数列求和 练习题

数列求和

1．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，

n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

解析：选A ∵a n ＋1＝a n －a n －1，a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，

a 7＝1，a 8＝2，…，故数列{a n }是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S 2 018

＝336×0＋a 2 017＋a 2 018＝a 1＋a 2＝3.故选A.

2．在数列{a n }中，若a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80

D ．82

解析：选B 由已知a n ＋1＋(－1)n

a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1

a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2

＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.

3．(2019·开封调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018等于( )

A ．2

2 018

－1

B ．3×21 009

－3 C ．3×21 009

－1

D ．3×2

1 008

－2

解析：选B ∵a 1＝1，a 2＝2

a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2，∴a n ＋2

a n

＝2.∴a 1，a 3，a 5，…

成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 017＋a 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018)＝

1－21 0091－2＋2

1－21 009

1－2

＝3×21 009

－3.故选B.

4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －3⎝ ⎛⎭

⎪⎫15n

，则其前20项和为( )

A ．380－35⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－1519

B ．400－25⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－1520

C ．420－34⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1－1520

D ．440－45⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1－1520

解析：选C 令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋...＋a 20＝2(1＋2＋ (20)

－3⎝ ⎛⎭⎪⎫

15＋15

2＋…＋1520＝2×20×20＋12－3×15⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－15201－15

＝420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520. 5．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2

＝( )

A.

n n ＋1

2

B ．－

n n ＋1

2

C ．(－1)

n ＋1

n n ＋1

2

D ．以上均不正确

解析：选C 当n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2

＝－3－7－…－(2n －1)

＝－

n

23＋2n －12

＝－

n n ＋1

2

；当n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3

－7－…－[2(n －1)－1]＋n 2＝－n －1

2

[3＋2

n －1－1]

2

＋n 2＝

n n ＋1

2

.综上可得，

原式＝(－1)n ＋1

n n ＋1

2

.

6．(2019·郑州质量预测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，记T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1

S n

(n ∈N *)，则T 2 018＝( )

A.4 034

2 018 B ．2 017

2 018 C.

4 036

2 019

D ．

2 018

2 019

解析：选C 由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，可得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列，公差d ＝a 2－a 1＝2－1＝1，通项公式a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋n －1＝n ，则其前n 项和S n ＝n a 1＋a n 2＝n n ＋12，所以1S n ＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪

⎫1

n －1n ＋1，T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2( 1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 )＝2⎝ ⎛

⎭⎪

⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1，故T 2 018＝2×2 0182 018＋1＝4 036

2 019

，故选C. 7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，则数列⎩

⎪⎨

⎪⎧⎭⎪⎬⎪

⎫4a n a n ＋1的前n 项和T n ＝________.

解析：∵数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，∴S n －1＝n 2－n ＋1(n ≥2)，两式作差得