数形结合与几何直观-(2012)
几何直观—与数轴相关的数形结合问题 教学设计
几何直观—与数轴相关的数形结合问题教学设计几何直观—与数轴相关的数形结合问题教学设计一、引言在数学教学中，几何直观的理解对学生的数学学习至关重要。
数轴作为数学中的重要工具，是帮助学生理解数学概念的重要手段之一。
本文将围绕几何直观与数轴的关系展开讨论，结合数形结合问题的教学设计，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
二、数轴的基本概念1. 数轴的定义数轴是一条直线上按照一定的单位长度刻度的线段，通常用于表示实数。
数轴上将实数与坐标一一对应，帮助我们直观地理解数的大小和大小之间的关系。
2. 数轴的特点数轴上的任意一点都可以与实数一一对应，数轴上距离原点越远的点对应的实数值也越大。
通过数轴，我们可以直观地比较不同实数的大小，并且进行加减乘除运算。
三、数形结合的教学设计在教学中，我们可以结合数轴的几何直观，帮助学生更好地理解数学概念。
以下是针对数形结合问题的教学设计：1. 引入实际问题引入一个与学生生活相关的实际问题，例如买菜花了多少钱、走路花费了多少时间等等。
2. 绘制数轴让学生自己绘制数轴，并在数轴上标出相关的数值。
通过绘制数轴，让学生更直观地理解数值之间的大小关系。
3. 解决问题让学生通过数轴来解决实际问题，比如计算买菜花了多少钱、走路花费了多少时间等等。
通过解决问题，让学生对数轴的应用有更深刻的理解。
四、个人观点和理解数轴作为一种几何直观的工具，在数学教学中有着重要的作用。
通过数轴，学生可以更直观地理解数值之间的大小关系，并且解决实际问题。
在教学中，我们应该注重培养学生对几何直观的理解和应用能力，让他们在数学学习中更加自信和熟练。
五、总结通过本文的讨论，我们可以看到几何直观与数轴的关系对于数学教学的重要性，并且结合数形结合问题的教学设计，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
在今后的教学中，我们应该注重培养学生的几何直观，让他们在数学学习中更加得心应手。
六、参考资料- 张三, 《数学教学研究》，2008年。
巧用数形结合优化几何直观——以“行程问题”教学为例
［摘要］在数学学习中，数形结合是重要的数学思想，也是最常用的解决问题方法之一。
数形结合可以将抽象的信息、复杂的数量关系用几何图形直观地呈现出来，使问题由抽象变具体、由复杂变简单，有利于培养学生解决问题的能力。
［关键词］数形结合；几何直观；行程问题；小学数学［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（2019）21-0030-02“行程问题”是小学数学的教学内容之一，一般以应用题的形式出现，有着丰富的变式。
下面，我就以“行程问题”的教学为例，谈谈如何巧用数形结合，优化几何直观，促进学生的数学学习，构建高效的数学课堂。
一、“行程问题”教学案例小学阶段，“行程问题”最早出现在人教版小学数学四年级上册教材，在人教版小学数学五年级上册第五单元中设计和编排了列方程解决“行程问题”的内容。
“行程问题”具体是指与速度、时间以及路程有关的数学问题，其中的数量关系式有“速度×时间=路程”“路程÷时间=速度”“路程÷速度=时间”。
在“行程问题”中，涉及的数有整数、小数和分数；设计的运动变化情况也很多，如单个物体运动、两个或两个以上的物体运动；运动方向有相向运动、同向运动以及背向运动。
在实际教学中，教师可先基于学生已有的知识经验，引导学生利用数形结合分析和理解题中的数量关系，找到未知数，再让学生依据等量关系列出正确的方程，最后解决问题。
为此，我对人教版小学数学五年级上册“行程问题”的教学进行改进，巧用数形结合，优化几何直观，引导学生解决问题。
教学片段1：（1）出示教材第79页的例5。
师：题中的已知条件和要求的问题是什么？生1：已知条件为“小林家和小云家相距4.5千米”“小林的骑车速度是0.25千米/分钟”“小云的骑车速度是0.2千米/分钟”，要求的问题是“两人何时相遇”。
师：求“两人何时相遇”是什么意思？（生答略）师（总结）：这里的路程已经不是指一个人行驶的路程了，而是指两个人行驶的路程之和，那么相遇时间就是指两个人共同行驶完全程用的时间。
数形结合,建立几何直观意识
综合论坛93摘 要：数形结合可以将抽象的数学理论进行转化，将抽象的数学逻辑具体化，使学生可以在探究数量关系的时候，充分理解和掌握立体几何知识，从而帮助学生建立几何直观意识。
目前，许多小学数学课堂忽略了数形几何对于培养学生几何直观思想的重要作用。
下面，本文将从开展数形结合教学的几点途径入手谈一谈如何在小学课堂上培养学生的几何直观意识。
关键词：数形结合；几何直观；数量关系；多元化几何直观思想主要是指学生对于数学图形的分析能力和理解能力。
在小学数学教学过程中，由于学生的抽象思维不完善，对于一些抽象的数学问题，教师可以采取数形结合的教学方法，在抽象图形中分析数学概念和原理，使学生在探究数量关系、分析图形运动的过程中，对于抽象图形从数学逻辑的角度进行分析。
一、动手画图，梳理数量关系绘制简图是学生解决几何问题的一个良好的学习习惯。
对于一些比较复杂描述比较多的题目，教师可以鼓励学生绘制简图来梳理题目中的数量关系，帮助学生进行分析。
简图的绘制可以体现出学生的思维发展，在帮助学生理清数学思路的同时，使学生更好地进行数量关系的分析。
例如在学习“面积”这节课时，同学们除了需要掌握面积的计算公式以外，还需要了解到面积这个概念在生活中的作用，并学会利用面积来进行数量关系的分析。
例如在题目“将边长是8米的正方形花园篱笆进行拆除，如果改成一个宽为40分米且有一条长边靠墙的长方形，求围成的长方形的面积”在这个题目中，同学们可以绘制一个简图来分析数量关系。
同学们首先要明确边长8米的正方形的周长为32米。
这32米的篱笆是进行花园改造的基础。
也就是说长方形的一条长边和两条短边的长度加起来等于32米。
同学们可以发现其中的数量关系，然后可以得出长方形的长边b=24m，该长方形的面积为96平方米。
同学们还需要注意其中的单位转化问题，注意将分米转化成米再进行计算。
将数字标注在图形上，可以使学生快速地获得数量关系式，使学生准确地完成计算。
在绘制简图的时候，学生可以将自己的思路和数字标注在简图上，将题目转化成一个比较简单的图形关系进行分析。
数形结合 PPT课件
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例、如图在 ABC 中，已知 AB AC, CF、BE 分别是AB、AC边上的高， 求证：AB CF AC BE
分析：要证AB CF AC BE
只需证AB ACsin A AC ABsin A 即证AB AC (AB AC)sin A
一、数形结合方法：就是在研究数学问题时，由数思形、 见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。
1、解析几何就是数形结合的光辉典范。 2、三大几何问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角
二、数形结合方法的应用 1、构造几何图形解决代数问题
例1、已知 x, y, z, r 都是正数，并且x2 y2 z2 , z x2 r 2 x2 求证：rz xy
证明：考虑单位正方形ABCD，对角线AC BD 2
AO a 2 b 2 BO (1 b)2 a 2
Aa
D
CO (1 a)2 (1 b)2 DO (1 a)2 b 2 由于AO CO AC BO DO BD
b O
所以原不等式成立，当且仅当AC BD O 时
我国著名数学家华罗庚曾写过一首描写数形结合的诗
数形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
几何代数统一体，永远联系莫分离。
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2019/9/13
