1到100的算术平方根
平方根(1)
课堂教学设计日期：2012 年月. 日2第一课时平方根（1）教学过程教学内容教学环节教师活动学生活动教学媒体使用预期效果(批注)一、创设情境，导入新课学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为252dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？如果这块画布的面积是212dm？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题？计算正方形的面积必须要知道正方形的边长，根据边长求面积是乘方运算，而根据面积求边长又是什么运算呢？二、师生互动，课堂探究归纳应用新知提出问题：（书P68页的问题）你是怎样算出画框的边长等于5dm的呢？1.归纳：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式2x=a (x≥0)中，规定x =a.2、试一试你能根据等式：212=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．3想一想下列式子表示什么意思？求出它们的值吗？4、例1 求下列各数的算术平方根：（1）100；(2)1；(3)6449；(4)0.0001学生思考并交流解法求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值．例如25表示25的算术平方根。
三巩固练习P69练习 1、2四、探究怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？方法1：课本中的方法，方法2：可还有其他方法，鼓励学生探究。
问题：这个大正方形的边长应该是多少呢？46课堂教学设计课题：立方根授课时数： 2日期：2012年月日81012课堂教学设计课题：实数授课时数： 2日期：2012年月日14161820。
实数基础(平方根、立方根)
实数基础练习题（平方根、立方根）一、算术平方根与平方根填空：1、 口算：（1）144的平方根 ， 225的平方根 ， 169的平方根 ，196的平方根 ， 121的平方根 ， 289的平方根（2） 100的平方根 ， 10000的平方根 ， 104的平方根 ，1010的平方根 ， 0.01的平方根 ， 0.000001的平方根 。
（3） 640000的平方根是 ， 12100的算术平方根 ，0.64的平方根 ，1.44的算术平方根 ， 0.0255的平方根是 ，1169的平方根是 （4） 7的平方根 ，11的平方根 ，35的算术平方根 ，（5平方根 ，算术平方根 ， 225平方根 ，169平方根 ，|－972|的算术平方根是______的平方根是______， （6） 5的平方的平方根是 ，-8的平方的平方根是 ，-0.8的平方的算术平方根是 ，2)8(-= ， 2)8(= 。
2、逆运算：（1） 的算术平方根是15， 的算术平方根是0.5; 的平方根是±8， 的平方根是±57. （2）若－21是数a 的一个平方根，则a ＝_____． （3）若a 的平方根是±5，则a = 。
（4）如果a 的平方根等于2±，那么_____=a ；（5）若a 的算术平方根是2，则a 是2、估算与大小比较：（1） 3介于整数 和 之间，它的整数部分是a ，小数部分是b ，则a = ，b = ， （用含3式子表示）（2a 和b 之间，那么ab=（3） 满足x 是（4）在整数 和 之间；（5）在整数 和 之间（6）2-5 0（比大小）3、小数点的移动（1） 2.676=， 26.76=，则a 的值等于 。
（2） 若896=29.933 则8960000=4、其他（1）的相反数是 ；绝对值是 .（2） 的点表示的数是 .（3）一个数的平方根是3a +1和7+a ，则a = .（4）一个数的平方根是4b-5和10+b ，则3b-10= 。
a的算术平方根
a
读作：“根号a”, a叫做被开方数。 25
的算数平方根记为
25
算术平方根
一般地，如果一个正数x 的平方等于a, 即 x 2 a ,那么这个正数x 叫做a的算术平方根。 a的算术平方根记为：
a
读作：“根号a”, a叫做被开方数。 2
的算数平方根记为
2
算术平方根
一般地，如果一个正数x 的平方等于a, 即 x 2 a ,那么这个正数x 叫做a的算术平方根。 a的算术平方根记为：
被开方数越大，对应的算术平方根也越大。 这个结论对所有正数都成立。
2、 求下列各式的值： 4 16 (1) (2) 1 =1
9
3
(3) 9 3
(4)
2 16=4
4
(3) 3 9 3
2
2 16=4
4
(3) 3 9 3
2
2 16 =4 2
4
2
(3) 3 3
9
3
7 2 116 4 1 4 3 9 9
(3) 9 3
(4)
2 16=4
4
1、 求下列各数的算术平方根：
(1) 0.0025；
(2) 121；
2
(3) 32
解: (1)
0.0025 0.05 (2) 121 11 (3) 3 9 3
被开方数越大，对应的算术平方根也越大。 这个结论对所有正数都成立。
a 是非负数，即 a ≥0
若x,y是实数， 且
x x 1 y 1 0，则 y
2011
，
的值是多少？
x 1 y 1 0
a 是非负数，即 a ≥0
《平方根》
(× ) ( ×) (× ) (× ) ( ×) (√ ) (√ ) 8.如果两个数平方后相等,那么它们的也相等
例2. 已知
x
有意义,则x一定是 (
)
A.正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数 例3.求下列各式的值
625
பைடு நூலகம்21 4 25
23 42 36
例3. 求使 x 1 x 1 有意义x的取值范 围.
