2018微专题十-求椭圆方程的几种常用方法-(共14张PPT)
椭圆的标准方程ppt课件.ppt
得方程 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
（问题：下面怎样化简？）
移项，再平方 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
a2 cx a (x c)2 y2 两边再平方，得 a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
M
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 0
F2 x
由椭圆的定义得，限制条件：| MF1 | | MF2 | 2a
代入坐标 | MF1 | (x c)2 y2 ,| MF2 | (x c)2 y2
♦ 求动点轨迹方程的一般步骤： 坐标法
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y） 表示曲线上任意一点M的坐标; （2）写出适合条件 P（M） ; （3）用坐标表示条件P（M），列出方程 ; （4）化方程为最简形式; （5）证明以化简后的方程为所求方程(可以省略 不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)
《圆锥曲线》
会昌中学
陈兴盛
一、教学目标：1、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程， 能正确推导椭圆的标准方程．2、能力目标：培养学生的动手 能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培 养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能 力．3、情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审 美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．
二、教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．教学难点：椭 圆标准方程的推导． 三、教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨 论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使 学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力． 四、教学过程：
椭圆的标准方程ppt课件
04:07
所以 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2
两边平方得: (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
F1 O
x2 y2 1(a b 0)
F2 x
a2 b2
根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，
c=1.2。所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此
椭圆的标准方程为
x2
y2
1
04:07
2.25 0.81
例4、将圆x2+y2=4上的点的横坐标 保持不变，纵坐标变为原来的一 半，求所得曲线的方程，并说明 它是什么曲线.
Y M 求椭圆的方程
F1
O
F2 X YM
F1
O
F2 X
如图所示： F1、F2为两定点，且 F1F2 =2c， 求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a （2a>2c)的动点M的轨迹方程。
04:07
Y M (x,y)
F1
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点 为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、 F设2的M坐（标x,y分)为别所为求(-c轨,0迹)、上(c的,0任)。意一点，
a2 16,b2 8
c2 a2 b2 16 8 8
c 2 2 2c 4 2
焦点为：F1(1, 0), F2 (1, 0)
焦距为： 2
焦点为：F1(0, 2 2), F2(0, 2 2) 焦距为： 4 2
椭圆方程ppt
x2 a2
y2 b2
1(a b 0).
移项，再平方
x2 ( y c)2 4a2 4a x2 ( y c)2 x2 ( y c)2
a2 cy a x2 ( y c)2
两边再平方，得
a4 2a2cy c2 y2 a2x2 a2 y2 2a2cy a2c2
整理得 (a2 c2 ) y2 a2x2 a2 (a2 c2 )
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椭圆方程的几种常见求法
椭圆方程的几种常见求法河南 陈长松对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32，∴1621=+MC MC ，∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C2为焦点的椭圆， 且82,162==c a ，481664222=-=-=c a b ， 故所求轨迹方程为：1486422=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式： 22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ．∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ． 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出的值b a ,：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３ 设动直线垂l 直于x 轴，且交椭圆于12422=+y x Ａ、Ｂ两点，Ｐ是上线段l AB 外一点，且满足1=∙PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线垂直l 于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式即可求解1=∙PB PA ．解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ，由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号， ∴PB PA ∙=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y∵)41(2)41(2222x x y y y A A B A --=--=-= 1)41(222=--x y ，即)22(13622<<-=+x y x 为所求． 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４ ABC ∆的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC 边所在直线为轴x ，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（x ，y ），由3032⨯=+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去轴上的x 两顶点，方程为)0(13610022≠=+y y x ． （２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（),00y x ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(13610002020≠=+y y x ∵ Ｇ为的重心ABC ∆ ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3300y y x x 代入得：)0(132490022≠=+y y x 其轨迹是中心为原点，焦点在轴上x 的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
椭圆方程的几种常见求法