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由相交弦定理可得(b z)a b(x a)EF AB Q (b y)a b(z a)EF CD R
ax by(1) 即az bx(2)
ay z) b (x y z) 由x y z 0 得a b代入(1)(2)(3)得x y z 即PQR为等边三角形
几何直观与数形结合的联系与区别
几何直观与数形结合的联系与区别【几何直观与数形结合的联系与区别】1. 引言在数学领域中，几何直观和数形结合是两个重要的概念，它们在数学学习过程中都扮演着非常重要的角色。
在本文中，我们将探讨几何直观和数形结合的联系与区别，以帮助读者更好地理解这两个概念。
2. 几何直观的概念几何直观是指人们对几何空间、形状和位置关系的直观理解和感知。
它是一种非形式化的数学思维方式，通常通过观察、图像和实物来帮助我们理解几何问题。
几何直观在初等数学教育中占据着重要地位，它可以帮助学生更直观地理解几何概念，从而提高数学学习的效果。
3. 数形结合的概念数形结合是指在数学学习中将几何形状和数学概念相结合，通过数学方法来研究几何问题。
数形结合可以帮助我们更深入地理解几何形状的性质、特点和变化规律，从而在解决实际问题时能够运用数学方法进行分析和求解。
4. 几何直观与数形结合的联系几何直观和数形结合在数学学习中并不是孤立的概念，它们之间存在着密切的联系。
几何直观为数形结合提供了直观的感受和图像化的理解，而数形结合则为几何问题的深入研究和分析提供了数学化的手段和方法。
通过几何直观和数形结合的联系，学生可以更全面地理解几何概念，并通过数学方法对几何问题进行更深入的探究。
5. 几何直观与数形结合的区别尽管几何直观和数形结合在数学学习中有着密切的联系，但它们又有着一定的区别。
几何直观更强调直观感受和视觉化的理解，注重学生对几何空间和形状的感知；而数形结合更注重数学方法和理论知识的应用，强调数学工具在解决几何问题中的作用。
几何直观和数形结合在数学学习过程中各自发挥着不同的作用，相辅相成，共同促进着学生对几何问题的全面理解。
6. 个人观点和理解就个人而言，我认为几何直观和数形结合在数学学习中都非常重要。
几何直观可以帮助我们更直观地理解几何概念，激发学生对数学的兴趣；而数形结合可以帮助我们深入研究几何问题，提高数学问题的解决能力。
我认为教学中应该注重几何直观的培养，同时也要注重数形结合的训练，以帮助学生全面、深刻地理解几何概念。
多维观察，形象直观——谈小学数学第二学段几何直观解决问题的教学策略
多维观察，形象直观——谈小学数学第二学段几何直观解决问题的教学策略摘要：几何直观能力是小学数学核心素养的重要组成部分，对小学生的数学发展有重要价值。
小学第二学段学生具备一定的形象思维能力，有助于发展几何直观能力。
在小学数学第二学段教学中，教师引导学生采用几何直观方法解决问题，可以帮助学生深度理解问题，形成高效的问题解决策略。
教师可以采用的基本方法是引导学生转换视角、动态观察、数形结合。
关键词：小学数学；第二学段；几何直观；解决问题；教学策略小学数学教学重视思想方法的渗透，这是发展学生数学核心素养的基本策略。
几何直观能力是小学数学核心素养的重要组成部分，也是用来解决问题的有效策略。
几何直观能力是指学生通过思维构建几何模型，进而寻找出解决问题方法的一种能力。
由于小学生几何直观能力比较薄弱，教师需要借助针对性的教学策略来调动学生的相关思维，从而顺利地解决问题。
小学第二学段是指三、四年级。
此学段的学生已经具备初步的观察能力，可以学习多维观察的方法。
下面结合具体实例，从三个方面探讨小学数学第二学段几何直观解决问题的教学策略。
一、转换视角，全面认知视角是指观察事物的角度。
如果仅用一个视角来观察事物，会遗漏到物体的许多细节，也就无法全面地认识事物。
因此，观察事物要多视角。
在小学数学教学中，教师往往只将问题的一个侧面或者少数几个侧面展示给学生，导致学生观察问题的视角受限，无法挖掘出解决问题的方法。
面对这一问题，教师可以采用转换视角的教学策略：一方面，教师主动地将问题的各个侧面展示给学生，引导学生全面观察；另一方面，教师引导学生自主寻找观察问题的角度，构建对事物的全面认知。
比如，进行北师大版小学数学四年级下册“图形的分类”教学时，教师可以引导学生转换视角，全面地观察各种图形，科学地对各种图形进行分类。
首先，教师使用3D课件展示一个圆柱体和一个球体，圆柱体的顶部对着学生。
教师提出问题：“你们观察到的各是什么图形？”几乎所有学生认为他们观察到的是“圆形”。
2025年中考数学思想方法复习系列 【数形结合】几何图形中的数形结合思想(解析版)
几何图形中的数形结合思想知识方法精讲1．完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）2．平方差公式的几何背景（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．3．七巧板（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形．（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号．（3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了．4．轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．5．坐标与图形变化-对称（1）关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数．（3）关于直线对称①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）6．旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．7．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）8．简单组合体的三视图（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．9．由三视图判断几何体（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．10.数形结合思想1.数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
2012届新课标数学考点预测(26)数形结合的思想方法
2012届新课标数学考点预测（26）数形结合的思想方法《2009年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法”。
其中数学思想方法包括： 函数与方程的思想方法、 数形结合的思想方法 、 分类整合的思想方法、 特殊与一般的思想方法、 转化与化归的思想方法、 必然与或然的思想方法。
数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。
高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力。
《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构” 。
而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度” 。
“ 数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。
” 数学的思想方法渗透到数学的各个角落，无处不在，有些题目还要考查多个数学思想。
在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，在复习中要有意识地渗透这些数学思想，提升数学思想。
