新人教版八年级上三角形培优
新人教版八年级上册数学培优讲义(全套15讲)
第一讲 三角形考点·方法·破译1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x ，9，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________.【变式题组】1．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________.2．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角形，共有______________个.3．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( ). A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长.【变式题组】1．已知等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，则这个三角形的周长是( )A ．24cmB ．30cmC ．24cm 或30cmD ．18cm2．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是( )A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm3．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________. 【例３】如图AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线，若S △GFC＝1cm 2，则S △ABC ＝______________.GFE DBAC1．如图，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.2．如图，点D 是等腰△ABC 底边BC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若一腰上的高为4cm ，则DE +DF ＝______________.3．如图，已知四边形ABCD 是矩形(AD ＞AB ) ，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，则DF 与AB的数量关系是______________.【例４】已知，如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.【变式题组】1．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.2．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.3．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.【例５】如图，已知∠A ＝70°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ．则∠BOC ＝ ______________.(第1题图)FE DBA C(例4题图)BDACE(第3题图)A BCDE FOBA C(第2题图)FEBCAD (第3题图)FDBCA E(第2题图)ABFE D C(第1题图)ABEDC1．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________.3．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________.【例６】如图，已知∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝______________.【变式题组】 1.（改）如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，则∠BFE＝__________.2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.*【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.【变式题组】1.如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.(第1题图)OBA C(第3题图)P OBA C(例6题图)E DAB C(第2题图)DE PC AG B F (第1题图)F E DAB C C'B'A BC2．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)3．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.演练巩固·反馈提高1．如图，图中三角形的个数为( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个2．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定 3．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．下列语句中，正确的是( )A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C ．三角形的外角中，至少有两个钝角D ．三角形的外角中，至少有一个钝角5．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定 6．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定7．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，则这个三角形的周长是______________.8．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________. 9．如图，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 与∠C 的三等分线，分别交于点D 、E ，则∠BDC 的度数是______________.(第1题图)α22°OBMA(第2题图)B'A'AO B(第3题图)αEDCBAE D AB CF G10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，则S △ABC ＝______________. 12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠DAC ＝______________. 13．如图，已知点D 、E 是BC 上的点，且BE ＝AB ，CD ＝CA ，∠DAE ＝13∠BAC ，求∠BAC 的度数培优升级·奥赛检测1．在△ABC 中，2∠A ＝3∠B ，且∠C －30°＝∠A +∠B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．有一个角是30°的直角三角形D ．等腰直角三角形 B ． C ．2．已知三角形的三边a 、b 、c 的长都是整数，且a ≤b ≤c ，如果b ＝7，则这样的三角形共有( )A ．21个B ．28个C ．49个D ．54个 3．在△ABC 中，∠A ＝50°，高BE 、CF 交于O 点，则∠BOC ＝______________. 4．在等腰△ABC 中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______________. 5．如图，BP 平分∠ABC 交CD 于点F ，DP 平分∠ADC 交AB 于点E ，若∠A ＝40°，∠C ＝38°，则∠P ＝ ______________.6．