微专题7：椭圆中的定点问题
新高考数学 椭圆中的定点、定值(含解析)
椭圆中的定点、定值1(2023春·河北石家庄·高二校考开学考试)已知椭圆C :x 28+y 24=1，直线l ：y =kx +n (k >0)与椭圆C 交于M ,N 两点，且点M 位于第一象限.(1)若点A 是椭圆C 的右顶点，当n =0时，证明：直线AM 和AN 的斜率之积为定值；(2)当直线l 过椭圆C 的右焦点F 时，x 轴上是否存在定点P ，使点F 到直线NP 的距离与点F 到直线MP 的距离相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.2(2023·全国·模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ，B 2,0 ，M -1,0 ，N 1,0 ，点P 是平面内的动点，且以AB 为直径的圆O 与以PM 为直径的圆O 1内切.(1)证明PM +PN 为定值，并求点P 的轨迹Ω的方程.(2)过点A 的直线与轨迹Ω交于另一点Q (异于点B )，与直线x =2交于一点G ，∠QNB 的角平分线与直线x =2交于点H ，是否存在常数λ，使得BH =λBG恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.3(2023·全国·高三专题练习)仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)由仿射变换得：x =xa，y=yb，则椭圆x2a2+y2b2=1变为x 2+y 2=1，直线的斜率与原斜率的关系为k =abk，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆C:x2 a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为55，过右焦点F2且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点且AB=855，过椭圆外一点P作椭圆C的两条切线l1，l2且l1⊥l2，切点分别为M,N．(1)求证：点P的轨迹方程为x2+y2=9；(2)若原点O到l1，l2的距离分别为d1，d2，延长表示距离d1，d2的两条直线，与椭圆C交于Y,W两点，过O作OZ⊥YW交YW于Z，试求：点Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．4(2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆W:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，椭圆W上的点与点P0,2的距离的最大值为4.(1)求椭圆W的标准方程；(2)点B在直线x=4上，点B关于x轴的对称点为B1，直线PB,PB1分别交椭圆W于C,D两点(不同于P点).求证：直线CD过定点.5(2023春·四川眉山·高二校考阶段练习)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)点D(4,0)，斜率为k的直线l不过点D，且与椭圆C交于A，B两点，∠ADO=∠BDO(O为坐标原点).直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.6(2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的离心率为12，且经过点6,2 ，椭圆C 的右顶点到抛物线E :y 2=2px p >0 的准线的距离为4．(1)求椭圆C 和抛物线E 的方程；(2)设与两坐标轴都不垂直的直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，与椭圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若OA ⋅OB=-4，则在x 轴上是否存在点H ，使得x 轴平分∠MHN ？若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．7(2023·宁夏·六盘山高级中学校考一模)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B 1，若△F 1B 1F 2为等边三角形，且点P 1,32在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左、右顶点分别为A 1，A 2，不过坐标原点的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点(异于椭圆E 的顶点)，直线AA 1、BA 2与y 轴的交点分别为M 、N ，若|ON |=3|OM |，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.8(2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测)已知F1(-2,0)，F2(2,0)为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，且A2,5 3为椭圆上的一点.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线y=-2x+t与抛物线y2=2px(p>0)相交于P,Q两点，射线F1P，F1Q与椭圆E分别相交于M ､N.试探究：是否存在数集D，对于任意p∈D时，总存在实数t，使得点F1在以线段MN为直径的圆内？若存在，求出数集D并证明你的结论；若不存在，请说明理由.9(2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点分别为M1、M2，短轴长为23，点C上的点P满足直线PM1、PM2的斜率之积为-3 4．(1)求C的方程；(2)若过点1,0且不与y轴垂直的直线l与C交于A、B两点，记直线M1A、M2B交于点Q．探究：点Q 是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．10(2023·全国·高三专题练习)如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)内切于矩形ABCD ，其中AB ，CD 与x 轴平行，直线AC ，BD 的斜率之积为-12，椭圆的焦距为2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)椭圆上的点P ，Q 满足直线OP ，OQ 的斜率之积为-12，其中O 为坐标原点.若M 为线段PQ 的中点，则MO 2+MQ 2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.11(2023春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习)已知离心率为22的椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F，左、右顶点分别为A1、A2，上顶点为B，且△A1BF的外接圆半径大小为3．(1)求椭圆C方程；(2)设斜率存在的直线l交椭圆C于P,Q两点(P,Q位于x轴的两侧)，记直线A1P、A2P、A2Q、A1Q的斜率分别为k1、k2、k3、k4，若k1+k4=53k2+k3，求△A2PQ面积的取值范围．12(2023·江西南昌·统考模拟预测)已知A2,0，B0,1是椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个顶点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点P2,1的直线l与椭圆E交于C，D，与直线AB交于点M，求PMPC+PMPD的值．13(2023·江苏盐城·校考三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上，当AF 1⊥x 轴时，AF 1 =12；当AF 1 =2时，∠F 1AF 2=2π3.(1)求C 的方程；(2)已知斜率为-1的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，与直线x =1交于点Q ，且点M ，N 在直线x =1的两侧，点P (1,t )(t >0)．若|MP |⋅|NQ |=|MQ |⋅|NP |，是否存在到直线l 的距离d =2的P 点？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由.14(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C ：x 2b 2+y 2a2=1a >b >0 与椭圆x 28+y 24=1的离心率相同，P 22,1为椭圆C 上一点.(1)求椭圆C 的方程.(2)若过点Q 13,0 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问以AB 为直径的圆是否经过定点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由.15(2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测)已知双曲线C:x2a2-y23a2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2，且F2到C的一条渐近线的距离为3.(1)求C的方程；(2)过C的左顶点且不与x轴重合的直线交C的右支于点B，交直线x=12于点P，过F1作PF2的平行线，交直线BF2于点Q，证明：Q在定圆上.16(2023春·湖南常德·高二临澧县第一中学校考开学考试)如图，椭圆M:y2a2+x2b2=1a>b>0的两顶点A-2,0，B2,0，离心率e=32，过y轴上的点F0,tt <4,t≠0的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.(1)当t=23且CD=4时，求直线l的方程；(2)当点P异于A，B两点时，设点P与点Q横坐标分别为x P，x Q，是否存在常数λ使x P⋅x Q=λ成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.17(2023春·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,62 ，且离心率为22．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l :y =mx +2与椭圆交于不同的两点P ，Q ，那么在x 轴上是否存在点M ，使MP =MQ 且MP ⊥MQ ，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．18(2023春·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左顶点为A ，P 为C 上一点，O 为原点，PA =PO ，∠APO =90°，△APO 的面积为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)设B 为C 的右顶点，过点(1,0)且斜率不为0的直线l 与C 交于M ，N 两点，证明：3tan ∠MAB =tan ∠NBA ．19(2023·四川内江·校考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆C1:x+12+y2=494内切，且与圆C2:x-12+y2=14外切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C的左、右两个顶点分别为A1、A2，T为直线l:x=4上的动点，且T不在x轴上，直线TA1与C 的另一个交点为M，直线TA2与C的另一个交点为N，F为曲线C的左焦点，求证：△FMN的周长为定值.20(2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考三模)已知椭圆C的焦点为F1-2,0,F22,0，且C 过点E2,1．(1)求C的方程；(2)设A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C交于P,Q两点，且P,Q均不是C的左､右顶点，M为PQ的中点．若AMPQ=12，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．椭圆中的定点、定值1(2023春·河北石家庄·高二校考开学考试)已知椭圆C:x28+y24=1，直线l：y=kx+n(k>0)与椭圆C交于M,N两点，且点M位于第一象限.(1)若点A是椭圆C的右顶点，当n=0时，证明：直线AM和AN的斜率之积为定值；(2)当直线l过椭圆C的右焦点F时，x轴上是否存在定点P，使点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)见解析；(2)存在，P(4,0).【分析】(1)联立直线方程和椭圆方程得(1+2k2)x2-8=0，由韦达定理可得x1,x2的关系，再由k AM⋅k AN=y1x1-22⋅y2x2-22计算即可得证；(2)由题意可得直线l的方程为y=k(x-2)，联立直线方程与椭圆方程得(1+2k2)x2-8k2x+8(k2-1)= 0，由韦达定理x3,x4之间的关系，假设存在满足题意的点P，设P(m,0)，由题意可得k PM+k PN=0.代入计算，如果m有解，则存在，否则不存在.【详解】(1)证明：因为n=0，所以直线l：y=kx，联立直线方程和椭圆方程：y=kxx2+2y2-8=0，得(1+2k2)x2-8=0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，则有x1+x2=0,x1x2=-81+2k2，所以y1y2=k2x1x2=-8k21+2k2，又因为A(22,0)，所以k AM=y1x1-22，k AN=y2x2-22，所以k AM⋅k AN=y1x1-22⋅y2x2-22=y1y2x1x2-22(x1+x2)+8=y1y2x1x2+8=-8k21+2k2-81+2k2+8=-8k21+2k216k21+2k2=-8k2 16k2=-12所以直线AM和AN的斜率之积为定值-1 2；(2)解：假设存在满足题意的点P，设P(m,0)，因为椭圆C的右焦点F(2,0)，所以2k+n=0,即有n=-2k，所以直线l的方程为y=k(x-2).由y=k(x-2)x2+2y2-8=0，可得(1+2k2)x2-8k2x+8(k2-1)=0，设M(x3,y3),N(x4,y4)，则有x3+x4=8k21+2k2,x3x4=8(k2-1)1+2k2；因为点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等，所以PF平分∠MPN,所以k PM+k PN=0.即y 3x 3-m +y 4x 4-m =k (x 3-2)x 3-m +k (x 4-2)x 4-m =k (x 3-2)(x 4-m )+k (x 3-m )(x 4-2)(x 3-m )(x 4-m )=k [2x 3x 4-(m +2)(x 3+x 4)+4m ](x 3-m )(x 4-m )=0，又因为k >0，所以2x 3x 4-(m +2)(x 3+x 4)+4m =0，代入x 3+x 4=8k 21+2k 2,x 3x 4=8(k 2-1)1+2k 2，即有4m -161+2k 2=0，解得m =4.故x 轴上存在定点P (4,0)，使得点F 到直线NP 的距离与点F 到直线MP 的距离相等.2(2023·全国·模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ，B 2,0 ，M -1,0 ，N 1,0 ，点P 是平面内的动点，且以AB 为直径的圆O 与以PM 为直径的圆O 1内切.(1)证明PM +PN 为定值，并求点P 的轨迹Ω的方程.(2)过点A 的直线与轨迹Ω交于另一点Q (异于点B )，与直线x =2交于一点G ，∠QNB 的角平分线与直线x =2交于点H ，是否存在常数λ，使得BH =λBG恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析，x 24+y 23=1(2)存在，λ=12【分析】(1)依题意可得OO 1 =2-PM 2，连接PN ，可得OO 1 =PN2，即可得到PM +PN 为定值，根据椭圆的定义得到点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且2a =4，c =1，即可求出椭圆方程；(2)设Q x 0,y 0 ，G 2,y 1 ，H 2,y 2 ，直线AQ 的方程为x =my -2m ≠0 ，即可得到m =4y 1，再联立直线与椭圆方程，解出y 0，从而得到k QN ，k NH ，设∠BNH =θ，再根据二倍角的正切公式得到方程，即可得到y 2=12y 1，从而得解；【详解】(1)解：如图，以AB 为直径的圆O 与以PM 为直径的圆O 1内切，则OO 1 =AB 2-PM 2=2-PM2.连接PN ，因为点O 和O 1分别是MN 和PM 的中点，所以OO 1 =PN2.故有PN 2=2-PM2，即PN +PM =4，又4>2=MN，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆.因为2a=4，c=1，所以b2=a2-c2=3，故Ω的方程为x24+y23=1.(2)解：存在λ=12满足题意.理由如下：设Q x0,y0，G2,y1，H2,y2.显然y1y2>0.依题意，直线AQ不与坐标轴垂直，设直线AQ的方程为x=my-2m≠0，因为点G在这条直线上，所以my1=4，m=4 y1 .联立x=my-2,3x2+4y2=12,得3m2+4y2-12my=0的两根分别为y0和0，则y0=12m3m2+4，x0=my0-2=6m2-83m2+4，所以k QN=y0x0-1=12m3m2+46m2-83m2+4-1=4mm2-4=4y14-y21，k NH=y2.设∠BNH=θ，则∠BNQ=2θ，则k QN=tan2θ，k NH=tanθ，所以tan2θ=2tanθ1-tan2θ=2y21-y22=4y14-y21，整理得y1-2y2y1y2+2=0，因为y1y2>0，所以y1-2y2=0，即y2=12y1.故存在常数λ=12，使得BH=λBG.3(2023·全国·高三专题练习)仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)由仿射变换得：x =xa，y=yb，则椭圆x2a2+y2b2=1变为x 2+y 2=1，直线的斜率与原斜率的关系为k =abk，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆C:x2 a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为55，过右焦点F2且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点且AB=855，过椭圆外一点P作椭圆C的两条切线l1，l2且l1⊥l2，切点分别为M,N．(1)求证：点P的轨迹方程为x2+y2=9；(2)若原点O到l1，l2的距离分别为d1，d2，延长表示距离d1，d2的两条直线，与椭圆C交于Y,W两点，过O作OZ⊥YW交YW于Z，试求：点Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．【答案】(1)证明见解析(2)是定值，定值为619π【分析】(1)利用仿射变换将椭圆方程变为圆的方程，设原斜率分别为k1，k2，k1k2=-1，则变换后斜率k 1⋅k 2=a2b2k1k2，设变换后坐标系动点Q x0,y0，过点Q x0,y0的直线为l:y-y0=k x-x0，将圆的方程和直线方程联立，利用直线和圆相切结合韦达定理求解即可；(2)由图中的垂直关系，利用等面积法S△OYW=12OYOW=12YWOZ和1|OY|2+1|OW|2=OY|2+OW|2 OY|2OW|2=|YW|2OW|2OY|2，结合椭圆的性质求解即可.【详解】(1)由仿射变换得：x =xa，y=yb，则椭圆x2a2+y2b2=1变为x 2+y 2=1设原斜率存在分别为k1，k2，k1k2=-1，变换后为k 1=abk1，k 2=abk2，所以k 1⋅k 2=a2b2k1k2=-a2b2=e2-1，设变换后的坐标系动点Q x0,y0，过点Q x0,y0的直线为l:y-y0=k x-x0l:kx-y-kx0-y0=0到原点距离为d=kx0-y0k2+1=1，即kx0-y02=k2+1⇒x20-1k2-2x0y0k+y20-1=0，由韦达定理得：k 1k 2=y20-1x20-1=-a2b2，化简得：a2x20+b2y20=a2+b2由于原坐标系中x0=xa，y0=yb⇒x=ax0，y=by0所以在原坐标系中轨迹方程为：x2+y2=a2+b2，由e=ca=55b2a=455解得a2=5b2=4，所以点P的轨迹方程为x2+y2=9，当切线斜率不存在时，由椭圆方程x25+y24=1易得P点在x2+y2=9上.(2)如图所示延长OY交l1于N，延长OW交l2于M，由题意可知∠GPM=∠OGP=∠OHP=π2，所以四边形OGPH为矩形，∠YOW=π2，所以S△OYW=12OYOW=12YWOZ，且1|OY|2+1|OW|2=OY|2+OW|2OY|2OW|2=|YW|2OW|2OY|2，|YW |2OW |2OY |2分子分母同乘|OZ |2得4S 24OZ 2S 2=1OZ 2=1OY 2+1OW 2，因为OY ⊥OW ，当直线OY ,OW 斜率存在时，设l OY :y =k 3x ，l OW :y =-1k 3x ，由x 2a 2+y 2b 2=1y =k 3x解得x 2Y=a 2b 2b 2+a 2k 23，y 2Y =a 2b 2k 23b 2+a 2k 23，所以OY 2=a 2b 21+k 23 b 2+a 2k 23，由x 2a 2+y 2b 2=1y =-1k 3x解得x 2W=a 2b 2k 23b 2k 23+a 2，y 2W =a 2b 2b 2k 23+a 2，所以OW 2=a 2b 21+k 23 b 2k 23+a2，所以1OY 2+1OW 2=b 2+a 2k 23a 2b 2(1+k 23)+b 2k 23+a 2a 2b 2(1+k 23)=a 2+b 2a 2b 2，当斜率不存在时仍成立，所以1|OZ |2=a 2+b 2a 2b 2，OZ 2=x 2+y 2=a 2b 2a 2+b 2=209，所以Z 所形成的轨迹与P 所形成的轨迹的面积之差=9-209 π=619π是定值.4(2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆W :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，椭圆W 上的点与点P 0,2 的距离的最大值为4.(1)求椭圆W 的标准方程；(2)点B 在直线x =4上，点B 关于x 轴的对称点为B 1，直线PB ,PB 1分别交椭圆W 于C ,D 两点(不同于P 点).求证：直线CD 过定点.【答案】(1)x 28+y 24=1(2)证明见解析【分析】(1)根据离心率可得a =2b =2c ，设点T m ,n 结合椭圆方程整理得TP =-(n +2)2+8+2b 2，根据题意分类讨论求得b =2，即可得结果；(2)设直线CD 及C ,D 的坐标，根据题意结合韦达定理分析运算，注意讨论直线CD 的斜率是否存在.【详解】(1)设椭圆的半焦距为c ，由椭圆W 的离心率为22，得a =2b =2c ，设点T m ,n 为椭圆上一点，则m 22b 2+n 2b2=1,-b ≤n ≤b ，则m 2=2b 2-2n 2，因为P 0,2 ，所以TP =m 2+(n -2)2=2b 2-2n 2+n 2-4n +4=-(n +2)2+8+2b 2，①当0<b <2时，|TP |max =-(-b +2)2+8+2b 2=4，解得b =2(舍去)；②当b ≥2时，|TP |max =8+2b 2=4，解得b =2；综上所述：b =2，则a =22,c =2，故椭圆W 的标准方程为x 28+y 24=1.(2)①当CD 斜率不存在时，设C x 0,y 0 ,-22<x 0<22且x 0≠0，则D x 0,-y 0 ，则直线CP 为y =y 0-2x 0x +2，令x =4，得y =4y 0-8x 0+2，即B 4,4y 0-8x 0+2，同理可得B 14,-4y 0-8x 0+2.∵B 与B 1关于x 轴对称，则4y 0-8x 0+2+-4y 0-8x 0+2=0，解得x 0=4>22，矛盾；②当直线CD 的斜率存在时，设直线CD 的方程为y =kx +m ，m ≠2，设C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ，其中x 1≠0且x 2≠0，联立方程组y =kx +mx 28+y 24=1，消去y 化简可得2k 2+1 x 2+4kmx +2m 2-8=0，Δ=16k 2m 2-42k 2+1 2m 2-8 =88k 2+4-m 2 >0，则m 2<8k 2+4，所以x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-81+2k 2，由P 0,2 ，可得k PC =y 1-2x 1,k PD =y 2-2x 2，所以直线PC 的方程为y =y 1-2x 1x +2，令x =4，得y =4y 1-8x 1+2，即4,4y 1-8x 1+2，直线PD 的方程为y =y 2-2x 2x +2，令x =4，得y =4y 2-8x 2+2，即4,4y 2-8x 2+2，因为B 1和B 关于x 轴对称，则4y 1-8x 1+2+4y 2-8x 2+2=0，把y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m 代入上式，则4kx 1+m -8x 1+2+4kx 2+m -8x 2+2=0，整理可得1+2k x 1x 2+m -2 x 1+x 2 =0，则1+2k ×2m 2-81+2k 2+m -2 ×-4km1+2k2=0，∵m ≠2，则m -2≠0，可得1+2k ×m +2 -2km =0，化简可得m =-4k -2，则直线CD 的方程为y =kx -4k -2，即y +2=k x -4 ，所以直线CD 过定点4,-2 ；综上所述：直线CD 过定点4,-2 .【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l 过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y =kx +t ，由题设条件将t 用k 表示为t =mk ，得y =k (x +m )，故动直线过定点(-m ,0)．(2)动曲线C 过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．5(2023春·四川眉山·高二校考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点D (4,0)，斜率为k 的直线l 不过点D ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，∠ADO =∠BDO (O 为坐标原点).直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)过定点，1,0 .【分析】(1)根据已知条件列方程即可解得a ,b 值，方程可求解；(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，联立椭圆方程结合韦达定理得x 1,x 2关系，又∠ADO =∠BDO 得k AD +k BD =0，代入坐标化简即可求解.【详解】(1)由题意可得2b =2ca =32c 2=a 2-b 2，解得a 2=4，b 2=1所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 联立y =kx +mx 24+y 2=1整理得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0，则Δ=8km 2-44k 2+1 (4m 2-4)>0，即4k 2-m 2+1>0又x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1因为∠ADO =∠BDO ，所以k AD +k BD =0，所以y 1x 1-4+y 2x 2-4=kx 1+m x 2-4 +kx 2+m x 1-4x 1-4 x 2-4 =0所以2kx 1x 2+(m -4k )x 1+x 2 -8m =0，即2k ⋅4m 2-44k 2+1+(m -4k )⋅-8km 4k 2+1-8m =0整理得8k +8m =0，即m =-k ，此时Δ=3k 2+1>0则直线l 的方程为y =kx -k ，故直线l 过定点1,0 .6(2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的离心率为12，且经过点6,2 ，椭圆C 的右顶点到抛物线E :y 2=2px p >0 的准线的距离为4．