数形结合的思想方法数形结合思想是一种很重要的数学思想，是数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面，把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把 图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。
2012年高考新课标数学考点总结：数形结合的思想方法
2012年高考新课标数学考点总结：数形结合的思想方法中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合思想是一种很重要的数学思想，研究的对象是数量关系和空间形式，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
在使用的过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。
在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。
特别是在集合、函数、不等式、数列、向量、解析几何、导数与积分等能够用图形表述的知识点，就要用数形结合形象化，高考在选择题、填空题侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。
1．集合问题中的数形结合例1.（北京卷,理1）已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于（ ）A ．{}|24x x -<≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤ 分析:不等式表示的集合通过数轴解答.解:在数轴上先画出{}14U B x x =-≤≤ð,再画出集合{}|23A x x =-≤≤,取其公共部分如图所示阴影部分就是集合)(B C A U ,故选D答案:D评注:对于不等式表示的集合,可在数轴上表示并进行集合的交、并、补的运算2.利用函数的图象解答问题例1. 若方程lg(－x 2＋3x －m)＝lg(3－x)在x ∈(0,3)内有唯一解，求实数m 的取值范围。
借助数形结合巧建几何直观
教学研究新标准“图形与几何”部分课程核心内容首次提出在义务教育阶段应当注重发展学生的几何直观能力。
可见几何直观方面的研究是极其重要又与时俱进的。
几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。
小学阶段，主要的研究对象，一个是数、字母，另一个就是图形。
该如何借助图形获得最大的教育价值，这是作为数学工作者应该思考的一件事情。
在数学中建立学生的几何直观，要先从直观教学开始，引导学生学会用画图的策略分析题意，解决简单的实际问题，逐步上升到能将直观图与数学语言、符号语言进行转换，并逐步在解决数学问题的过程中渗透数形结合思想，感悟数与形、形与数之间的转化。
一、重视画图策略的教学，直观感知数学知识为什么要重视画图的策略？第一，要充分发挥图形带来的好处。
第二，要让孩子主动借助画图。
第三，重视变换，把握图形与图形的关系。
第四，要在学生的头脑中留住些图形。
苏教版四年级（下册）《解决问题的策略》，主要教学用画直观示意图的方法解决有关面积计算的实际问题。
例：梅山小学有一块长方形花圃，长8米，在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米。
原来花圃的面积是多少平方米？学生读完例题，首先想到了解题还缺少原来的宽是多少这一条件，有很多学生无从下手，不会主动想到用画图的策略分析数量关系。
这时需要教师引导学生想到画图和鼓励学生尝试画示意图表示已知条件与问题，并通过充分交流，完善画出的示意图，这里的示意图不仅能表示出条件和问题，而且能清楚地看出增加的小长方形的长就是所需条件——原来的宽。
借助示意图清楚地体现出仅凭头脑不易想到的数量关系，列式解答后，再让学生结合算式和示意图说说解题思路，最后反思画图策略的价值，突出示意图对解决该类面积问题的重要作用。
二、概念教学利用图形渗透几何直观在概念教学中，教师可以根据教学内容，灵活渗透几何直观。
在教学中可以寻求各种途径与方法使学生切实体会到图形对概念理解、寻求解决办法带来的益处。
依托几何直观 理解意义本质——“一个数除以分数”的教学实践与思考
【摘要】本文以“一个数除以分数”的教学为例，论述借助几何直观帮助学生理解算理和掌握算法的方法，建议教师在深刻解读教材的基础上，设置课堂前测环节，基于学生学情，在具体的教学题境中借助几何直观帮助学生更好理解算理、掌握算法，从而优化教学效果。
【关键词】小学数学几何直观意义本质【中图分类号】G【文献标识码】A【文章编号】0450-9889（2021）13-0142-04人教版小学数学六年级上册第三单元《分数除法》第三课时“一个数除以分数”的计算教学是小学数学教学的重点与难点。
如何让学生形象理解“除以一个分数，等于乘这个分数的倒数”的算理呢？笔者在实践中发现，学生掌握和运用计算方法相对而言比较容易，然而在理解算理方面遇到了比较大的困难。
那么，学生学习“一个数除以分数”的知识储备和认知起点是怎样的？它的教学目标应该如何定位？它的计算教学到底关注点在哪里？笔者认为，有必要对学生关于“一个数除以分数”的认知水平做一次前测，以便更好地进行教学。
下面，笔者结合多教材的对比沟通，基于学生基础，试图在具体的教学题境中借助几何直观帮助学生更好地理解算理、掌握算法，优化教学效果。
一、教材解读以生为本，关注学生生活经验和认知基础是教学本课需要贯彻的原则。
学生在学习“一个数除以分数”之前，到底有怎样的逻辑起点和现实起点？这正是教师首先要考虑的问题。
笔者拜读了省数学特级教师袁晓萍、吕立峰的相关文章，发现针对不同的学生需要不同的学习过程，有些策略即使很好，也可能不适合本班学生，不能全部照搬。
针对该教学内容，笔者研读了几套不同版本的教材，发现编委的意图均有所侧重，各不相同。
北师大版教材将这部分内容安排在五年级下册第五单元，它通过平均分4个同样大的饼的问题情境，让学生直观感受“一个数除以分数”的意义理解。
浙教版教材同样将此内容安排在五年级下册，让学生在学习分数乘法的基础上紧接着学习分数除法，教材借助一条绸带，让学生直观理解同分母分数除法的意义，同时教材突出了算法的重要性，有刻意回避“一个数除以分数”的算理之嫌。
江苏省2012届高考数学二轮复习：第20讲 数形结合思想
第20讲数形结合思想数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．它包含两个方面：(1) “以形助数”，把抽象问题具体化．这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题；(2) “以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确．这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题．数形结合思想不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且是解决数学问题的一种重要的方法，因而在高考中占有非常重要的地位．数形结合思想中的“数”主要是指数和数量关系；“形”主要是指图形，有点、线、面、体等．实现数形结合的渠道主要有：(1) 实数与数轴上点的对应；(2) 函数与图象的对应；(3) 曲线与方程的对应；(4) 以几何元素及几何条件为背景，通过坐标系来实现的对应，有复数、三角、空间点的坐标等．数形结合思想主要用于解填空题和选择题，有直观、简单、快捷等特点；而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，图形只是辅助手段，最终要用“数”写出完整的解答过程．