椭圆方程的几种常见求法对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C1：，C2：，动圆在圆C1内部且和圆C1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（，），半径为，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C1，∴，圆Ｍ外切于圆C2 ，∴，∴，∴动圆圆心Ｍ的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且，，故所求轨迹方程为：．评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：＝１（，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为＝１（．∵椭圆经过两点，∴解得，故所求的椭圆标准方程为．评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３设动直线垂直于轴，且交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是上线段AB外一点，且满足，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线垂直于轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式即可求解．解：设Ｐ（，），Ａ（，），Ｂ（，），由题意：＝＝，＋＝０∴,，∵Ｐ在椭圆外，∴－与－同号，∴=（－）（－）＝∵，即为所求．评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC边所在直线为轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（，），由，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去轴上的两顶点，方程为．（２）设Ａ（，），Ｇ（，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是∵Ｇ为的重心∴代入得：其轨迹是中心为原点，焦点在轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。
椭圆方程的几种常见求法 (2)
椭圆方程的几种常见求法对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法： 一、定义法例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ，∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2 且82,162==c a ，481664222=-=-=c a b ，故所求轨迹方程为：1486422=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ． 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出b a ,的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３ 设动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆12422=+y x 于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段 AB 外一点，且满足1=•PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式1=•PB PA 即可求解．解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ，由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号，∴PB PA •=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y ∵)41(2)41(2222x x y y y A AB A --=--=-=1)41(222=--x y ，即)22(13622<<-=+x y x 为所求． 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换． 四、相关点法例４ ABC ∆的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系， 设Ｇ（x ，y ），由3032⨯=+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点， 长轴长为20的椭圆且除去x 轴上的两顶点，方程为)0(13610022≠=+y y x ． （２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（),00y x ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(13610002020≠=+y yx∵ Ｇ为ABC ∆的重心 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3300yy x x 代入得：)0(132490022≠=+y y x其轨迹是中心为原点，焦点在x轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。
椭圆及其标准方程通用课件
椭圆的特点
椭圆有两个焦点，位于其中心的 两侧。
椭圆上的任意一点到两个焦点的 距离之和是常数。
椭圆的离心率是描述椭圆扁平程 度的重要参数，离心率越小，椭
圆越扁平。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程是以焦点作为极点，以参数t表示极角，用三角函数形式表示的 椭圆方程。
椭圆的参数方程为：`x=a*cos(t)，y=b*sin(t)`，其中a和b分别是椭圆的长半轴 和短半轴，t是从焦点到椭圆上的点的极角。
长半轴，$b$是短半轴。
03
$a,b,c$的关系
$c^{2} = a^{2} - b^{2}$，其中$c$是焦点到中心的距离。
极坐标系下的标准方程
极坐标系下的标准方程
$\rho = \frac{2a\sqrt{1 - \cos^{2}\theta}}{1 + \cos^{2}\theta}$，其中 $\rho$是极径，$\theta$是极角。
PART 06
复习与总结
重点知识回顾
1 2 3
椭圆的定义 椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等 于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。
椭圆的几何性质 椭圆的离心率定义，椭圆的焦点性质，椭圆的对 称性。
椭圆的参数方程 椭圆的一种参数表示方法，适用于解决一些特定 的问题。
难点解析及解决方法
ONE
KEEP VIEW
椭圆及其标准方程通 用课件
目 录
• 椭圆的基本概念 • 椭圆的标准方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的画法
PART 01
椭圆的基本概念
椭圆的定义
椭圆是一种二次曲线，它描述的是平 面上与两个固定点（焦点）的距离之 和等于常数（大于或等于两倍的焦点 距离）的所有点的集合。
椭圆方程及几何性质PPT课件
标准方 程及 图形
xa22＋by22＝1 (a>b>0)
xb22＋ay22＝1
(a>b>0)
顶点
ABB112(((－00，，a,b－0))b，)，A2(a,0)，AAB121(((－00， ，b－a,0))，a，)，B2(b,0)
轴
对称轴： x轴、y轴，长轴长： |A1A2|＝2a ， 短轴长： |B1B2|＝2b
4（2010全国卷）已知F是椭圆C的一个焦
点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长
线交C于点D， 且BF=2FD，则C的离心率
为
.
5（2010湖北）:已知椭圆 c
:
x2 2
y2
1
的两焦点分别为 F 1 , F 2 , 点 P(x0 , y0 ) 满足
0___x_202___y，02 直 1,线则|xP0Fx1
(2)离心率：e＝
c a
(0<e<1)．
(3)焦点到相应准线的距离：p＝
b2 c
.
(4)焦点在 x 轴上的椭圆焦点弦长 d
＝ a2－2ca2bc2os2θ(其中 θ 为倾斜角)
．
3．椭圆的几何性质
{M||MF1|＋|MF2|＝2a，(2a>|F1F2|)}
条件
{M|＝ |MdF1 1|＝|MdF2 2| ＝e(0<e<1)}
2
|+|
PF
y0
2 |的取值范围为 y 1与椭圆C的公
共点个数_____。
考点一
椭圆的定义及应用
利用椭圆的定义可以将椭圆上的点到 两个焦点的距离进行转化，一般地，解决 与到焦点的距离有关的问题时，首先应考 虑用定义来解题．
椭圆及其标准方程ppt课件
令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③
椭圆方程的求法
二、待定系数法
例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，
且经过两点 P1 ( 6,1), P2 ( 3, 2) ，求该椭圆的方
程．
x2 y2 1 93
分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定.