如图，已知OABC 是一个长方形，其中顶点A 、B 的坐标分别为(0，a )和(9，a ).点E 在AB 上 ，且AE ＝13AB ．点F 在OC 上 ，且OF ＝13OC ，点G 在OA 上，且使△GEC 的面积为16，试求α的值.(第9题图)D EBACxy EBG FOCAγβα(第10题图)ⅡⅠ(第11题图)FE DABC(第13题图)D E ABC4321(第12题图)DBA CG FE PAB CDBACDEF 7．如图，已知四边形ABCD 中，∠A +∠DCB ＝180°，两组对边延长后分别交于P 、Q 两点，∠P 、∠Q 的平分线交于M ，求证PM ⊥QM .第二讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对【变式题组】 1．（武汉2011）下列判断中错误的是（ ） A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 MQPABCDA F C ED B 2．（黄冈）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.3．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【变式题组】1．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A BC DO F E A C E F B D3．（孝感2013）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【变式题组】1．（绍兴2013）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°2．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF3．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.EFB AB P D EC第1题图ACDG 第2题图B （E ）OC F 图③FA B C DE FAB (E )C DDA图②图①AFECB DA B C D F E【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【变式题组】 1．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .2．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am3．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE的面积为__________AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图DBF AC E NMPDD A CB FE21ABC P Q EF D1．（海南2011）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°2．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°3．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 4．（武汉2012）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°5．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ） A . △ABE ≌△CBD B . ∠ABE ＝∠CBD C . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE6．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对7．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.8．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB的度数为_______.9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______E2 1N AB DC 第5题图ABCDEAB CD第4题图第6题图M第3题图第1题图C AO D BP第2题图ACA /B B /a αcca50° b72° 58°D C10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .D A C .QP.B第10题图AB CDE 第9题图EABC D ABC DEF O C AEBD 第7题图第8题图D B A CE FA EB F DC BD E C l AAEF C DB 培优升级·奥赛检测1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③3．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC4．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等5．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 6．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）7．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.8．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线. 求证：AC ＝2AE .AB E D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFC D 第1题图B第2题图第3题图4321NM ABO DP A D EG CHBA EB DC 9．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝180°. AH ⊥AH 于H ，HA 的延长线交DE 于G. 求证：GD＝GE .第三讲 角平分线的性质与判定考点·方法·破译1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典·考题·赏析【例１】如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PNP CA B MN M N A B D C P E D A BC D CA B 321FEDCAB 1．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.2．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数【变式题组】1．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACD CBDSS ∆∆2．(河北竞赛)在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12BDD E C A B DF E B A C第1题图D C B A第2题图D B CA E P 第3题图Q S R PBA C 第4题图E F B D A C 第5题图E B C A 1．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .2．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .演练巩固·反馈提高1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ）A ．13mn B ．