1. 已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(B)∩A＝{9}，则A ＝________.2. 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.3. 直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则实数a的取值范围是________．4. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．【例1】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的一系列对应值如下表：(1) 根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；(2) 根据(1)的结果，若函数y ＝ f(kx)(k>0)周期为2π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，方程f (kx) ＝ m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．【例2】 如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？【例3】 在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f(x)＝x 2＋2x ＋b(x ∈R )的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1) 求实数b 的取值范围； (2) 求圆C 的方程；(3) 问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．【例4】 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在自然数m 使得方程f(x)＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 值；若不存在，说明理由．1. (2011·福建)已知O 是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x ，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是________．2.(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x 的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．3. (2009·全国)如图，三棱锥ABCD 的侧面是顶角为40°，腰长均为1的全等三角形，动点P 从三棱锥ABCD 的顶点B 沿侧面运动一圈再回到点B ，则动点P 所走的最短路径长为________．4.(2008·江苏)设函数f(x)＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于x ∈[－1,1]都有f(x)≥0 成立，则实数a 的值为________．5.(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(t ，m)的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中m>0，y 1>0，y 2<0.(1) 设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹；(2) 设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标；(3) 设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．6.(2010·天津)已知函数f(x)＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R )，其中a>0.(1) 若a ＝1，求曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2) 若在区间⎣⎡⎦⎤－12，12上，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围．(2011·南通三模)(本小题满分16分)平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)离心率为22，焦点在圆x 2＋y 2＝1上． (1) 求椭圆的方程；(2) 设A ，B ，M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM →＝cosθOA →＋si nθOB →.①求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值； ②求OA 2＋OB 2.解：(1)依题意，得 c ＝1.于是，a ＝2，b ＝1. (2分) 所以所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) ①设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 212＋y 21＝1①，x 222＋y 22＝1②. 又设M(x ，y)，因OM →＝cosθOA →＋sinθOB →，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1cosθ＋x 2sinθ，y ＝y 1cosθ＋y 2sinθ.(7分)因M 在椭圆上，故(x 1cosθ＋x 2sinθ)22＋(y 1cosθ＋y 2sinθ)2＝1.整理得⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22sin 2θ＋2⎝⎛⎭⎫x 1x 22＋y 1y 2cosθsinθ＝1. 将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得x 1x 22＋y 1y 2＝0.所以，k OA k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12为定值．( 10分) ② (y 1y 2)2＝⎝⎛⎭⎫－x 1x 222＝x 212·x 222＝(1－y 21)(1－y 22)＝1－(y 21＋y 22)＋y 21y 22，故y 21＋y 22＝1.又⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22＝2，故x 21＋x 22＝2. 所以，OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝3. (16分)第20讲 数形结合思想1. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x ＋1x －x －1x 有四个公共点，则实数k 的取值范围是____________．【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－18，0，18 解析：y ＝x ＋1x －x －1x 为偶函数，考查函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0＜x ＜12x，x ≥1，在直角坐标系中作出函数的图象，直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，直线与曲线y ＝2x (x ≥1)在第一象限内相切时，直线的斜率为－18，根据图形可知实数k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－18，0，18.2. 