我们可以设椭圆方程的一般形式：
mx 2 ny 2 ＝１（ m 0, n 0) ，进行求解，避免讨
0)
A : x2 y2 1( y 0) 900 324
评注：本题的两问是分别利用定义法和相 关点法求解的，要注意各自的特点，另要 注意轨迹与轨迹方 x 2) 63
评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点
之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．
四、相关点法
例４ ABC的底边 BC＝16，AC 和 AB 两边
上的中线长之和为 30，求此三角形重心Ｇ和定动点点ＡA
的轨迹方程．
G : x02 100
y02 36
1( y0
一、定义法
例 1 已知两圆 C1： (x 4)2 y 2 169 ，
C2： (x 4)2 y 2 9 ，动圆在圆 C1 内部且和圆 C1
相内切，和圆 C2 相外切，求动圆圆心的轨迹方程． x2 y2
评注：利用圆锥曲线的定义解题，64 48 1 是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据 平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件， 可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的 定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利 用椭圆的定义是解题的关键．
论。
评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆
标准方程，用待定系数法求出 a, b 的值：若焦点位置
不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．
三、直接法
例３ 设动直线 l 垂直于 x 轴，且交椭圆 x 2 y 2 1于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是 l 上线段 42
椭圆方程的几种常见求法
椭圆方程的几种常见求法河南 陈长松对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32，∴1621=+MC MC ，∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且82,162==c a ，481664222=-=-=c a b ， 故所求轨迹方程为：1486422=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ， ∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ． 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出b a ,的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３ 设动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆12422=+y x 于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段 AB 外一点，且满足1=∙PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式1=∙PB PA 即可求解．解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ，由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号， ∴PB PA ∙=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y∵)41(2)41(2222x x y y y A A B A --=--=-= 1)41(222=--x y ，即)22(13622<<-=+x y x 为所求． 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４ ABC ∆的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（x ，y ），由3032⨯=+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点， 长轴长为20的椭圆且除去x 轴上的两顶点，方程为)0(13610022≠=+y y x ． （２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（),00y x ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(13610002020≠=+y y x ∵ Ｇ为ABC ∆的重心 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3300y y x x 代入得：)0(132490022≠=+y y x 其轨迹是中心为原点，焦点在x 轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
椭圆及其标准方程ppt课件
小结：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴；
②定量：求a, b的值.
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1
2
一.课题引入：
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？
1 什么是椭圆呢？
2 椭圆有哪些性质呢？
3
1.两点间的距离公式,若设A(x1,y1) B(x2,y2) 则:|AB|=?
| AB |= (x2 - )x1 2 +(y2 - )y1 2
2．圆的定义是什么？我们是怎么画圆的？
x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。 14
定义
图形
方程 焦点 a,b,c之间的关系
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
ox
F1
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a
>b
>
0)
y2 a2
+
x2 b2
=1
(a >b> 0)
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹。
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3.如果将圆的定义中的一个定点变成两个 定 点,动点到定点距离的定长变成动点到两 定点的距离之和为定长.那么，将会形成什 么样 的轨迹曲线呢？
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4.动手作图
工 具： 纸板、细绳、图钉
作 法： 用图钉穿过准备好的细绳两端
的套内，并把图钉固定在两个定点
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2
反思归纳
当形成曲线的动点 P(x,y)随着另一个在已知曲线 f(x,
y)=0 上的动点 Q(x0,y0)有规律的运动时,我们利用这种规律就能得到 x0 = x,y),y0= (x,y),而 x0,y0 满足 f(x0,y0)=0,将 x0= (x,y),y0= (x,y)代入就可得到动点 P(x,y)所形成的曲线的方程.
2
思路点拨:(1)即在a=3b的情况下,椭圆过点A(3,0),分焦点在x,y轴分 类求解;
(2)椭圆的焦点位置不确定,可以设椭圆方程为一般形式mx2+ny2=1
(m>0,n>0,m≠n),根据椭圆过两个点得到两个独立的方程,通过这两 个独立的方程求解待定的系数即可求出椭圆方程.
.
平分线,
思路点拨:线段中垂线上的任意一点到线段两个端点的距离相等,对 之和等于常数,根据椭圆定义可得椭圆方程中的系数.
