上海市松江区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案)

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松江区2018学年度第一学期期末质量监控试卷

高三数学

（满分150分，完卷时间120分钟） 2018．12

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．设集合{1}A x x =>，{0}3

x

B x

x =<-，则A B = ▲ ．

2．若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z = ▲ ．

3．已知函数()y f x =的图像与函数x

y a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点

(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a = ▲ ．

4．已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++= ▲ ．

5．若增广矩阵为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+m m m m 2111的线性方程组无解，则实数m 的值为 ▲ ．

6．已知双曲线标准方程为2

213

x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 ▲ ．

7．若向量a ，b 满足()

7a b b +⋅=，且3a =，2b =，则向量a 与b 夹角为 ▲ ． 8．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,若()2

2

π

6,3

c a b C =-+=

，则ABC ∆的面积= ▲ ． 9．若函数lg(1)1()sin 0

x x f x x

x ⎧->=⎨<⎩，则()x f y =图像上关于原点O 对称的点共有 ▲

对．

10．已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点，若||||AB AC =，则AB AC ⋅的最小值是 ▲ ．

11．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当21e y e x OP +=时，则称有序实数对()y x ,为点P 的广义坐标．若点B A 、的广义坐标分

别为()()2211,,y x y x 、

．对于下列命题： ①线段B A 、的中点的广义坐标为⎪⎭

⎫

⎝⎛++2,22121y y x x ； ②B A 、两点间的距离为

()()221221y y x x -+-；

③向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221y x y x =；

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④向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是02121=+y y x x ． 其中的真命题是 ▲ ．（请写出所有真命题的序号）

12．已知函数)(x f 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的

x R ∈都成立．若当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为]2,1[，则当[100,100]x ∈-时，函数)

(x f 的值域为 ▲ ．

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．

13．过点 (0,1) 且与直线210x y -+=垂直的直线方程是

A ． 210x y +-=

B ． 210x y ++=

C ． 220x y -+=

D ． 210x y --= 14．若0a >，0b >，则x y a b x y a b +>+⎧⎨

⋅>⋅⎩是x a

y b

>⎧⎨>⎩的

A ． 充分非必要条件

B ． 必要非充分条件

C ． 充要条件

D ． 既非充分又非必要条件 15．将函数()2sin(3)4

f x x π

=+

的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若

12()()9g x g x ⋅=，其中[]12,0,4x x π∈，则

1

2

x x 的最大值为 A ．9

B ．

375

C ．3

D ．1

16．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作()C P d ,．若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集

(){}1,|≤=C P d P D 所表示的图形的面积为

A ．36

B ．3336-

C ．π+36

D ．π+-3336

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

已知向量(3sin ,1)a x =， (cos ,1)b x =-． （1）若a ∥b ，求tan2x 的值；

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（2）若()()f x a b b =+⋅，求函数)(x f 的最小正周期及当]2

,0[π

∈x 时的最大值．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

已知函数2

()21

x f x a =-

+ （常数a R ∈） （1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；

（2）当)(x f 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有()2

x m

f x ≥成立，求m 的最大值．

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干个月内,该产品每月的收入平均比上一月增长50%．同时，该产品第1个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元． (1) 分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出，并判断第6个月该产品的收入是否足够支付第6个月的维护费支出？

(2) 从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总支出包括维护费支出和研发投资支出）

20． （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分

已知曲线Γ上的任意一点到两定点1(1,0)F -、2(1,0)F

的距离之和为l 交曲线Γ于A 、B 两点，O 为坐标原点． （1）求曲线Γ的方程；