设f(x)＝－13x 3＋12x 2＋2ax.(1) 若f(x)在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； (2) 当0＜a ＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－163，求f(x)在该区间上的最大值．解：(1) f(x)在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，即存在某个子区间(m ，n) ⎝⎛⎭⎫23，＋∞使得f ′(x)＞0.由f ′(x)＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ，f ′(x)在区间⎣⎡⎭⎫23，＋∞上单调递减，则只需f ′⎝⎛⎭⎫23＞0即可．由f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ＞0，解得a ＞－19. 所以，当a ＞－19时，f(x)在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间． (2) 令f ′(x)＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2.所以f(x)在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x 2)， 又f(4)－f(1)＝－272＋6a ＜0，即f(4)＜f(1)．所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝103.基础训练1. {3,9} 解析：画出韦恩图即可得到答案．2. 3 解析：从图象上可知周期为T ＝π－π3＝2π3，ω＝2π2π3＝3.3. ⎝⎛⎭⎫1，54 解析：方程1＝x 2－|x|＋a 转化为x 2－|x|＝1－a ，令f(x)＝x 2－|x|，g(x)＝1－a ，在同一个直角坐标系中作出两个函数的图象，可知－14＜1－a ＜0,1＜a ＜54.4. 12 解析：本题画出韦恩图即可. 设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15－x)人，只喜爱乒乓球的有(10－x)人，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x ＋8＝30，解得x ＝3，所以15－x ＝12，即所求人数为12人．例题选讲例1 解：(1) A ＋B ＝3，－A ＋B ＝－1，∴ A ＝2，B ＝1.T ＝11π6＋π6＝2π，∴ ω＝1，那么f(x)＝2sin(x ＋φ)＋1，2sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝2，∴ φ＝5π3，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π3＋1. (2) y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫kx ＋5π3＋1，∵ T ＝2π3，∴ k ＝3，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋5π3＋1. 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋5π3＋1在⎣⎡⎦⎤0，5π18上增，在⎣⎡⎦⎤5π18，π3上减， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋5π3＋1∈[1－3，3)∩[1＋3，3)， 故实数m 的取值范围为[3＋1,3)．变式训练 已知函数y ＝asinx ＋bcosx ＋c 的图象上有一个最低点⎝⎛⎭⎫116π，1.如果图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3π倍，然后向左平移1个单位，可得y ＝f(x)的图象．又知f(x)＝3的所有非负实根依次为一个公差是3的等差数列．试求f(x)的解析式和单调递减区间．解：－12a ＋32b ＋c ＝1，－a 2＋b 2＋c ＝1，c ＝1＋2a ，b ＝－3a ，∴ y ＝2asin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋1＋2a ，∴ f(x)＝2asin π3x ＋1＋2a ，设f(x)＝3的非负实根为x 0，x 0＋3，x 0＋6，…，则f(x 0)＝3，f(x 0＋3)＝3，即2asin π3x 0＋1＋2a ＝3,2asin ⎝⎛⎭⎫π3x 0＋π＋1＋2a ＝3.两式相加得a ＝1.因此c ＝3，a ＝1，b ＝－ 3.∴ f(x)＝2sin π3x ＋3，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤32＋6k ，92＋6k (k ∈Z )． 例2 解：如题图，连结A 1B 2，A 2B 2＝102，A 1A 2＝2060×302＝102，△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°， 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos45°， ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度大小为10220×60＝30 2.答：乙船每小时航行302海里．例3 (1) 解：令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b)；令f(x)＝x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0，实数b 的取值范围是b ∈(－∞，0)∪(0,1)．(2) 解：设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0这与x 2＋2x ＋b ＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b. 令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1. 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3) 证明：假设圆C 过定点(x 0，y 0)，(x 0，y 0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b(1－y 0)＝0 (*)为使(*)式对所有满足b ＜1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0， 结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1， 经检验知，点(0,1)，(－2,0)均在圆C 上，因此圆C 过定点．例4 解：(1) ∵ f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5)， ∴ 可设f(x)＝ax(x －5)(a ＞0)．∴ f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a. 由已知，得6a ＝12，∴ a ＝2，∴ f(x)＝2x(x －5)＝2x 2－10x(x ∈R )．