于点Q,则|QA|=|QP|,P,C,Q三点共线,可得点Q到两个定点A,C的距离 |=10,
圆,且 2a=10,c=3,
y2 =1. 5 16
x2 y 2 答案: =1 25 16
求椭圆方程的几种常用方法
在解析几何的以椭圆为载体的解答题中,第一问往往是先求椭圆方程,
能否正确求出椭圆方程是解题的先决条件,下面我们总结求椭圆方程的 几个常用方法.
方法一 定义法 【例1】 已知圆C:(x-3)2+y2=100及点A(-3,0),P是圆C上任一点,线段PA的
垂直平分线l与PC相交于Q点,则Q点的轨迹方程是
之和等于常数,根据椭圆定义可得椭圆方程中的系数.
解析:如图所示,因为 l 是 PA 的垂直平分线, 所以|PQ|=|AQ|,|QA|+|QC|=|QC|+|QP|=10, 所以 Q 点的轨迹是以 A,C 为焦点的椭圆,且 2a=10,c=3, 所以 a=5,b=4. 2 2 故所求的椭圆方程为
答案:
x2 y 2 因此,所求的椭圆方程为 =1. 9 4
反思归纳
(1)求解椭圆标准方程时,如果不能确定椭圆焦点的位置,
要有分类讨论的思想意识;(2)当椭圆的焦点位置不确定时可以设椭圆 方程的一般形式mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),根据题目的其他已知条件
得到两个独立的方程,通过方程确定椭圆方程中的系数,这种待定系数
文数
方法一 定义法 【例1】 已知圆C:(x-3)2+y2=100及点A(-3,0),P是圆C上任一点,线段PA的
垂直平分线l与PC相交于Q点,则Q点的轨迹方程是
.
思路点拨:线段中垂线上的任意一点到线段两个端点的距离相等,对
于点Q,则|QA|=|QP|,P,C,Q三点共线,可得点Q到两个定点A,C的距离
为曲线 C,求曲线 C 的方程.
思路点拨:动点M的轨迹为圆,建立动点T的坐标与动点M的坐标之间的关 系,代入动点M的轨迹方程得出动点T的轨迹的方程.
解:设点 T 的坐标为(x,y),点 M 的坐标为(x′,y′),则 M1 的坐标为(0,y′), 2 5 2 5 2 5 2 5 x, y ON = , OM = x, y ,于是点 N 的坐标为 5 5 5 5 2 5 2 5 . N1 的坐标为 5 x ,0 ,所以 M1M =(x′,0), N1 N = 0, 5 y 2 5 , 由 OT = M1M + N1 N ,有(x,y)=(x′,0)+ 0, 5 y x x, 5 所以 y.由| OM |= 5 , 2 5 由此得 x′=x,y′= 2 y. y 5
x y =1 25 16
x2 y2 =1. 25 16
反思归纳
当动点满足到两定点距离之和为常数时(该常数大于两定点
之间的距离),动点的轨迹为椭圆,可以在特定的坐标系中直接得出椭圆方 程的系数,写出椭圆方程.
方法二 待定系数法 【例2】 (1)已知椭圆的长轴是短轴的3倍,且过点A(3,0),并且以坐标轴为 对称轴,求椭圆的标准方程; 4 2 (2)已知椭圆的焦点在坐标轴上、两焦点的中点是坐标原点,且过 M 1, 3 , 3 2 ,求椭圆的标准方程. N , 2
x2 2 y 2 x2 故椭圆方程为 +y =1 或 + =1. 9 81 9
(2)设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
4 2 3 2 将M 1, 3 , N 2 , 2 代入方程组,
32 1 m n 1, m , 9 9 得 解得 9 m 2n 1, n 1 . 焦点在 x 轴上,设方程为 2 2 =1(a>b>0). a b 2a 3 2b, a 3, x2 2 由题意得 9 解得 所以椭圆的方程为 +y =1. 0 1, b 1, 9 a2 b2 y 2 x2 若椭圆的焦点在 y 轴上,设方程为 2 2 =1(a>b>0). a b 2a 3 2b, a 9, y 2 x2 由题意得 0 解得 所以椭圆方程为 =1. 9 2 1, b 3， 81 9 2 b a
的方法是求解椭圆方程的基本方法之一.
方法三 代入法
2 5 【例 3】 直角坐标平面上,O 为原点,M 为动点,| OM |= 5 , ON = OM .过 5
点 M 作 MM1⊥y 轴于 M1,过 N 作 NN1⊥x 轴于点 N1, OT = M1M + N1 N .记点 T 的轨迹