两角和与差的正切函数

技巧方法：
1.用tan和tan 的值求tan 的值时，
一定要记住它们在公式中的位置及符号. 2.根据三角函数值求角时，一定要看清所 求角的取值范围.
例 3 .已 知 ta n ()1,ta n 1,若 ， （ 0 ， ） ，
2
7
求 2 a的 值 .
例 5若 t a n α β 5 2 ,t a n β 4 1 4 ,求 t a n α 4 的 值 .
探究点1 两角和的正切公式: 思考：怎样由两角和的正、余弦公式推导出两角和的
正切公式？
tan( ) tan tan 1 tan tan
理32.解公：式成的立右的端条是件分是数：形式 ，它k是 两(角k正切Z的)且和与1减
1两.两角角正和切的的正k积切的值比可.(以k用αZ和)且β的2 正 k切 值 表(示k.Z ).
2
2
探究点2 两角差的正切公式: 思考：怎样推导出两角差的正切公式？
tan( ) tan tan 1 tan tan
1.两角差的正切值可以用α和β的正切值表示. 2.公式的右端是分数形式，它是两角正切的差与1加两角
正切的积的比.
3.公式成立的条件是：
α + β ≠ kπ + π k ∈ Z 且α ≠ kπ + π k ∈ Z 且β ≠ kπ + π k ∈ Z .
变 式 练 习 ： 求 t a n 2 0 0 o t a n 4 0 0 o ３ t a n 2 0 0 o t a n 4 0 0 o 的 值 ．
类型一 给角求值问题 例 求值： (1)1＋3－3ttaann1155°°； (2)tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°.
训练 求下列各式的值： (1)tan1π2； (2)11＋ －ttaann1155°°； (3)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)．
例 6 求 证 ： s in s i n 2c s o in s 2 1 t t a a n n 2 2 .
证 明 ：
左 边 sin coscoss siin n 2 c o sisn 2 coscossin
sin2
cos2 cos2 sin2 cos2
sin 2
1
tan2 tan2
思考: tan15o ?
1.将正切转化为正余弦:
代入 sin15o,cos15o.
tan15o
sin1源自文库o cos15o
,
2.原式可化为:
sin(45o30o) sin45ocos30ocos45osin30o cos(45o30o)cos45ocos30osin45osin30o,
是否太烦琐了?能否直接用角的正切来表示呢?
例 4 计 算 1 1 tta an n1 15 5o o的 值 .
注意：公式的其他变形形式：
１ tan tan tan( )(1 tantan )； ２ tan tan 1 tan tan ；
tan( )
３ tan tan tan tan 1；
tan( )
４ tan( ) tan tan tan( ) tan tan ； 5 tan( ) tan tan tan( ) tan tan .
2.注意公式的结构，尤其是符号.
例 1 已 知 ta n α2 ,ta nβ1,其 中 0α,β.
3
22
1 求 ta n αβ. 2求 αβ 的 值 .
例 ２ 已 知 ta n A 2 ,ta n B 3 ,且 A ,B 都 是 锐 角 ， 求 证 ： A B 1 3 5 o ．
训练 已知 tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，α，β∈(0，π)，求 2α－β.
训练 已知 tan α，tan β 是方程 x2＋3 3x＋4＝0 的两根，且－π2 <α<2π，－π2<β<π2，求角 α＋β.
类型四 综合应用 例 3 已知△ABC 中，tan B＋tan C＋ 3tan Btan C＝ 3，且 3tan A
右边,
所以原式成立.
1.求tan12otan33o 值 .
1
1tan12otan33o
2.已 知 tan3,求 tan4的 值 -2
3.设 tan,tan是 方 程 x23x20的 两 个 根 ,则 tan()___3__.
4．(2014.淮阴高一检测)在△ABC 中，tan A＋tan B
＋ 3＝ 3tan Atan B，则 C 等于( A )
两角和与差的正切函数
1.两角和、差的余弦公式:
cos( ) cos cos sin sin ; ——C cos( ) cos cos sin sin ; ——C 2.两角和、差的正弦公式:
sin( ) sin cos cos sin ; ——S sin( ) sin cos cos sin ; ——S
类型二 给值求值问题 例 已知 α 为锐角，cosα＝35，tan(α－β)＝13，求 tanα，tanβ， tanβ＋π4的值．
训练 已知 tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求 tan2α，tan2β， tan2α＋π4.
类型三 给值求角问题 例 已知 tanα＝17，tanβ＝ 1100，且 α，β 为锐角，求 α＋2β 的值．
＋ 3tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC 的形状．
和角公式
S :sinsincoscossin; C :coscoscossinsin; T :tan1tantanttaann.
差角公式
S :sinsincoscossin; C :coscoscossinsin; T :tan1tantanttaann.
2
2
2
两角和、差的正切公式：
注意：
tan
tan tan 1 tan tan
tan
tan tan 1 tan tan
T T
1.必须在定义域范围内使用上述公式.
即：tan α，tan ，tan(α )只要有一个不存在就不能使用这个
公式.
如
:已知tan
α
2,求
tan
2
α
不能用上述公式.