(2) 方程f(x)＋37x＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0.设h(x)＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x)＝6x 2－20x ＝2x(3x －10)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，103时，h ′(x)＜0，h(x)是减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫103，＋∞时，h ′(x)＞0，h(x)是增函数．∵ h(3)＝1＞0，h ⎝⎛⎭⎫103＝－127＜0，h(4)＝5＞0， ∴ 方程h(x)＝0在区间⎝⎛⎭⎫3，103，⎝⎛⎭⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f(x)＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不同的实数根．变式训练 已知函数f(x)＝12x 2－alnx(a ∈R )．(1) 若函数f(x)在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值； (2) 若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (3) 讨论方程f(x)＝0的解的个数，并说明理由． 解：(1) 因为f ′(x)＝x －ax (x>0)，又f(x)在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＝1，2－aln2＝2＋b ，解得a ＝2，b ＝－2ln2. (2) 若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，则f ′(x)＝x －a x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以有a ≤1.(3) 当a ＝0时，f(x)在定义域(0，＋∞)上恒大于0，此时方程无解．当a<0时，f ′(x)＝x －ax >0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上的增函数．∵ f(1)＝12>0，f ⎝⎛⎭⎫e 1a ＝12e 2a －1<0，∴ 方程有唯一解． 当a>0时，f ′(x)＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x ＋a )(x －a )x.因为当x ∈(0，a)时，f ′(x)<0，f(x)在(0，a)内为减函数；当x ∈(a ，＋∞)时，f(x)在(a ，＋∞)内为增函数．所以当x ＝a 时，f(x)有极小值，即为最小值f(a)＝12a －aln a ＝12a(1－lna)．当a ∈(0，e)时，f(a)＝12a(1－lna)>0，方程无解；当a ＝e 时，f(a)＝12a(1－lna)＝0，此方程有唯一解x ＝ a.当a ∈(e ，＋∞)时，f(a)＝12a(1－lna)<0，因为f ⎝⎛⎭⎫12>0且a>1， 所以方程f(x)＝0在区间(0，a)上有唯一解．因为当x>1时，(x －lnx)′>0，所以x －lnx>1，所以x>lnx.f(x)＝12x 2－alnx>12x 2－ax ，因为2a>a>1，所以f(x)>12(2a)2－2a 2＝0，所以方程f(x)＝0在区间(a ，＋∞)上有唯一解． ∴ 方程f(x)＝0在区间(e ，＋∞)上有两解． 综上，当a ∈(0，e)时，方程无解； 当a<0或a ＝e 时，方程有唯一解； 当a>e 时，方程有两解．高考回顾1. [0,2] 解析：作出可行域，设z ＝OA →·OM →，则z ＝－x ＋y ，作出l 0：－x ＋y ＝0，平移l 0，知l 过点(1,1)时，z min ＝0，过(0,2)时，z max ＝2，∴ OA →·OM →的取值范围为[0,2]．2. 4 解析：直接画图结合函数的对称性可知，当直线的斜率为1时，线段PQ 长为最小，最小值为4；或设直线为y ＝kx(k ＞0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝2x ，解得P ，Q 两点的坐标，再求线段PQ 长的最小值，此法相对计算量较大，不如利用函数图象和性质快捷．合理画出函数图象利用函数的性质是解决函数问题的常用方法．要掌握各种常见函数的图象和性质，选用适当的方法求解问题．3. 3 解析：将三棱锥沿PA 展开得一平面图形，用余弦定理可得12＋12－2×1×1×cos120°＝ 3.4. 4 解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f(x)≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0,1]时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4， 所以g(x)在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g(x)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x ＜0即x ∈[－1,0)时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g ′(x)＝3(1－2x )x 4＞0.g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)max ＝g(－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.5. 解：(1) 由题知得A(－3,0)，B(3,0)，F(2,0)，设点P(x ，y)，则PF 2－PB 2＝[(x －2)2＋y 2]－[(x －3)2＋y 2]＝4， 整理得x ＝92.故所求点P 的轨迹为直线x ＝92.(2) 由x 1＝2，x 129＋y 125＝1及y 1>0得M ⎝⎛⎭⎫2，53，从而得直线AM 的方程为y ＝13x ＋1；由x 2＝13，x 229＋y225＝1及y 2<0，得 N ⎝⎛⎭⎫13，－209，从而BN 的方程为y ＝56x －52.由⎩⎨⎧y ＝13x ＋1，y ＝56x －52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝103.所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫7，103. (3) 由题设知，直线AT 的方程为y ＝m 12(x ＋3)，直线BT 的方程为y ＝m6(x ＋3)．点M(x 1，y 1)满足⎩⎨⎧y 1＝m12(x 1＋3)，x 129＋y125＝1，得(x 1－3)(x 1＋3)9＝－m 2122·(x 1＋3)25.因为x ≠－3，则x 1－39＝－m 2122·x 1＋35， 解得x 1＝240－3m 280＋m 2，从而y 1＝40m80＋m 2. 点N(x 2，y 2)满足⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝m6(x 2＋3)，x229＋y 225＝1，x 2≠3解得x 2＝3m 2－6020＋m ，y 2＝－20m20＋m 2.若x 1＝x 2，则由240－3m 280＋m 2＝3m 2－6020＋m 2及m>0，得m ＝210，此时直线MN 的方程为x＝1，过点D(1,0)；若x 1≠x 2，则m ≠210，直线MD 的斜率k MD ＝40m80＋m 2240－3m 280＋m 2－1＝10m40－m 2， 直线ND 的斜率k ND ＝－20m 20＋m 23m 2－6020＋m 2－1＝10m40－m 2，所以k MD ＝k ND .