7a 六节点三角形单元

六节点三角形单元

单元节点位移向量：

T e v u v u v u v u v u v u } {}{665544332211=δ

单元内任意一点的位移是单元节点位移的插值函数

已知u(x,y)和v(x,y)在六个顶点的函数值，可分别设u(x,y)和v(x,y)为具有六个待定系数的

插值多项式

2

652

432126524321y

B xy B x B y B x B B v y A xy A x A y A x A A u +++++=+++++=

将已知条件代入，可解得其中的待定系数

u(x,y)和v(x,y)也可用Lagrenge 插值公式表示为： ∑=+++++==6

1665544332211k k k u N u N u N u N u N u N u N u

∑=+++++==61

665544332211k k k v N v N v N v N v N v N v N v

写成矩阵形式：

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧66554433221165

4

3

2

1

654321v u v u v u v u v u v u 0

000000N N N N N N N N N N N N v u

缩写为： {}e ][δδN v u =⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧=

单元内任意一点的应变

x

v y u y

v x

u xy y x ∂∂+

∂∂=∂∂=∂∂=

γεε 矩阵形式： {}{}e N H v u H x y y x

δε]][[][v u 0

0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂

∂∂∂∂

= }[B]{}{ e δε=∴

[]12

365

4

3

2

1

65

4

3

2

1

654321

0000000 0

0]][[][⨯=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂

==B B B B B B N N N N N N N N N N N N x y y x

N H B []⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=x N y N y N x

N B k k k k

k 0

0 k = 1,2,3...6 N k (k=1,2,3...6)为六节点三角形单元的形函数，N k 的表达式： 26524321),(y a xy a x a y a x a a y x N k k k k k k k +++++= k =1,2,3 (6)

k

i y x N y x N i i k k k k ≠== 0),(1

),(

y

a x a a y

N y

a x a a x

N

k k k k

k k k k 6535422 2 ++=∂∂++=∂∂∴

单元内任意一点的应力：}]{][[}]{[}{e

B D D δεσ==

单元刚度矩阵： ⎰=A T

e dxdy B D B t k ]][[][][