12mn C ． mn D ．2 mn2．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．43．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（ ） A ． ①③ B ．②③ C ．①② D ．①②③4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④ C ．②③④ D ．①②③④ 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（ ） A ．50° B ．45° C ．40° D ．35°6．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）第6题图F ED PA B C 第7题图P ABCE F 第8题图DABC E第9题图ED C AB 第10题图K NMQ CBA F BDE C A OFE D A B Cl 1l 2DC FG E P AB C D E O B A 7．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）A ．点P 到△ABC 三边的距离相等B ．点P 在∠ABC 的平分线上C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝12∠P8．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、AC 的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个10．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q 到BC 、AC和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________ 11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD ⊥EF .培优升级·奥赛检测1．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ） A ．一处 B ．二处 C ．三处 D ．四处2．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC ＝32，且BD :CD ＝9:7，则D 到AB边的距离为（ ） A ．18 B ．16 C ．14 D ．123．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的平分线，有一个动点P 从A 向B 运动.已知：DC ＝3cm ，DB ＝4cm ，AD ＝8cm .DP 的长为x (cm )，那么x 的范围是__________GPF E DCBAPD AB C Q P C B A4．如图，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ，且PF ＝PG ＝PE ，则∠BPD＝__________5．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC ，且OE ＝2，则两平行线AB 、CD间的距离等于__________ 6．如图，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD ，垂足为P ，EF 的延长线于BC 的延长线相交于点G .求证：∠G ＝12(∠ACB －∠B )7．如图,在△ABC 中,AB ＞AC ,AD 是∠BAC 的平分线,P 为AC 上任意一点.求证:AB －AC ＞DB －DC8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线上.求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP第四讲 轴对称及轴对称变换考点·方法·破译1．轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.2．线段垂直平分线平分.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.经典·考题·赏析【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）【变式题组】1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）2．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（）A．（0，－1）B．（1，1）C．（2，－1）D．（1，－1）【变式题组】1．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（）A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－32．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.3．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD＝（）A．30°B．20°C．15°D．10°【变式题组】1．（孝感）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°2．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．【变式题组】1．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．2．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．3．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．4.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是___________cm．【例5】（荆州）如图，在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF．【变式题组】1．如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．2．如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；⑵涂黑部分成轴对称图形。
新人教版八上第十一章《三角形》培优练习
第十一章三角形习题集第1课时三角形的边——三边关系姓名：___________☆知识导学1．若三角形的两边长分别为a，b(a＞b)，则第三边长x的取值范围是_______________________．2．三角形具有___________，四边形具有_____________．☆习题演练1．已知三角形ABC三边a、b、c满足（a-b）2+|b-c|=0，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．以上都不对2．不能组成一个三角形的三条线段的长度是（）A．3，3，3 B．3，6，2 C．3，4，3 D．3，5，73．（2012•海南）一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm4．（2013•南通）有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2012•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16 B．18 C．20 D．16或206．下列说法中正确的是（）A．三角形的内角中至少有两个锐角B．三角形的内角中至少有两个钝角C．三角形的内角中至少有一个直角D．