数形结合与几何直观
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四棵树，怎样栽，使得任两棵树之间距 离相等?
来自百度文库
怎样用形来帮助思考？
5个朋友参加完聚会，一一道别，如果每 两人都握一次手，一共要握多少次手?
A
B
C
D
E
华罗庚
数形结合诗
数形本是相依偎， 焉能纷作两边飞. 数缺形时少直观， 形少数时难入微. 数形结合百般好， 割裂分家万事休. 几何代数统一体， 永远联系莫分离.
例谈数形结合与几何直观
LITAN SHUXINGJIEHE YU JIHEZHIGUAN
课程标准2011版
从双基到四基
• 双基：基础知识，基本技能。 • 四基：基础知识、基本技能、
基本活动经验，基本思想；
数学课程标准 2011版
从两能到四能
• 分析问题； • 解决问题； • 发现问题； • 提出问题；
1 0.1 0.01 0.001
运算中的直观
数轴上直观表示 • 加法就是往右移，减法就是往左移。 • 乘法就是往右移动相同的格数；
分数四则运算
• 分数的运算与整数 的运算结合起来。
• 分数是分数单位的 累加，分数的运算 也就是分数单位相 同后整数的运算。
分数四则运算
• 借助直观模型。
两位数乘两位数
• 将这个长方形向上平移一格，用数对表示 出移动后长方形四个顶点的位置。
解决问题中的直观策略
• 欧拉解决哥尼斯堡“七桥问题”。
怎样让学生学会？
• 有一桶油，第一次取出这桶油的20％， 第二次取出12千克，两次共取出这桶油 的1/2，这桶油共多少千克？
• 画线段图：
• 画草图：
12千克
这桶油的20％， 这桶油的1/2
备注：“义务教育数学课程标准”2011版，北京师范大学出版社。
提纲
• 数与形的结合 • 数概念的直观； • 运算的直观； • 运算规律的直观； • 解决问题中的直观；
数概念中的直观
从数到运算
单位“1”
1
30
1
2
50
1
5
80
1
怎么找3.1415？
1
1
1
÷10 10 ÷10 100 ÷10 1000
最后的画与最后的话：
这是一棵什么树？ 这是一棵勾股树。也称智慧树。
Thanks。
欢迎访问新思维数学网http:
唐彩斌
竖式计算 28
×15 140 28 420
竖式计算 28
×15 240 18 420
横式计算： 28×15 = 20×10 + 20×5 + 10×8+ 5×8 = 200 + 100 + 80 + 40 = 420。
• 中国古代算法：铺地锦
问题
• 67×98,66×99，哪个乘积大？
运算规律中的直观
2只脚
8个头
4只脚
无论什么策略都有培养的过程。
• 线段图是一种重要的解题策略； • 新加坡的模型法与此类似，从小培养学生
标准画图，找到“标准量”为突破口；
线段图典型题
• 明明和佳佳共520元，明明花去自己钱的 2/5，佳佳花去40元，他们所剩的钱一样多， 明明原来有多少钱？
• 8个单位=520—40=480
明明 佳佳
520 40
重视利用线段图
• 在解决问题的过程中才能发现问题； • 在画线段的过程中才能学会画线段图； • 简单的问题为了解决这个问题可以不画线
段图，但是将来为了能用线段图来解决复 杂的问题，可能就需要开始学习画线段图；
几何直观：归一问题
综合实践中的直观策略
★逻辑思维能力
数独
二维和三维之间的转换
加法交换律
• 感受不完全归纳 • 列出算式； • 计算结果； • 提出猜测； • 举例验证； • 得出结论。
加法结合律
情境的现实性 与数学的规律 性很一致。
乘法分配律
• 从计算长方形周长的过程中，长×2+宽×2=（长 +宽）×2；引出乘法分配律；
• 用乘法分配律解释两位数乘两位数的原理；
乘法分配律的直观模型。
数学课程标准 2011版
从6大核心到10大核心
应用意识
数感
推理能力
符号感
空间观念
统计观念
10大核心素养
应用意识 创新意识
数感
符号意识
推理能力 运算能力
模型思想
数据分析 观念
空间观念
几何直观
几何直观
• 几何直观是指利用图形描述和分析问题。 • 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得
简明、形象，有助于探索解决问题的思路， 预测结果。 • 几何直观可以帮助学生直观地理解数学， 在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
• 策略4：假设全是鸡，也可以假设全是兔， 也可以假设一半是鸡一半是兔；
• 策略5：方程思路：用□表示鸡的只数，用 ○表示兔的只数，根据已知条件可以发现 □＋○＝8，2□＋4○＝22；由此可以得到 2（□＋○）＋2○＝22，2○＝22－16，○ ＝3。
• 策略6：面积图，利用长方形面积公式来计 算组合图形的面积。
7
2
3
4+9=13
9
8
7
6
5
8+5=13
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 78 9
20以内进位加法 ：
• 分数的大小比较
坐标与图形 :
y
D
4
3
2
A
B
1
o 1234567 x
• 用数对表示C点的位置；并画出这个长方形 的另外两条边。
• 如果以BC所在的直线为对称轴作出这个长 方形的轴对称图形，请用数对表示A点所对 应的点的位置。
鸡兔共8只，有22只脚，鸡兔各有多少 只？
策略1：尝试与猜想：1只鸡，7只兔，腿 的总条数是30，腿多了，减少兔子的数量， 再尝试； 策略2：列表尝试：鸡兔各4只，那么腿24 只，腿少了，增加鸡的数量，再尝试； 策略3：用画图的方法，先按照都是鸡画 好，再在此基础上添上腿，添上2只腿就 表明多了1只兔。
来自百度文库
怎样用形来帮助思考？
5个朋友参加完聚会，一一道别，如果每 两人都握一次手，一共要握多少次手?