(1)求椭圆C 和抛物线E 的方程；(2)设与两坐标轴都不垂直的直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，与椭圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若OA ⋅OB=-4，则在x 轴上是否存在点H ，使得x 轴平分∠MHN ？若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y 212+x 29=1；y 2=4x(2)存在；H 92,0 【分析】(1)依题意得到方程组，即可求出a 2，b 2，从而得到椭圆方程，再求出椭圆的右顶点，即可求出p ，从而求出抛物线方程；(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据OA ⋅OB=-4得到m =-2k ，再假设在x 轴上存在点H x 0,0 ，使得x 轴平分∠MHN ，则直线HM 的斜率与直线HN 的斜率之和为0，设M x 3,y 3 ，N x 4,y 4 ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由y 3x 3-x 0+y 4x 4-x 0=0，即可求出x 0，从而求出H 的坐标；【详解】(1)解：由已知得c a =124a 2+6b 2=1a 2=b 2+c 2，∴a 2=12，b 2=9．∴椭圆C 的方程为y 212+x 29=1．∴椭圆C 的右顶点为3,0 ．∴3+p2=4，解得p =2．∴抛物线E 的方程为y 2=4x ．(2)解：由题意知直线l 的斜率存在且不为0．设直线l 的方程为y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由y =kx +my 2=4x消去y ，得k 2x 2+2km -4 x +m 2=0．∴Δ1=2km -4 2-4k 2m 2=-16km +16>0，∴km <1．∴x 1+x 2=4-2km k 2，x 1x 2=m 2k2．∴y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=km 4-2km k2+2m 2=4m k ．∴OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=m 2k2+4m k =-4．∴m k +2 2=0，∴mk=-2．∴m =-2k ，此时km =-2k 2<1．∴直线l 的方程为y =k x -2 ．假设在x 轴上存在点H x 0,0 ，使得x 轴平分∠MHN ，则直线HM 的斜率与直线HN 的斜率之和为0，设M x 3,y 3 ，N x 4,y 4 ，由y =k x -2y 212+x 29=1消去y ，得3k 2+4 x 2-12k 2x +12k 2-36=0．∴Δ2=12k 2 2-43k 2+4 12k 2-36 >0，即5k 2+12>0恒成立．∴x 3+x 4=12k 23k 2+4，x 3x 4=12k 2-363k 2+4．∵y 3x 3-x 0+y 4x 4-x 0=0，∴k x 3-2 x 4-x 0 +k x 4-2 x 3-x 0 =0．∴2x 3x 4-x 0+2 x 3+x 4 +4x 0=0．∴24k 2-723k 2+4-x 0+2 12k 23k 2+4+4x 0=0．∴16x 0-723k 2+4=0．解得x 0=92．∴在x 轴上存在点H 92,0 ，使得x 轴平分∠MHN ．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理法在圆锥曲线综合中的应用，属于难题；在解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．7(2023·宁夏·六盘山高级中学校考一模)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B 1，若△F 1B 1F 2为等边三角形，且点P 1,32在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左、右顶点分别为A 1，A 2，不过坐标原点的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点(异于椭圆E 的顶点)，直线AA 1、BA 2与y 轴的交点分别为M 、N ，若|ON |=3|OM |，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)点1,0 或4,0【分析】(1)由已知条件，椭圆的定义及a ,b ,c 的关系可知a 2=4c 2和b 2=3c 2，再设出椭圆的方程，最后将点代入椭圆的方程即可求解；(2)设点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由直线AA 1的方程即可求出点M 的坐标，由BA 2的方程即可求出点N 的坐标，由已知条件可知5x 1+x 2 -2x 1x 2-8=0，分直线AB 的斜率存在和直线AB 的斜率不存在两种情况分别求解，得出直线AB 的方程，即可判断出直线恒过定点的坐标.【详解】(1)∵△F 1B 1F 2为等边三角形，且B 1F 1 +B 1F 2 =2a ，∴a =2c ，又∵a 2=b 2+c 2，∴b 2=3c 2，设椭圆的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，将点P 1,32 代入椭圆方程得14c 2+912c2=1，解得c 2=1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)由已知得A 1-2,0 ，A 22,0 ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ,则直线AA 1的斜率为y 1x 1+2，直线AA 1的方程为y =y 1x 1+2x +2 ，即点M 坐标为0,2y 1x 1+2，直线BA 2的斜率为y 2x 2-2，直线AA 1的方程为y =y 2x 2-2x -2 ，即点N 坐标为0,-2y 2x 2-2,∵|ON |=3|OM |,∴|ON |2=9|OM |2,∴4y 22x 2-2 2=36y 21x 1+2 2，又∵y 21=3-3x 214=12-3x 214，y 22=3-3x 224=12-3x 224，∴4-x 22x 2-2 2=9×4-x 21x 1+22，即2+x 22-x 2=92-x 1 2+x 1，整理得5x 1+x 2 -2x 1x 2-8=0，①若直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y =kx +b ，将直线方程与椭圆方程联立y =kx +bx 24+y 23=1得3+4k 2 x 2+8kbx +4b 2-12=0，其中Δ=64k 2b 2-43+4k 2 4b 2-12 =1612k 2-3b 2+9 >0，x 1+x 2=-8kb 3+4k 2，x 1x 2=4b 2-123+4k 2，即-5×8kb 3+4k 2-2×4b 2-123+4k2-8=0，4k 2+5kb +b 2=0，4k +b k +b =0，所以b =-4k 或b =-k ，当b =-4k 时，直线AB 的方程为y =kx -4k =k x -4 ，此时直线AB 恒过点4,0 ，当b =-k 时，直线AB 的方程为y =kx -k =k x -1 ，此时直线AB 恒过点1,0 ，②若直线AB 的斜率不存在时x 1=x 2，由2+x 22-x 2=92-x 1 2+x 1得2+x 22-x 2=92-x 2 2+x 2，即x 22-5x 2+4=0，解得x 2=1或x 2=4，此时直线AB 的方程为x =1或x =4，所以此时直线AB 恒过点1,0 或4,0 ，综上所述，直线AB 恒过点1,0 或4,0 .8(2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测)已知F 1(-2,0)，F 2(2,0)为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，且A 2,53为椭圆上的一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线y =-2x +t 与抛物线y 2=2px (p >0)相交于P ,Q 两点，射线F 1P ，F 1Q 与椭圆E 分别相交于M ､N .试探究：是否存在数集D ，对于任意p ∈D 时，总存在实数t ，使得点F 1在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D 并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 29+y 25=1(2)存在，D =(5,+∞)，证明见解析【分析】(1)求出点A 2,53到两焦点的距离，再用椭圆的定义可得a =3，结合b 2=a 2-c 2可得b 2，从而可得椭圆的方程；(2)直线l 与抛物线联立，结合判别式有p +4t >0，要使得点F 1在以线段MN 为直径的圆内，根据题意，有F 1P ⋅F 1Q<0，结合韦达定理可得p >5，从而可证明问题.【详解】(1)由题意知c =2，A 2,53为椭圆上的一点，且AF 2垂直于x 轴，则AF 2 =53，AF 1 =(2+2)2+53 2=133，所以2a =AF 1 +AF 2 =133+53=6，即a =3，所以b 2=32-22=5，故椭圆的方程为x 29+y 25=1；(2)l 方程为y =-2x +t ，联立抛物线方程，得y 2=2px y =-2x +t ，整理得y 2+py -pt =0，则Δ=p 2+4tp >0，则p +4t >0①，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1+y 2=-p ，y 1y 2=-pt ，则x 1+x 2=t +p 2,x 1x 2=(y 1y 2)24p 2=t 24，由F 1的坐标为(-2,0)，则F 1P =(x 1+2，y 1)，F 1Q=(x 2+2，y 2)，由F 1M 与F 1P 同向，F 1N 与F 1Q 同向，则点F 1在以线段MN 为直径的圆内，则F 1M ⋅F 1N <0，则F 1P ⋅F 1Q<0，则(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2<0，即x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 1<0，则t 24+2t +p 2 +4-pt <0，即t 24+(2-p )t +p +4<0②，当且仅当Δ=(2-p )2-4×14(p +4)>0，即p >5，总存在t >-p4使得②成立，且当p >5时，由韦达定理可知t 24+(2-p )t +p +4=0的两个根为正数，故使②成立的t >0，从而满足①，故存在数集D =(5,+∞)，对任意p ∈D 时，总存在t ，使点F 1在线段MN 为直径的圆内．9(2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右顶点分别为M 1、M 2，短轴长为23，点C 上的点P 满足直线PM 1、PM 2的斜率之积为-34．(1)求C 的方程；(2)若过点1,0 且不与y 轴垂直的直线l 与C 交于A 、B 两点，记直线M 1A 、M 2B 交于点Q ．探究：点Q是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)点Q 在定直线x =4上【分析】(1)设点P x 0,y 0 ，则x 0≠±a ，可得出y 20=b 21-x 20a2，利用斜率公式结合已知条件可得出b 2=34a 2，再利用椭圆的短轴长可得出b 2、a 2的值，即可得出椭圆C 的方程；(2)设l 的方程为x =my +1，设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，设点Q x ,y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，写出直线M 1A 、M 2B 的方程，联立这两条直线方程，可得出点Q 的横坐标，即可得出结论.【详解】(1)解：设P x 0,y 0 ，则x 0≠±a ，且x 20a 2+y 20b 2=1，所以，y 20=b 21-x 20a2，则k PM 1⋅k PM 2=y 0x 0+a ⋅y 0x 0-a =y20x 20-a 2=b 21-x 20a 2x 20-a2=-b 2a2=-34，故b 2=34a 2①，又2b =23②，联立①②，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)解：结论：点Q 在定直线上x =4．由(1)得，M 1-2,0 、M 22,0 ，设Q x ,y ，设直线l 的方程为x =my +1，设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，联立x 24+y 23=1x =my +1，整理得3m 2+4 y 2+6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 =144m 2+1 >0，∴y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4， 直线M 1A 的方程为y =y 1x 1+2x +2 ，直线M 2B 的方程为y =y 2x 2-2x -2 ，所以，y 1x 1+2x +2 =y 2x 2-2x-2 ，可得x +2x -2=y 2x 1+2 y 1x 2-2 =y 2my 1+3 y 1my 2-1 =my 1y 2+3y 2my 1y 2-y 1=-9m 3m 2+4+3-6m 3m 2+4-y 1 -9m 3m 2+4-y 1=-27m 3m 2+4-3y 1-9m 3m 2+4-y 1=3，解得x =4，因此，点Q 在直线x =4上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 、x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.10(2023·全国·高三专题练习)如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)内切于矩形ABCD ，其中AB ，CD 与x 轴平行，直线AC ，BD 的斜率之积为-12，椭圆的焦距为2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)椭圆上的点P ，Q 满足直线OP ，OQ 的斜率之积为-12，其中O 为坐标原点.若M 为线段PQ 的中点，则MO 2+MQ 2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.【答案】(1)x 22+y 2=1(2)是定值，定值为32【分析】(1)由题意求出直线AC ，BD 的斜率，即可求出-b 2a2=-12，又因为焦距为2，即可就出椭圆的标准方程.(2)方法一：联立直线PQ 与椭圆的方程由k OP ⋅k OQ =-12可求出2t 2=1+2k 2，又因为：MO 2+MQ 2=x 21+x 222+y 21+y 222，又点P ，Q 在椭圆上，代入即可求出答案.方法二：由P ，Q 是椭圆C 上的点，可得x 21+2y 21=2x 22+2y 22=2，联立直线PQ 与椭圆的方程由k OP ⋅k OQ =-12可求出y 1=-x 1x 22y 2，代入化简得x 21=2y 22，即可求出答案.【详解】(1)由题意，c =1，则A -a ,-b ,B a ,-b ,C a ,b ,D -a ,b ，所以k AC =2b 2a =b a ，k BD =2b-2a=b -a ，所以k AC ⋅k BD =-b 2a2=-12，解得：a =2，=1，∴椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)(方法一)设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22.设直线PQ ：y =kx +t ，由y =kx +t x 22+y 2=1，得：1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-2=0，x 1+x 2=-4kt1+2k2x 1x 2=2t 2-21+2k2，由k OP ⋅k OQ =-12，得x 1x 2+2y 1y 2=1+2k 2 x 1x 2+2kt x 1+x 2 +2t 2=0，代入化简得：2t 2=1+2k 2.∵MO 2+MQ 2=x 1+x 22 2+y 1+y 22 2+x 1-x 1+x 22 2+y 1-y 1+y 222=x 21+x 222+y 21+y 222，又点P ，Q 在椭圆上，∴x 212+y 21=1，x 222+y 22=1，即x 21+x 224+y 21+y 222=1，∵x 21+x 22=x 1+x 2 2-2x 1x 2=-4kt 2t 22-2⋅2t 2-22t 2=2，∴x 21+x 224=12.∴MO 2+MQ 2=x 21+x 224+y 21+y 222+x 21+x 224=32.即MO 2+MQ 2=32为定值.(方法二)由P ，Q 是椭圆C 上的点，可得x 21+2y 21=2x 22+2y 22=2 ，把y 1=-x 1x 22y 2代入上式，化简x 21=2y 22，得y 21+y 22=1，x 21+x 22=2，MO 2+MQ 2=12x 21+x 22+y 21+y 22 =32.11(2023春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习)已知离心率为22的椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 1、A 2，上顶点为B ，且△A 1BF 的外接圆半径大小为3．(1)求椭圆C 方程；(2)设斜率存在的直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点(P ,Q 位于x 轴的两侧)，记直线A 1P 、A 2P 、A 2Q 、A 1Q 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，若k 1+k 4=53k 2+k 3 ，求△A 2PQ 面积的取值范围．【答案】(1)x 24+y 22=1(2)0,5830 【分析】(1)根据椭圆离心率确定椭圆中a ,b ,c 的关系，再结合正弦定理的推论确定外接圆半径与边角关系即可得c 的值，从而求得椭圆方程；(2)由题可设直线l :x =ty +m t ≠0 ，P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立直线与椭圆即可得交点坐标关系，根据斜率的计算式可得k 1k 2=-12，k 3k 4=-12，再由已知等式k 1+k 4=53k 2+k 3 确定k 2k 3=-310，由坐标关系进行转化可求得m 的值，求解△A 2PQ 面积的表达式，结合函数性质即可得△A 2PQ 面积的取值范围．【详解】(1)根据椭圆C 的离心率为22知a =2c ，所以b =a 2-c 2=c ，如图，则OF =OB =c则在△A 1BF 中，可得∠BFA 1=3π4，A 1B =OA 1 2+OB 2=3c ，由正弦定理得A 1Bsin ∠BFA 1=3c22=6c =2×3，解得c =2，所以a =2，b =2，所以椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(2)由条件知直线l 的斜率不为0，设直线l :x =ty +m t ≠0 ，P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立x =ty +mx 24+y 22=1，得t 2+2 y 2+2mty +m 2-4=0，Δ>0得2t 2+4>m 2于是y 1+y 2=-2mt t 2+2，y 1y 2=m 2-4t 2+2，因为A 1-2,0 ，A 22,0 ，P x 1,y 1 代入椭圆方程得x 214+y 212=1，所以k 1k 2=y 1x 1+2⋅y 1x 1-2=y 21x 21-4=21-x 214 x 21-4=-12，同理k 3k 4=-12，于是k 1=-12k 2，k 4=-12k 3，因为k 1+k 4=53k 2+k 3 ，所以-12k 2-12k 3=53k 2+k 3 ，即-k 2+k 32k 2k 3=53k 2+k 3 ．又直线l 的斜率存在，所以k 2+k 3≠0，于是k 2k 3=-310，所以y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=-310，即10y 1y 2+3x 1-2 x 2-2 =0，又x 1=ty 1+m ，x 2=ty 2+m ，所以10y 1y 2+3ty 1+m -2 ty 2+m -2 =0，整理得3t 2+10 y 1y 2+3t m -2 y 1+y 2 +3m -2 2=0，所以3t 2+10 m 2-4t 2+2 +3t m -2 -2mt t 2+2+3m -2 2=0，化简整理得m -2 2m +1 =0，又P 、Q 位于x 轴的两侧，所以y 1y 2=m 2-4t 2+2<0，解得-2<m <2，所以m =-12，此时直线l 与椭圆C 有两个不同的交点，于是直线l 恒过定点D -12,0 ．当m =-12时，y 1+y 2=t t 2+2，y 1y 2=-154t 2+2，△A 2PQ 的面积S △A 2PQ =12A 2D ⋅y 1-y 2 =12×52×y 1+y 2 2-4y 1y 2=54t t 2+22-4-154t 2+2 =54⋅16t 2+30t 2+2，令16t 2+30=λ，因为直线l 的斜率存在，则λ>30，t 2=λ2-3016，于是S △A 2PQ =54⋅16λλ2+2=20λ+2λ，又函数y =20λ+2λ在30,+∞ 上单调递减，所以△A 2PQ 面积的取值范围为0,5830 ．【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆相交的坐标关系，利用坐标运算解决直线斜率关系及面积关系.解决本题的关键是确定直线直线A 1P 、A 2P 、A 2Q 、A 1Q 之间的斜率关系，结合椭圆上的任意一点与左右顶点之间的斜率关系，可将四个斜率值简化为两个斜率关系，即可减少位置数，从而利用坐标运算及坐标关系确定所设直线过定点，于是简化所求面积表达式中的变量个数从而可结合函数关系确定取值范围，得以解决问题.12(2023·江西南昌·统考模拟预测)已知A 2,0 ，B 0,1 是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两个顶点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点P 2,1 的直线l 与椭圆E 交于C ，D ，与直线AB 交于点M ，求PM PC +PMPD的值．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)PM PC +PM PD =2【分析】(1)根据椭圆顶点坐标直接可得椭圆方程；(2)设直线方程，可得点M ，联立直线与椭圆结合韦达定理，再根据两点间距离化简可得解.【详解】(1)由A 2,0 ，B 0,1 是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两个顶点，得a =2，b =1，即E :x 24+y 2=1；(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆有且只有一个公共点，不成立，所以设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，M x 3,y 3 ，直线l 的斜率为k ，则PC =x P -x 1 1+k 2=2-x 1 1+k 2，同理PD =2-x 2 1+k 2，PM =2-x 3 1+k 2，则PM PC+PM PD=2-x 32-x 1+2-x 32-x 2．设l ：y -1=k x -2 ，而AB ：x 2+y =1，联立解得x 3=4k2k +1，所以2-x 3=2-4k 2k +1=22k +1；联立直线l 与椭圆E 方程，消去y 得：4k 2+1 x 2-8k 2k -1 x +16k 2-16k =0，所以x 1+x 2=8k 2k -1 4k 2+1，x 1x 2=16k 2-16k 4k 2+1，所以12-x 1+12-x 2=-x 1+x 2-4x 1-2 x 2-2=-x 1+x 2-4x 1x 2-2x 1+x 2 +4=-8k 2k -14k 2+1-416k 2-16k4k 2+1-2×8k 2k -1 4k 2+1+4=2k +1，所以2-x 32-x 1+2-x 32-x 2=22k +1×2k +1 =2，即PM PC +PMPD =2．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
椭圆中的定点定值问题
椭圆中的定点定值问题椭圆是一个非常重要的几何概念，在数学和物理学中广泛应用。
它具有许多有趣的性质和特征。
其中之一就是定点定值问题。
在这篇文章中，我将探讨椭圆中的定点定值问题，并介绍一些相关的理论和应用。
首先，我们需要了解什么是椭圆。
一个椭圆可以定义为到两个固定点的距离之和等于定值的所有点的集合。
这两个固定点被称为焦点，而定值则被称为焦距。
椭圆还具有一个重要的性质，即焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数。
在椭圆中的定点定值问题中，我们考虑的是在椭圆上选择一个特定的点，并确定其到椭圆上的其他点的距离之和。
这个距离之和被称为点的性质或特征。
一个经典的例子是在椭圆上选择一个点P，然后求它到椭圆上的两个焦点的距离之和。
这个距离和被称为离心率。
离心率是椭圆的一个重要参数，它描述了椭圆的扁平程度。
当椭圆近似于圆形时，离心率接近于零；当椭圆非常扁平时，离心率接近于一。
除了离心率，我们还可以通过其他的定点定值问题来描述椭圆的性质。
例如，我们可以选择一个点P，并求它到椭圆上的任意一点的距离之和。
这个距离和等于椭圆的周长。
通过计算周长，我们可以比较不同椭圆之间的大小和形状。
在实际应用中，椭圆的定点定值问题具有广泛的应用。
例如，在椭圆曲线密码学中，椭圆上的点被用作密码算法的基础。
通过选择不同的定点定值问题，我们可以生成不同的加密和解密算法，从而实现安全的通信和信息传输。
此外，在计算机图形学和机器视觉中，椭圆的定点定值问题也扮演着重要的角色。
通过选择合适的定点定值问题，我们可以用椭圆来描述和识别不同的图像和对象。
这在图像处理和模式识别中具有重要的应用。
总结起来，椭圆中的定点定值问题是数学和物理学中一个有趣而重要的研究领域。
通过选择不同的点和定值，我们可以揭示椭圆的许多性质和特征。
这些性质和特征在许多领域中都有广泛的应用，包括密码学、计算机图形学和机器视觉等。
因此，研究定点定值问题对于我们深入理解椭圆的本质和应用具有重要意义。
高考数学《椭圆中的定点、定值问题》
高考数学 椭圆中的定点、定值问题
－12k2 所以 x20＋x1－42y1yx22－2＝x20＋1＋4k42k2＝x20－3＝0，解得 x0＝± 3.
1＋4k2 故以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点(± 3，0)．
高考数学 椭圆中的定点、定值问题
【思维变式题组训练】 1. 已知椭圆 E：ax22＋y2＝1(a>1)的上顶点为 M(0,1)，两条过 M 的动弦 MA，MB 满 足 MA⊥MB.对于给定的实数 a(a>1)，动直线 AB 是否经过一定点？如果是，求出 定点坐标(用 a 表示)；反之，请说明理由．
2. 如图所示，已知椭圆：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为12，右准线方程是直线 l：x ＝4，点 P 为直线 l 上的一个动点，过点 P 作椭圆的两条切线 PA，PB，切点分别 为 A，B(点 A 在 x 轴上方，点 B 在 x 轴下方)．
高考数学 椭圆中的定点、定值问题
(1) 求椭圆的标准方程； (2) ① 求证：分别以 PA，PB 为直径的两圆都恒过定点 C； ② 若A→C＝12C→B，求直线 PC 的方程． 解析：(1) x42＋y32＝1. (2) ① 设切点 A(x0，y0)，则可证切线 AP：x40x＋y30y＝1， 所以点 P4，31y－0 x0.