2 ( 7 ) （ 4）
（ 5） 7
2
例2：求下列各数的平方根。
7 16 （1）100；（2）1.44；（3） ；（4） 2 9 49
解：
（1） (10)
2
100
∴100的平方根是±10
即 100 10 注意：不能写成
100 10
请你妨照上面的例子完成其余三个小题。
例4.已知a、b满足等式 a 2 +︱b+5︱=0, 求a2-12b的算术平方根.
例：x为何值时，下列各式有 意义？
（ 1 ） 2x （ 2 ） x （ 3 ） x 1 （ 4 ） 1 x x x 1 2 2 （ 5 ） （ 6 ） x （ 7 ） x 1 （ 8 ） 2 x1 x
举一个实际例子吧！ 5 的平方根，可以记作 5 和－ 5 ，或± 5
注意：因为负数没有平方根，所以在式子 a
中的被开方数 a ≥0 ，否则式子 没有意义。 a
即式子
a 中的 a 是一个非负数。
例1：判断下列各数有没有平方根，如果 有平方根，试求出它的平方根；如果没有平方 根，说明理由。
（1）81 （2）－81 （ 3） 0
x y 4 0 解：由题意得 x 2y 5 0 x 3 解方程组得 y 1
算数平方根-七年级数学下册课件(人教版)
即
0.0001 0.01 .
能力提升：
1
1
7．已知 2a＋1 的算术平方根是 0，b－a 的算术平方根是 ，求 ab 的算术平方根．
2
2
解： 因为 0＝0， 2a＋1＝0，所以 2a＋1＝0，
1
解得 a＝－ .
2
因为
1
2
1
＝ ，所以
4
1 1
＝ .
4 2
1
1
因为 b－a＝ ，所以 b－a＝ .
2
Hale Waihona Puke 496478
= .
(3) 由于 0.012=0.0001，因此 0.0001 = 0.01 .
被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
新知探究
知识点2：算术平方根的性质
合作与交流：
1.一个正数的算术平方根有几个？
一个正数的算术平方根有1个
2.0的算术平方有几个？
0的算术平方根有一个，是0.
3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根?
所以 + 2 = 4，
解得 = 2，
所以 2 + 5 = 2 × 2 + 5 = 9.
课堂小结
概念
算
术
平
方
根
双重非负性
一般地，如果一个正数 x 的平方
等于 a，即 x2=a，那么这个正数
x 叫做 a 的算术平方根.
a ≥0
≥0
应用
几个非负数的和为0，则
每个数均为0.
当堂检测
基础练习：1．数 4 的算术平方根是（ A
8
问题1: (1)因为_____
8
8
即 64 ＝______.
算术平方根
2
；算术平方根是_______ 102
7 49 10 (2)100的算术平方根是 ； 的算术平方根是 8 ； 64 1 2 10 的算术平方根是 10 ；0.81的算术平方根是0 .9 ；
1 2 的算术平方根是 （ 3） 2
2
5 2
；
0.0081 的算术平方根是 0.09 ；
2 2
(4)式 子( a ) a (a 0)和 式 子 a 它 们 之 间 有 怎样的区别 ?在 什 么 情 况 下 这 两 个子 式相等 ？
已知a为任意实数,则一定成立的算式是( D )
A.( a ) a
2
B. a a
2 2
C . a 2a 1 a 1 D.( a 1 ) a 1
2
2
2
( a ) a(a 0)
2
(1) 5 等于多少?( (5 ) 等于多少?
2 2
49 49 ( 2) 等于多少? 等于多少? 121 121 (3)对于正数a， a 等于多少? 对于负数a， a 等于多少?
2 2
2
2
a a
2
0.01 0.1 正的平方根是_____ 0.01的平方根是___________ 0 .1
0的平方根是_____ 0
算术平方根的定义 正数a有两个平方根，是 a ，其 中那个正的平方根叫做a的算术平方根； 表示为
a
；
规定：0的算术平方根是0
是算术平方根的运算符号
下列式子表示什么意思?
平方根的表示方法：
正数a有两个平方根，表示为 a 它们互为相反数，一个正的 a ；另一 个是负的 a . 其中a叫做被开方数.