三角形的内角中至少有一个钝角7．图中有______个三角形，用符号表示这些三角形：__________________________．第7题图第13题图8．在△ABC中，已知两条边a=6，b=7，则第三条边c的取值范围是_________________．9．若三角形的两边长分别为3和5，且周长为奇数，则第三边可以是________（只填符合条件的一个即可）．10．（2012•哈尔滨）一个等腰三角形的两边分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是________________．11．若三角形的两边长分别为3和5，则它的周长l的取值范围是________________．12．（提高题）△ABC的边长均为整数，且最大边的边长为7，那么这样的三角形共有________个．13．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木条（图中的AB，CD两根木条），这样做的数学道理是_____________________________．14．用一条长为20cm的铁丝围成一个等腰三角形能围成有一边长为6cm的等腰三角形吗？为什么？第2课时三角形的高、中线与角平分线姓名：___________ ☆知识导学如图，完成下面几何语言的表达：（1）∵AD是△ABC的高（已知）∴AD⊥BC，∠______=∠______=90º．（2）∵AE是△ABC的中线（已知）∴______=______=21______，______=2______=2______．（3）∵AF是△ABC的角平分线（已知）∴∠______=∠______=21∠______，∠______=2∠______=2∠______．☆习题演练1．如图所示的△ABC中，线段BE是三角形AC边上的高的是（）A．B．C．D．2．下列说法正确的是（）①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．A．①②③B．①②C．②③D．①③3．如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A．2 B．3 C．6 D．不能确定4．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD 的中线；③DE是△ADC的中线；④S△ADE= S△CDE，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．三角形中的角平分线、中线、高都是三条特殊的__________（填直线、射线、线段）．6．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点B的坐标是（1，-4），过点B作AC边上的高线，则垂足D点的坐标是________．AB CD EF第3题图第4题图第6题图8．如图，在△ABC中，已知CD是角平分线，∠A=70°，∠B=50°，求∠BCD的度数．9．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．10．如图，△ABC的边BC上的高为AD，且BC=9cm，AD=2cm，AB=6cm．（1）画出AB边上的高CE；（2）求CE的长．11．如图，D，E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE 的周长相等．设BC=a，AC=b，AB=c．求AE，BD的长（用含a，b，c的代数式表示）．AB CD第3课时 三角形的内角 姓名：___________☆知识导学如图，延长BC 至D ，过点C 作CE//AB ∵CE//AB∴∠ECD=∠______（_________________________________________） ∠ECA=∠______（_________________________________________）∵∠ECD+∠ECA+∠ACB=180°（___________________） ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换） 归纳：三角形的内角和等于____________． ☆习题演练 1．在△ABC 中，（1）若∠A=40°，∠C=35°，则∠B=_______，△ABC 是__________三角形． （2）若∠A=70°，∠B=∠C ，则∠B=_______°．（3）若∠A ∶∠B ∶∠C=1∶1∶2，则△ABC 是__________三角形．2．如图，AD 是△ABC 的角平分线，点O 在AD 上，且OE ⊥BC 于点E ，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．10°D ．15°第2题图 第4题图 第5题图 3．在△ABC 中，∠B 与∠C 的角平分线交于O 点，若∠A=50°，则∠BOC=（ ） A ．130° B ．50° C ．25° D ．115°4．将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°5．（2012•梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（ ） A ．150° B ．210° C ．105° D ．75°6．（2005•长沙）在△ABC 中，若∠A=38°36′，∠B=57°36′，则∠C=_________度． 7．已知△ABC 中，∠A=2（∠B+∠C ），则∠A 的度数为________度．8．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内ABC DE9．如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C ，BD 平分∠ABC ，∠A=36º，求∠BDC 的度数．10．如图，在△ABC 中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，求∠ABE 、∠ACF 和∠BHC 的度数．11．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，分别交CD 、AC 于点F 、E ．求证：∠CFE=∠CEF ．12．如图，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A=40°，求∠XBA+∠XCA 的度数． EFABCD13．如图，B岛在A岛的南偏西45°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向．从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？14．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．（2）若∠B=α，∠C=β，（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）15．已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别是△ADC的高和角平分线（∠C＞∠DAC），若∠B=80°，∠C=40°．（1）求∠DAE的度数；（2）试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何关系？并说明理由．第4课时 三角形的外角 姓名：___________☆知识导学1．如图，延长QR 至T ，∵∠PRQ+∠P+∠Q=180º（__________________________） 又∵∠PRQ+∠PRT=180º（__________________________） ∴∠PRT =∠P+∠Q可得：三角形的一个外角等于__________________的两个内角的和．∵∠PRT =∠P+∠Q∴∠PRT ＞∠P ，∠PRT ＞∠Q可得：三角形的一个外角大于_______________________________．