例 4 已知圆 M 的圆心在直线 2x－y－6＝0 上，且过点(1,2)，(4，－1)． (1) 求圆 M 的方程； (2) 设 P 为圆 M 上任一点，过点 P 向圆 O：x2＋y2＝1 引切线，切点为 Q.试探究： 平面内是否存在一定点 R，使得PPQR为定值．若存在，求出点 R 的坐标；若不存在， 请说明理由．
高考数学 椭圆中的定点、定值问题
当且仅当 m>－1 时，Δ>0，欲使 l：y＝－m＋2 1x＋m，即 y＋1＝－m＋2 1(x－2)， 所以 l 过定点(2，－1)． 点评：椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这 一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化， 找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之 前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联 立方程组，求判别式、根与系数关系，根据题设关系进行化简．
椭圆曲线中的定点定值问题的四种方法
椭圆曲线中的定点定值问题的四种方法
椭圆曲线密码学是现代密码学领域中的一个重要分支，其核心是解决椭圆曲线上的定点定值问题。
本文将介绍椭圆曲线中的定点定值问题及其四种常用解决方法。
定点定值问题是指给定一个椭圆曲线上的点P和整数k，求kP 的值。
下面将介绍四种方法来解决这个问题：
1. 变形重复平方算法（Double-and-Add Algorithm）：这是最简单和直观的方法，通过将k表示为二进制形式，并根据位的值来迭代地进行计算。
当某一位为1时，将点P加到结果上；当某一位为0时，将点P进行加法运算。
该算法的时间复杂度为O(log(k))。
2. NAF （Non-Adjacent Form）方法：在变形重复平方算法的基础上，在k表示为二进制时可以选择使用加1或减1的方式，使得连续1的位数尽可能少。
这样可以减少加法运算的次数，进而提高效率。
3. 有穷域上的运算法则：将椭圆曲线上的点坐标和系数限定在一个有限域中，通过定义该有限域上的加法和乘法运算法则来求解定点定值问题。
这种方法在实际应用中经常使用，可以利用有限域运算的高效性。
4. 同态映射方法：根据椭圆曲线的同态性质，将定点定值问题转化为其他更容易求解的问题，并利用同态映射的特性进行计算。
这种方法具有较高的复杂性和灵活性，适用于特定的情况。
通过掌握这四种方法，我们可以更好地理解和应用椭圆曲线密码学中的定点定值问题。
根据实际情况选择合适的方法可以提高计算效率和保证系统的安全性。
椭圆定点定值问题
椭圆定点定值问题
椭圆的定点定值问题是指给定一个椭圆和一个定点，在这个椭圆上找到一个点，使得这个点到给定定点距离等于给定值。
具体来说，设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} +
\frac{y^2}{b^2} = 1$ ，给定定点为 $(h,k)$ ，给定值为 $d$ ，
求点 $(x,y)$ 满足 $\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = d$ 。
为了解决这个问题，可以将椭圆方程代入距离方程，得到
$ \sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = d$ ，展开并平方，得到 $ (x-h)^2 + (y-k)^2 = d^2$ 。
将椭圆标准方程 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 代入
上式，可得 $ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = d^2$ 。
进一步整理，并消去分母，得到 $ b^2(x-h)^2 + a^2(y-k)^2 =
a^2b^2d^2$ 。
这个方程实际上是一个椭圆，其长轴和短轴分别为 $2a$ 和
$2b$ ，定点为 $(h,k)$ ，到定点距离之和为 $2d$ 。
因此，解
决椭圆的定点定值问题就转化为了找到满足这个新椭圆方程的点。
具体求解这个椭圆方程可能需要使用数值方法或者图形方法，先确定椭圆的长轴和短轴长度，然后在椭圆上画出定点，并找到到定点距离之和为给定值的点。
椭圆中定点定值问题 一般结论
椭圆中的“定”五、一般结论30. 已知点()()0,0000≠y x y x A 是椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 上一定点，过点A 的两直线21,l l 与椭圆C 的另一个交点分别为Q P 、，直线21,l l 的斜率分别为21,k k .（1）若2221a b k k =⋅，直线PQ 的斜率为定值00x y -.反之亦然. （2）若021=+k k ，直线PQ 的斜率为定值0202x a y b .反之亦然. 31.椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的动弦BC 的两端点与椭圆上定点()00,y x A 连线的斜率存在，若斜率之积为定值()122≠m m a b ，则直线BC 必定过定点()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+11,1100m m y m m x M . 32.椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的动弦BC 的两端点与椭圆上定点()00,y x A 连线的斜率存在，若斜率之和为定值()02≠n n a b ，则直线BC 必定过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000,y x an b y bn a x N . 33.（1）一条经过点()0,m M 的直线l 与椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 交于B A ,两点，作A 关于长轴的对称点A ',则直线A B'过定点2,0a T m ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）一条经过点()()0,M m b m b -<<的直线l 与椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 交于,P R 两点，设点20,b Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则PQM RQM ∠=∠.34.（1）过椭圆C 的左（右）准线上任意一点N 作椭圆的切线，切点为B A ,，则直线AB 必过椭圆的左（右）焦点，反之，当圆锥曲线的焦点弦AB 绕焦点F 运动时，过弦的端点,A B 的两切线交点的轨迹为F 对应的准线.（2）过椭圆C 的左（右）准线上任意一点N 作椭圆的切线，切点为A ，则以NA 为直径的圆过椭圆的左（右）焦点，即090NFA ∠=.35.过点()00,P x y 作直线交12222=+by a x C ：()0>>b a 于,A B 两点，点,P Q 在椭圆的异侧且点Q 在直线AB 上，若A P Q B A Q P B =，则点Q 在定直线00221x x y y a b+=上.36.已知()00,P x y 是椭圆 2222:1x y E a b+=外一点，过点P 作椭圆的切线，切点为,A B ，再过P 作椭圆的割线交椭圆于,M N ，交AB 于点Q ，令111,,s t u PM PN PQ===，则,,s t u 的关系是2s t u +=.37.自()00,P x y 点作椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的两条切线，切点分别为12,P P ，则切点弦12PP 的方程为00221x x y y a b+=：.38.过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()000,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=.39. （1）过圆2222x y a b +=+上任意一点作椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 的两条切线，则这两条切线相互垂直.反之，作椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的两条相互垂直的切线，则切线交点一定在圆2222x y a b +=+上.（2）过圆2222x y a b +=+上任意一点P 作椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的两条切线,PA PB ,,A B 为切点，中心O 至切点弦的距离为1d ，P 点至切点弦的距离为2d ，则221222a b d d a b =+.40.在椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆。
专题 椭圆中的定点定值问题
椭圆中的定点定值问题1．已知椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>）的右焦点为F（1，0），且（1-，22）在椭圆C上。
（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得716QA QB⋅=-恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意知c=1．由椭圆定义得22222(11)()22a=--++，即2a= --3分∴2211b=-=，∴椭圆C 方程为2212xy+=．（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得716QA QB⋅=-恒成立。
当直线l的斜率不存在时，A （1，22），B（1，22-），由于（521,42-）·（521,42--）=716-，所以54m=，下面证明54m=时，716QA QB⋅=-恒成立。
当直线l的斜率为0时，A（2，0）B（2-，0）则（524-，0）•（524--，0）=716-，符合题意。
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A()11,x y，B()22,x y，由x=ty+1及2212xy+=得22(2)210t y ty++-=有0∆>∴12122221,22ty y y yt t+=-=-++；111x ty=+，221x ty=+∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y-⋅-=--+=2(1)t+121211()416y y t y y-++=22222211212217(1)242162(2)1616t t tt tt t t--+-++⋅+=+=-+++，综上所述：在x轴上存在点Q（54，0）使得716QA QB⋅=-恒成立。
2．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x轴和y轴上的椭圆1T，2T都过点(0,2)M-，且椭圆1T与2T的离心率均为22．（Ⅰ）求椭圆1T与椭圆2T的标准方程；（Ⅱ）过点M引两条斜率分别为,k k'的直线分别交1T，2T于点P，Q，当4k k'=时，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．解：（Ⅰ）22221,1422x y yx+=+=；（Ⅱ）直线MP的方程为2y kx=-，联立椭圆方程得：221422x yy kx⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y得22(21)420k x kx+-=，则42Pkx=，则点P的坐标为242222:(,)k kP-，同理可得点Q的坐标为：222222:(,)k kQ''-，又4k k'=，则点Q为：22242822(,)8181k kk k-++，22222282222218121242428121PQk kk kkkk kk k---++==--++，则直线PQ的方程为：2222142()2k ky xk--=--，即222222142()21221k ky xk k k--=--++,化简得122y xk=-+，即当0x=时，2y=，故直线PQ过定点(0,2)．3．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．解：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为．（2）设直线AE方程为：，代入得，设E（x E，y E），F（x F，y F），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，，所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，yxOPQ在上式中以﹣K 代K，可得，所以直线EF 的斜率，即直线EF的斜率为定值，其值为．4．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，点O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过左焦点F任作一直线l ，交椭圆E 于P、Q两点．（i）求•的取值范围；（ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM 于点N ，证明：点N在一条定直线上．解：（Ⅰ）由题意可得b=，e==，又a2﹣b2=c2，解得a=，c=2，即有椭圆方程为+=1；（Ⅱ）（i）F（﹣2，0），当直线的斜率不存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y 2），直线方程为x=﹣2，可得P（﹣2，），Q（﹣2，﹣），•=4﹣=；当直线的斜率存在，设l：y=k（x+2），设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程x2+3y2=6，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6=0，x1+x2=﹣，x1x2=，•=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+2）（x2+2）=（1+k2）x1x2+2k2（x 1+x2）+4k2=（1+k2）•+2k2•（﹣）+4k2==﹣，由k2≥0，3k2+1≥1，可得﹣6≤•＜，综上可得，•的取值范围是[﹣6，]；（ii）证明：由直线l的斜率一定存在，且不为0，可设PQ：y=k（x+2），FN：y=﹣（x+2），设M （x0，y0），则x0=，由x1+x2=﹣，可得x0=，y0=k（x 0+2）=，直线OM的斜率为k OM==﹣，直线OM：y=﹣x，由得，即有k取何值，N的横坐标均为﹣3，则点N在一条定直线x=﹣3上．5．椭圆C：+=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆C过点（﹣3，0）和（2，）．①求椭圆C的方程；②若过椭圆C的下顶点D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P，M，求证：直线PM经过一定点；（2）若椭圆C过点（1，2），求椭圆C的中心到右准线的距离的最小值．解：（1）①∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（﹣3，0）和（2，），∴，解得a=3，b=1，∴椭圆C的方程．证明：②由题意得PD、MD的斜率存在且不为0，设直线PD 的斜率为k，则PD ：y=kx ﹣1，由，得P （，），用﹣代k，得M（，），∴=，∴直线PM：y﹣=，即y=，∴直线PM经过定点T（0，）．解：（2）椭圆C 的中心到右准线的距离d=，由=1，得，∴==，令t=a 2﹣5，t ＞0，则=t++9≥2+9=4+9，当且仅当t=2，时，等号成立，∴椭圆C 的中心到右准线的距离的最小值为．6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点到直线2:a l x c =的距离为45，离心率5e =，,A B 是椭圆上的两动点，动点P 满足OP OA OB λ=+，（其中λ为常数）．（1）求椭圆标准方程；（2）当1λ=且直线AB 与OP 斜率均存在时，求AB OP k k +的最小值；（3）若G 是线段AB 的中点，且OA OB OG AB k k k k ⋅=⋅，问是否存在常数λ和平面内两定点,M N ，使得动点P 满足18PM PN +=，若存在，求出λ的值和定点,M N ；若不存在，请说明理由．解：（1）由题设可知：右焦点到直线2:a l x c=的距离为： 2a c c -=455， 又53c a =，222b a c =-，∴24b =．∴椭圆标准方程为22194x y +=． （2）设()()1122,,,A x y B x y 则由OP OA OB =+得()1212,P x x y y ++．∴221212122212121249AB OPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-． 由()0,AB k ∈+∞得，423AB OP AB OP k k k k +≥⋅=，当且仅当23AB k =±时取等号 （3）221212122212121249AB OGy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-．∴4·9OA OB k k =-．∴12124+90x x y y =． 设(),P x y ，则由OP OA OB λ=+，得)11221212,,,,x y x y x y x x y y λλλ=+=++， 即1212,x x x y y y λλ=+=+．因为点A 、B 在椭圆224+9=36x y 上，所以()2221212493636249x y x x y y λλ+=+++．所以222493636x y λ+=+．即222219944x y λλ+=++，所以P点是椭圆222219944x yλλ+=++上的点， 设该椭圆的左、右焦点为,M N ，则由椭圆的定义18PM PN +=得182299λ=+， ∴22λ=±，()35,0M ，()35,0N -．7．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F 2（1，0），点3(1,)2H 在椭圆上．（1）求椭圆方程；（2）点00(,)M x y 在圆222x y b +=上，M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P 、Q 两点，问|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由． 解：（1） 右焦点为2(1,0)F ，∴1=c ，左焦点为)0,1(1-F ，点3(1,)2H 在椭圆上 222212332(11)(11)422a HF HF ⎛⎫⎛⎫=+=+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2=∴a ，322=-=c a b所以椭圆方程为13422=+y x（2）设()),(,,2211y x Q y x P ，()213412121≤=+x y x()()212121212122)4(41)41(311-=-+-=+-=x x x y x PF112212)4(21x x PF -=-=∴，连接OM ，OP ，由相切条件知1212121212122221413)41(33||||x PM x x x y x OM OP PM =∴=--+=-+=-=221212112=+-=+∴x x PM PF ，同理可求221212222=+-=+∴x x QM QF所以22224F P F Q PQ ++=+=为定值．8．分别过椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）左、右焦点F 1、F 2的动直线l 1、l 2相交于P 点，与椭圆E 分别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，且满足k 1+k 2=k 3+k 4，已知当l 1与x 轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在定点M ，N ，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M 、N 点坐标，若不存在，说明理由． 解：（1）当l 1与x 轴重合时，k 1+k 2=k 3+k 4=0， 即k 3=﹣k 4，∴l 2垂直于x 轴，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，∴椭圆E 的方程为．（2）焦点F 1、F 2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为（﹣1，0）或（1，0）， 当直线l 1，l 2斜率存在时，设斜率分别为m 1，m 2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，∴，，===，同理k3+k4=，∵k1+k2=k3+k4，∴，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，由题意知m1≠m2，∴m1m2+2=0，设P（x，y），则，即，x≠±1，由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，∴点P（x，y）点在椭圆上，∴存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1，设R（x0，y0）是椭圆C上的任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0；（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．解：（1）由圆R的方程知，圆R的半径的半径，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以，即，①又点R在椭圆C上，所以，②联立①②，解得所以所求圆R的方程为．（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，所以，化简得=0同理，所以k1，k2是方程（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0的两个不相等的实数根，，因为点R（x0，y0）在椭圆C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0．（3）OP2+OQ2是定值，定值为36，理由如下：法一：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立解得所以，同理，得，由，所以====36（ii）当直线ξ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，综上：OP2+OQ2=36．法二：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为2k1k2+1=0，所以，即，因为P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，所以，即，所以，整理得，所以，所以OP2+OQ2=36．（ii）当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，综上：OP2+OQ2=36．10．已知椭圆C：)0(12222>>=+babyax，左焦点)0,3(-F，且离心率23=e．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：mkxy+=（0≠k）与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．解：（1）由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222233c b a a ce c ，解得2=a ，1=b 所以椭圆的方程为1422=+y x ． （2）由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 得0448)41(222=-+++m kmx x k ，0)44)(41(4)8(222>-+-=∆m k km ， 整理得01422>+-m k ，设),(11y x M ，),(22y x N ，则221418k kmx x +=+，22214144k m x x +-= 由已知，AN AM ⊥，即0=⋅AN AM ，又椭圆的右顶点为)0,2(A ，所以0)2)(2(2121=+--y y x x ，∵2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=，∴04))(2()1(221212=+++-++m x x km x x k ，即04418)2(4144)1(22222=+++⋅-++-⋅+m kkmkm k m k ． 整理得01216522=++k mk m ， 解得k m 2-=或56km -=均满足01422>+-m k ． 当k m 2-=时，直线l 的方程为k kx y 2-=，过定点)0,2(，与题意矛盾，舍去；当56k m -=时，直线l 的方程为)56(-=x k y ，过定点)0,56(，故直线l 过定点，且定点的坐标为)0,56(．11．已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x，点A 在椭圆C 上，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，是否存在圆心在坐标原点，半径为定值的定圆C ，使得l 与圆C 相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，满足12k k ⋅为定值，若存在，求出定圆的方程并求出12k k ⋅的值，若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）由题意，得c a =a 2=b 2+c 2，又因为点A 在椭圆C 上，所以221314a b+=， 解得a=2，b=1，c =C 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2+y 2=5．证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2+y 2=r 2（r ＞0）． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m ．由方程组2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0，因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即m 2=4k 2+1．由方程组222y kx mx y r=+⎧⎨+=⎩得（k 2+1）x 2+2kmx+m 2﹣r 2=0，则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->．设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则12221kmx x k -+=+，221221m r x x k -=+，设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x M k k x x x x x x +++++===222222222222222111m r kmk km m m r k k k m r m rk --⋅+⋅+-++==--+，将m 2=4k 2+1代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+=+-． 要使得k 1k 2为定值，则224141r r-=-，即r 2=5，验证符合题意． 所以当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值14-．当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x=±2， 此时，圆x 2+y 2=5与l 的交点P 1，P 2也满足1214k k =-． 综上，当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值14-． 12．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，经过点)22,1(，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为21-的直线分别交椭圆于N M ,两点，试问：直线MN 是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由．解：（1）根据题意12121211222222222=+⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+=y x b a cb a b ac b ．当MN 的斜率存在时，设0224)21(22:22222=-+++⇒⎩⎨⎧=++=m kmx x k y x mkx y MN ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>+-=∆22212212221222140)12(8k m x x k km x x m k ，∴21222222112211-=-+⋅-+=-⋅-=⋅x m kx x m kx x y x y k k NA MA ， ∴k m m km m m x x km x x k 200202))(22()12(2221212-==⇒=+⇒=++-++或（舍）． ∴直线MN kx y =过定点(0,0)，当MN 斜率不存在时也符合，即直线MN 恒过定点(0,0)． 14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为6，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线2260x y -+=相切． （1）求椭圆C 标准方程；（2）已知点,A B 为动直线(2)(0)y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使2EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．解：（1）由36=e 得36=a c ，即a c 36=① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆为222a y x =+且与直线0622=+-y x 相切，所以6)2(2622=-+=a 代入①得c=2， 所以2222=-=c a b ．所以椭圆C 的标准方程为12622=+y x （2）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(12622x k y y x 得061212)31(2222=-+-+k x k x k设()()1122,,,A x y B x y ，所以2221222131612,3112kk x x k k x x +-=+=+ 根据题意，假设x 轴上存在定点E （m ，0），使得2()EA EA AB EA AB EA EA EB +⋅=+⋅=⋅为定值． 则()()()11221212,,()EA EB x m y x m y x m x m y y ⋅=-⋅-=--+=()()()()()()22222221221231610123421k m k m mm k x x m k x x k +-++-=++++-+要使上式为定值，即与k 无关，()631012322-=+-m m m ，得37=m ．此时，22569EA EA AB m +⋅=-=-，所以在x 轴上存在定点E （37，0）使得2EA EA AB +⋅为定值，且定值为95-． 15．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点00(,)A x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，试运用该性质解决以下问题：已知椭圆221:12x C y +=和椭圆222:4x C y λ+=（1,λλ>为常数）．（1）如图（1），点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，求OCD ∆面积的最小值； （2）如图（2），过椭圆2C 上任意一点P 作1C 的两条切线PM 和PN ，切点分别为,M N ，当点P 在椭圆2C 上运动时，是否存在定圆恒与直线MN 相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 解：（1）设22(,)B x y ，则椭圆1C 在点B 处的切线方程为2212x x y y += 令210,D x y y ==，令220,C y x x ==，所以221OCD S x y ∆=又点B 在椭圆的第一象限上，所以2222220,0,12x x y y >>+=∴222222222212222x x y y x y =+≥= ∴221222OCD S x y ∆=≥=，当且仅当22222x y =2221x y ⇔== 所以当2(1,)2B 时，三角形OCD 的面积的最小值为22． （2）设(,)P m n ，则椭圆1C 在点33(,)M x y 处的切线为：3312xx y y +=又PM 过点(,)P m n ，所以3312x m y n +=，同理点44(,)N x y 也满足4412xm y n +=所以,M N 都在12x m yn +=上，即直线MN 的方程为12xm yn +=，又(,)P m n 在2C 上，224m n λ+=，故原点O 到直线MN 的距离为：224d m n λ==+， 所以直线MN 始终与圆221x y λ+=相切．16．已知直线1y x =+被圆2232x y +=截得的弦长恰与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长相等，椭圆C 的离心率22e =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点1(0,)3M -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由。