平方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.1 平方根（知识讲解）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】【知识点一】算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根”，叫做被开方数.特别说明：0，≥0. 【知识点二】平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.【知识点三】平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【知识点四】平方根的性质【知识点五】平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者x a 2x a =x a a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000aa a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥向左移动1位..【典型例题】类型一、求一个数的平方根1．求下列各数的算术平方根． (1)169； (2)481； (3)0.09； (4)(﹣3)2． 【答案】(1)13； (2)29； (3)0.3； (4)3 【分析】根据算术平方根的定义解答 解：(1)∵132＝169，∵169的算术平方根是13， 13； (2)∵（29）2＝481， ∵481的算术平方根是29，29； (3)∵0.32＝0.09，∵0.09的算术平方根是0.3， ＝0.3； (4)∵32＝9＝（﹣3）2，∵（﹣3）2的算术平方根是3， 3．【点拨】此题考查了求一个数的算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键． 【变式】 求下列各数的算术平方根： (1) 0.64 (2) 4981【答案】(1) 0.8； (2)79【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 解：（1）因为0．82=0.64，所以0.64的算术平方根是0.8． （2）因为2749()981=，250=25= 2.5=0.25=所以4981的算术平方根是7979． 【点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键， 正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．类型二、利用算术平方根非负性求解2．已知223y x x =-+--，求(x +y )2022的值 【答案】1【分析】根据二次根式的性质得到2x =，计算出1x y +=-，从而计算出最终的答案．解：∵3y =∵2020x x -≥⎧⎨-≥⎩得22x x ≥⎧⎨≤⎩∵2x =∵33y ==- ∵202220222022()(23)(1)1x y +=-=-= ∵2022()1x y +=．【点拨】本题考查二次根式、幂运算的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式、幂运算的相关知识．举一反三：【变式】 已知实数a 、b 、c |1|a +=(1) 求证：b c =；(2) 求a b c -++的平方根． 【答案】(1)见分析 (2)3±【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得,,a b c 的值，进而求得a b c -++的平方根．(1)证明：0≥0，0,0b c c b -≥-≥，b c ∴=；(2)解：|1|a +=b c =，10a -=，1,4a b ∴=-=， 4c b ∴==，1449a b c ∴-++=++=，9的平方根是3±．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0，掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是解题的关键．类型三、求算术平方根的整数部分和分数部分3．已知21a-＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是113的整数部分，求a+b+2c 的平方根．【答案】±5【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．解：＝3，∵2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∵15﹣b+1＝16，解得：b＝0，∵1011，∵c＝10，∵a+b+2c＝5+0+2×10＝25，∵a+b+2c的平方根为±5．【点拨】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．举一反三：【变式】已知a b－1是400【答案】6a的值，进而利用算术平方根的定义得出b 的值，即可得出答案．解：∵a∵a＝15，∵b－1是400的算术平方根，∵b－1＝20，解得：b＝21，6．【点拨】此题主要考查了估计无理数大小以及算术平方根，得出a 的值是解题关键．类型四、算术平方根相关规律问题4.先填写表，通过观察后再回答问题：(1)表格中x ＝ ，y ＝ ；(2)从表格中探究a∵ ；∵8.973＝89.73，用含m 的代数式表示b ，则b ＝ ；(3)a 的大小．【答案】(1)0.1，10(2)∵31.6；∵100b m =(3)当0a =a =；当1a =a =；当01a <<a ；当1a >a 【分析】（1）根据算术平方根的性质，即可求解；（2）根据题意可得当a 扩大10010倍，∵≈3.16，即可求解；∵8.973＝89.73，即可求解；（3）分四种情况：当0a =时，当1a =时，当01a <<时，当1a >时，即可求解．(1)解：根据题意得：0.1,10x y ====；(2)解：根据题意得：当a 扩大10010倍，，31.6；8.973＝89.73， ∵100b m =；(3)当0a =0=a =；当1a =1=a =；当01a <<时，根据a a >；当1a >时，根据a a ；综上所述，当0a =a =；当1a =a ；当01a <<a >；当1a >时，a <．【点拨】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 举一反三：【变式】 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：221+=； 221+=；221+=；⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）请用含n （n 为正整数）的等式表示上述交化规律：______；（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；（3的长度；（4）若S 表示三角形面积，121OP P S S =△，232OP P S S =△，343OP P S S =△⋅⋅⋅，计算出222212310S S S S +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）221+=；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；（3）见分析；（4）554． 