A
B
C
D
E
华罗庚
数形结合诗
数形本是相依偎， 焉能纷作两边飞. 数缺形时少直观， 形少数时难入微. 数形结合百般好， 割裂分家万事休. 几何代数统一体， 永远联系莫分离.
例谈数形结合与几何直观
LITAN SHUXINGJIEHE YU JIHEZHIGUAN
课程标准2011版
从双基到四基
• 双基：基础知识，基本技能。 • 四基：基础知识、基本技能、
基本活动经验，基本思想；
数学课程标准 2011版
从两能到四能
• 分析问题； • 解决问题； • 发现问题； • 提出问题；
1 0.1 0.01 0.001
运算中的直观
数轴上直观表示 • 加法就是往右移，减法就是往左移。 • 乘法就是往右移动相同的格数；
分数四则运算
• 分数的运算与整数 的运算结合起来。
• 分数是分数单位的 累加，分数的运算 也就是分数单位相 同后整数的运算。
分数四则运算
• 借助直观模型。
两位数乘两位数
• 将这个长方形向上平移一格，用数对表示 出移动后长方形四个顶点的位置。
解决问题中的直观策略
• 欧拉解决哥尼斯堡“七桥问题”。
怎样让学生学会？
• 有一桶油，第一次取出这桶油的20％， 第二次取出12千克，两次共取出这桶油 的1/2，这桶油共多少千克？
• 画线段图：
• 画草图：
12千克
这桶油的20％， 这桶油的1/2
备注：“义务教育数学课程标准”2011版，北京师范大学出版社。
提纲
• 数与形的结合 • 数概念的直观； • 运算的直观； • 运算规律的直观； • 解决问题中的直观；
数概念中的直观
从数到运算
单位“1”
1
30
1
2
50
1
5
80
1
怎么找3.1415？
1
1
1
÷10 10 ÷10 100 ÷10 1000
最后的画与最后的话：
这是一棵什么树？ 这是一棵勾股树。也称智慧树。
Thanks。
欢迎访问新思维数学网http:
唐彩斌
竖式计算 28
×15 140 28 420
竖式计算 28
×15 240 18 420
横式计算： 28×15 = 20×10 + 20×5 + 10×8+ 5×8 = 200 + 100 + 80 + 40 = 420。
• 中国古代算法：铺地锦
问题
• 67×98,66×99，哪个乘积大？
运算规律中的直观
2只脚
8个头
4只脚
无论什么策略都有培养的过程。
• 线段图是一种重要的解题策略； • 新加坡的模型法与此类似，从小培养学生
标准画图，找到“标准量”为突破口；
线段图典型题
• 明明和佳佳共520元，明明花去自己钱的 2/5，佳佳花去40元，他们所剩的钱一样多， 明明原来有多少钱？
• 8个单位=520—40=480
明明 佳佳
520 40
重视利用线段图
• 在解决问题的过程中才能发现问题； • 在画线段的过程中才能学会画线段图； • 简单的问题为了解决这个问题可以不画线
段图，但是将来为了能用线段图来解决复 杂的问题，可能就需要开始学习画线段图；
几何直观：归一问题
综合实践中的直观策略
★逻辑思维能力
数独
二维和三维之间的转换
加法交换律
• 感受不完全归纳 • 列出算式； • 计算结果； • 提出猜测； • 举例验证； • 得出结论。
加法结合律
情境的现实性 与数学的规律 性很一致。
乘法分配律
• 从计算长方形周长的过程中，长×2+宽×2=（长 +宽）×2；引出乘法分配律；
• 用乘法分配律解释两位数乘两位数的原理；
乘法分配律的直观模型。
数学课程标准 2011版
从6大核心到10大核心
应用意识
数感
推理能力
符号感
空间观念
统计观念
10大核心素养
应用意识 创新意识
数感
符号意识
推理能力 运算能力
模型思想
数据分析 观念
空间观念
几何直观
几何直观
• 几何直观是指利用图形描述和分析问题。 • 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得
简明、形象，有助于探索解决问题的思路， 预测结果。 • 几何直观可以帮助学生直观地理解数学， 在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
• 策略4：假设全是鸡，也可以假设全是兔， 也可以假设一半是鸡一半是兔；
• 策略5：方程思路：用□表示鸡的只数，用 ○表示兔的只数，根据已知条件可以发现 □＋○＝8，2□＋4○＝22；由此可以得到 2（□＋○）＋2○＝22，2○＝22－16，○ ＝3。
• 策略6：面积图，利用长方形面积公式来计 算组合图形的面积。
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8+5=13
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20以内进位加法 ：
• 分数的大小比较
坐标与图形 :
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A
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o 1234567 x
• 用数对表示C点的位置；并画出这个长方形 的另外两条边。
• 如果以BC所在的直线为对称轴作出这个长 方形的轴对称图形，请用数对表示A点所对 应的点的位置。
鸡兔共8只，有22只脚，鸡兔各有多少 只？
策略1：尝试与猜想：1只鸡，7只兔，腿 的总条数是30，腿多了，减少兔子的数量， 再尝试； 策略2：列表尝试：鸡兔各4只，那么腿24 只，腿少了，增加鸡的数量，再尝试； 策略3：用画图的方法，先按照都是鸡画 好，再在此基础上添上腿，添上2只腿就 表明多了1只兔。