椭圆中的定值、定点问题
椭圆中的定值、定点问题说我之前说的:什么是硬件解码的定理？这个计算太多太多了，刺激！现在更新很慢，不过我在笔记本里整理了一些模型，准备有空就发。
接下来要给出的结论，可以说是“非常一般”。
在这里先给出结论，可以自己用几何画板验证：结论给定椭圆 \Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 与椭圆上的定点 P(x_0,y_0) ，过 P 点作两条射线 PA 和PB ，与椭圆 \Gamma 交于 A 和 B 两点，记直线 PA 和 PB 的斜率分别为 k_1 和 k_2 ，则有：（1）若 k_1+k_2=\lambda ，则直线 AB 过定点 (x_0-\frac{2y_0}{\lambda},-y_0-\frac{2b^2x_0}{a^2\lambda}) 。
（2）若 k_1\cdot k_2=\lambda ，则直线 AB 过定点(\frac{2b^2x_0}{\lambda a^2-b^2}+x_0,\frac{-2a^2\lambda y_0}{\lambda a^2-b^2}+y_0) 。
这也是各个地区高考、模拟题出题常见的题型，当然，最重要的是，它说明了一个规律：只要直线过椭圆上的定点，并且斜率有关系，那么就一定有“定点”的出现。
例如以下题目：例1 （2017年全国1卷）已知椭圆C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) ，四点P_1(1,1) ， P_2(0,1) ， P_3(-1,\frac{\sqrt3}{2}) ，P_4(1,\frac{\sqrt3}{2}) 中恰有三点在椭圆 C 上。
(1) 求 C 的方程；(2) 设直线 l 不经过点且与 C 相交于 A ， B 两点。
若直线P_2A 与直线 P_2B 的斜率的和为 -1 ，证明： l 过定点。
例2 （例1变式）在例1中，若直线 P_2A 与直线 P_2B 互相垂直，证明： l 过定点。
椭圆中求定点的5类题型
椭圆中求定点的5类题型一.已知定点位置求定点1．已知Rt ABC △的两个顶点(2,0)A -，(2,0)B ，直角顶点C 的轨迹记为曲线T ，过点(1,0)P 的直线l 与曲线T 相交于M ，N 两点．(1)求曲线T 的方程；(2)在x 轴上求定点(,0)Q a ，使得PQM PQN ∠=∠； (3)记MNQ △的面积为S ，求S 的取值范围．【分析】（1）利用垂直得到1AC BC k k =-，可求得曲线T 的方程，注意0y ≠；（2）联立方程，由韦达定理得12y y +与12y y 的值，再由题意可知0MQ NQ k k +=，从而整理化简得到2(4)0-=m a ，由此求得(4,0)Q ； （3）先求得MNQS=，利用换元法整理得121MNQSt t=+，构造函数1()f t t t =+，利用导数求得()f t 的值域，由此求得MNQS S=的取值范围.【详解】（1）设C 点的坐标为(,)x y ，由题意知AC k ，BC k 存在，且0y ≠， 因为AC BC ⊥，所以1(2)(2)=⨯=-+-AC BC y yk k x x ，整理可得224x y +=， 故曲线T 的方程为224(0).+=≠x y y（2）不妨设直线l 的方程为1x my =+，点M 、N 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，联立2214x my x y =+⎧⎨+=⎩，整理得22(1)230m y my ++-=， 由韦达定理得12221+=-+m y y m ①，12231=-+y y m ②． 要使PQM PQN ∠=∠，则0MQ NQ k k +=， 则1221112212120()()-+-+==----y y x y ay x y ay x a x a x a x a ，即2111220x y ay x y ay -+-=， 又因为111x my =+，221x my =+，所以211122(1)(1)0+-++-=my y ay my y ay ，即12122(1)()0my y a y y +-+=， 代入①②两式，化简得2(4)0-=m a ，由m 的任意性可知4a =，即(4,0)Q 满足要求．（3）由于点P 、Q 的坐标分别为(1,0)、(4,0)，所以3PQ =， 故1122113222MNQMQP NQPSSSPQ y PQ y y y =+=+=-， 因为12221+=-+m y y m，12231=-+y y m ，所以12y y -== 所以1232MNQSy y =-=t ，则22114++=t m ，由于20m ≥，可得t ≥，所以2312114MNQt S t t t ==++，令1()f t tt =+，则221()t f t t-'=，因为t ≥，()0f t '>，()f t在)∞+上单调递增， 所以min ()f t f==1()=+≥f t t t所以121t t =+MNQS S=≤故S 的取值范围是(.2．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>B 到两焦点的距离之和为4．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于异于点B 的两点P ，Q ，直线BP ，BQ 与x 轴相交于(),0M M x ，(),0N N x ，若111M Nx x +=，求证：直线l 过一定点，并求出定点坐标． 【分析】（1）根据椭圆定义与离心率求解,a c ；（2）将直线与椭圆联立，写出直线BP ，BQ 的方程，求出N M x x ，，由111M Nx x +=得到,k m 的关系12m k =--，从而证明直线l 过一定点2,1.【详解】（1）∵c a =24a =，∴2a =，c =2221b a c =-=． 故椭圆方程为2214x y +=；（2）联立直线和椭圆可得2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得()222148440k x kmx m +++-=， 于是有：()()()22222841444041km k m m k ∆=-+->⇒<+，122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+． 由题意BP ：1111y y x x -=+，BQ ：2211y y x x -=+， 分别和0y =联立得，111M x x y =-，221N xx y =-， 由111M N x x +=，得1212111y y x x --+=，即1212111kx m kx m x x ----+= 整理得()()()12122110k x x m x x ++-+=，整理得()()1210m k m -++=，解得1m =或者12m k =--． 当1m =时，直线:1l y kx =+过点B ,与题意矛盾，应舍去. 故直线l 的方程为：12y kx k =--，过定点为2,1．二.直径相关定点3．已知3(1,)2A -，B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的两点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 交椭圆C 于,P Q 两点（不与点B 重合），且以PQ 为直径的圆经过点B ，试证明：直线l 过定点，并求出这个定点坐标.【分析】（1）由点B为椭圆的上顶点，得b =3(1,)2A -代入椭圆C 的方程，解出2a 得椭圆方程；（2）由圆过点B 可得直线l 的斜率一定存在，直线l 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线与椭圆方程，得122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+，以PQ 为直径的圆经过点B ，所以0PB QB ⋅=，解得m 为定值，得直线l 过定点.【详解】（1）由B得b =将3(1,)2A -代入椭圆C 的方程22213x y a +=，得24a =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由题意可得直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得222(34)84120k x kmx m +++-=， 所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+所以22221212122312()34m k y y k x x km x x m k-=+++=+， 121226()234my y k x x m k +=++=+，因为1122(,3),()PBx y QB x y =--=-，以PQ 为直径的圆经过点B ，所以1212123)0PB QB x x y y y y ⋅=+++=，即222222412631230343434m m m k k k k --++=+++ 整理得2730m --=，解得mm = 因为B 不在直线l 上，所以m 舍去， 所以直线l 的方程为y kx =(0,.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)A ，椭圆C 的左、右焦点分别是1F ，2F ，经过1F 的动直线交椭圆C 于P ，Q 两点，且当212PF F F ⊥时，152PF =．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线:6l x =，直线AP ，AQ 分别与直线l 交于不同的两点D ，E ，证明：以线段DE 为直径的圆经过x 轴上的定点，并求出所有的定点坐标．【分析】（1）根据条件用a ，b ，c 表示P 点的坐标，再根据椭圆的定义即可求出a ，b ，c ；（2）设直线PQ 的方程为1x my =-，以及P ，Q 点的坐标，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出P ，Q 点坐标之间的关系，再设定以DE 为直径的圆与x 轴的交点为M ，则有0MD ME ⋅=，据此即可求出M 点的坐标.【详解】（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则当212PF F F ⊥时，点P 的横坐标为c ，将x c =代入椭圆方程，得22221c y a b +=，整理得422b y a =．故此时2,b P c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)A ，∴2a =，由椭圆的定义，得122PF PF a +=，∴21532422PF a PF =-=-=，∴232b a =，∴23b =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由（1）可知222431c a b =-=-=，故1(1,0)F -．由于直线AP ，AQ 分别与直线:6l x =交于不同的两点D ，E ，故直线PQ 的斜率不为零． 设直线PQ 的方程为1x my =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立221,1,43x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my +--=，∴()223636340m m ∆=++>，∴122634m y y m +=+，∴122934y y m =-+， 而直线AP 的方程为11(2)2y y x x =--，令6x =，得D 点纵坐标1142D y y x =-，故1146,2y D x ⎛⎫⎪-⎝⎭；直线AQ 的方程为22(2)2y y x x =--，同理，得2246,2y E x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 设以线段DE 为直径的圆与x 轴的交点为()0,0M x ， 则0MD ME ⋅=，即()()()212012166022y y x x x -+=--，则()()()21201216622y y x x x -=-=--()()()1212212121216163339y y y y my my m y y m y y -=----++2222291634491893434m m m m m -⋅+=-=--+++， ∴062x -=±，即08x =或04x =，因此以线段DE 为直径的圆经过x 轴上的两个定点，并且定点坐标为(4,0)，(8,0)；综上，椭圆方程C 为22143x y +=，定点坐标为(4,0)，(8,0).【点睛】本题计算量比较大，这是圆锥曲线习题的特点，其中运用DE 是直径，则有MD ME ⊥ ，并运用向量的数量积表达是巧妙的地方，值得学习.三.两直线的相交定点5．在平面直角坐标系中，已知两个定点()()0,6,0,3A B ，曲线C 上动点P 满足2PA PB =. (1)求曲线C 的方程；(2)过点()0,1D 任作一条直线与曲线C 交于,P Q 两点(,P Q 不在y 轴上），设()0,4E ，并设直线OP 和直线EQ 交于点M .试证明：点M 恒在一条定直线上，并求出此定直线方程. 【分析】（1）设(),P x y ，进而根据距离公式整理化简即可；（2）由题知直线PQ 斜率存在，设其方程为1y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，进而结合直线OP 和直线EQ 方程联立得1221121211212144,44x x x y M y x x y x y x x y x ⎛⎫ ⎪-+-+⎝⎭，再结合韦达定理整理化简得2M y =-，进而得答案.【详解】（1）解：设(),P x y ，因为两个定点()()0,6,0,3A B ，曲线C 上动点P 满足2PA PB =.所以2PA PB ===，整理得：2240x y y +-=， 所以，曲线C 的方程为2240x y y +-=（2）解：因为过点()0,1D 任作一条直线与曲线C 交于,P Q 两点(,P Q 不在y 轴上）， 所以，直线PQ 斜率存在，设其方程为1y kx =+， 设()()1122,,,P x y Q x y ，因为()0,4E ，所以直线OP 方程为11y y x x =，直线EQ 的方程为2244y y x x -=+， 所以，联立方程得112244y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩得1221121211212144,44x x x y M y x x y x y x x y x ⎛⎫ ⎪-+-+⎝⎭因为11221,1y kx y kx =+=+， 所以()()12121212121121212144441143M x x x x x x x y x x y x kx x x kx x x x ===-++-+++，()()()21211221212112121214144441143M x kx x y kx x x y y x x y x kx x x kx x x x ++===-++-+++联立方程22140y kx x y y =+⎧⎨+-=⎩得()221230k x kx +--=， 所以，12122223,11k x x x x k k -+==++， 所以121223x x kx x +=-，即()121232x x x x k+-=所以，将()121232x x x x k +-=代入12221443Mkx x x y x x +=+整理得：()()122211222121216423442333M x x x x x kx x x y x x x x x x -++-++====-+++，所以，点M 恒在定直线=2y -上.6．已知圆M上三点(E，F ，(1,1)G . (1)求圆M 的方程；(2)过点(1,0)P 任意作两条互相垂直的直线1l ，2l ，分别与圆M 交于,A B 两点和,C D 两点，设线段,AB CD 的中点分别为,R S .求证：直线RS 恒过定点.【分析】(1)设出圆M 的标准方程，根据圆上三个点列出方程组，求解方程组即可； (2)当1l 斜率存在且不为零时，设()1:1l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立1l 的方程和圆M 的方程，根据韦达定理和中点坐标公式表示出R 的坐标，同理表示出S 的坐标，求出直线RS 的方程即可判断其经过的定点．【详解】（1）设圆M 的方程为)()222()(0x a y b r r -+-=>，则222222222())(1)(1)a b r a b r a b r ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得00a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， ∴圆M 的方程为222x y +=．（2）若1l 斜率不存在，则此时AB 中点为R (0，0)，CD 中点为S (1，0)， 则直线RS 为y =0；同理1l 斜率为零时，直线RS 为y =0；当1l 斜率存在且不为零时，设()1:1l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则()()222222112202y k x k x k x k x y ⎧=-⇒+-+-=⎨+=⎩， Δ0>，212221k x x k ∴+=+， ∴()()()121212221121ky y k x k x k x x k -+=-+-=+-=+， 222,11k k R k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭，同理S 为22211,1111k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即221,11k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭， ∴2222222111111RSk kk k k k k k k k --++==--++， ∴RS ：22221111k k y x k k k ⎛⎫-=- ⎪+-+⎝⎭，化简为()2211ky x k =--， ∴RS 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．当k =1时，R 为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，S 为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线RS 为12x =，也过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭；同理1k =-时直线RS 也过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，1l 斜率不存在或斜率为0时，直线RS 也过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．综上可得，直线RS 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查待定系数法求圆的标准方程，以及直线过定点的问题.第二问的关键在于根据题意求出直线RS 的方程，从而判断直线RS 经过的定点.解题时从设直线1l 的方程入手，通过联立1l 和圆M 的方程，结合中点坐标公式和韦达定理求出R 坐标，根据两直线垂直，斜率相乘为－1可求S 坐标，从而可求出RS 的方程.求解过程中需要对特殊情况进行单独讨论．四.与角度有关的定点7．已知动圆C 经过点()1,0F ，且与直线=1x -相切，记动圆C 圆心的轨迹为E . (1)求E 的方程；(2)已知()()004,0P y y >是曲线E 上一点，,A B 是曲线E 上异于点P 的两个动点，设直线PA ､PB 的倾斜角分别为αβ､，且34αβπ+=，请问：直线AB 是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.【分析】（1）设动圆圆心(),M x y ，由题意可得点M 的轨迹满足抛物线定义，即可求解； （2）讨论直线PA ､PB 中其中一条的斜率不存在和直线PA ､PB 的斜率都存在，当直线PA､PB 的斜率都存在时，设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合34αβπ+=可得()12128320y y y y ++⋅+=，设AB 方程为x ty n =+，与抛物线进行联立可得124y y t +=，124y y n ⋅=-，代入上式即可求解【详解】（1）设动圆圆心(),M x y ，∵动圆C 经过点()1,0F ，且与直线=1x -相切，∴点M 的轨迹是以()1,0为焦点,直线=1x -为准线的抛物线， 故其方程为24y x =，∴动圆圆心C 的轨迹方程是24y x =； （2）由（1）可得()4,4P ，当直线PA ､PB 中其中一条的斜率不存在，不妨设π2α=，π4β=，易得()4,4A -，直线PB 的直线为y x =，与24y x =联立可得()0,0B ， 故直线AB 的方程为0x y +=；当直线PA ､PB 的斜率都存在时，故设直线PA ､PB 的斜率12,k k ，设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以11211441444y k y y -==+-，同理可得2244k y =+， 因为34αβπ+=，所以tan()1αβ+=-，所以tan tan 11tan tan αβαβ+=--⋅，即121211k k k k +=--⋅，所以121210k k k k +-⋅+=，所以12124444104444y y y y +-⋅+=++++，即()12128320y y y y ++⋅+=， 由题意可设AB 方程为x ty n =+，联立24y xx ty n⎧=⎨=+⎩，消x 整理得2440y ty n --=，所以216160t n ∆=+>，124y y t +=，124y y n ⋅=-，所以324320t n -+=即88n t =+，所以88(8)8x ty n ty t t y =+=++=++， 令80y +=得8y =-，8x =，此时有定点()8,8-， 综上所述，直线AB 经过定点()8,8-【点睛】思路点睛:与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题8．已知抛物线2:2(0)y px p Ω=>的焦点为,F P 为Ω上任意一点，以P 为圆心，PF 为半径的圆与直线12x =-相切.(1)求p 的值；(2)若点(2,0)A p ，过点A 的直线l 与Ω交于,G H 两点，在x 轴上是否存在定点B ，使ABG ABH ∠=∠恒成立，若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由.【分析】（1）根据抛物线定义可知准线方程，即可直接求得结果； （2）设出直线GH 的方程，联立抛物线方程，根据0BG HB k k +=即可求解.【详解】（1）根据抛物线的定义，显然12x =-是抛物线Ω的准线，则122p =，解得1p =.（2）根据（1）中所求，点A 的坐标为()2,0，假设存在(),0B t 符合题意，则0BG HB k k +=，设直线l 方程为：2x my =+，由222x my y x=+⎧⎨=⎩可得2240y my --=， 设()()1122,,,G x y H x y ，则12122,4y y m y y +==-， 故12120y y x t x t+=--，即()()12210y x t y x t -+-=，又11222,2x my x my =+=+， 故()12122(2)0my y t y y +-+=，故()8220m m t -+-=，所以2t =-，综上所述：在x 轴上存在定点()2,0B -，使ABG ABH ∠=∠恒成立.9．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，过1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆C 交于点A ，B ，且2ABF △(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于不同于右顶点P 的M ，N 两点，且PM PN ⊥，判断直线l 是否过定点，并说明理由．【分析】（1）由题知c a =22b c a =222a b c =+，进而解方程即可得答案； （2）根据题意设直线l 的方程为()2x ky m m =+≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，进而直线l 方程与椭圆方程联立得12224km y y k -+=+，212244m y y k -=+，再根据0PM PN ⋅=解方程得65m =，再根据直线l 方程判断即可.【详解】（1）解：因为椭圆C c a =①． 将x c =-代入22221x y a b+=，得2b y a =±，所以22b AB a =，则21222b c a ⨯⨯22b c a②． 又因为222a b c =+，所以2a =，1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． （2）解：由题意知，直线l 的斜率不为0，则不妨设直线l 的方程为()2x ky m m =+≠．联立得2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2224240k y kmy m +++-=，()()2222Δ44440k m k m =-+->，化简整理，得224k m +>．设()11,M x y ，()22,N x y ，则12224km y y k -+=+，212244m y y k -=+． 因为PM PN ⊥，所以0PM PN ⋅=．因为()2,0P ，所以()112,PM x y =-，()222,PN x y =-，所以，()()1212220x x y y --+=，将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式整理得()()2212121(2)(2)0k y y k m y y m ++-++-=，所以，()()()2222242122044m km k k m m k k --+⋅+-⋅+-=++，解得65m =或2m =（舍去）， 所以直线l 的方程为65x ky =+，则直线l 恒过点6,05Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 五.与斜率有关定点问题10．已知椭圆C 上任意一点P （x ，y ）到点F （－1，0）的距离与到直线x =－4的距离的比等于12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，A （2，0），记直线AM ，AN 的斜率分别为kAM ，kAN ，且满足kAM ·kAN =－1．证明：直线l 过定点．【分析】（1）先分别求出点P 到点F 的距离PF 和到直线x =－4的距离,然后由根据条件得到方程，化简即可得到答案.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y = kx + m ，与椭圆方程联立得出韦达定理，表示出kAM ·kAN =－1，将韦达定理代入，得出,k m 的关系，得到答案，再验证直线l 的斜率不存在的情况.【详解】（1）因为点P （x ，y ）到点F （－1，0）的距离为PF ==，点P （x ，y ）到直线x =－4的距离()44d x x =--=+，12= ⇒4（x 2+2x +1+y 2）=x 2+8x +16⇒3x 2+4y 2=12， 因此，可得椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）① 当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y =kx +m ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立 223412,,x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩消去y ，得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2－12=0， 则 ∆=48（4k 2+3－m 2）＞0，122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+， 于是 1212121212222AM AN y y kx m kx m k k x x x x ++⋅=⋅=⋅=-----， 即（kx 1+m ）（kx 2+m ）+（x 1－2）（x 2－2）= 0，即（k 2+1）x 1x 2+（km －2）（x 1+x 2）+（m 2+4）=0，化简，得4k 2+16km +7m 2=（2k +m ）（2k +7m ）=0．（i ）当2k +m =0时，直线为y =kx －2k ，过点（2，0），舍去；（ii ）当2k +7m =0时，直线为27y kx k =-，过点（27，0）． ② 当直线l 的斜率不存在时，x =27，经检验，符合题意．综上，则直线l 过定点R （27，0）．11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F作直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，1F MN △的周长为(1)求椭圆C 的方程；(2)在x 轴上是否存在异于点2F 的定点Q ，使得直线l 变化时，直线QM 与QN 的斜率之和为0？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆定义和离心率列方程可解；（2）记点N 关于x 轴的对称点为22(,)N x y '-，将问题转化为,,Q M N '三点能否共线问题，设直线方程联立椭圆方程消元，利用韦达定理代入,,Q M N '共线的坐标表示可解.【详解】（1）由椭圆定义可知1F MN △的周长为4a ，所以由题可知4a c a⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2a c ==，所以2b = 所以椭圆C 的方程为22184x y +=（2）如图，设1122(,),(,)M x y N x y ，(,0)Q n ，记点N 关于x 轴的对称点为22(,)N x y '-， 易知直线l 的斜率不为0，故设其方程为2x my =+，代入22184x y +=整理可得： 22(2)440m y my ++-=，则12122244,22m y y y y m m --+==++ 直线QM 与QN 的斜率之和为0，等价于,,Q M N '三点共线，等价于1221()()0x n y x n y -+-=即1221(2)(2)0my n y my n y +-++-=，等价于12122(2)()0my y n y y +-+= 因为12122228442(2)()(2)(4)222m m m my y n y y n n m m m ---+-+=+-=-+++ 所以4n =时，12122(2)()0my y n y y +-+=恒成立，即直线QM 与QN 的斜率之和为0. 所以，存在定点Q ，使得直线l 变化时，直线QM 与QN 的斜率之和为0，点Q 坐标为(4,0)。
高中数学破题致胜微方法(椭圆的进阶性质)：椭圆中的定点问题 Word版含答案
代入并整得
，
化简整理得到
均满足判别式大于0，
所以，当
当
今天我们研究椭圆中的定点问题。椭圆中的定点问题往往与椭圆中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。证明直线过定点，一般是先选择一个参数建立直线系方程，然后再根据直线系方程过定点时，方程的成立与参数没有关系，得到一个关于x，y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点。
整理得 ，
所以 .
将 ， 代入上式，
整理得 .
由于上式对任意实数 都成立，所以 .
综上，存在定点 ，使 平分 .
整理：
处理定点问题的方法：
（1）常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；
（2）也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。
再看一个例题，加深印象
例：已知椭圆 的左顶点为A.过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆于B,C两点,且k1k2=2,求证:直线BC恒过一个定点.
4.如图,椭圆 的两焦点 ， 与短轴两端点 ， 构成 为 ,面积为 的菱形。
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 与椭圆相交于 、 两点( 、 不是左右顶点),且以 为直径的圆过椭圆右顶点 ．求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标．
答案：
1.
2.
3.
4.
解： 椭圆的方程为
（2）由
，
即
设M ，则有
因为以 为直径的圆过椭圆右顶点 ，所以
3.在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆 的左、右顶点为A,B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA,TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.