【分析】（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得； （2）根据等式和图形即可得；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，可得6OP 出点7P ，连接7OP 即为所求；（4）先分别求出123,,S S S 的值，再归纳总结出一般规律得出n S 的值，从而可得10S 的值，然后代入求和即可．解：（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为221+=故答案为：221+=；（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，即可得6OP 作点7P ，连接7OP ，则7OP 即为所求，如图所示：（4）121111122OP P S S==⨯⨯==2321122OP P S S ==⨯343112OP P S S==⨯归纳类推得：1112n n n OP P S S +==⨯当10n =时，101110112OP P S S==⨯=则222222221231010()2S S S S +++⋅⋅⋅+=++++ 123104444=++++123104++++=554=． 【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．类型五、算术平方根的实际应用5.如图，用两个边长为18cm 的小方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为230cm 请说明理由．【答案】不能，理由见分析【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为2：1，计算长方形的长与宽进行验证即可．解：不能，∵2+2=36（cm 2）， ∵大正方形的边长为6cm ，设截出的长方形的长为2b cm ，宽为b cm ， ∵2b 2=30，∵b∵2b =6=，∵不能截得长宽之比为2：1，且面积为30cm 2的长方形纸片．【点拨】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是正确解答的关键． 举一反三：【变式】 小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为1S 、2S ）．(1)如图1，121,1S S ==，拼成的大正方形1111D C B A 边长为___________； 如图2，121,4S S ==，拼成的大正方形2222A B C D 边长为___________； 如图3，121,16S S ==，拼成的大正方形3323A B C D 边长为___________．(2)若将（1）中的图3沿正方形3333A B C D 边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∵3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；【答案】(2)不能用正方形3333A B C D 纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见分析 【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．(1)解：如图1，当S 1=1，S 2=1，拼成的大正方形A 1B 1C 1D 1的面积为1+1=2，因此其边如图2，当S 1=1，S 2=4，拼成的大正方形A 2B 2C 2D 2的面积为1+4=5如图3，当S 1=1，S 2=16，拼成的大正方形A 3B 3C 3D 3的面积为1+16=17，(2)解：不能，理由如下：设长方形的长为4x ，宽为3x ，则有4x •3x =14.52， 所以x 2=1.21， 即x =1.1（x ＞0），因此长方形的长为4x =4.4，宽为3x =3.3， 因为（4.4）2=19.36＞17，所以不能用正方形A 3B 3C 3D 3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形． 【点拨】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．类型六、平方根概念的理解6.已知10﹣3a 的平方根是±1，a ﹣b +2的算术平方根是2，求3a +b 的值． 【答案】10【分析】利用平方根和算术平方根的定义求得a 与b 的值，然后代入3a +b 即可． 解：∵10﹣3a 的平方根是±1，∵()21031a -=±， 解得，a ＝3，∵a ﹣b +2的算术平方根是 2， ∵222a b -+=， 解得，b ＝1，∵333110a b +=⨯+=．【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的概念，理解掌握概念是解题的关键． 举一反三：【变式】 已知一个正数的两个不相等的平方根是6a +与29a -． （1）求a 的值及这个正数；（2）求关于x 的方程()2280ax --=的解． 【答案】（1）a =1，这个正数是49；（2）8x =± 【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到6a ++29a -=0，求解即可得到答案；（2）将a =1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可． 解：（1）由题意得6a ++29a -=0，解得a =1，∵这个正数是2(6)49a +=；（2）将a =1代入方程()2280ax --=，得2x -64=0， 解得8x =±．【点拨】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．类型七、求一个数的平方根7.先用平方根符号表示下列各数，再求值： (1)9(2)1625【答案】(1)记为3±(2)±记为45± 【分析】（1）根据平方根的概念与性质，计算即可； （2）根据平方根的概念与性质，计算即可．(1)解：原式=3=±(2)解：原式45=±【点拨】本题考查平方根的概念与性质，一个数a 的正的平方根，用符号表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，a 的负平方根用“表示，根指数是2时，通常略去不写．如“根号a ”，“正、负根号a ”，掌握平方根的概念与性质是解题的关键．举一反三：【变式】 求下列各数的平方根： (1)100； (2)64； (3)4964；(4)1.21．【答案】(1)±10(2)±8(3)78±(4)±1.1【分析】（1）根据2100±=（10）计算即可． （2）根据264±=（8）计算即可．（3）根据2749864±=（）计算即可． （4）根据2 1.21±=（ 1.1）计算即可．解：(1)∵2100±=（10），∵100的平方根是±10．(2)∵264±=（8），∵64的平方根是±8． (3)∵2749864±=（） ∵4964的平方根是78±． (4)∵2 1.21±=（ 1.1），∵1．21的平方根是±1．1．【点拨】本题考查了平方根即如果2x a =（a 是非负数），则称x 是a 的平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．类型八、求代数式的平方根8.若2x +的算术平方根是3，求34+x 的平方根．【答案】5±【分析】根据2x +的算术平方根是3，求出x 的值后，代入34+x 中，再求34+x 的平方根．解：∵2x +的算术平方根是3，∵29x +=，∵7x =，∵3425x +=，∵34+x 的平方根为5±．【点拨】本题考查了算数平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算数平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉．举一反三：【变式】k 是64的平方根，求m -n+k 的平方根．【答案】【分析】由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n -0，解得m=-1，n=2；由k 是64的方根，得出k=±8，再代入m 、n 、k 的值求得m -n+k 的值，求其平方根即可．解：0，又，∵m+1=0，2-n-0，∵m=-1，n=2，∵k是64的平方根，∵k=±8；当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；综合上述可得：m-n+k的平方根为【点拨】考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．类型九、已知一个数的平方根，求这个数9.一个正数x的两个平方根是3a﹣2与4﹣a，则x是多少？【答案】25【分析】直接利用平方根的性质求解．解：依题意得，3a﹣2+4﹣a＝0，∵a＝﹣1，∵3a﹣2＝﹣5，∵x＝25．【点拨】本题考查了平方根的性质，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x的值．【答案】a和x的值分别为﹣1，25【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到4a﹣1+（4﹣a）＝0，求出a＝﹣1，再根据x＝（4a﹣1）2求出x即可．解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，∵4a﹣1+（4﹣a）＝0，解得a＝﹣1，∵x＝（4a﹣1）2＝（﹣5）2＝25．答：a和x的值分别为﹣1，25．【点拨】此题考查了已知一个数的平方根求参数，正确掌握一个正数的两个平方根是一对相反数的性质是解题的关键．类型十、利用平方根解方程10.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．解方程：（x－1）2＝4解：∵（x－1）2＝4（1）∵x－1＝2（2）∵x＝3（3）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤__________（填序号）原因是____________________________________.请写出正确的解答过程.【答案】（2），正数的平方根有两个，它们互为相反数，见分析【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解．解：上述过程中有错误，错在步骤（2），原因是：正数的平方根有两个，它们互为相反数，正确的解答过程为：解：∵（x－1）2＝4∵x－1＝±2∵x＝3或x＝－1故答案为：（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数，【点拨】本题考查了根据平方根解方程，掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】求下列式子中的x：(1)25(x﹣35)2＝49；(2)12(x+1)2＝32．【答案】(1)x1＝2，x2＝45(2)x1＝7，x2＝﹣9【分析】（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．(1)解：25（x﹣35）2＝49，（x﹣35）2＝4925，x﹣35＝±75，x ﹣35＝75或x ﹣35＝﹣75， 解得：x 1＝2，x 2＝45-； (2)12（x +1）2＝32，（x +1）2＝32×2，（x +1）2＝64，x +1＝±8，x +1＝8或x +1＝﹣8，解得：x 1＝7，x 2＝﹣9．【点拨】此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键． 类型十一、平方根的应用11.如图∵所示是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图∵的方式拼成一个正方形．(1)图∵中阴影部分的正方形的边长等于______________(2)请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积：方法一：________________________________________________方法二：________________________________________________(3)根据（2）直接写出22(),(),m n m n mn -+这三个代数式之间的等量关系．(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：对于任意的有理数x 和y ，若9,18x y xy +==，求x y -的值．【答案】(1)m n -(2)2()m n -，2()4m n mn +-(3)22()()4m n m n mn -=+-(4)3±【分析】（1）利用小长方形的长减去宽即可得；（2）方法一：根据（1）的结论，直接利用正方形的面积公式即可得；方法二：利用大长方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；（3）根据（2）中方法一与方法二求出的面积相等即可得；（4）先利用（3）中的等式求出2()x y -的值，再根据平方根的性质即可得．(1)解：由题意得：小长方形的长为m ，宽为n ，则图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，故答案为：m n -．(2)解：方法一：图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，则其面积为2()m n -；方法二：图∵中大正方形的边长为m n +，四个小长方形的长均为m ，宽均为n ，则图∵中阴影部分的面积为2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-．(3)解：因为（2）中方法一与方法二求出的面积相等，所以22()()4m n m n mn -=+-．(4)解：9,18x y xy +==，222()()494189x y x y xy ∴-=+-=-⨯=，3x y ∴-=±．【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方根的应用，结合图形，正确发现图∵中阴影面积的两种求解方法是解题关键．举一反三：【变式】 已知|2020|a a -=，求22020a -的值．【答案】2022【分析】根据算术平方根的非负性确定a 的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．解：∵20220a -≥，∵2022a ≥．∵20200a -<，∵原式化简为2020a a -+=，2020=，∵220222020a -=，故220202022a -=．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定a 的范围化简绝对值是解题的关键．。
131平方根andnbsp;
)2
=
4 25
算术平方根
1 =1 9 =3 16 = 4 4 =2
25 5
学以致用
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）100 （2）6449 （3）0.0001
解：（1）因为 10 2 =100 ，
所以100的算术平方根为 10，即 100 =10。
2
（2）因为
?? ?
7 8
?? ?