2．如图，∵∠1=∠XYZ+∠YZX ，∠2=_______+_______，∠3=_______+_______．∴∠1+∠2+∠3=（∠XYZ+∠YZX ）+（______+______）+（______+______） =2（_____+______+______）=2×_____°=_____°．归纳：三角形的外角和等于____________． ☆习题演练1．如图，（1）若∠A=50º，∠B=70º，则∠ACD=_________． （2）若∠A=40º，∠ACD =130º，则∠B =_________． （3）若∠B=80º，∠ACD =135º，则∠A =_________． 2．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（ ） A ．75° B ．90° C ．105° D ．120°第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ） A ．165° B ．120° C ．150° D ．135°4．如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A 的度数是（ ） A ．61° B ．60° C ．37° D ．39° 5．如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（ ）A ．∠2＞∠1＞∠3B ．∠1＞∠3＞∠2C ．∠3＞∠2＞∠1D ．∠1＞∠2＞∠3 6．如图，直线MA ∥NB ，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=_______度．第6题图 第7题图 第8题图 第9题图PQRTαABC DN A BM PEAB DCABCDXYZ 12 38．三角形三个内角之比为3∶4∶5，则它的三个外角之比为____________．9．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边BC 上E 处，折痕为CD ，则∠EDB=_________°．10．如图，在△ABC 中，∠A=α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； …；∠A 2011BC 与∠A 2011CD 的平分线相交于点A 2012，得∠A 2012，则∠A 2012=____________．11．如图，已知D 为△ABC 边BC 延长线一点，DF ⊥AB 于F ，且交AC 于E ，∠A=34°，∠D=42°．求∠ACD 的度数．12．一个零件的形状如图中阴影部分．按规定∠A 等于90°，∠B 、∠C 应分别等于29°和21°． （1）检验人员度量得∠BDC=141°，就断定这个零件不合格．你能说明理由吗？（2）你知道∠B 、∠C 、∠BDC 三个角之间有何关系吗？请写出你的结论．（不需说明理由）13．如图，在△ABC 中，∠1=100°，∠C=80°，∠2=21∠3，BE 平分∠ABC ．求∠4的度数．14．如图，已知∠BAD=∠CBE=∠ACF ，∠FDE=48°，∠DEF=64°，求△ABC 各内角的度数．15．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且BE 、CE 交于E 点． 求证：∠E=21∠A ．16．如图①，A 、B 两点同时从原点O 出发，点A 以每秒m 个单位长度沿x 轴的正方向运动，点B 以每秒n 个单位长度沿y 轴正方向移动．（1）若|m+2n-5|+|2m-n|=0，试分别求出1秒后，A 、B 两点的坐标；（2）如图②，设∠4的邻补角和∠3的邻补角的平分线相交于点P ．试问：在点A 、B 运动的过程中，∠P 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．17．已知：在△ABC 和△XYZ 中，∠A=40°，∠Y+∠Z=95°，将△XYZ 如图摆放，使得∠X 的两条边分别经过点B 和点C ．（1）当将△XYZ 如图1摆放时，则∠ABX+∠ACX=_______度；（2）当将△XYZ 如图2摆放时，请求出∠ABX+∠ACX 的度数，并说明理由；（3）能否将△XYZ 摆放到某个位置时，使得BX 、CX 同时平分∠ABC 和∠ACB ？为什么？ ABXA ZCX ZYB图1图24 A3OAx1 2 BB Px y y O 图2第5课时 多边形的内角和、外角和 姓名：___________☆知识导学1．过点A 作出下列多边形的对角线，各将多边形分成几个三角形？完成表格：归纳：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引_______条对角线，把n 边形分成________个三角形． （2）n 边形的内角和等于___________．（其中n ≥3）2．从与每个内角相邻的两个外角中分别取1个相加，得到的和称为多边形的外角和．∠1＋∠2＋∠3=________°， ∠1＋∠2＋∠3＋∠=________°归纳：n 边形的外角和等于__________． ☆习题演练1．八边形的内角和是（ ）A ．540°B ．720°C ．900°D ．1080° 2．一个多边形的内角和等于720°，这个多边形的边数是（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 3．下列各角不是多边形的内角和的是（ ）A ．1800°B ．540°C ．1900°D ．1440° 4．正六边形的每个内角都是（ ）A ．60°B ．80°C ．100°D ．120° 5．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形 7．一个多边形的各个内角都等于108°，它是_______边形．8．一个多边形的内角和是1440°，则这个多边形是______边形，过其中一个顶点可以作_______条对角线，AAAA123 12349．如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加_______，外角和__________．10．（2013•乐山）如图，在四边形ABCD中，∠A=45°．直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1+∠2=_________．第9题图第10题图11．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出______个三角形．12．已知一个多边形的内角和是1440°，求这个多边形的边数．13．若两个多边形的边数之比为1∶2，内角和的度数之比为1∶3，求这两个多边形的边数．14．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．15．如图，四边形ABCD中，如果∠A与∠C互为补角，求证：∠B与∠D也互为补角．16．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，∠3=∠4，求x的值．17．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和．18．已知一个多边形的最小的一个内角是120°，比它稍大的一个内角是125°以后依次每一个内角比前一个内角多5°，且所有内角的和与最大的内角的度数之比是63∶8，试求这个多边形的边数．19．如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，（1）整个行走路线是什么图形？（2）一共走了多少米？20．如图，BC⊥CD，∠1=∠2=∠3，∠4=70°，∠5=∠6．（1）求证：AC⊥BD；（2）求四边形ABCD各内角的度数；（3）若AC=8，BD=6，求四边形ABCD的面积．。
人教版八年级数学《三角形》培优训练(一)
人教版八年级数学《三角形》培优训练（一）引言概述：本文是关于人教版八年级数学《三角形》培优训练（一）的文档。
通过该培优训练，学生可以全面了解和掌握三角形的相关知识和技巧。