椭圆中的定点问题
椭圆中的定点问题
椭圆中的定点问题是一个经典的几何问题，旨在寻找一个椭圆上的定点，使得该点到椭圆上任意一点的距离之和最小。
这个问题的解决对于椭圆的应用有很大的帮助，例如在椭圆轨道上的天体运动中就涉及到该问题的解决。
在数学上，该问题可以转化为一个求解椭圆焦点坐标的问题。
通过对椭圆的定义和性质进行分析，可以得出该问题的解法：定点为椭圆焦点之间的连线上的中点。
这个结果的证明可以通过使用微积分的方法，或者利用椭圆的几何性质进行推导。
无论哪种方法，都需要对椭圆的性质进行深入了解，才能获得准确的答案。
总的来说，椭圆中的定点问题是一道有趣的数学问题，它不仅有着理论上的重要性，还具有实际应用的价值。
对于深入研究椭圆几何的人来说，掌握该问题的解决方法是非常必要的。
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椭圆中的定点、定值问题(教师版)
椭圆中的定点、定值问题1.已知l 1，l 2是过点0,2 的两条互相垂直的直线，且l 1与椭圆Γ:x 24+y 2=1相交于A ，B 两点，l 2与椭圆Γ相交于C ，D 两点．(1)求直线l 1的斜率k 的取值范围；(2)若线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明直线MN 经过一个定点，并求出此定点的坐标．【答案】(1)-233,-32 ∪32,233 ；(2)证明见解析；定点0,25 .【解析】(1)根据题意直线l 1，l 2的斜率均存在且不为0直线l 1，l 2分别为y =kx +2，y =-1kx +2，联立y =kx +2x 24+y 2=1得4k 2+1 x 2+16kx +12=0，由Δ=16k 2-4×124k 2+1 >0得4k 2>3，则k <-32或k >32，同理4-1k2>3，则-233<k <233，所以k 的取值范围为-233,-32 ∪32,233 ．(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由(1)得4k 2+1 2+16kx +12=0，所以x 1+x 2=-16k 4k 2+1，则x M =x 1+x 22=-8k4k 2+1，所以y M =kx M +2=-8k 24k 2+1+2=24k 2+1，则M -8k 4k 2+1,24k 2+1，同理N 8k k 2+4,2k 2k 2+4，则直线MN 的方程为y -24k 2+1=2k 2k 2+4-24k 2+18k k 2+4+8k 4k 2+1x +8k 4k 2+1 ，化简整理得y =k 2-15kx +25因此直线MN 经过一个定点0,25 ．2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，离心率为32.(1)求C 的方程；(2)设斜率为1的直线l 与C 交于P ，Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为M ，若△PQM 的外接圆恰过坐标原点，求直线l 的方程.【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)y =x ±263【解析】(1)依题意a =2c a =32a 2=b 2+c 2·解得a =2b =1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1(2)设l 的方程为y =x +m ，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则M x 1,-y 1 .由y =x +m x 24+y 2=1消去y 得，5x 2+8mx +4m 2-4=0，依题意Δ=64m 2-204m 2-4 >0，即-5<m <5，所以x 1+x 2=-8m5x 1x 2=4m 2-45，所以y 1+y 2=x 1+x 2+2m =-8m 5+2m =2m5，所以线段PQ 的中点坐标为-4m 5,m5 ，所以线段PQ 的中垂线方程为y -m 5=-x +4m 5 ，即y =-x -3m5，·依题意，线段PQ 的中垂线与x 轴的交点E -3m5,0 ，即为△PQM 外接圆的圆心，点E 到直线l 的距离为d =2|m |5，|PQ |=2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=2⋅-8m 5 2-16m 2-1 5=4255-m 2，·设△PQM 外接圆的半径为r ，则r 2=d 2+|PQ |22=40-6m 225，所以△PQM 外接圆的方程为x +3m 5 2+y 2=40-6m 225，因为△PQM 外接圆恰过原点O (0,0)，所以3m 5 2=40-6m 225，解得m =±263，所以直线l 的方程为y =x ±263.3.已知A ，B 分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点和上顶点，|AB |=5，直线AB 的斜率为-12.(1)求椭圆的方程；(2)直线l ⎳AB ，与x ，y 轴分别交于点M ，N ，与椭圆相交于点C ，D ．证明：(i )△OCM 的面积等于△ODN 的面积；(ii )|CM |2+|MD |2为定值．【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)(i )证明见解析；(ii )证明见解析【解析】(1)∵A 、B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个顶点，且|AB |=5，直线AB 的斜率为-12，由A (a ,0)，B (0,b )，得|AB |=a 2+b 2=5，又k =b -00-a =-b a =-12，解得a =2，b =1，∴椭圆的方程为x 24+y 2=1；(2)设直线l 的方程为y =-12x +m ，则M (2m ,0)，N (0,m )，联立方程y =-12x +mx 24+y 2=1消去y ，整理得x 2-2mx +2m 2-2=0．Δ=4m 2-8(m 2-4)=32-4m 2>0，得m 2<8设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．∴x 1+x 2=2m ，x 1x 2=2m 2-2．所以S △OCM =12|2m ||y 1|，S △ODN =12|m ||x 2|则有S △OCM S △ODN =|2y 1||x 2|=|2m -x 1||x 2|=|x 2||x 2|=1∴△OCM 的面积等于△ODN 的面积；∴|CM |2+|MD |2=(x 1-2m )2+y 12+(x 2-2m )2+y 22=x 12-4mx 1+4m 2+-12x 1+m 2+x 22-4mx 2+4m 2+-12x 2+m 2=54(x 1+x 2)2-52x 1x 2-5m (x 1+x 2)+10m 2=5m 2-52(2m 2-2)-10m 2+10m 2=54.如图，椭圆M ：y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的两焦点为0,1 ，0,-1 ，A ，B 是左右顶点，直线l 与椭圆交于异于顶点的C ，D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BC 斜率之积为-2．(1)求椭圆M 的方程；(2)直线AC 与直线BD 交于点Q ，设点P 与点Q 横坐标分别为x P ，x Q ，则x P ⋅x Q 是否为常数，若是，求出该常数值；若不是，请说明理由．【答案】(1)y 22+x 2=1;(2)x P ⋅x Q 为常数，值为1【解析】(1)由题A -b ,0 ，B b ,0 ，设C x 1,y 1 ，则k AC ⋅k BC =y 1x 1+b ⋅y 1x 1-b =y 21x 21-b 2=a 21-x 21b2x 21-b2=-a2b 2=-2，∴a 2=2b 2，又a 2-b 2=1，∴a =2，b =1，∴椭圆M 的方程为：y 22+x 2=1.(2)直线l 若过原点，由对称性知AC ∥BD 不合题，设直线l ：x =ty +m m ≠0 ，则x P =mx =ty +my 22+x 2=1，消去x 得2t 2+1 y 2+4mty +2m 2-2=0，设D x 2,y 2 ，则Δ=82t 2-m 2+1 >0y 1+y 2=-4tm2t 2+1y 1y 2=2m 2-22t 2+1∴y 1y 2=1-m22tm y 1+y 2 ①AC ：y =y 1x 1+1x +1 ②，BD ：y =y 2x 2-1x -1 ③②③联立得x -1x +1=y 1x 2-1 y 2x 1+1 =y 1ty 2+m -1 y 2ty 1+m -1 =t 1y 2+m -1 y 1ty 1y 2+m +1 y 2①代入得x -1x +1=1-m 1-m y 1+1+m y 2 m +1 1-m y 1+1+m y 2 =1-m1+m 解得x =1m ，即x Q =1m∴x P ⋅x Q =m ⋅1m=1，∴x P ⋅x Q 为常数，值为1．5.已知点A -22,0 ,B 22,0 ,Q 2,0 ，动点P 与点A ，B 连线的斜率之积为-78，过点Q 的直线l 交点P 的轨迹于C ，D 两点，设直线AC 和直线BD的斜率分别为k 1和k 2，记m =k1k 2(1)求点P 的轨迹方程(2)m 是否为定值?若是，请求出该值，若不是，请说明理由．【答案】(1)x 28+y 27=1(y ≠0);(2)是，3-22【解析】(1)设点P x ,y ，由题意k PA ⋅k PB =y x -22⋅y x +22=-78整理得x 28+y 27=1y ≠0(2)由题意，直线l 斜率不为0设l :x =ty +2，设C x 1,y 1 ,D x 2,y 2由x =ty +2x 28+y 27=1得7t 2+8 y 2+28ty -28=0则y 1+y 2=-28t 7t 2+8，y 1y 2=-287t 2+8所以y 1+y 2=ty 1y 2m =k 1k 2=y 1x 1+22y 2x 2-22=y 1x 2+22 y 2x 1-22 =y 1ty 2+2-22 y 2ty 1+2+22 =ty 1y 2+2-22 y 1ty 1y 2+2+22 y 2=y 1+y 2+2-22 y 1y 1+y 2+2+22 y 2=3-22 y 1+y 2y 1+3+22 y 2=3-22 y 1+13-22y 2 y 1+3+22 y 2=3-22 y 1+3+22 y 2 y 1+3+22 y 2=3-22所以m 为定值3-226.已知圆O ：x 2+y 2=4与x 轴交于点A (-2,0)，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过-65,0 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1=4k 2．【答案】(1)x 22+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)设N (x 0，y 0)，则H (x 0，0)，∵N 是MH 的中点，∴M (x 0，2y 0)，又∵M 在圆O 上，∴x 20+(2y 0)2=4，即x 204+y 20=1；∴曲线C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：x =-65，若点P 在轴上方，则点Q 在x 轴下方，则P -65,45 ,Q -65,-45，直线OQ 与曲线C 的另一交点为S ，则S 与Q 关于原点对称，∴S 65,45，k 1=k AP =45-0-65+2=1,k 2=k AS =45-065+2=14,∴k 1=4k 2；若点P 在x 轴下方，则点Q 在x 轴上方，同理得：P -65,-45 ,Q -65,45 ,S 65,-45 ，∴k 1=k AP =-45-0-65+2=-1,k 2=k AS =-45-065+2=-14，∴k 1=4k 2；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：x =my -65,，由x =my -65,与x 24+y 2=1联立可得(m 2+4)y 2-12m 5y -6425=0，其中Δ=144m 225+4×(m 2+4)×6425>0，设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，则S (-x 2,-y 2)，则y 1+y 2=12m 5m 2+4,y 1y 2=-6425m 2+4，∴k 1=k AP =y 1-0x 1+2=y 1x 1+2,k 2=k AS =-y 2-0-x 2+2=y 2x 2-2,则k 1k 2=y 1x 1+2⋅x 2-2y 2=y 1my 2-165my 1+45 y 2=my 1y 2-165y 1my 1y 2+45(y 1+y 2)-45y 1=-6425m 2+4-165y1-6425m m 2+4+45⋅125m m 2+4-45y 1=-6425m 2+4-165y 1-1625m 2+4-45y 1=4，∴k 1=4k 2.7.已知M ，N 分别是x 轴，y 轴上的动点，且MN =4+23，动点P 满足MP =32PN ，设点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)直线l 1：3x -2y =0与曲线C 交于A ，B 两点，G 为线段AB 上任意一点(不与端点重合)，倾斜角为α的直线l 2经过点G ，与曲线C 交于E ，F 两点．若|EF |2|GA |⋅|GB |的值与点G 的位置无关，求|GE |：|GF |的值．【答案】(1)x 216+y 212=1;(2)1【解析】(1)设M x 0,0 ，N 0,y 0 ，则x 20+y 20=4+23 2．设P x ,y ，则MP =x -x 0,y ，PN=-x ,y 0-y ．由题意得x -x 0=-32x y =32y 0-y，解得x 0=1+32 x y 0=231+32y，所以1+322x 2+431+32 2y 2=4+23 2，化简得x 216+y 212=1，即曲线C 的方程为x 216+y 212=1．(2)证明：由3x -2y =0x 216+y 212=1，解得x =2y =3 或x =-2y =-3 ，(不妨设点A 在第一象限)，所以A (2,3)，B (-2,-3)．设点G (2m ,3m )，其中-1<m <1，则|GA |=13(1-m )，|GB |=13(1+m )，所以|GA |⋅|GB |=131-m 2 ．若直线l 2的斜率不存在，则直线l 2的方程为x =2m ，此时E 2m ,12-3m 2，F 2m ,-12-3m 2，故|EF |2|GA |⋅|GB |=124-m 2131-m 2不为定值．若直线l 2的斜率存在，设直线l 2的斜率为k ，则直线l 2的方程为y =kx -(2k -3)m ．将直线l 2的方程代入曲线C 的方程化简、整理，得4k 2+3 x 2-8km (2k -3)x +4(2k -3)2m 2-48=0．设E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 ，则x 1+x 2=8km (2k -3)4k 2+3，x 1x 2=4(2k -3)2m 2-484k 2+3，所以|EF |2=1+k 2 x 1-x 2 2=1+k 264k 2m 2(2k -3)2-164k 2+3 (2k -3)2m 2-124k 2+32=-481+k 2 (2k -3)2m 2-16k 2+12 4k 2+32，故|EF |2|GA |⋅|GB |=481+k 2 (2k -3)2m 2-16k 2+12 134k 2+3 2m 2-1．因为|EF |2|GA |⋅|GB |的值与m 的值无关，所以(2k -3)2=16k 2+12，解得k =-12，所以x 1+x 22=4km (2k -3)4k 2+3=2m ，所以G 是EF 的中点，即|GE |=|GF |．所以|GE |:|GF |=1．8.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，其左、右焦点分别为F 1，F 2，T 为椭圆C 上任意一点，△TF 1F 2面积的最大值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知A 0,1 ，过点0,12的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)证明见解析【解析】(1)因为椭圆C 的离心率为22，所以c a =22.又当T 位于上顶点或者下顶点时，△TF 1F 2面积最大，即bc =1.又a 2=b 2+c 2，所以b =c =1，a = 2.所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1.(2)由题知，直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为y =kx +12，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，将直线l 代入椭圆C 的方程得：4k 2+2 x 2+4kx -3=0，由韦达定理得：x 1+x 2=-4k 4k 2+2，x 1x 2=-34k 2+2，直线AM 的方程为y =y 1-1x 1x +1，直线AN 的方程为y =y 2-1x 2x +1，所以P -x 1y 1-1,0 ，Q -x 2y 2-1,0，所以以PQ 为直径的圆为x +x 1y 1-1 x +x 2y 2-1 +y 2=0，整理得：x 2+y 2+x 1y 1-1+x 2y 2-1 x +x 1x 2y 1-1 y 2-1=0.①因为x 1x 2y 1-1 y 2-1 =x 1x 2kx 1-12 kx 2-12=4x 1x 24k 2x 1x 2-2k x 1+x 2+1=-12-12k 2+8k 2+4k 2+2=-6，令①中的x =0，可得y 2=6，所以，以PQ 为直径的圆过定点0,±6 .9.已知平面内两点F 1(-2,0),F 2(2,0)，动点P 满足：PF 1 +PF 2 =2 3.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M ，N 是轨迹C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切.证明：M ，N ，F 2三点共线的充要条件是|MN |= 3.【答案】(1)x 23+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)因为PF 1 +PF 2 =23>F 1F 2 .所以点P 的轨迹是以F 1,F 2为焦点的椭圆，其中2a =23,c =2,b 2=1，所以轨迹C 的方程为x 23+y 2=1.(2)当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ,N ,F 2三点共线，可设直线MN :y =k (x -2)，即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得|2k |k 2+1=1，解得k =±1，联立y =±(x -2),x 23+y 2=1,可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以|MN |=1+1⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=3，所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,(kb <0)即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得|b |k 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +b ,x 23+y 2=1,可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2，x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以|MN |=1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=1+k 2-6kb 1+3k 2 2-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 2三点共线，充分性成立；所以M ,N ,F 2三点共线的充要条件是|MN |= 3.10.已知F 1(-2,0)，F 2(2,0)为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，且A 2,53为椭圆上的一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线y =-2x +t 与抛物线y 2=2px (p >0)相交于P ,Q 两点，射线F 1P ，F 1Q 与椭圆E 分别相交于M 、N .试探究：是否存在数集D ，对于任意p ∈D 时，总存在实数t ，使得点F 1在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D 并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 29+y 25=1;(2)存在，D =(5,+∞)，证明见解析【解析】(1)由题意知c =2，A 2,53为椭圆上的一点，且AF 2垂直于x 轴，则AF 2 =53，AF 1 =(2+2)2+53 2=133，所以2a =AF 1 +AF 2 =133+53=6，即a =3，所以b 2=32-22=5，故椭圆的方程为x 29+y 25=1；(2)l 方程为y =-2x +t ，联立抛物线方程，得y 2=2pxy =-2x +t ，整理得y 2+py -pt =0，则Δ=p 2+4tp >0，则p +4t >0①，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1+y 2=-p ，y 1y 2=-pt ，则x 1+x 2=t +p 2,x 1x 2=(y 1y 2)24p 2=t 24，由F 1的坐标为(-2,0)，则F 1P =(x 1+2，y 1)，F 1Q=(x 2+2，y 2)，由F 1M 与F 1P 同向，F 1N 与F 1Q 同向，则点F 1在以线段MN 为直径的圆内，则F 1M ⋅F 1N <0，则F 1P ⋅F 1Q<0，则(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2<0，即x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 1<0，则t 24+2t +p 2 +4-pt <0，即t 24+(2-p )t +p +4<0②，当且仅当Δ=(2-p )2-4×14(p +4)>0，即p >5，总存在t >-p4使得②成立，且当p >5时，由韦达定理可知t 24+(2-p )t +p +4=0的两个根为正数，故使②成立的t >0，从而满足①，故存在数集D =(5,+∞)，对任意p ∈D 时，总存在t ，使点F 1在线段MN 为直径的圆内．11.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，连结PF 1，PF 2并延长，分别交椭圆于点A ，B ．已知△APF 2的周长为82，△F 1PF 2面积最大值为4．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当P 不是椭圆的顶点时，试分析直线OP 和直线AB 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)y 28+x 24=1;(2)是定值；-6【解析】(1)如图所示：由题意得4a =82bc =4a 2=b 2+c 2，解得a =22b =2所以椭圆C 的方程为y 28+x 24=1(2)设直线PA 的方程为y =kx +2,P x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,F 10,2 ，由y =kx +2y 2+2x 2=8，得k 2+2 x 2+4kx -4=0，∴x 0x 1=-4k 2+2，即x 0x 1=-4y 0-2x 0 2+2=-4x 20y 20-4y 0+4+2x 20，=-4x 2012-4y 0=-x 203-y 0，∴x 1=-x 03-y 0,∴y 1=y 0-2x 0⋅-x 03-y 0+2=8-3y 03-y 0，∴A -x 03-y 0,8-3y 03-y 0，同理可得B -x 03+y 0,-3y 0-83+y 0 ，∴k AB =8-3y 03-y 0+3y 0+83+y 0x 03+y 0-x 03-y 0=48-6y 20-2x 0y 0=38-y 20 -x 0y 0=6x 20-x 0y 0=-6x 0y 0，∴k OP ⋅k AB =y 0x 0⋅-6x 0y 0=-6为定值12.已知点P 2，53 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0))上一点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，且△PAB 的面积为5．(1)求C 的标准方程；(2)过点Q (1，0)的直线l 与C 相交于点G ，H (点G 在x 轴上方)，AG ，BH 与y 轴分别交于点M ，N ，记S 1，S 2分别为△AOM ，△AON (点O 为坐标原点)的面积，证明:S1S 2为定值．【答案】(1)x 29+y 25=1；(2)证明过程见解析.【解析】(1)因为△PAB 的面积为5，点P 2，53 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1上一点，所以有12⋅2a ⋅53=522a 2+53 2b 2=1 ⇒a =3b =5 ⇒x 29+y 25=1；(2)由题意可知直线l 的斜率不为零，故设方程为x =my +1，与椭圆方程联立为：x 29+y 25=1x =my +1⇒y 2(5m 2+9)+10my -40=0，设G (x 1,y 1),H (x 2,y 2)(y 1>0)，因为y 1y 2=-405m 2+9<0，所以y 2<0，A (-3,0),B (3,0)，直线AG 的方程为：y -y 1y 1-0=x -x 1x 1+3，令x =0，得y =y 1-x 1y 1x 1+3=3y 1x 1+3，即M 0,3y 1x 1+3 ，同理可得：N 0,-3y 2x 2-3 ，S 1S 2=12OA ⋅yM 12OA ⋅y N =y M y N =3y 1x 1+3⋅x 2-33y 2=3y 1my 2-2 3y 2my 1+4 ，因为y 1+y 2=-10m 5m 2+9,y 1y 2=-405m 2+9，所以有4(y 1+y 2)=my 1y 2，于是有S 1S 2=3y 1(my 2-2)3y 2(my 1+4)=12y 1+12y 2-6y 112y 1+12y 2+12y 2=6(y 1+2y 2)12(y 1+2y 2)=12，因此S1S 2为定值.13.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的短轴长为22，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 为直线x =4上的动点，过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同的A ，B 两点，在线段AB 上取点Q ，满足AP ⋅QB =AQ ⋅PB ，证明：点Q 的轨迹过定点.【答案】(1)x 24+y 22=1;(2)证明见解析【解析】(1)由题意可知2b =22c a =22，解得a =2，b = 2.所以，所求椭圆的方程为x 24+y 22=1(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，Q x ,y ，P 4,t ，直线AB 的斜率显然存在，设为k ，则AB 的方程为y =k x -4 +t .因为A ，P ，B ，Q 四点共线，不妨设x 2<x <x 1<4，则AP =1+k 24-x 1 ，AQ =1+k 2x 1-x ，QB =1+k 2x -x 2 ，PB =1+k 24-x 2由AP ⋅QB =AQ ⋅PB ，可得4-x 1 x -x 2 =x 1-x 4-x 2 ，化简得2x 1x 2-x 1+x 2 4+x +8x =0.(*)联立直线y =k x -4 +t 和椭圆的方程，x 24+y 22=1y =k x -4 +t，消去y ，得2k 2+1 x 2+4k t -4k x +2t -4k 2-4=0.由韦达定理，得x 1+x 2=-4k t -4k 2k 2+1，x 1x 2=2t -4k 2-42k 2+1.代入(*)化简得x=4kt+2-t2kt+2=4-6+t2kt+2，即6+t 2kt+2=4-x.又k=y-tx-4，代入上式，得6+t2y-tx-4t+2=4-x，化简得2x+ty-2=0.所以点Q总在一条动直线2x+ty-2=0上，且恒过定点1,0.14.在平面直角坐标系中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=63,a=6，直线l与x轴相交于点E，与椭圆相交于点A,B；(1)求椭圆C的方程，(2)在x轴上是否存在点E，使得1|EA|2+1|EB|2为定值？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)x26+y22=1;(2)存在；E(±3,0)【解析】(1)由题意得：e=c a=63,a=6,∴c=2，∴b2=a2-c2=2， -所以椭圆的方程为x26+y22=1(2)设E(x0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),(ⅰ)当直线AB与x轴不重合时，设AB的方程为x=my+x0代入x26+y22=1得：(m2+3)y2+2mx0y+x20-6=0，则y1+y2=-2mx0m2+3 y1⋅y2=x2-6m2+3|EA|2=(m2+1)y21,|EB|2=(m2+1)y22， -1 |EA|2+1|EB|2=(y1+y2)2-2y1y2(m2+1)y21y22=2×m2(x20+6)+(18-3x20) m2(x20-6)2+(x20-6)2-当x20+6=18-3x20，即x20=3时，无论m取何值，1|EA|2+1|EB|2的值恒为2，得点E(±3,0)，(ⅱ)当直线AB与x轴重合时，有A(-6,0),B(6,0),E(3,0)或E(-3, 0)，均有1|EA|2+1|EB|2=2由i和ii得，在x轴上是存在两点E(±3,0)，使得1|EA|2+1|EB|2为定值.15.已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为(-3,0)，(3,0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，CP =2-3，动点C 的轨迹为曲线G ．(1)求曲线G 的方程；(2)设直线l 与曲线G 交于M 、N 两点，点D 在曲线G 上，O 是坐标原点OM+ON =OD ，判断四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 2=1y ≠0 ;(2)四边形OMDN 的面积是定值，其定值为3【解析】(1)因为圆E 为△ABC 的内切圆，所以CA +CB =CP +CQ +PA +QB =2CP +AR +BR =2CP +AB =4>AB ，所以点C 的轨迹为以点A 和点B 为焦点的椭圆，所以c =3，a =2，则b =1，所以曲线G 的方程为x 24+y 2=1y ≠0(2)由y ≠0可知直线l 的斜率存在，设直线l 方程是y =kx +m ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由平面图形OMDN 是四边形，可知m ≠0，代入到x 24+y 2=1，得1+4k 2 x 2+8kmx +4m 2-4=0所以Δ=184k 2+1-m 2>0，x 1+x 2=-8km 1+4k 2，x 1x 2=4m 2-41+4k 2．所以y 1+y 2=k x 1+x 2 +2m =2m1+4k 2，所以MN =1+k 2⋅44k 2-m 2+11+4k 2，又点O 到直线MN 的距离d =m1+k2，由OM +ON =OD ，得x D =-8km 1+4k ，y D =2m 1+4k 2，因为点D 在曲线C 上，所以将D 点坐标代入椭圆方程得1+4k 2=4m 2．由题意四边形OMDN 为平行四边形，所以OMDN 的面积为S =1+k 2×44k 2-m 2+11+4k 2×m1+k2=4m 4k 2-m 2+11+4k 2，由1+4k 2=4m 2，代入得S =3，故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为3．16.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，离心率为12．过点P (6,0)与x 轴不重合的直线l 交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别交直线x =6于点M ，N ．(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为原点．求证：∠PAN +∠POM =90°．【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【解析】(1)由题得a =2,c a =12,∴a =2,c =1,∴b =3,所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)要证∠PAN +∠POM =90°，只需证∠PAN =90°-∠POM ，只需证明tan ∠PAN =1tan ∠POM,只需证明tan ∠PAN ⋅tan ∠POM =1,只需证明k AN ⋅k OM =1,设M (6,m ),N (6,n )，只需证明n 6-2⋅m6=1,只需证明mn =24.设直线l 的方程为y =k (x -6)，k ≠0，联立椭圆方程x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2-48k 2x +144k 2-12=0，设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)，所以Δ>0,x 1+x 2=48k 23+4k 2,x 1x 2=144k 2-123+4k 2，又A ,B ,M 三点共线，所以m4=y 1x 1-2,∴m =4y 1x 1-2，同理n =4y 2x 2-2，所以mn =4y 1x 1-2×4y 2x 2-2=16k 2(x 1-6)(x 2-6)(x 1-2)(x 2-2)，所以mn =16k 2[x 1x 2-6(x 1+x 2)+36]x 1x 2-2(x 1+x 2)+4所以mn =16k 2144k 2-123+4k 2-6×48k 23+4k 2+36144k 2-123+4k 2-2×48k 23+4k 2+4=16k 2×9664k 2=24.所以∠PAN +∠POM =90°.17.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦距为2，且经过点P 1,32 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)经过椭圆右焦点F 且斜率为k k ≠0 的动直线l 与椭圆交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在异于点F 的定点T ，使AF ⋅BT =BF ⋅AT 恒成立？若存在，求出T 点坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)存在，T 4,0 .【解析】(1)由椭圆C 的焦距为2，故c =1，则b 2=a 2-1，又由椭圆C 经过点P 1,32 ，代入C 得1a 2+94b2=1，得a 2=4，b 2=3，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1．