=
49，
64
49
问题问：题：
学校要举行美术作品比赛， 小鸥很高兴，他想裁出一块面积 为36dm2的正方形画布，画上自己 的得意之作参加比赛，这块正方形画布的 边长应取多少？
正方形 的面积
1
边长
1
9
16 36
4
25
34
6
2
5
正方形
的面积 1 边长 1
9 16 34
1 的平方是 1
3 的平方是 9
4 的平方是 16
6 的平方是 36
2 的平方是 4
5
25
4
36 25 62
5
12 ? 1
32 ? 9 42 ? 16
62 ? 36
(2)2 ? 4 5 25
概念理解
一般地，如果一个正数x的平方等于a,
即x2 ? a，那么这个正数x叫做
a的算术平方根。 a的算术平方根记为“ a ” ， 读作“根号a”，a叫做被开方数。
(2（)的算术平方根
（1）17 （ 2）（? 1.3）2（ 3）3 9
学以致用
例3：求下列各式的值：
（ 1）1 （2） 9 （ 3） 22 25
（ 4） 62 ? 82 （ 5） 6 1 （ 6）（? 7）2 4
1到20的平方立方平方根立方根
算数平方根的计算公式为：
由以上公式计算得出1到20的算术平方根分别为：
一、1的算数平方根等于答1
二、2的算数平方根约等于等于1.414
三、3的算数平方根等于1.732
四、4的算数平方根等于2
五、5的算数平方根等于2.236
六、6的算数平方根等于2.449
七、7的算数平方根等于2.645
八、8的算数平方根等于2.828
九、9的算数平方根等于3
十、10的算数平方根等于3.162
十一、11的算数平方根等于3.316
十二、12的算数平方根等于3.464
十三、13的算数平方根等于3.605
十四、14的算数平方根等于3.741
十五、15的算数平方根等于3.872
十六、16的算数平方根等于4
十七、17的算数平方根等于4.123
十八、18的算数平方根等于4.242
十九、19的算数平方根等于4.358
二十、20的算数平方根等于4.472
以上数据结果不是整数时四舍五入精确到第三位小数。
人教版初一数学下册6.1平方根第一课时算数平方根
单元教学设计
科目数学七年级下册
6.1平方根（第一课时）教学设计
6.1平方根（1）随堂检测题
1、下列命题中,正确的个数有( )
①1的算术平方根是1;②(-1)2的算术平方根是-1;③一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是零；④-4没有算术平方根.毛
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、一个自然数的算术平方根是x,则下一个自然数的算术平方根是( )
A.+1
B.
C.
D.x+1
3、x是16的算术平方根,那么x的算术平方根是( )
A.4
B.2
C.
D.±4
4、36的算术平方根是______,36的算术平方根是_____.
5、算术平方根等于它本身的数是_______.
6、 =_______, -=_______.±=______,=________.
7、的算术平方根是________.
8、求下列各式的值:
(1)- ； (2)+； (3) +
9、若 =2,求2x+5的算术平方根.
10、已知a为的整数部分,b-1是400的算术平方根,求.。
平方根表
平方根表一、教学目标1．使学生了解平方根表的构造．2．使学生会查平方根表求一个数的平方根，并会利用这个表求表外数的平方根．3．使学生通过一些简单的查表及近似计算，提高类比思维及运算能力．4．使学生通过利用平方根表求表外数的平方根的近似值的训练，进一步领会转化与化归的思想．二、教学重点和难点1．使学生了解平方根表的构造，了解通过平方根表所能直接查到的数的平方根的范围．2．使学生清楚被开方数小数点位置的变化与相应的算术平方根小数点位置的变化的关系，从而通过移动小数点的位置来实现用平方根表查表以外的数的平方根，这既是本节内容的重点，也是本节内容的难点．三、教学方法由于本节内容的特殊性，对于查不同数的平方根都最终要落在平方根表所涉及的范围上，所以在教学过程中，运用类比、转化、化归的方法就尤其重要，这非常有利于学生对知识的掌握，有利于他们更深刻地领会研究数学问题的方法．四、教学手段利用幻灯片，有条件的学校使用实物投影仪，将平方根表直接打在屏幕上，更有利于学生的学习．五、教学过程第(2)小题中被开方数四舍五入得到14.60，所以只查14.6的算术平方根就可以了．通过上一节课，我们现在对于1至100之间的数均可在平方根表中查到它的算术平方根是多少，同学们自然就会想到，那么小于1或大于100的所有正数的算术平方根是否也能通过查这个表来求得呢？显然直接查是不可能的，肯定要将范围内与范围外的数建立起某种关系，从而达到我们的目的．下面我们先来看这样一个表：我们看到当被开方数从0.04扩大100倍得到4时，它的算术平方根由0.2扩大到2，扩大为原来的10倍，再看从4到400、从400到40000均有相同的规律．再看从4扩大10000倍得到40000，它们的算术平方根相应地从2扩大100倍得到200；反过来，我们再看当被开方数从4得0.2；由上面的变化规律我们不难得出下列结论：如果正数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位．小数点向右移便是扩大，向左移便是缩小．这里值得强调的是被开方数的小数点必须是向右或向左两位两位地移动，其算术平方根的小数点则相应地向右或向左一位一位地移动．