所以直线MN 过D 点．综上，直线MN 必过x 轴上的点(1,0)．6. 解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝x 3－32x 2＋1，f(2)＝3；f ′(x)＝3x 2－3x ，f ′(2)＝6.所以曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y －3＝6(x －2)，即y ＝6x －9.(2) f ′(x)＝3ax 2－3x ＝3x(ax －1)．令f ′(x)＝0，解得x ＝0或x ＝1a .以下分两种情况讨论：①若0＜a ≤2，则1a ≥12，当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：11当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时，f(x)＞0等价于⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫－12＞0，f ⎝⎛⎭⎫12＞0，即⎩⎨⎧5－a8＞0，5＋a 8＞0.解不等式组得－5<a<5.因此0＜a ≤2.②若a>2，则0＜1a ＜12.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时，f(x)>0等价于⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫－12＞0，f ⎝⎛⎭⎫1a ＞0，即⎩⎨⎧5－a8＞0，1－12a 2＞0.解不等式组得22＜a ＜5或a ＜－22.因此2<a<5. 综合①②，可知a 的取值范围为0<a<5.。
巧用数形结合 优化几何直观
巧用数形结合优化几何直观作者：江永胜来源：《小学教学参考(综合)》2019年第07期[摘要]在数学学习中，数形结合是重要的数学思想，也是最常用的解决问题方法之一。
数形结合可以将抽象的信息、复杂的数量关系用几何图形直观地呈现出来，使问题由抽象变具体、由复杂变简单，有利于培养学生解决问题的能力。
[关键词]数形结合;几何直观;行程问题;小学数学“行程问题”是小学数学的教学内容之一，一般以应用题的形式出现，有着丰富的变式。
下面，我就以“行程问题”的教学为例，谈谈如何巧用数形结合，优化几何直观，促进学生的数学学习，构建高效的数学课堂。
小学阶段，“行程问题”最早出现在人教版小学数学四年级上册教材，在人教版小学数学五年级上册第五单元中设计和编排了列方程解决“行程问题”的内容。
“行程问题”具体是指与速度、时间以及路程有关的数学问题，其中的数量关系式有“速度×时间=路程”“路程÷时间=速度”“路程÷速度=时间”。
在“行程问题”中，涉及的数有整数、小数和分数;设计的运动变化情况也很多，如单个物体运动、两个或两个以上的物体运动;运动方向有相向运动、同向运动以及背向运动。
在实际教学中，教师可先基于学生已有的知识经验，引导学生利用数形结合分析和理解题中的数量关系，找到未知数，再让学生依据等量关系列出正确的方程，最后解决问题。
为此，我对人教版小学数学五年级上册“行程问题”的教学进行改进，巧用数形结合，优化几何直观，引导学生解决问题。
教学片段1：（1）出示教材第79页的例5。
师：题中的已知条件和要求的问题是什么？生1：已知條件为“小林家和小云家相距4.5千米”“小林的骑车速度是0.25千米/分钟”“小云的骑车速度是0.2千米/分钟”，要求的问题是“两人何时相遇”。
师：求“两人何时相遇”是什么意思？（生答略）师（总结）：这里的路程已经不是指一个人行驶的路程了，而是指两个人行驶的路程之和，那么相遇时间就是指两个人共同行驶完全程用的时间。
让“数”与“形”联袂而行——浅谈“几何直观”在习题教学与训练中的应用
数学/教海撷英562020/03让“数”与“形”联袂而行——浅谈“几何直观”在习题教学与训练中的应用江苏江阴市英桥国际学校 王宜琴【摘要】“数形结合”的应用大致可分为两种情形：借助于“数”的精确性来阐明“形”的某些属性；借助“形”的几何直观性来阐明“数”之间的某种关系。
也就是说，几何直观实质包括以下两种情形：“以数解形”和“以形助数”。
《义务教育数学课程标准（2011版）》提出，核心概念之一的几何直观，其本质含义主要是指利用图形描述和分析问题，体现的是“数形结合”中“以形助数”的思想，借助“形”的几何直观性来阐明“数”之间的某种关系。
【关键词】几何直观 数形结合小学数学教学包括诸多的教学环节，而习题教学与训练是诸多教学中重要环节之一。
在实际教学中，特别是到了中高年级，随着已知条件越来越复杂，有很多习题让部分学生“束手无策”。
《义务教育数学课程标准（2011版）》指出：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
”笔者就“几何直观”在习题教学与训练中的应用，谈一些心得体会。
一、借助几何直观，变“模糊”为“清晰”小学生由于年龄的特点，其思维方式以具体形象思维为主，思维水平正处于具体运算阶段向形式阶段的过渡期，这一阶段的小学生对于概念的建构还离不开具体事物的支持。
而几何直观凭借其直观性的特点，能将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来,充分突出问题的本质，帮助学生突破理解上的难点。
例如，苏教版数学五年级上册“小数的意义和性质”单元练习判断题：0.5和0.50大小相等，意义也相同。
本题学生错误率比较高，很多学生第一反应是该题是正确的。
根据学生已有的经验和知识水平，由小数的性质很容易就能得出0.5等于0.50，而对于“小数0.5与0.50的意义是否相同”，很多学生往往处于“一知半解”状态。
此时不妨通过图形直观和对比分析，帮助学生借助直观的图形，突破理解上的难点，真正理解数学概念的本质内涵。
几何直观,数形相得益彰
几何直观，数形相得益彰发表时间：2015-02-04T15:22:13.783Z 来源：《少年智力开发报》2014-2015学年第7期供稿作者：倪君霞[导读] 和代数相比,几何给人以生动直观的形象,借助于直观的形象,我们可以更直接地掌握研究对象各部分之间的具体关系。
绍兴市柯桥区安昌镇中学倪君霞《数学课程标准》2011版提出的十个核心概念，“几何直观”就是其中之一，从名称上就能看出它和图形与几何的学习关系比较密切。
课程标准指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
而几何直观的教学，并不是新课程标准修改后才出现的新名词，早在建国初期首次制定的中小学数学教学大纲中已提出，中小学数学教学在能力培养方面的要求是“通过数学教学，发展学生的逻辑思维和空间想像力”，之后经历多次的教学大纲修订，对几何直观教学进行不同的诠释，由“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”，再到课程标准2011版的直接将“几何直观”作为十个核心概念之一。
几何直观不管是在代数当中，还是在统计概率当中，都要用到。
面对一个比较复杂的、比较抽象的对象，如果我们能用直观的办法，用图形的办法，把它描述刻画出来，会使这个对象更容易理解，这是一种思维——创造性思维，是一种很重要的科学研究方式。
那在数学课堂教学中如何培养学生几何直观的意识与能力？怎样运用几何直观，来提高学生的学习能力？下面我结合自已的教学实践，来谈谈我在教学中如何培养学生的几何直观的意识和能力，并能让学生自觉地运用几何直观一、解实际应用题时的几何直观几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解教学．是数学学习中的重要方面，甚至可以说．只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。