(2)根据题意，直线l 的斜率显然不为零，令1k=m由椭圆右焦点F 1,0 ，故可设直线l 的方程为x =my +1，与C :x 24+y 23=1联立得，3m 2+4 y 2+6my -9=0，则Δ=36m 2-4-9 3m 2+4 =144m 2+1 >0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，设存在点T ，设T 点坐标为t ,0 ，由AF ⋅BT =BF ⋅AT ，得AF BF=AT BT，又因为AF BF =S △TFA S △TFB =12FT⋅AT sin ∠ATF12FT⋅BT sin ∠BTF =AT sin ∠ATF BT sin ∠BTF ，所以sin ∠ATF =sin ∠BTF ，∠ATF =∠BTF ，所以直线TA 和TB 关于x 轴对称，其倾斜角互补，即有k AT +k BT =0，则：k AT +k BT =y 1x 1-t +y 2x 2-t=0，所以y 1x 2-t +y 2x 1-t =0，所以y 1my 2+1-t +y 2my 1+1-t =0，2my 1y 2+1-t y 1+y 2 =0，即2m ×-93m 2+4+1-t ×-6m 3m 2+4=0，即3m 3m 2+4+1-tm3m 2+4=0，解得t =4，符合题意，即存在点T 4,0 满足题意.18.设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，点P 是椭圆C 上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率e =32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线AD 与直线BP 交于点M ，直线DP 与x 轴交于点N ，求证：直线MN 恒过某定点，并求出该定点.【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)证明见解析，定点为(2,1)【解析】(1)由已知可得2b =2e =a 2-b 2a =32，解得a =2b =1 ，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)设直线BP 的方程为y =k 1(x -2)(k 1≠0且k 1≠±12)，直线DP 的方程为y =k 2x +1(k 2≠0且k 2≠±12)，则直线DP 与x 轴的交点为N -1k 2,0 ，直线AD 的方程为y =12x +1，则直线BP 与直线AD 的交点为M 4k 1+22k 1-1,4k 12k 1-1，将y =k 2x +1代入方程x 24+y 2=1，得4k 22+1 x 2+8k 2x =0，则点P 的横坐标为x P =-8k 24k 22+1，点P 的纵坐标为y P =k 2⋅-8k24k 22+1+1=1-4k 224k 22+1，将点P 的坐标代入直线BP 的方程y =k 1(x -2)，整理得1+2k 2 1-2k 2 =-2k 11+2k 2 2，∵1+2k2≠0，∴2k 1+4k 1k 2=2k 2-1，由M ,N 点坐标可得直线MN 的方程为：y =4k 1k 24k 1k 2+2k 2+2k 1-1x +1k 2 =2k 1k 2x +2k 12k 2-1=2k 1k 2x +2k 2-1-4k 1k 22k 2-1，即y =2k 1k 22k 2-1(x -2)+1，则直线MN 过定点(2,1).19.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点A (0，1)，且右焦点为F (1，0).(1)求C 的标准方程；(2)过点0，12的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点P .Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .证明：以MN 为直径的圆过y 轴上的定点.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)证明见解析【解析】(1)由题意可得c =1,b =1从而a 2=2.所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)证明：由题意直线l 斜率存在，可设直线l :y =kx +12，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，将直线l 代入椭圆方程得4k 2+2 x 2+4kx -3=0，所以x 1+x 2=-4k 4k 2+2,x 1,x 2=-34k 2+2，直线AP 的方程为y =y 1-1x 1x +1，直线AQ 的方程为y =y 2-1x 2x +1.可得M -x 1y 1-1,0 ,N -x 2y 2-1,0，以MN 为直径的圆方程为，x +x 1y 1-1 x +x 2y 2-1 +y 2=0，即x 2+y 2+x 1y 1-1+x 2y 2-1 x +x 1x 2y 1-1 y 2-1 =0.①因为x 1x 2y 1-1 y 2-1=x 1x 2kx 1-12 kx 2-12 =4x 1x 24k 2x 1x 2-2k x 1+x 2 +1=-12-12k 2+8k 2+4k 2+2=-6.所以在①中令x =0，得y 2=6，即以MN 为直径的圆过y 轴上的定点(0,±6)，20.已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】(1)x 23+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x 23+y 2=1可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +m ,km <0 即kx -y +m =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得mk 2+1=1，所以m 2=k 2+1，联立y =kx +m x 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kmx +3m 2-3=0，所以x 1+x 2=-6km 1+3k 2,x 1⋅x 2=3m 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=1+k 2-6km 1+3k 2 2-4⋅3m 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1m =-2或k =-1m =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．21.圆O ：x 2+y 2=4与x 轴的两个交点分别为A 1-2,0 ，A 22,0 ，点M 为圆O 上一动点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点R 满足NR =12NM(1)求点R 的轨迹方程；(2)设点R 的轨迹为曲线C ，直线x =my +1交C 于P ，Q 两点，直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，试问：是否存在一个定点T ，当m 变化时，A 2TS 为等腰三角形【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)存在，证明见解析【解析】(1)设点M x 0,y 0 在圆x 2+y 2=4上，故有x 20+y 2=4，设R x ,y ，又NR =12NM ，可得x =x 0，y =12y 0，即x 0=x ，y 0=2y代入x 20+y 20=4可得x 2+2y 2=4，化简得：x 24+y 2=1，故点R 的轨迹方程为：x 24+y 2=1.(2)根据题意，可设直线l 的方程为x =my +1，取m =0，可得P 1,32 ，Q 1,-32 ，可得直线A 1P 的方程为y =36x +33，直线A 2Q 的方程为y =32x -3联立方程组，可得交点为S 14,3 ；若P 1,-32，Q 1,32 ，由对称性可知交点S 24,-3 ，若点S 在同一直线上，则直线只能为l ：x =4上，以下证明：对任意的m ，直线A 1P 与直线A 2Q 的交点S 均在直线l ：x =4上.由x =my +1x 24+y 2=1，整理得m 2+4 y 2+2my -3=0设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2m m 2+4，y 1y 2=-3m 2+4设A 1P 与l 交于点S 04,y 0 ，由y 04+2=y 1x 1+2，可得y 0=6y 1x 1+2设A 2Q 与l 交于点S 04,y0 ，由y 04-2=y 2x 2-2，可得y 0=2y 2x 2-2，因为y 0-y 0=6y 1x 1+2-2y 2x 2-2=6y 1my 2-1 -2y 2my 1+3 x 1+2 x 2-2=4my 1y 2-6y 1+y 2 x 1+2 x 1-2 =-12m m 2+4--12mm 2+4x 1+2 x 2-2 =0，因为y 0=y 0，即S 0与S 0重合，所以当m 变化时，点S 均在直线l ：x =4上，因为A 22,0 ，S 4,y ，所以要使A 2TS 恒为等腰三角形，只需要x =4为线段A 2T 的垂直平分线即可，根据对称性知，点T 6,0 .故存在定点T 6,0 满足条件.22.已知点F 2,0 ，动点M x ,y 到直线l :x =22的距离为d ，且d =2MF ，记M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)过M 作圆O 1:x 2+y 2=43的两条切线MP 、MQ (其中P 、Q 为切点)，直线MP 、MQ 分别交C 的另一点为A 、B ．从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．①PA ⋅PM 为定值；②MA =MB ．【答案】(1)x 24+y 22=1;(2)条件选择见解析，证明见解析【解析】(1)由题意知22-x =2⋅x -2 2+y 2，两边平方整即得x 2+2y 2=4，所以，曲线C 的方程为x 24+y 22=1.(2)证明：设M x 0,y 0 、A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，当x 20=43时，y 20=43，则不妨设点M 233,233 ，则点A 233,-233 或A -233,233 ，此时OM ⋅OA=0，则OM ⊥OA ；当x 20≠43时，设直线MA :y =kx +m ，由直线MA 与圆O :x 2+y 2=43相切可得m 1+k2=23，即3m 2=41+k 2 ，联立y =kx +m x 2+2y 2=4可得2k 2+1 x 2+4kmx +2m 2-4=0，Δ=16k 2m 2-42k 2+1 2m 2-4 =84k 2+2-m 2 =1634k 2+1 >0，由韦达定理可得x 0+x 1=-4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2-42k 2+1，则OM ⋅OA=x 0x 1+y 0y 1=x 0x 0+kx 0+m kx 1+m =1+k 2 x 0x 1+km x 0+x 1 +m 2=1+k 22m 2-4 -4k 2m 2+m 21+2k 21+2k 2=3m 2-41+k 21+2k 2=0，所以，OM ⊥OA ，同理可得OM ⊥OB .选①，由OM ⊥OA 及OP ⊥AM 可得Rt △MOP ∽Rt △AOP ，则PM OP=OP PA，所以，PM ⋅PA =OP 2=43；选②，出OM ⊥OA 及OM ⊥OB 可得：A 、O 、B 三点共线，则OA =OB ，又MA 2=OA 2+OM 2=OB 2+OM 2=MB 2，因此，MA =MB .23.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A 2,1 ．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析.【解析】(1)由题意可得：c a =224a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1.(2)[方法一]：通性通法设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y =kx +m ，代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0，可得x 1+x 2=-4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2-61+2k 2，因为AM ⊥AN ，所以AM ·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0，根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0，所以k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km 1+2k 2 +m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0，因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k +m -1≠0，故2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13k ≠1 ，所以直线过定点直线过定点P 23,-13.当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ，由AM ·AN=0得：x 1-2 x 1-2 +y 1-1 -y 1-1 =0，得x 1-2 2+1-y 21=0，结合x 216+y 213=1可得：3x 12-8x 1+4=0，解得：x 1=23或x 2=2(舍).此时直线MN 过点P 23,-13.令Q 为AP 的中点，即Q 43,13，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边，故DQ =12AP =223，若D 与P 重合，则DQ =12AP ，故存在点Q 43,13，使得DQ 为定值.[方法二]【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为(x +2)26+(y +1)23=1，设直线MN 的方程为mx +ny =4．将直线MN 方程与椭圆方程联立得x 2+4x +2y 2+4y =0，即x 2+(mx +ny )x +2y 2+(mx+ny )y =0，化简得(n +2)y 2+(m +n )xy +(1+m )x 2=0，即(n +2)y x2+(m +n )yx+(1+m )=0．设M x 1 ,y 1 ,N x 2,y 2 ，因为AM ⊥AN 则k AM ⋅k AN =y 1x 1⋅y 2x 2=m +1n +2=-1，即m =-n -3．代入直线MN 方程中得n (y -x )-3x -4=0．则在新坐标系下直线MN 过定点-43,-43 ，则在原坐标系下直线MN 过定点P 23,-13．又AD ⊥MN ，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点43,13即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在Q 43,13，使得|DQ |=12|AP |=223．[方法三]：建立曲线系A 点处的切线方程为2×x6+1×y 3=1，即x +y -3=0．设直线MA 的方程为k 1x -y -2k 1+1=0，直线MB 的方程为k 2x -y -2k 2+1=0，直线MN 的方程为kx -y +m =0．由题意得k 1⋅k 2=-1．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线MA ,MB 可表示为x 26+y 23-1+λk 1x -y - 2k 1+1 k 2x -y -2k 2+1 =0(其中λ为系数)．用直线MN 及点A 处的切线可表示为μ(kx -y +m )⋅(x +y -3)=0(其中μ为系数)．即x 26+y 23-1+λk 1x -y -2k 1+1 k 2x - y -2k 2+1 =μ(kx -y +m )(x +y -3)．对比xy 项、x 项及y 项系数得λk 1+k 2 =μ(1-k ),①λ4+k 1+k 2 =μ(m -3k ),②2λk 1+k 2-1 =μ(m +3).③将①代入②③，消去λ,μ并化简得3m +2k +1=0，即m =-23k -13．故直线MN 的方程为y =k x -23 -13，直线MN 过定点P 23,-13．又AD ⊥MN ，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点43,13 即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在Q 43,13，使得|DQ |=12|AP |=223．[方法四]：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．若直线MN 的斜率不存在，则M x 1,y 1 ,N x 1,-y 1 ．因为AM ⊥AN ，则AM ⋅AN =0，即x 1-2 2+1-y 21=0．由x 216+y 213=1，解得x 1=23或x 1=2(舍)．所以直线MN 的方程为x =23．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y =kx +m ，则x 2+2(kx +m )2-6=1+2k 2 x -x 1 x -x 2 =0．令x =2，则x 1-2 x 2-2 =2(2k +m -1)(2k +m +1)1+2k 2．又y -m k 2+2y 2-6=2+1k 2 y -y 1 y -y 2 ，令y =1，则y 1-1 y 2-1 =(2k +m -1)(-2k +m -1)1+2k 2．因为AM ⊥AN ，所以AM ⋅AN=x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =(2k +m -1)(2k +3m +1)1+2k 2=0，即m =-2k +1或m =-23k -13．当m =-2k +1时，直线MN 的方程为y =kx -2k +1=k (x -2)+1．所以直线MN 恒过A (2,1)，不合题意；当m =-23k -13时，直线MN 的方程为y =kx -23k -13=k x -23 -13，所以直线MN 恒过P 23,-13 ．综上，直线MN 恒过P 23,-13 ，所以|AP |=423．又因为AD ⊥MN ，即AD ⊥AP ，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为Q 43,13，则|DQ |=12|AP |=223．所以存在定点Q ，使得|DQ |为定值．24.已知△ABC 的顶点A -4,0 ，B 4,0 ，满足：tan A tan B =916．(1)记点C 的轨迹为曲线Γ，求Γ的轨迹方程；(2)过点M 0,2 且斜率为k 的直线l 与Γ相交于P ，Q 两点，是否存在与M 不同的定点N ，使得NP ⋅MQ =NQ ⋅MP 恒成立？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 216+y 29=1x ≠±4 ;(2)N 0,92【解析】(1)设C x ,y ，则tan A tan B =y x +4⋅y 4-x =916，整理得x 216+y 29=1，故Γ的轨迹方程为x 216+y 29=1 x ≠±4 ；(2)设直线l 为y =kx +2，当k =0时，可得点P ，Q 关于y 轴对称，可得MQ =MP ，要使NP ⋅MQ =NQ ⋅MP 恒成立，即NP NQ=MP MQ=1成立，即点N 在y 轴上，可设为N 0,a ,a ≠2.当k ≠0时，联立方程组y =kx +2x 216+y 29=1x ≠±4整理得9+16k 2 x 2+64kx -80=0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2则x 1+x 2=-64k 9+16k 2,x 1x 2=-809+16k 2，要使NP ⋅MQ =NQ ⋅MP 恒成立，即NP NQ =MPMQ成立，由角平分线定理则只需使得y 轴为∠PNQ 的平分线，即只需k NP +k NQ =0，即y 1-ax 1+y 2-ax 2=0⇒x 2y 1-a +x 1y 2-a =x 2kx 1+2-a +x 1kx 2+2-a =0，即2kx 1x 2+2-a x 1+x 2 =2k ⋅-809+16k 2+2-a⋅-64k9+16k 2=0⇒-288+64a k =0解得：a =92，综上可得，存在与M 不同的定点N 0,92，使得NP ⋅MQ =NQ ⋅MP 恒成立25.如图，已知椭圆C :x 2a2+y 2=1(a >1)，其左、右焦点分别为F 1,F 2，过右焦点F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆于第一象限的点P ，且sin ∠PF 1F 2=13.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点S 0,-13且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ,B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)x 22+y 2=1；(2)存在，0,1 .【解析】(1)法一：∵sin ∠PF 1F 2=PF 2 PF 1=13,PF 1 +PF 2 =2a ，∴PF 1 =32a ,PF 2 =a2,∵PF 2 2+F 1F 2 2=PF 1 2,F 1F 2 =2c ,∴a =2c ，∵a 2=c 2+1,∴c =1,a =2,∴椭圆方程为：x 22+y 2=1..法二：设P c ,y 0 ，代入椭圆方程，由a 2=c 2+1，解得PF 2 =y 0=1a ，∵sin ∠PF 1F 2=PF 2 PF 1=13,∴PF 1 =3a,∵PF 1 +PF 2 =2a ,∴a =2，。
椭圆中的定点(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】椭圆定点问题直线过定点问题处理模型：★★①点斜式：00)(y x x k y +-=，过定点),(00y x ②021=+l l λ恒过两直线交点。
例、已知椭圆1222=+y x 的右焦点F （1,0），作两条相互垂直的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为M 、N 。
证明MN 必过定点，并求出此定点坐标。
变式练习：1、已知椭圆12222=+b y a x （0 b a ）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1，且离心率为21。
（1）求椭圆C 的方程（2）若动点P 在直线1-=x 上，过点P 作直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，且P 为线段MN 的中点，再过点P 作直线l MN ⊥。
证明：直线l 横过定点，并求出该定点的坐标。
2、已知椭圆112222=-+a y a x 的焦点在X 轴上。
（1）若椭圆的焦距为1，求椭圆方程（2）设21,F F 分别是椭圆的左右焦点，P 为椭圆上第一象限内的点，直线P F 2交Y 轴于点Q ，并且Q F P F 11⊥，证明：当a 变化时，点P 在某定直线上。
3、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．4、设21,F F 为椭圆)0(14222>=+b b y x 的左右焦点，若点P 是椭圆上的动点，且21PF PF •的最大值为1.（1）求椭圆的方程；（2）设直线1-=ky x 与椭圆交于A 、B 两点，点A 关于x 轴对称点为A ’（A ’与B 不重合），则直线A ’B 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
二、圆过定点问题处理模型：★★①0)(22=++++C By Ax y x λ，恒过直线与圆的交点 ②0)(2222=+++++F Ey Dx y x y x λ，恒过两圆交点 处理运算：02=++c bx ax 对于任意实数均成立，则有0===c b a 例、已知椭圆121822=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，若M 、N 分别是直线5=x 上的两个动点，且满足N F M F 21⊥，证明：以MN 为直径的圆恒过定点，并求处定点坐标。
椭圆中定点问题
OxyPAB椭圆一个性质的应用性质 如图1，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>PA PB k k ⋅为定值22b a-．已知椭圆上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线PA 、PB 与坐标轴不平行，则直线PA 、PB 的斜率之积为定值22b a-证明 设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=+by a x ①1221221=+b y a x ② 由①－②得22122212by y a x x --=-， 所以22212212a b x x y y -=--， 所以222111222111PA PBy y y y y y b k k x x x x x x a-+-⋅=⋅==--+-为定值． 这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题，下举例说明．一、证明直线垂直例1 如图2，已知椭圆22142x y +=，,A B 是其左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，连结AM 交椭圆于点P ．求证：MO PB ⊥．证明 设(2,)M y ，由性质知12PA PBk k ⋅=-，即12MA PB k k ⋅=- ③图1图2直线MA ，MO 的斜率分别为24MA y y k a == ，2MO y y k a ==， 所以12MA MO k k =④ 将④代入③得1MO PB k k ⋅=-，所以MO PB ⊥．例2 如图3，PQ 是椭圆不过中心的弦，A 1、A 2为长轴的两端点，A 1P 与Q A 2相交于M ，P A 2与A 1Q 相交于点N ，则MN ⊥A 1A 2．证明 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．由性质知1222PA PA b k k a ⋅=-，即1222MA NA b k k a ⋅=-，所以222211ab a x y a x y -=-⋅+ ⑤1222QA QA b k k a ⋅=， 即2122MA NA b k k a ⋅=-，所以221122ab a x y a x y -=-⋅+ ⑥比较⑤与⑥得1221()()()()x a x a x a x a +-=+-，所以2112()()a x x a x x -=-， 所以12x x =．所以MN ⊥x 轴，即MN ⊥A 1A 2．二、证明直线定向例3 如图4，已知A (2，1)，B (－2，－1)是椭圆E ：x 26＋y 23＝1上的两点，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N ．CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在．求证：直线MN 的斜率为定值．证明 设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，由性质知12CA CB k k ⋅=-，即12MA NB k k ⋅=-， 12DA DBk k ⋅=-，即12NA MB k k ⋅=-．所以111222N M M N y y x x +-⋅=--+，11(224)2M N M N M N M N y y y y x x x x +--=-+-- ⑦xy AOB CDMN 图4图3111222N M M N y y x x -+⋅=-+-，11(224)2M N M N M N M N y y y y x x x x -+-=--+- ⑧由⑦－⑧得()M N M N y y x x -=--所以1MN k =-，即直线MN 的斜率为定值1-．三、证明点的纵坐标之积为定值例4 如图5，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，过椭圆C 的右焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线P A ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点． 记M ，N 两点的纵坐标分别为y M ，y N ，求证：y M ·y N 为定值．证明 当直线AB 的斜率k 不存在时，易得y M ·y N ＝－9.当直线AB 的斜率k 存在时，由性质知k P A k ＝－34，所以k P A ＝－34k .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (－x 2，－y 2)， 所以直线P A 的方程为y ＋y 2＝－34k (x ＋x 2)，因为右准线l 的方程为4x =， 所以y M ＝－34k(x 2＋4)－y 2，因为,,A F B 三点共线，所以直线AB 的斜率k ＝y 2(x 2－1).所以y M ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)4y 2－y 2.因为直线PB 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2.所以y M y N ＝－3×(x 2＋4)(x 2－1)x 2－4y 22x 2.又因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22， 所以y M y N ＝－3×(x 2＋4)(x 2－1)＋4－x 22x 2＝－9，所以y M y N 为定值－9.图5由以上几个例题，同学们会看到，这个性质解决问题中起到了化繁为简作用，希望同学们领悟其中的道理，并进一步运用这个性质解决更多的问题．巩固练习．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率12e=，A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线P A、PB的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+的值为▲ ．。
专题椭圆中的定点定值问题
专题椭圆中的定点定值问题椭圆中的定点定值问题1．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为F （1，0），且（1-，22）在椭圆C 上。
（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ?=- 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意知c=1．由椭圆定义得22222(11)()2a =--++，即2a = --3分∴2211b =-=，∴椭圆C 方程为2212x y +=．（2）假设在x 轴上存在点Q （m ，0），使得716QA QB ?=- 恒成立。
当直线l 的斜率不存在时，A （1，2），B （1，2-），由于（521,4-）·（521,4--）=716-，所以54m =，下面证明54m =时，716QA QB ?=- 恒成立。
当直线l 的斜率为0时，A （2，0）B （2-，0）则（524-，0）?（524--，0）=716-，符合题意。
当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x=ty+1，A ()11,x y ，B ()22,x y ，由x=ty+1及2212x y +=得22(2)210t y ty ++-=有0?>∴12122221,22t y y y y t t +=-=-++； 111x ty =+，221x ty =+∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -?-=--+=2(1)t +121211()416y y t y y -++= 22222211212217(1)242162(2)1616t t t t t t t t --+-++?+=+=-+++，综上所述：在x 轴上存在点Q （54，0）使得716QA QB ?=- 恒成立。