我们得到这一重要的规律有什么用呢？请同学想一想，刚才我们所要解决的问题，看看能否得到一些启发？(由学生来谈想法，最好能让学生举出实际例子．)之后，教师再总结．我们前面所遇到的问题是如何通过平方根表来解决求小于1或大于100的正数的算术平方根的问题．由于我们得到的重要规律，使我们想到可以通过移动被开方数的小数点，而将小于1与大于100的数化成1到100之间的数，查表求出算术平方根，再根据规律求得相应数的算术平方根．但特别应该注意的是被开方数的小数点必须两位两位地移动，移到使被开方数成为1到100之间的数就可以了．下面看一个具体的例子：例1 查表求下列各式的值：我们看到0.236是小于1的数，所以要将0.236扩大，我们看到扩大到2.36和23.6均在可查范围内，但我们前面已经得到规律，被开方数的小数点必须两位两位移动，所以对于0.236，我们只能将小数点向右移动的算术平方根，而23.6是由0.236小数点向右移动2位扩大得到的，所以要想得到0.236的算术平方根，就应将4.858的小数点向左移动1位，缩小为0.4858，这才是0.236的算术平方根，上述步骤可以通过下图来表示：同理可求得由上述两题得到：由这两道小题，我们看到在将被开方数扩大或缩小时，必须遵循小数点两位两位移动的原则，而且当已把原数扩大或缩小到了1至100之间的数时，移动便可以停止了．更应注意的是查表求得的算术平方根必须向相反方向移动“一半”的位数．例2 查表求下列各式的值：(1)—(6)小题由学生自己做，可找六个学生上黑板，注意学生的书写与查表是否准确．要提醒学生在移动小数点时应细心，数好位数，移完后要认真检查．会发现，此开方数的有效数字是多于四位的，提醒学生回忆前面遇到此问题是如何处理的．表示．)此题的最后结果用“≈”符号，是因为它是依据37.52的算术平方根得到的，而37.52是37.524的近似值．由此题使学生明确，在移动小数点后，将数已变换到平方根类的范围内时，如何查表求值，处理的方法就与我们上节课所讲的相同了．分析：遇到被开分数为分数时，应先将其化为小数，再求值．分析：例3这种题型是考查学生查表常用的题型，要引导学生根据被开方数小数点移动和算术平方根的小数点移动的关系，选择适用的已知条件．如第一小题，72180经过移动小数点得7.218，所以我们就应选解：(1)268.6；(2)0.2686；(3)0.08496；(4)84.96．分析：这两道小题，是在已知算术平方根的前提下，反求被开方数，所以我们做题时，着眼点应放在比较算术平方根上，要根据算术平方根的小数点的变化来确定被开方数的小数点的变化．值得注意的是前面我们所总结的规律，即被开方数两位两位移，算术平方根则一位一位移，现在要反过来用．如第一小题：0.1521是152.1的小数点向左移了三位，那么被开数的小数点应向左移六位，后来是23142，应变化为：0.023142．解：(1)0.023142；(2)．通过这两节的学习，我们现在不仅可以通过平方根表解决求1—100之间数的算术平方根的问题，也可以解决小于或大于100的正数的算术平方根问题，尽管由表中查到的多数算术平方根是近似值，但也给我们解决实际问题带来了方便，平方根表作为一个很重要的工具，希望同学们能熟练地掌握它．六、板书设计。
算术平方根PPT课件
∴81的平方根为±9．即： 819
（2）( 4)2 16
16 25
5 25
的平方根是
4 5
， 即
16 4 25 5
（3）219,(3)2 9
2
1
44 2
的平方根是
4
3
4
2
，即
21 3 42
(4)∵(±0.7)2=0.49，
∴0.49的平方根为±0.7．
即2020年100月.24日 907
6
技能训练
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
12
2020年10月2日
1
知识回顾
1：什么叫做算术平方根？ 2：判断下列各数有没有算术平方 根，如果有请求出它们的算术平方 根。 100；1；36/121; 0; －0.0025; (-3)2
－25； 106
解：∵102 =100
∴100的算术平方根是10 . 即
=10
2020年10月2日
2
想一想 1：9的算术平方根是 -----？
p34
2020年10月2日
3
平方根：若一个数x的平方等பைடு நூலகம்a,即 x2=a，那么这个数x叫做a的平方根
(也叫二次方根)
如果x2=a,
那么x=±√a
一个正数有一正一负两个平方根； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
2020年10月2日
4
求一个数 a 的平方根的运算,叫做开平方. 其中a 叫做被开方数
b2=4a2
b=
4a2 2a
b 2a 2 aa
假如是圆呢？ 等边三角形呢？
即2变020年大10后月2日的正方形边长是原来边长的2倍
平方根
2 2 2，
2 2 2，
2 2 2 的值,
a 等于多少？ a 等于多少？
2 2 2 2
课堂巩固：
7.已知 x 12 y 2 z 3 0 ,求 x+y+z 的平方根. 2 7. 已知 x 1 y 2 z 3 0 ,求 x+y+z 的平方根. 8.求满足下列各式的 x 的值. 8.求满足下列各式的 x 的值. 2 1 2 （1） 25 x 36 0 ; (2) 2 1 x ; (3) 1 2x 32 52 . 2 2 4 （1） 25 x 2 36 0 ; (2) 2 1 x 2 1 ; (3) 1 2 x 3 52 .
