＝(2，0，3)； (4)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝ (3，2，1)，u＝(－1，2，－1)．
[研一题] [例 2] 已知平面 α 经过三点 A(1，2，3)，B(2，0，－1)， C(3，－2，0)，试求平面 α 的一个法向量． [自主解答] ∵A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)， ∴ AB ＝(1，－2，－4)， AC ＝(2，－4，－3)． 设平面 α 的法向量是 n＝(x，y，z)． 依题意，得 n·AB ＝0 且 n·AC ＝0， 即x2－ x－2y4－y－4z3＝z＝0， 0. 令 y＝1，则 x＝2，z＝0. ∴平面 α 的一个法向量是 n＝(2，1，0)．