2．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x 轴和y 轴上的椭圆1T ，2T 都过点(0,2)M -，且椭圆1T 与2T 的离心率均为2．（Ⅰ）求椭圆1T 与椭圆2T 的标准方程；（Ⅱ）过点M 引两条斜率分别为,k k '的直线分别交1T ，2T 于点P ，Q ，当4k k '=时，问直线PQ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．解：（Ⅰ）22221,1422x y y x +=+=；（Ⅱ）直线MP 的方程为2y kx =-，联立椭圆方程得：221422x y y kx ?+==-?，消去y 得22(21)420k x kx +-=，则24221P k x k =+，则点P 的坐标为 22242222:(,)2121k k P k k -++，同理可得点Q 的坐标为：22222222:(,)22k k Q k k ''-''++，又4k k '=，则点Q 为：22242822(,)8181k k k k -++，22228222221812124242PQk k k k k k k k---++==--，则直线PQ 的方程为：2222142()2k ky x k --=--，即222222142()21221k ky x k k k --=--++,化简得122y x k =-+，即当0x =时，2y =，故直线PQ 过定点(0,2)．3．已知，椭圆C 过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C 的方程；（2）E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b 2=3，（舍去）所以椭圆方程为．（2）设直线AE 方程为：，代入得，设E （x E ，y E ），F （x F ，y F ），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，，所以，．又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以﹣K 代K ，可得，yx MOPQ所以直线EF 的斜率，即直线EF 的斜率为定值，其值为．4．已知椭圆E ：+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，点O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过左焦点F任作一直线l，交椭圆E于P、Q两点．（i ）求?的取值范围；（ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ 的垂线FN交直线OM于点N，证明：点N在一条定直线上．解：（Ⅰ）由题意可得b=，e==，又a2﹣b2=c2，解得a=，c=2，即有椭圆方程为+=1；（Ⅱ）（i）F（﹣2，0），当直线的斜率不存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程为x=﹣2，可得P（﹣2，），Q（﹣2，﹣），=4﹣=；当直线的斜率存在，设l：y=k（x+2），设P（x1，y1），Q （x2，y2），代入椭圆方程x2+3y2=6，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6=0，x1+x2=﹣，x1x2=，?=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+2）（x2+2）=（1+k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=（1+k2）?+2k2?（﹣）+4k2==﹣，由k2≥0，3k2+1≥1，可得﹣6≤?＜，综上可得，?的取值范围是[﹣6，]；（ii）证明：由直线l的斜率一定存在，且不为0，可设PQ：y=k （x+2），FN：y=﹣（x+2），设M （x0，y0），则x0=，由x1+x2=﹣，可得x0=，y0=k（x0+2）=，直线OM的斜率为k OM ==﹣，直线OM：y=﹣x，由得，即有k取何值，N的横坐标均为﹣3，则点N在一条定直线x=﹣3上．5．椭圆C ：+=1（a＞b＞0）．（1）若椭圆C过点（﹣3，0）和（2，）．①求椭圆C的方程；②若过椭圆C的下顶点D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C 相交于点P，M，求证：直线PM经过一定点；（2）若椭圆C过点（1，2），求椭圆C的中心到右准线的距离的最小值．解：（1）①∵椭圆C ：+=1（a＞b＞0）过点（﹣3，0）和（2，），∴，解得a=3，b=1，∴椭圆C 的方程．证明：②由题意得PD、MD的斜率存在且不为0，设直线PD的斜率为k，则PD：y=kx﹣1，由，得P （，），用﹣代k，得M （，），∴=，∴直线PM：y﹣=，即y=，∴直线PM经过定点T（0，）．解：（2）椭圆C的中心到右准线的距离d=，由=1，得，∴==，令t=a2﹣5，t＞0，则=t++9≥2+9=4+9，当且仅当t=2，时，等号成立，∴椭圆C的中心到右准线的距离的最小值为．6．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>的右焦点到直线2:al xc=的距45离心率5e=,A B是椭圆上的两动点，动点P满足OP OA OBλ=+，（其中λ为常数）．（1）求椭圆标准方程；（2）当1λ=且直线AB 与OP 斜率均存在时，求AB OP k k +的最小值；（3）若G 是线段AB 的中点，且OA OB OG AB k k k k ?=?，问是否存在常数λ和平面内两定点,M N ，使得动点P 满足18PM PN +=，若存在，求出λ的值和定点,M N ；若不存在，请说明理由．解：（1）由题设可知：右焦点到直线2:a l x=的距离为： 2a c -=，又c =222b a c =-，∴24b =．∴椭圆标准方程为（2）设(A x ∴AB OPk k ?=由(0,AB k ∈（3）ABk120y y =．设(),P x y ，则由OP OA OB λ=+，得)11221212,,,,x y x y x y x x y y λλλ=+=++，即1212,x x x y y y λλ=+=+．因为点A 、B 在椭圆224+9=36x y 上，所以()2221212493636249x y x x y y λλ+=+++．所以222493636x y λ+=+．即222219944x y λλ+=++，所以P 点是椭圆222219944x y λλ+=++上的点，设该椭圆的左、右焦点为,M N ，则由椭圆的定义18PM PN +=得18=∴λ=±()M ，()N -．7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F 2（1，0），点3(1,)2H 在椭圆上．（1）求椭圆方程；（2）点00(,)M x y 在圆222x y b +=上，M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P 、Q两点，问|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．解：（1）右焦点为2(1,0)F ，∴1=c ，左焦点为)0,1(1-F ，点3(1,)2H 在椭圆上1224a HF HF =+=，2=∴a ，322=-=c a b所以椭圆方程为13422=+y x（2）设()),(,,2211y x Q y x P ，()213412121≤=+x y x()()212121212122)4(41)41(311-=-+-=+-=x x x y x PF112212)4(21x x PF -=-=∴，连接OM ，OP ，由相切条件知1212121212122221413)41(33||||x PM x x x y x OM OP PM =∴=--+=-+=-=221212112=+-=+∴x x PM PF ，同理可求221212222=+-=+∴x x QM QF所以22224F P F Q PQ ++=+=为定值．8．分别过椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）左、右焦点F 1、F 2的动直线l 1、l 2相交于P 点，与椭圆E 分别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，且满足k 1+k 2=k 3+k 4，已知当l 1与x 轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在定点M ，N ，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M 、N 点坐标，若不存在，说明理由．解：（1）当l 1与x 轴重合时，k 1+k 2=k 3+k 4=0，即k 3=﹣k 4，∴l 2垂直于x 轴，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，∴椭圆E 的方程为．（2）焦点F 1、F 2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l 1，l 2斜率存在时，设斜率分别为m 1，m 2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，得，∴，，===，同理k 3+k 4=，∵k 1+k 2=k 3+k 4，∴，即（m 1m 2+2）（m 2﹣m 1）=0，由题意知m 1≠m 2，∴m 1m 2+2=0，设P （x ，y ），则，即，x≠±1，由当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，∴点P（x，y）点在椭圆上，∴存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C ：+=1，设R （x0，y0）是椭圆C上的任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0；（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．解：（1）由圆R的方程知，圆R 的半径的半径，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以，即，①又点R在椭圆C 上，所以，②联立①②，解得所以所求圆R 的方程为．（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，所以，化简得=0同理，所以k1，k2是方程（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0的两个不相等的实数根，，因为点R（x0，y0）在椭圆C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0．（3）OP2+OQ2是定值，定值为36，理由如下：法一：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立解得所以，同理，得，由，所以====36（ii）当直线ξ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，综上：OP2+OQ2=36．法二：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为2k1k2+1=0，所以，即，因为P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C 上，所以，即，所以，整理得，所以，所以OP2+OQ2=36．（ii）当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，综上：OP2+OQ2=36．10．已知椭圆C：)0(12222>>=+babyax，左焦点)0,3(-F，且离心率23=（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：mkxy+=（0≠k）与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．解：（1）由题意可知+====222233caacec，解得2=a，1=b所以椭圆的方程为1 422=+yx．（2）由方程组=++=142yxm kx y 得0 448 )41(2 22= -+ + +m kmx x k，)4 4 )(41(4 )8(2 2-+-=mkkm，整理得0 1422>+-mk，设),(11yxM，),(22yxN，则21418kkmxx+=+，22214144kmxx+-=由已知，ANAM⊥，即0=，又椭圆的右顶点为)0,2(A，所以0 )22 ( 2 1 2 1 = + - -y y x x，∵2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ) ( ) )( (m xkm x x k m kx m kx y y+ + + = + + =，∴0 4 ) )( 2 ( ) 1(2 2 1 2 1 2=+ + - + +m xx km xx k，即0 4 4 1 8 )2 (4 1 4 4 )1(2 2 2 2 2= ++-++-+mkkmkmkmk．整理得01216522=++k mk m ，解得k m 2-=或56km -=均满足01422>+-m k ．当k m 2-=时，直线l 的方程为k kx y 2-=，过定点)0,2(，与题意矛盾，舍去；当56k m -=时，直线l 的方程为)56(-=x k y ，过定点)0,56(，故直线l 过定点，且定点的坐标为)0,56(．11．已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a xA 在椭圆C 上，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，是否存在圆心在坐标原点，半径为定值的定圆C ，使得l 与圆C 相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，满足12k k ?为定值，若存在，求出定圆的方程并求出12k k ?的值，若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）由题意，得2c a =，a 2=b 2+c 2，又因为点(1,2A 在椭圆C 上，所以221314a b +=，解得a=2，b=1，c =C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2 +y 2=5．证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2+y 2=r 2（r ＞0）．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m ．由方程组2214y kx m x y =+??+=??得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0，因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ?=-+-=，即m 2=4k 2由方程组222y kx m x y r=+??+=?得（k 2+1）x 2+2kmx+m 2﹣r 2=0，则22222(2)4(1)()0km k m r ?=-+->．设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则12221kmx x k -+=+，221221m r x x k -=+，设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x M k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r kmk km m m r k k k m r m r k --?+?+-++==--+，将m 2=4k 2+1代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+=+-．要使得k 1k 2为定值，则224141r r-=-，即r 2=5，验证符合题意．所以当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值14-．当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x=±2，此时，圆x 2+y 2=5与l 的交点P 1，P 2也满足1214．综上，当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值14 -． 12．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，经过点)22,1(，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为21-的直线分别交椭圆于N M ,两点，试问：直线MN 是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由．解：（1）根据题意12121211222222222=+==??+==+=y x b a cb a b a cb ．当MN 的斜率存在时，设0224)21(22:22222=-+++=++=m kmx x k y x m kx y MN ，+-=+-=+>+-=?22212212221222140)12(8k m x x k km x x m k ，∴21222222112211-=-+?-+=-?-=?x m kx x m kx x y x y k k NA MA ，∴k m m km m m x x km x x k 200202))(22()12(2221212-==?=+?=++-++或（舍）．∴直线MN kx y =过定点(0,0)，当MN 斜率不存在时也符合，即直线MN 恒过定点(0,0)．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a bb +=>>O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线260x +=相切．（1）求椭圆C 标准方程；（2）已知点,A B 为动直线(2)(0)y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使2EA EA AB +?为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．解：（1）由36=e 得36=a c ，即a c 36= ①又以原点O 为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆为222a y x =+且与直线0622=+-y x 相切，所以6)2(2622=-+=a 代入①得c=2，所以2222=-=c a b ．所以椭圆C 的标准方程为12622=+y x（2）由-==+)2(12622x k y y x 得061212)31(2222=-+-+k x k x k设()()1122,,,A x y B x y ，所以2221222131612,3112kk x x k k x x +-=+=+ 根据题意，假设x 轴上存在定点E （m ，0），使得2()EA EA AB EA AB EA EA EB +?=+?=?为定值．则()()()11221212,,()EA EB x m y x m y x m x m y y ?=-?-=--+=()()()()()()22222221221231610123421km k m mm k x x m k x x k +-++-=++++-+ 要使上式为定值，即与k 无关，()631012322-=+-m m m ，得37=m ．此时，22569EA EA AB m +?=-=- ，所以在x 轴上存在定点E （37，0）使得2EA EA AB +? 为定值，且定值为95-．15．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点00(,)A x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，试运用该性质解决以下问题：已知椭圆221:12x C y +=和椭圆222:4x C y λ+=（1,λλ>为常数）．（1）如图（1），点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，求OCD ?面积的最小值；（2）如图（2），过椭圆2C 上任意一点P 作1C 的两条切线PM 和PN ，切点分别为,M N ，当点P 在椭圆2C 上运动时，是否存在定圆恒与直线MN 相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）设22(,)B x y ，则椭圆1C 在点B 处的切线方程为2212xx y y +=令210,D x y y ==，令220,C y x x ==，所以221OCD S x y ?=又点B 在椭圆的第一象限上，所以2222220,0,12x x y y >>+= ∴22222212x y y =+≥=∴221OCD S x y ?=≥=，当且仅当22222x y=221x ?==所以当B 时，三角形OCD．（2）设(,)P m n ，则椭圆1C 在点33(,)M x y 处的切线为：3312xx y y +=又PM 过点(,)P m n ，所以3312x m y n +=，同理点44(,)N x y 也满足4412xm y n +=所以,M N 都在12x m y n +=上，即直线MN 的方程为12xm yn +=，又(,)P m n 在2C 上，224m n λ+=，故原点O 到直线MN的距离为：d ==，所以直线MN 始终与圆221x y λ+=相切．16．已知直线1y x =+被圆2232x y +=截得的弦长恰与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长相等，椭圆C的离心率e =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点1(0,)3M -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由。
椭圆中定点定值问题课件
即有 l : y k(x 1) , 令 x 1 得,y=0,与实数 k 无关,
例5 已知 P(1,3),Q(1, 2) ，设过点 P 的动直线与抛物线 y x2 交于 A, B 两点，
直线 AQ, BQ 与该抛物线的另一交点分别为 C, D ，记直线 AB,CD 的
斜率分别为 k1, k2 .
解：（Ⅰ）由题意:设直线 l : y kx n(n 0) ,
y kx n
由
x
2
3
y2
消
1
y
得:
(1 3k 2 )x2
6knx
3n2
3
0
,
36k 2n2 4(1 3k 2 )× 3(n2 1) 12(3k 2 1 n2 ) 0
设 A (x1, y1) 、B ( x2 , y2 ) ,AB 的中点 E ( x0 , y0 ) ,则由韦达定理得: [来源:学科网]
MB
( x1
7 3
,
y1 )( x2
7 3
,
y2
)
( x1
7 3
)(
x2
7) 3
y1 y2
( x1
7 3 )( x2
7) 3
k
2
(
x1
1)(
x2
1)
(1
k2
) x1 x2
(7 3
k2
)( x1
x2
)
49 9
k
2
(1
k
2
)
3k 2 3k 2
5 1
(
7 3
k
2
)(
6k 2
3k
2
) 1
49 9
k
2
与椭圆有关的定值、定点问题
与椭圆有关的定值问题例题
故答案为
$frac{sqrt{3}}{2}$．
解析
由椭圆的定义可知，任意一点$P$到它的两个焦点$F_1, F_2$的距离之和为$2a$，即$|PF_1| + |PF_2| = 4$。
与椭圆有关的定点问题例题
例题3：已知椭圆C：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1(a > b > 0)$的右焦点为$F$，过点$F$作直线与椭圆 C交于$A, B$两点，过点$A, B$分别作$x$轴的平行线分 别与椭圆C交于点D、E。若$Delta AFB$的面积为 $sqrt{3}$，且$angle AFB = 60^{circ}$，则$Delta ADE$的面积为____．
涉及切线与离心率
切线性质
过椭圆上任一点作椭圆的切线，切线 与长轴和短轴的交点到切点的线段长 度相等。
离心率性质
椭圆的离心率$e$定义为$c/a$，其中 $c$是焦点到中心的距离，$a$是长轴 的长度。离心率具有性质$0 < e < 1$。
其他定点问题
涉及焦点弦的问题
过椭圆的一个焦点作直线与椭圆相交，则交点满足一定的性质，如焦半径性质、 焦弦性质等。
03 与椭圆有关的定点问题
涉及焦点与顶点
01
02
03
焦点性质
椭圆上任一点到两焦点的 距离之和等于长轴的长度， 即$2a$。
顶点性质
椭圆的顶点是长轴和短轴 的交点，即$A(a,0)$和 $B(-a,0)$。
焦点与顶点关系
椭圆的焦点位于长轴上， 且与顶点距离为$c$，其 中$c^2 = a^2 - b^2$。
• 例题1：已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 上存在点P，满足$\vec{OP} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$，其中A、B 为椭圆C上的点，直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，则椭圆C的离心率为( )
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微专题7：椭圆中的定点问题1．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，点)M在椭圆上，椭圆E 上存在点N 与左焦点F 关于直线y x =对称 （1）求椭圆E 的方程； （2）若A ､B 为椭圆的左､右顶点，过点(4,)(0)≠T m m 的直线TA ，TB 与椭圆相交于点P ､Q 两点，求证：直线PQ 过定点，并求出定点坐标.2．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且其右焦点与抛物线22:4C y x=的焦点F 重合，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)N n ，使得QP NP PQ NQ =？若存在，求出n 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）过点0(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为E ，试证明：直线AE 过定点．3．已知椭圆Γ：2214x y +=，斜率为k 的直线l 与椭圆Γ有两个不同的公共点A 、B ，Γ的左、右焦点分别为1F 、2F .（1）若直线l 经过点1F ，求2ABF 的周长； （2）若1k =，求AOB 面积的取值范围；（3）若1k =，()4,0P - ，直线PA 与椭圆Γ的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆Γ的另一个交点为D ，求证：直线CD 过定点，并求出定点的坐标.4．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为2，M 是椭圆上的动点，12MF F △的最大面积为1． （1）求椭圆Γ的方程；（2）求证：过椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>上的一点()00,T x y 的切线方程为：00221x x y y a b⋅⋅+=； （3）设点P 是直线:2l x =上的一个动点，过P 做椭圆Γ的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由．5．已知椭圆C ：22x ＋y 2＝1的右焦点为F ，过点F 的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l ：x ＝2与x 轴相交于点H ，过点A 作AD ⊥l ，垂足为D .（1）求四边形OAHB (O 为坐标原点)的面积的取值范围. （2）证明：直线BD 过定点E ，并求出点E 的坐标.6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,0，离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆C 的上顶点，A 、B 是椭圆C 上两个不同的动点（不在y 轴上），直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，且123k k =，求证：直线AB 过定点0,N ⎛⎝. 7．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>过()2,0A -、()0,1B 两点.（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点.8．已知F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点，焦距为4，且C 过点)P.（1）求C 的方程;（2）过点F 作两条互相垂直的直线12,l l ，若1l 与C 交于,A B 两点，2l 与C 交于,D E 两点，记AB 的中点为,M DE 的中点为N ，试判断直线MN 是否过定点，若过点，请求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.9．如图，已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左焦点为F ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于A ，B 两点，且0FA FB ⋅=时，3k =.（1）求a 的值；（2）设线段AF ，BF 的延长线分别交椭圆C 于D ，E 两点，当k 变化时，直线DE 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.10．已知斜率为的34的直线l 与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>交于点,A B ，线段AB 中点为()11D -,，直线l 在y 轴上的截距为椭圆C 的长轴长的716倍. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点,,,P Q M N 都在椭圆上，且,PQ MN 都经过椭圆C 的右焦点F ，设直线,PQ MN 的斜率分别为12,k k ，121k k +=-，线段的中点分别为,G H ，判断直线GH 是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.11．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2213x y +=的左顶点为A ，点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点．（1）当P 、O 、Q 三点共线时，直线PA 、QA 分别与y 轴交于M ，N 两点，求AM AN⋅的值；（2）设直线AP 、AQ 的斜率分别为1k ，2k ，当121k k =-时，证明：直线PQ 恒过一个定点R ．12．已知：椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F ､2F ，椭圆C 截直线x c =所得线段MN 1F MN △的周长为（1）求C 的方程；（2）若A ，B 为C 上的两个动点，且22AF M BF M ∠=∠.证明：直线AB 过定点，并求定点的坐标.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，直线y x =+222x y b +=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2） 若直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A 、B 两点（A 、B 不是左、右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，证明：直线l 过定点，并求出该定点坐标．14．已知()0,1P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，焦距长为2．PA 、PB 为椭圆的两条动弦，其倾斜角分别为α，β，且π4αβ+=（π04α<<，π04β<<）．（1）求椭圆的标准方程；（2）探究直线AB 是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,0)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）不过点A 的直线l 与椭圆交于,P Q 两点，以线段PQ 为直径的圆经过点A ，证明：直线l 过定点.欢迎关注微信公众号（QQ 群）：高中数学解题研究群416652117参考答案，仅供参考哦1．（1）22142x y +=；（2）定点坐标(1,0).【分析】（1）先写出N 的坐标，得b c =，再联立方程22222211a b a b c b c⎧+=⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎩，解方程即可；（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，设 TA 方程和TB 方程分别为(2)6my x =+、 (2)2m y x =-，将它们分别与椭圆方程22142x y +=联立，得到 PQ 方程，进而求出定点.【解析】（1）y x =对称点(0,)N c ；22222211a b a b c b c⎧+=⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎩解得222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩212y=； （2）由题意可知(2,0)A -，(2,0)B 同时直线,TA TB 斜率存在且不为零，:(2)6ATm l y x =+与椭圆22142x y +=交于A ，设11(,)P x y ，可得222222(1)401899m m m x x +++-=212472218m x m -∴-⋅=+， 21122362121818m mx y m m -∴==++，， :(2)2BTm l y x =-与椭圆22142x y +=交于B ，设22(,)Q x y ，可得2222122402m x m x m ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，2224822m x m -∴⋅=+，2222224422m m x y m m --∴==++，， 当12x x ≠时，直线122112:()y y PQ y y x x x x --=--，22224424()262m m m y x m m m -+=-+-+， 令0y =时，1x =，当12x x =时，222236-224182m m m m -=++，26m =，121x x ==， ∴直线PQ 恒过点()1,0.【点评】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x （或y ）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．2．（1）22143x y +=；（2）存在，10,4n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（3）证明见解析． 【分析】（1）求出抛物线的焦点，即可根据椭圆的右焦点坐标及点M 列方程求解a 、b ，从而求得椭圆方程；（2）设直线PQ 的方程为：(1)y k x =-，0k≠，联立直线方程与椭圆方程可得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理及中点坐标公式用k 表示出线段PQ 的中点3(R x ，3)y ，根据所给等式可证明直线NR 为直线PQ 的垂直平分线，则可得直线NR 的方程，求出点N 的横坐标从而可求得n 的范围；（3）联立直线AB 的方程与椭圆方程可得关于x 的一元二次方程，设3(A x ，3)y ，4(B x ，4)y ，4(E x ，4)y -，根据韦达定理求出34x x +、34x x ，求出直线AE 的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得1x =，则直线AE 过定点(1,0).欢迎关注微信公众号（QQ 群）：高中数学解题研究群416652117【解析】（1）椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点(1,0)F 重合，且经过点3(1,)2M ， ∴222291411a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆的方程为：22143x y +=．（2）设直线PQ 的方程为：(1)y k x =-，0k ≠，代入22143x y +=，得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，∆2222(8)4(34)(412)0k k k =--+->恒成立．设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，线段PQ 的中点为3(R x ，3)y ，则212324234x x k x k+==+，3323(1)34k y k x k =-=-+， 由QP NP PQ NQ =，得：()(2)0PQ NQ NP PQ NR +==，∴直线NR 为直线PQ 的垂直平分线，直线NR 的方程为：222314()3434k k y x k k k+=--++， 令0y =得：N 点的横坐标22213344k n k k ==++，2(0,)k ∈+∞，∴234(4,)k+∈+∞，1(0,)4n ∴∈． 线段OF 上存在点(,0)N n ，使得QP NP PQ NQ =，其中10,4n ⎛⎫∈⎪⎝⎭． （3）证明：设直线AB 的方程为：(4)y k x =-，0k ≠，代入22143x y +=，得：2222(34)3264120k x k x k +-+-=，过点0(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，∴由()()()22223243464120k k k ∆=--+->，得：11(,)22k ∈-，设3(A x ，3)y ，4(B x ，4)y ，4(E x ，4)y -，则23423234k x x k +=+，2342641234k x x k -=+，则直线AE 的方程为343334()y y y y x x x x +-=--， 令0y =得：343334x x x y x y y -=-++ 344334x y x y y y +=+344434(4)(4)(8)x k x x k x k x x -+-=+-34343424()8x x x x x x -+=+-222222641232243434132834k k k k k k --++==-+． ∴直线AE 过定点(1,0)．