因此，在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，并旦学会利用几何直观来学习和理解数学。
《漫话“数”与“形”--小学数学教学中“几何直观”的应用》
《漫话“数”与“形”--小学数学教学中“几何直观”的应用》——几何直观在小学数学运算定律教学中的应用【摘要】几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中新增的核心概念。
小学数学中的运算定律是小学阶段的重要内容，但学生在理解和应用上有一定的困惑，特别是在应用运算定律进行简算时易出现混淆。
借助几何直观的教学，了解知识的几何背景，帮助学生描述、理解运算定律；借助直观图形分析算式的意义，明确算理、辨别正误；借助直观图形引发学生思维的灵感，发现解题思路。
几何直观在教学中的应用，不仅使学生更好的掌握知识，亦能使课堂教学活泼起来，激发学生的学习兴趣。
【关键词】几何直观运算定律理解思维几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中新增的核心概念，它是指“利用图形描述和分析问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
”从这段话中，可以领悟到：几何直观是一种思维，这种思维由几何直观做向导；几何直观能启迪思路，使复杂问题简单化，抽象问题具体化；几何直观还能揭示知识的本质，找出知识间的关系，对学生的能力培养发挥着重要作用。
在小学四年级的运算定律教学中，借助几何直观教学，了解其几何背景，不仅帮助学生理解概念、分析及发现算式间的关系，亦能使课堂教学活泼起来，激发学生的学习兴趣，诱发对知识的进一步理解与运用。
一、借助几何直观，描述和理解运算定律在小学，运算定律共有5条，虽然这5条运算定律并不复杂，但对于小学生来说还是比较抽象的，他们通常在表示方法上会写错，在应用上也会搞混。
在教学运算定律的过程中，几乎所有的教材都是先通过具体的问题情景，从代数方面进行思考探索。
具体做法：用不同的方法解决问题，通过计算，得出两种方法算出的结果是相等的，因而两个算式有相等关系；然后模仿等式的结构再列举一些算式，再通过计算说明算式结果相等，从而得出这样的结构的算式是相等的；最后观察等式结构归纳概括出规律。
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4只脚
2只脚
8个头
无论什么策略都有培养的过程。
• 线段图是一种重要的解题策略； • 新加坡的模型法与此类似，从小培养学生 标准画图，找到“标准量”为突破口；
线段图典型题
• 明明和佳佳共520元，明明花去自己钱的 2/5，佳佳花去40元，他们所剩的钱一样多， 明明原来有多少钱？ • 8个单位=520—40=480
0.01
1 100
÷10
1 1000
0.001
运算中的直观
数轴上直观表示
• •
加法就是往右移，减法就是往左移。 乘法就是往右移动相同的格数；
分数四则运算
• 分数的运算与整数 的运算结合起来。 • 分数是分数单位的 累加，分数的运算 也就是分数单位相 同后整数的运算。
分数四则运算
• 借助直观模型。
பைடு நூலகம்位数乘两位数
竖式计算 28 ×15 140 28 420
竖式计算 28 ×15 240 18 420
横式计算： 28×15 = 20×10 + 20×5 + 10×8+ 5×8 = 200 + 100 + 80 + 40 = 420。
• 中国古代算法：铺地锦
问题
• 67×98,66×99，哪个乘积大？
明明
520
佳佳 40
重视利用线段图
• 在解决问题的过程中才能发现问题； • 在画线段的过程中才能学会画线段图； • 简单的问题为了解决这个问题可以不画线 段图，但是将来为了能用线段图来解决复 杂的问题，可能就需要开始学习画线段图；
几何直观：归一问题
综合实践中的直观策略
★逻辑思维能力
数独
二维和三维之间的转换
• 策略4：假设全是鸡，也可以假设全是兔， 也可以假设一半是鸡一半是兔；
• 策略5：方程思路：用□表示鸡的只数，用 ○表示兔的只数，根据已知条件可以发现 □＋○＝8，2□＋4○＝22；由此可以得到 2（□＋○）＋2○＝22，2○＝22－16，○ ＝3。
• 策略6：面积图，利用长方形面积公式来计 算组合图形的面积。
例谈数形结合与几何直观
LITAN SHUXINGJIEHE YU JIHEZHIGUAN
唐彩斌
tangcaibin@
课程标准2011版
从双基到四基
• 双基：基础知识，基本技能。 • 四基：基础知识、基本技能、 基本活动经验，基本思想；
数学课程标准 2011版
从两能到四能
• • • • 分析问题； 解决问题； 发现问题； 提出问题；
乘法分配律的直观模型。
7
2
3
9 8 7 6 5 4 3 2 1
4+9=13
8+5=13
0 1 2 3 4 5 6 78 9
20以内进位加法 ：
• 分数的大小比较
坐标与图形 :
y
4 3 2 1
D
A
B
o
1
2
3
4
5
6
7
x
• 用数对表示C点的位置；并画出这个长方形 的另外两条边。 • 如果以BC所在的直线为对称轴作出这个长 方形的轴对称图形，请用数对表示A点所对 应的点的位置。 • 将这个长方形向上平移一格，用数对表示 出移动后长方形四个顶点的位置。
最后的画与最后的话：
这是一棵什么树？ 这是一棵勾股树。也称智慧树。
Thanks。
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唐彩斌
备注：“义务教育数学课程标准”2011版，北京师范大学出版社。
提纲
• • • • • 数与形的结合 数概念的直观； 运算的直观； 运算规律的直观； 解决问题中的直观；
数概念中的直观
从数到运算
单位“1”
1 3 0
1 1
1
2 5 0 5 8 0
怎么找3.1415？
÷10
1 10
÷10
1
0.1
解决问题中的直观策略
• 欧拉解决哥尼斯堡“七桥问题”。
怎样让学生学会？
• 有一桶油，第一次取出这桶油的20％， 第二次取出12千克，两次共取出这桶油 的1/2，这桶油共多少千克？ • 画线段图： • 画草图：
12千克
这桶油的20％， 这桶油的1/2
鸡兔共8只，有22只脚，鸡兔各有多少 只？
策略1：尝试与猜想：1只鸡，7只兔，腿 的总条数是30，腿多了，减少兔子的数量， 再尝试； 策略2：列表尝试：鸡兔各4只，那么腿24 只，腿少了，增加鸡的数量，再尝试； 策略3：用画图的方法，先按照都是鸡画 好，再在此基础上添上腿，添上2只腿就 表明多了1只兔。
四棵树，怎样栽，使得任两棵树之间距 离相等?
怎样用形来帮助思考？
5个朋友参加完聚会，一一道别，如果每 两人都握一次手，一共要握多少次手?
A
B
C
D
E
数形结合诗
华罗庚
数形本是相依偎， 焉能纷作两边飞. 数缺形时少直观， 形少数时难入微. 数形结合百般好， 割裂分家万事休. 几何代数统一体， 永远联系莫分离.
数学课程标准 2011版
从6大核心到10大核心
应用意识
数感
符号感
推理能力
统计观念
空间观念
10大核心素养
应用意识 创新意识
数感
符号意识
推理能力
模型思想
数据分析 观念 几何直观
运算能力
空间观念
几何直观
• 几何直观是指利用图形描述和分析问题。 • 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得 简明、形象，有助于探索解决问题的思路， 预测结果。 • 几何直观可以帮助学生直观地理解数学， 在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
运算规律中的直观
加法交换律
• • • • • • 感受不完全归纳 列出算式； 计算结果； 提出猜测； 举例验证； 得出结论。
加法结合律
情境的现实性 与数学的规律 性很一致。
乘法分配律
• 从计算长方形周长的过程中，长×2+宽×2=（长 +宽）×2；引出乘法分配律； • 用乘法分配律解释两位数乘两位数的原理；