小学数学六年级《一次不定方程及其应用》教案

《一次不定方程及其应用》教案设计

教学内容：

教学内容：让学生了解什么叫不定方程，解二元一次不定方程的问题时，我们有两个定理，及他的应用，解二元一次不定方程的关键是求它的一组解。教学重点：二元一次定方程的定理及其应用。

教学难点：定理的理解及其应用。

情景导入：同学们以前学过一元一次方程的求解，那我们来一起

回顾一下。

让学生分成两组进行比赛：

5x+2=12 得x=2

13y-3=23 得y=2

那大家想一下，以前我们都是计算的一元一次方程，那现在如果告诉我们一个式子，摆出式子，x+y=4，那大家看一下，我们能算出这个式子中的两个未知数吗、这就是我们今天要学习的内容。

例1.求方程4x+5y=21的整数解。

思路点拨：因为方程4x+5y=1，有一组解的x=-1，y=1，所以方程4x+5y=21，有一组解x=-21，y=21，又因为方程4x+5y=0的所有整数解为x=5k。y=-4k（k为整数）所以方程4x+5y=21的所有整数解为X=-21+5k，y=21-4k（k为整数）

解答：方程4x+5y=21得所有整数解为x=-21+5k。y=21-4k（k为整数）

说明：本题也可直接观察得到方程4x+5y=21的一组特解，从而得到4x+5y=21的通解{x=-1+5k。y=5-4k}（k为整数）

扩展训练:求方程5x+3y=22的所有正整数解。

分析：先求出原方程的一切整数解，再从中得出原不定方程的正整数解。

解：方程5x+3y=1的一组解为x=-1，y=2.

所以方程5x+3y=22有一组解为x=-22，y=44

又因为5x+3y=0的所有正整数解为x=3，y=-5k。k为整数

所以方程5x+3y=22的正整数解为x=33k-22，y=-5k+44，k为整数，由3k-22>o。-5k+44>0,解得k>22|3，k<44|5,所以，k=8.原方程的正整数解为x=2，y=4

例2，求方程63x+8y=-23的整数解。

思路点拨：（1）用xy中系数较大者除以较小着：63=8×7+7 （2）用上一步的除数除以上一步的余数：8=7×1+1

（3）重复第二步，直到余数为1为止。

（4）逆序写出1的分解式：

1=8-7×1=8-（63-8×7）×1=8-63+8×7=8×8-63

（5）写出原方程的特解和通解。

解方程：63x+ 8y=1，有一组特解x=-1，y=8，方程63x+8y=-23有一组特解x=23，y=-8×23，所以原方程的所有整数解为x=23+8k、y=-8×23-63k。k为整数。

扩展训练：求方程37x+107y=25的整数解。

解：107=2×37+33,37=1×33+4，33=4×8+1

所以1=33-4×8=33-（37-1×33）×8=37×（-8）+33×9=37×（-8）

+（107-2×37）×9=107×9+37×（-26）

所以方程37x+107y=1有一组整数解为x=-26，y=9，原方程的所有整数解为x=-26+107k，y=9-37k。k为整数

课堂小结：我们学习了什么叫不定方程，在碰到二元一次不定方程时我么应该怎么样一步步的分析，解决，应用所学的去解决题目中的未知数。

\下课；

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