【点评】圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度较大，考查知识间的联系与综合，着重考查考生运用圆锥曲线的知识进行逻辑推理的能力.1.参数法 圆锥曲线的定点、定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线，所以很常用的方法就是设动点或设动直线，即引入参数解决问题，那么设参数就有两种情况，第一种是设点的坐标，第二种是设直线的斜率.2.由特殊到一般法 如果要解决的问题是一个定值（定点）问题，而欢迎关注微信公众号（QQ 群）：高中数学解题研究群416652117题设条件又没有给出这个定值（定点），那么我们可以这样思考：由于这个定值（定点）对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定值（定点），明确了解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明.3．（1）8；（2）2⎛ ⎝⎦；（3）证明见解析，53(,)22-.【分析】（1）根据椭圆的定义计算；（2）设直线l 方程为y x m =+，由直线与椭圆相交于两点，及直线不过原点求出205m <<，应用韦达定理求得弦长AB ，并求得原点到直线l 的距离得三角形面积，利用2m 的范围结合二次函数性质得面积取值范围；（3）在（2）基础上，写出直线PA 方程，与椭圆方程联立求得C 点坐标，同理得D 点坐标后再求出直线CD 方程，利用1122,y x m y x m ==++，由此方程关于m 是恒等式可得定点坐标． 【解析】（1）由题意2a =，1b =．∴c =1224AF AF a +==，1224BF BF a +==，∴2ABF 的周长为222211448AF BF AB AF BF AF BF ++=+++=+=； （2）设直线AB 方程为y x m =+，由2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2252104x mx m ++-=，∴2245(1)0m m ∆=-->，m <<， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1285m x x +=-，2124(1)5m x x -=，AB ==，又原点O 到直线AB的距离为d =，∴11225AOB S AB d ===△5=直线不过原点，∴205m <<，∴22525250()244m <--+≤，∴02OAB S <≤△． （3）由（2）直线PA 方程为11(4)4y y x x =++， 由1122(4)414y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩得222121(4)14(4)y x x x ++=+，又221144y x =-，代入整理得： 221111(25)2(4)(58)0x x x x x x ++--+=，1,C x x 是此方程的两根，∴115825C x x x +=-+，∴11113(4)425C C y y y x x x =+=++，即1111583(,)2525x yC x x +-++，同理可得2222583(,)2525x y D x x +-++，∴1212121212121212333()3()252525255858585825252525CDy y x m x m x x x x k x x x x x x x x ++--++++==++++-+-+++++253m -=， ∴直线CD 方程为111158325()32525x y m y x x x +-=++++，注意11y x m =+，令52x =-， 111111111111583333(225)2553(25)3()322525252(25)252(25)2x y y y y x m m y x x x x x x +----=-++=-=-=++++++∴直线CD 过定点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点评】 本题考查直线与相交问题，考查椭圆中三角形面积问题，直线过定点问题，对学生的运算求解能力要求较高，属于困难题．解题时采用“设而不求”的思想方法，设直线方程为y x m =+，设交点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由判别式得参数m 的范围，由韦达定理求得弦长AB ，求出原点到直线l 的距离后可得三角形面积，利用函数的性质结合参数范围可得面积的范围．而直线过定点问题，就是由参数求出交点,C D 坐标，写出直线CD 方程，由方程分析得出直线所过定点坐标．4．（1）2212x y +=；（2）证明见解析；（3）直线AB 过定点(1,0).【分析】（1）当M 是椭圆的短轴端点时，12MF F △的面积最大，得到1bc =，再结合离心率及222a b c =+，可求得椭圆方程；（2）联立2222002211x y a b x x y y a b ⎧+=⎪⎪⎨⋅⋅⎪+=⎪⎩，得222222224420000()20a y b x x a b x x b a a y +-+-=(*) ，又点()00,T x y 在椭圆上得22222200b x a y a b +=，即可将方程变形为2220()0a b x x -=，即直线和椭圆仅有一个公共点，可证得l 为椭圆的公切线.（3）设(2,)P t ，切点11(,)A x y ，22(,)B x y ，由切线方程可知1121x x y y ⋅+⋅=，2221x x y y ⋅+⋅=，又P 在切线上，∴111x ty +=，221x ty +=，可知直线AB 的方程为：1x ty +=，可得直线AB 过定点(1,0) 【解析】（1）M 是椭圆上的动点 My b ∴≤，∴121211||222MF F M SF F y c b bc =⋅≤⋅⋅=，即M y b =时，()12max1MF F S bc ==c e a ==，即222a c =，又222a b c =+，1b c ∴==，a ∴= ∴椭圆Γ的方程为2212x y +=（2）证明：联立2222002211x y a b x x y y a b ⎧+=⎪⎪⎨⋅⋅⎪+=⎪⎩，得222222224420000()20a yb x x a b x x b a a y +-+-=(*)点()00,T x y 在椭圆上，∴222222220000221(0)x y a b b x a y a b a b +=>>⇒+=∴222222220020a b x a b xx a b x -+=，即222200(2)0a b x xx x -+=∴2220()0a b x x -=， 得0x x =，故直线和椭圆仅有一个公共点， ∴l 为椭圆的公切线（3）设(2,)P t ，切点11(,)A x y ，22(,)B x y ，由（2）的结论可知， 切线,PA PB 的方程分别为1121x x y y ⋅+⋅=，2221x x y y ⋅+⋅=P 在切线上，∴111x ty +=，221x ty += ∴1122(,),(,)x y x y 都满足1x ty +=，即直线AB 的方程为：1x ty +=∴直线AB 过定点(1,0).【点评】 本题考查椭圆的简单性质，椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中定点问题的两种解法：（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．5．（1）(；（2）证明见解析，定点E 3(,0)2． 【分析】（1）直线AB 的方程代入椭圆C ，结合韦达定理得两根关系，求出四边形OAHB 面积表达式，根据基本不等式求得取值范围； （2）由,B D 点坐标写出直线BD 的方程的表达式，令y ＝0，求出x 的表达式，结合（1）中两根关系进行化简计算得到定值即可． 【解析】（1）由题设知F (1，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m ∈R )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由221,1,2x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 并整理，得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0. (2244m m ∆=+22m1y 2＝－212m +，所以|y 1－y 2|所以四边形2|＝12×＝t ，则1t ≥，所以S ＝21t +＝1t t+，因为t ＋1t ≥2(当且仅当t ＝1，即m ＝0时取等号)，所以0＜S ， 故四边形OAHB 的面积的取值范围为(；（2）由B (x 2，y 2)，D (2，y 1)，可知直线BD 的斜率k ＝1222y y x --，所以直线BD 的方程为y －y 1＝1222y y x -- (x －2)令y ＝0，得x ＝212122x y y y y --＝1212122my y y y y y +-- ① 由（1）知，y 1＋y 2＝－222mm +，y 1y 2＝－212m +，所以y 1＋y 2＝2my 1y 2 ②将②代入①，化简得x ＝1212121()22y y y y y y ++--＝12123()2y y y y --＝32，所以直线BD 过定点E 3(,0)2． 【点评】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．6．（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）求得点(M ，设直线MA的方程为1y k x =MA 的方程与椭圆C 的方程联立，求出点A 的坐标，同理可得点B 的坐标，结合123k k =计算得出AN BN k k =，由此可证得结论成立.【解析】（1）根据题意得：222212a c a b a c=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）因为点M 为椭圆上顶点，所以点M的坐标为(M ， 设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线:MA 1y k x =221143x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2211340k x x ++=，解得11x =，则1111y k x =+=2112211,4343A k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，11111133ANy k k x k +===--，设直线:MB 2y k x =，同理可得2213BN k k k =--，又因为123k k =，所以213k k =1113k k =--， 所以AN BN k k =，所以直线【点评】 求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.7．（1（2）证明见解析. 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入椭圆M 的方程，求出a 、b 的值，可得出c 的值，进而可求得椭圆M 的离心率；（2）设直线PC 的方程为()2y k x =-，求出点P 、Q 的坐标，求出直线BP 的方程，求出点S 的坐标，进一步可求得直线SQ 的方程，由此可得出直线SQ 所过定点的坐标.【解析】（1）将点A 的坐标代入椭圆M 的方程可得241a =，0a >，2a ∴=，同理1b =，c ∴==因此，椭圆M的离心率为c e a == （2）如下图所示：直线AB 的方程为12x y +=-，即112y x =+，易知直线PC 的斜率存在，设直线PC 的方程为()2y k x =-，联立()22214y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()222241161640k x k x k +-+-=，由韦达定理可得22164241P k x k -=+，228241P k x k -∴=+，则()24241P P k y k x k =-=-+，所以，点P 的坐标为222824,4141k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 联立()2112y k x y x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，解得4221421k x k k y k +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，即点424,2121k k Q k k +⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 所以，直线BP 的斜率为222412141824241PB kk k k k k k +++==----+， 所以，直线BP 的方程为21142k y x k +=-+-， 在直线BP 的方程中，令0y =，可得421k x -=，即点42,021k S k -⎛⎫⎪+⎝⎭，所以，直线SQ 的斜率为214k k +， 所以，直线SQ 的方程为y ⎝⎭，即212142k k y x +-=-， 整理可得()22420k x x y -+-+=，由20420x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，因此，直线SQ 过定点()2,1. 【点评】 求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.8．（1）22162x y +=；（2）过定点，3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由题知24c =，22311a b+=，再结合222a b c =+，即可求出22,a b ，进而求出椭圆方程；（2）分类讨论直线12,l l 的斜率存在与否，当其中一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在，可知直线MN 为x 轴；当两条直线斜率均存在，设出直线方程，与椭圆联立，分别求出点M ，N 坐标，从而求出直线MN 方程，整理直线方程，可得直线过定点.【解析】（1）由题意可得2222224311c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得：26a =或2(舍），22b =故椭圆C 的方程为22162x y +=.（2）由题意知，当12,l l 其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为0，此时直线MN 为x 轴；当12,l l 的斜率都存在且不为0时，设1():20l x my m =-≠，设()1122(),,,A x y B x y ，联立222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()223420m y my +--=()2216830m m ∆=++>，12122242,33m y y y y m m -+==++ 则()121221243x x m y y m -+=+-=+ 所以AB 的中点2262,33m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭同理由2212162x y mx y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得DE 的中点22262,3131m m N m m ⎛⎫ ⎪⎝-++⎭- 则()2222222243316631331MNm mmm m k m m m m +++==--+++所以直线MN 的方程为()2222463331m m y x m m m ⎛⎫-=+ ⎪++-⎝⎭化简得()()2224243123131m m m y x x m m m ⎛⎫=+=+ ⎪---⎝⎭ 故直线MN 恒过定点3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上，直线MN 过定点3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【点评】 本题考查圆锥曲线中定点问题，常用两种解法： (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．9．（1（2）过定点，定点为⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）联立直线()0y kx k =>与椭圆()22211x y a a+=>，求出A 的坐标，再利用0FA FB ⋅=时，k =a 的值； （2）由（1）知，()F ，椭圆C ：2213x y +=，设出直线AD 的方程与椭圆方程联立解得D 的坐标，同理得E 的坐标，再求出直线DE 的方程，令0y =，可得x 为定值，从而可知直线DE 过定点.【解析】（1）设()00,A x y ，则()00,B x y --，由题意得焦点为()F所以，()()2220000001FA FB x y x y x y a ⋅=⋅--=--+-. 当0FA FB ⋅=时，有222001x y a +=-.联立222,1,y kx x y a =⎧⎪⎨+=⎪⎩得220221a x k a =+，2220221k a y k a =+，从而22222222111a k a a k a k a +=-++.将k =222413a a a =-+，即42230a a --=，所以23a =或21a =-（舍），故a =（2）由（1）知，()F ，椭圆C ：2213x y +=.设AD：00x x y y =C ：2233x y +=， 消去x并整理得(2002200310x x y y y y ⎡⎤+⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以222200000(32)0y x y x y y y +++--=， 而220033x y +=，所以()22000050y x y y y +--=，由韦达定理得20D y y =，所以D y =. 同理BE：00x x y y -=-00x x y =E y =所以0020258E D y y y x +==-，2010258E D y y y x -==-所以002002258105258E D E D y x y y y y y x -+==--，于是0000000000055E D DE E D E D E D E D y y y k kx x x y y y y y y -=====⋅=--.所以直线DE ：()05D D y y y x x x -=-. 令0y =，得00000055D D D D x x xx x y y y y y y =-=-0045D x y y +=将D y =代入得x =所以DE经过定点⎛ ⎝【点评】 将A 的坐标当已知，求出,D E 的坐标和直线DE 的方程，再令0y =得到x 为定值是本题解题关键.10．（1）22143x y +=；（2）过定点，31,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用点差法可得2234b a =，再由直线l 的方程为()3114y x -=+，求出y 轴上的截距，结合题意即可求解.（2）设直线,PQ MN 的方程分别为()12()1,1y k x y k x =-=-，分别将直线与椭圆方程联立，分别求出2211221143,3434k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，2222222243,3434k k H k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，求出直线GH 方程221111221134334434k k y k k x k k ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简整理即可求解.【解析】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查数学运算及逻辑推理的核心素养. （1）设()()1122,,,A x y B x y ， 则12122,2x x y y +=-+=，且2222112222221,1x x x x a b a b+=+= 两式相减得2222121222x x y y a b--=-即2121221212y y y y b x x x x a+-⋅=-+-，即222324b a -⋅=-， 所以2234b a =又直线l 的方程为()3114y x -=+， 令0x =，得74y =所以772,2,164a ab ⨯===， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由题意得()1,0F ，直线,PQ MN 的方程分别为()12()1,1y k x y k x =-=-，设()()3344,,,P x y Q x y ，联立122(1)143y k x xy =-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()22121213484120k k k x x +-+-=，所以212341834x k k x +=+，则2211221143,3434k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 同理2222222243,3434k k H k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以12221212221212221233334344443434GHk k k k k k k k k k k k k ----++==+-++ 由121k k +=- 得()11314GH k k k =++，所以直线GH 的方程为221111221134334434k k y k k x k k ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭整理得()211314y k k x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭所以直线GH 过定点31,4⎛⎫⎪⎝⎭.【点评】 解题的关键是设出直线方程，求出点G 、H 以及直线GH 的方程为221111221134334434k k y k k x k k ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，考查了运算求解能力，综合性比较强.11．（1）2；（2）证明见解析.【分析】（1）设点,P Q 的坐标，运用向量的坐标形式的数量积公式，并借助点在椭圆上化简即可；（2）先探求,P Q 的坐标,再从21k =这一特殊情形入手求出定点坐标,最后再验证一般情况,很容易求出定点的坐标.【解析】解：（1）由题意，得()A ，设()00,P x y ，则根据P 、O 、Q 三点共线可知()00,Q x y --， 故直线AP方程为y x =+，M ⎛⎫ ⎝，3,AM ⎛⎫=， 直线AQ 方程为y x=+，N ⎛ ⎝，3,AN ⎛= ， 220333y AM AN x ⋅=+-，又点P 在C 上，即220013x y +=，由此得20203323y AM AN x ⋅=+=-．（2）由题意知直线AP 、AQ 的斜率存在，设直线AP的方程为(1y k x =+，直线AQ 的方程为(2y k x =，()11,P x y ，()22,Q x y ，由(12213y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 得()222211113930k x x k +++-=，因为x =1x x =是此方程的两个根，所以2112113x k -=+，2112113x k =+，112113y k =+，所以2112211,1313P kk ⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭，同理得2222222,1313Q k k ⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭ 因为121k k =-，所以11Q ⎝⎭，当211k=1=， 此时P 与Q 的横坐标相同，所以直线PQ 的方程为x =．所以R 的横坐标为．当211k ≠时，()121431PQ k k k =-，PQ 的方程为()21112221114131331k y x k k k ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪++-⎝⎭，令2x =-，得()2111222111402131331k y k k k ⎛⎫=--+= ⎪ ⎪++-⎝⎭． 所以直线PQ恒过定点R 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【点评】求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．12．（1）2212x y +=；（2）证明见解析，定点(2,0).【分析】（1）根据C 截直线x c =所得线段MN22b MN a==，再结合1F MN △的周长为4a =，求解即可.（2）由题意可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，根据AFM BFM ∠=∠，且FM 垂直x 轴，可得0FA FB k k +=，结合韦达定理可求m 与k 的关系，再代入直线方程求解.【解析】解：（1）把x c =代入22221x y a b+=得2by a =±，则22||b MN a ==.即22b a =. 又1F MN △的周长为由椭圆概念得4a a == 从而1b =故C 的方程为2212x y +=.（2）证明：由题意可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222124220k x kmx m +++-=.设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()()2221641222k m k m ∆=-+-2216880k m =-+>，且122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+.设直线2F A ，2F B 的倾斜角分别为α，β，∵22AF M BF M ∠=∠，且2F M 垂直x 轴，tan tan 0αβ∴+=，即220F A F B k k +=， 1212011y yx x ∴+=--，∴则()()1221110y x y x -+-=， 即()()()()1221110kx m x kx m x +-++-=，()12122()20kx x k m x x m ∴--+-=，2222242()201212m km k k m m k k-∴⋅+-⋅-=++，化简可得2m k =-， 则直线AB 的方程为2(2)y kx k k x =-=-，故直线AB 过定点(2,0). 【点评】 由22AF M BF M ∠=∠，且2F M 垂直x 轴，得到220F A F B k k +=，是解答本题的关键.13．（1）221.43x y +=；（2）证明见解析，定点坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）求出b 的值，由已知条件求出a 、c 的值，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，设椭圆C 的右顶点为()2,0M ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由已知条件可得0MA MB ⋅=，可得出k 与m 所满足的关系式，由此可求得直线l 所过定点的坐标. 【解析】（1）由于直线y x =+222x y b +=相切，则b ==由已知条件可得221230c a a c a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪>⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，因此，椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，设椭圆C 的右顶点为()2,0M ， 由题意可知，直线l 不过椭圆的左、右顶点，则2m k ≠±，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()2224384120k x kmx m +++-=，()()()2222226444341248430k m k m k m ∆=-+-=+->，由韦达定理可得122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，由于以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，则0MA MB ⋅=，()112,MA x y =-，()222,MB x y =-，所以，()()()()()()121212122222x x y y x x kx m kx m MA MB --++⋅=-=-++()()()()()()22222121224121821244043m k km km k x x km x x m m k -+--=++-+++=++=+，整理可得2271640m km k ++=，解得27m k =-或2m k =-（舍去）.所以，直线l 的方程为27y kx k =-，所以，直线l 恒过定点2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点评】 利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.14．（1）2212x y +=；（2）过定点，()4,3--．【分析】（1）由题意得b 、c 可得椭圆标准方程； （2）①当直线AB 斜率不存在时，设为0x x =由()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-可得结论；②当直线AB 斜率存在时，设方程为y kx m =+，点A 坐标为()11,x y ，点B 坐标为()22,x y ，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示()πtan tan tantan 41tan tan αβαβαβ+=+=-化简得43m k =-，代入直线AB 方程可得答案.【解析】（1）由题意知，1b =，1c =，且222a b c =+，所以a =所以，椭圆标准方程为2212x y +=．（2）①当直线AB 斜率不存在时，设为()0020x x x =-<<，设点A 坐标为()00,x y ，点B 坐标为()00,x y -，由于001tan A P A P y y y x x x α--==-，001tan B P B P y y y x x x β---==-，2200121x y +=，∴()00000220000000112tan tan 4tan 1111tan tan 11y y x x x y y x y x x x αβαβαβ---+++===-=-≠----+--⋅， ∴()πtan tan 4αβ+≠，∴直线AB 斜率不存在时，不符合题意．②当直线AB 斜率存在时，设方程为y kx m =+，点A 坐标为()11,x y ，点B 坐标为()22,x y ，联立2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214220k x kmx m +++-=， ()228210k m ∆=-+>，1x ，∵111tan A P A P y y y x x x α--===-222211y kx m x x -+-=， ()πtan tan tantan 141tan tan αβαβαβ+=+==-， ∴tan tan 1tan tan αβαβ+=-，∴1212121211111kx m kx m kx m kx m x x x x +-+-+-+-+=-⋅， ∴()()()()()221212211110k k x x k m x x m +-++-++-=，∴()()()()()222222142111102121m km k k k m m k k --+-++-+-=++． 显然，直线y kx m =+，不经过点()0,1，即1m ≠，10m -≠， 故有，()()()()222214*********m kmk k k m k k +-+-+++-=++，化简得43m k =-，∴直线AB 为43y kx k =+-，∴()()430k x y +-+=，显然当43x y =-⎧⎨=-⎩时，上式成立，直线AB 过定点()4,3--， 综上，直线AB 过定点()4,3--．【点评】本题考查了椭圆方程、椭圆中直线过定点的问题，第二问的关键点是利用韦达定理表示tan tan 1tan tan αβαβ+=-，考查了学生分析问题、解决问题及计算问题的能力.15．（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）由题意可得2c a a ==，再由222b a c =-即可求解. （Ⅱ）分类讨论，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线与椭圆方程联立，消y ，利用韦达定理求出两根之和、两根之积，根据题意可知AP AQ ⊥，即 0AP AQ ⋅=，从而求得65m k =- 或 2m k =-（都满足0∆>），即求；当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为00(22)x x x =-<<，0AP AQ ⋅=，求出0x 即可求解.【解析】（Ⅰ(2,0)A ，可知2c e a a ===所以 c =所以 222431b a c =-=-=.所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，欢迎关注微信公众号（QQ 群）：高中数学解题研究群416652117由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得 222(14)8440k x kmx m +++-=. 222=(8)4(14)(44)0km k m ∆-+->.设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则2121222844+=,=1414km m x x x x k k --++. 因为以线段PQ 为直径的圆经过点A ，所以AP AQ ⊥ . 所以 0AP AQ ⋅=.1122(2,)(2,)AP x y AQ x y =-⋅=-1212(2)(2)AP AQ x x y y ⋅=--+1212(2)(2)()()x x kx m kx m =--+++212122()4x x x x k x =-+++2121(1)(2)(k x x km x =++-22244(1)(14m k km k -=++-+由 0AP AQ ⋅=，整理得 22516120m km k ++=.解得 65m k =- 或 2m k =-（都满足0∆>）.所以 6()5y k x =- 或 (2)y k x =-. 因为直线l 不过点(2,0)A ，所以直线l 过定点6(0)5， 当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为00(22)x x x =-<<，则0000(,),(,)P x y Q x y -，220014x y =-. 2000(2)(2)AP AQ x x y ⋅=---2200044(1)4x x x =-+-- 20054304x x =-+= 解得 065x =或02x =（舍）.综上 直线l 过定点6(0)5，. 【点评】 本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用韦达定理以及向量的数量积求出直线y kx m =+中m 与k 的关系，考查了运算求解能力.。