1 1 2 2
求平方根
1
1
4
9
4
9
3 3
1 1 2 2
3 3
两图中的运算有什么关系呢？
3．例题解析 求下列各数的平方根： 9 1 （） 1 100 ；（） 2 ; （） 3 0.25 ; （） 4 2 ; （） 5 0. 16 4 解：（1）因为 10 2 100 ， 例1
5、已知某数有两个平方根分别是a+3与2a-15，求：
a的值是 ；这个数是 。
课外探究：
解下列方程： （1）4x2=9；（2）x2-81=0；（3）（x+1）2=1.
议 一 议 平方根与算术平方根又什么区别和联系？
联系：(1)具有包含关系 存在条件相同：被0的平方根.
区别 定义不同 个数不同
平方根
2
例1
所以0的平方根是0．
即 0 0 ．
4．归纳数的平方根的特征 正数的平方根有什么特点？ 正数的平方根有两个，它们互为相反数； 0的平方根是多少？ 0的平方根就是0 ； 负数有平方根吗？ 负数没有平方根．
平方根和算术平方根
C)
2、若数a的算术平方根等于3，则a的值是（ D ） A. 3 B. -3 C. -9 D.9 3、求下列各数的算术平方根
0.0025
121
3
2
4、求下列各式的值； 1,
9 ; 25
22
开平方：
求一个数a的平方根的运算， 叫做开平方的运算．
+3与-3的平方是9，9的平方根是+3和-3，可 见平方运算与开平方运算互为逆运算． 根据这种关系，我们可以通过平方运算来求 一个数的平方根．
有以下认识： （1）算术平方根是非负数； （2）被开方数是非负数； （3）规定：零的算术平方根是零； (4)． a 的意义: a的算术平方根， 其中, a ≥0。
课后作业：
1、写出下列各数的平方根与算术平方根： （1）49； （2）1600； （3）169； （4）0.81； （5）0.0036；（6）1.44；
16 (7 ) ; 25
1 (8) 2 . 4
2、说出下列各式的含义： － 11, 16, 21
问题1：
问题2：
如果一个数的平方等于1000，那么这 个数是多少？ 这两个问题实际上是求
（？） ＝50 （？） ＝ 1000
中的“？”.
2
2
认真观察下式可知：
( ±5 ) 25
2
( ±4 ) 16
2
( 0 )2=0
我们就说： 25的平方根是: ±5 16的平方根是: ±4
( 无 )2=－4
又例如： ∵ 0.42
0.16
(0.4) 0.16
2
即0.16的平方根有两个，一个是＋0.4；另 一个是－0.4，
一个正数有两个平方根，这两 个平方根互为相反数。
算术平方根
④0
⑤3
2
例2.求下列各式的值
1
7 1 16
9 25
2
2
100
计算：25 49
负数有算术平方 根吗？
任何实数的平方都为非负数
被开方数为非负数
负数没有算术平方根
小游戏
• 看谁能很快记住1到20的平方？
练习：
一、填平方根是 0.5 ；
2aa 0算术平方根是
；
2a
；
二、说下列各式所表示的意义，并分别求出它们的值。
100
9 16
：
表示100的算术平方根，等于 10
；
3 9 ：表示 的算术平方根，等于 4 16
1.判断题
1 1 ① 的算术平方根是± （ × ） 4 2 2 5 ②5是 的算术平方根 （ √ ）
③一个正数的算术平方根总小于它本身（
规定：0的算术平方根是0,即 0 0
非负数
a ≥0
（a≥0）
算术平方根具有双重非负性
下列各式有意义的条件是什么？
x3
x 3
b
1 4
x2
1 b 4
x2
2 x
x 3
2
x2
x为任意数
y=0 想一想
下列式子表示什么意思？你 能求出它们的值吗？
25
0.81
0
1
11 25
例1.求下列各数的算术平方根: 49 ① 25 ② ③ 0.36
× ）
2.填空题
正 数，0的算术平方根是 0 ， 0和1 算术平方根等于它本身的数是
① 正数的算术平方根是 ②
42的算术平方根是
4
1 ③ 的算术平方根的相反数的绝对值是 49