本文将从五个大点入手，分别是三角形的基础知识、三角形的性质、三角形的分类、三角形的计算以及三角形的应用。
每个大点下又包括5-9个小点来具体讲解和说明。
通过学习本文，相信学生们能够在数学学习中更好地理解和应用三角形的知识。
一、三角形的基础知识1. 三角形的定义：三边的连线形成的图形2. 三角形的元素：顶点、边、角3. 三角形的命名方法：按顶点依次命名4. 三角形的内角和：180°5. 三角形的外角和：360°二、三角形的性质1. 三角形两边之和大于第三边2. 三角形两角之和大于第三角3. 三角形内角相等性质4. 三角形的外角等于与之相邻的两个内角的和5. 三角形的底角与顶角互补三、三角形的分类1. 根据边长分类：等边三角形、等腰三角形和普通三角形2. 根据角度分类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形3. 根据边长和角度分类：等腰直角三角形、等腰锐角三角形和等腰钝角三角形4. 根据边长、角度和对称性分类：等边直角三角形和等边钝角三角形四、三角形的计算1. 三角形的面积计算方法：底乘以高除以22. 利用三角形的面积求解其他未知量3. 利用勾股定理求解三角形的边长4. 利用正弦定理求解三角形的边长5. 利用余弦定理求解三角形的边长五、三角形的应用1. 三角形在建筑、航海和导航中的应用2. 三角形在地图制作和测量中的应用3. 三角形在航空和航天技术中的应用4. 三角形在数学模型和图形构造中的应用5. 三角形在计算机图形和游戏开发中的应用总结：通过本文的学习，我们了解了三角形的基础知识、性质、分类、计算方法和应用场景。
掌握这些知识和技巧，将有助于我们在数学学习和实际问题中更好地理解和应用三角形的概念。
希望同学们通过培优训练，能够进一步提高数学水平，充实自己的知识储备。
人教版数学八年级上册第11章《三角形》培优测试题（含答案）
第11章《三角形》培优测试题一．选择题（共10小题）1．下面分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（）A．5cm，8cm，2cm B．5cm，8cm，13cmC．5cm，8cm，5cm D．2cm，7cm，5cm2．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD 折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．40°B．20°C．55°D．30°3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30，∠2=20°，则∠B=（）A．20°B．30°C．40°D．50°4．三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，则这个三角形最大内角一定是（）A．75°B．90°C．105°D．120°5．在△ABC中，若AB=9，BC=6，则第三边CA的长度可以是（）A．3B．9C．15D．166．如图，AD，CE为△ABC的角平分线且交于O点，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°7．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°8．如图，图中直角三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）A．144°B．84°C．74°D．54°10．如图，AE平分△ABC外角∠CAD，且AE∥BC，给出下列结论：①∠DAE=∠CAE；②∠DAE=∠B；③∠CAE=∠C；④∠B=∠C；⑤∠C+∠BAE=180°，其中正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二．填空题（共8小题）11．三角形三边长分别为3，2a﹣1，4．则a的取值范围是．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在B C的延长线上，DE∥BC，∠A=44°，∠1=57°，则∠2= ．13．在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，当∠A=50°时，∠BOC= ．14．一个n边形的每个内角都为144°，则边数n为．15．在△ABC中，∠C=∠A=∠B，则∠A= 度．16．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，∠DAE 度．17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，则∠B= ．18．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，若∠A=60°，则∠BMN的度数是．三．解答题（共7小题）19．（1）已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，求这个三角形三个外角的度数．（2）一个正多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数．20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°．求∠DAC的度数．21．如图①所示，为五角星图案，图②、图③叫做蜕变的五角星．试回答以下问（1）在图①中，试证明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；（2）对于图②或图③，还能得到同样的结论吗？若能，请在图②或图③中任选其一证明你的发现；若不能，试说明理由．22．如图，已知△ABC中，高为AD，角平分线为AE，若∠B=28°，∠ACD=52°，求∠EAD的度数．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF∥AD．（1）如图1，若△ABC是锐角三角形，∠B=30°，∠ACB=70°，则∠CFE= 度；（2）若图1中的∠B=x，∠ACB=y，则∠CFE= ；（用含x、y的代数式表示）（3）如图2，若△ABC是钝角三角形，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由．24．如图，BG∥EF，△ABC的顶点C在EF上，AD=BD，∠A=23°，∠BCE=44°，求∠ACB的度数．25．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A= 度，∠P= 度（2）∠A与∠P的数量关系为，并说明理由．【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为．参考答案一．选择题1． C．2． A．3． D．4． C．5． B．6． A．7． C．8． C．9． B．10． A．二．填空题11． 1＜a＜4．12．101°．13．115°．14． 10．15．60．16． 10．17．30°．18．50°．三．解答题19．解：（1）设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，则x+2x+3x=180，6x=180，x=30，则三个内角分别为30°、60°、90°，相应的三个外角分别为150°、120°、90°．（2）设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1800°，解得n=12．故这个多边形的边数为12．20．解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，∵AD是BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=60°﹣40°=20°．21．解：（1）证明：如图①，设BD、AD与CE的交点为M、N；△MBE和△NAC中，由三角形的外角性质知：∠DMN=∠B+∠E，∠DNM=∠A+∠C；△DMN中，∠DMN+∠DNM+∠D=180°，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．（2）结论仍然成立，以图③为例；延长CE交AD于F，设CE与BD的交点为M；同（1）可知：∠DMF=∠B+∠E，∠DFM=∠A+∠C；在△DMF中，∠D+∠DMF+∠DFM=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．22．解：∵AD为高，∠B=28°，∴∠BAD=62°，∵∠ACD=52°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=24°，∵AE是角平分线，∴∠BAE=BAC=12°，∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=50°．23．解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=70°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=40°，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°∴∠BAE=60°∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=60°﹣40°=20°，∵CF∥AD，∴∠CFE=∠DAE=20°；故答案为：20；（2）∵∠BAE=90°﹣∠B，∠BAD=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠BCA），∴∠CFE=∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠BCA）=（∠BCA ﹣∠B）=y﹣x．故答案为： y﹣x；（3）（2）中的结论成立．∵∠B=x，∠ACB=y，∴∠BAC=180°﹣x﹣y，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAC=90°﹣x﹣y，∵CF∥AD，∴∠ACF=∠DAC=90°﹣x﹣y，∴∠BCF=y+90°﹣x﹣y=90°﹣x+y，∴∠ECF=180°﹣∠BCF=90°+x﹣y，∵AE⊥BC，∴∠FEC=90°，∴∠CFE=90°﹣∠ECF=y﹣x．24．解：∵AD=BD，∠A=23°，∴∠ABD=∠A=23°，∵BG∥EF，∠BC E=44°，∴∠DBC=∠BCE=44°，∴∠ABC=44°+23°=67°，∴∠ACB=180°﹣67°﹣23°=90°．25．解：（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，∴∠A=50°，∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠ACB，∴∠BCP+∠CBP=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，∴∠P=180°﹣65°=115°，故答案为：50，115；（2）．证明：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴，，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠P+∠PBC+∠PCB=180°，∴，∴，∴；（3）．理由：∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，∴∠CBQ=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，∠BCQ=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴△BCQ中，∠Q=180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）=180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠Q=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．。
人教版初二上全等三角形培优练习题
人教版初二上全等三角形培优练习题篇一：人教版初二、上《三角形部分》培优测试题人民教育版第二天“三角部分”优秀试题（全卷150分时间120分钟）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．下列图形中轴对称图形是：--------------（）问题2．点(2，3)关于x轴对称的点的坐标是：----------------（）a．(－3，－2)b．(2，－3)c．(－2，3)d．(－2，－3)3.三角形可通过以下长度组的线段作为边形成：-------------------（）a.3cm、4cm、8cmb。
5厘米，5厘米，11厘米。
12厘米，5厘米，6厘米。
8厘米、6厘米和4厘米。
如图所示，△ ABC和△ a′B′C′与直线L对称∠ a=105°，∠ C′=30°，则∠B=--------------（）a.25°B.45°c.30°d.20°5．在△abc与△a′b′c′中，已知∠a＝∠a′，ac＝a′c′，下列说法错误的是：-------------（）a．若添加条件ab＝a′b′，则△abc≌△a′b′c′b．若添加条件∠c ＝∠c′，则△abc≌△a′b′c′c．若添加条件∠b＝∠b′，则△abc≌△a′b′c′d．若添加条件bc＝b′c′，则△abc≌△a′b′c′6．已知等腰的底边bc＝8cm，且|ac－bc|＝3cm，则腰ac的长为：---------------（）a．11cmb．11cm 或5cmc．5cmd．8cm或5cm7※．如图，m是线段ad、cd的垂直平分线交点，ab⊥bc，∠d ＝65°，则∠mab＋∠mcb的大小是：a．140°b．130°c．120°d．160°--------------（）※8．如图，四边形abcd中，ab∥cd，ad∥bc，且∠bad、∠adc的角平分线ae、df 分别交bc于点e、f．若ef＝2，ab＝5，则ad的长为：--------------------（）a．7b．6c．8d．9※9．如图，在四边形abcd中，ab＝ac，∠abd＝60°，∠adb＝78°，∠bdc＝24°，则∠dbc＝（）a．18°7个问题8个问题9个问题10个问题※10．如图，等腰rt△abc中，∠bac＝90°，ad⊥bc于点d，∠abc的平分线分别交ac、ad于e、f两点，m为ef的中点，am的延长线交bc于点n，连接dm，下列结论：①df＝dn；②△dmn为等腰三角形；③dm平分∠bmn；④ae＝二ec；⑤ae＝nc，其中正确结论的个3b、20°c.25°d.15°数是：---（）a、 2 B.3 C.4 d.5 II。
2023八年级数学上册第十一章三角形章末培优专练作业课件新版新人教版
)
A.220° B.240° C.260° D.280°
答案
5.D 如图,连接BD,∵∠BCD=100°,∴∠CBD+∠CDB=180°100°=80°,∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°.
6. [2019铁岭中考]如图,在△CEF中,∠E=80°,∠F=50°,AB∥CF,AD∥CE,连接BC,CD,
∴∠DCE=∠ACB=70°.如图,连接CF并延长至点M,可知
∠DFM=∠D+∠DCF,
∠EFM=∠E+∠ECF,∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+
4. 一题多解如图,在五边形ABCDE中,若去掉一个30°的角后得到一个六边形
BCDEMN,则∠1+∠2的度数为 (
)
A.210° B.110° C.150° D.100°
答案
4.A
解法一 ∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠30°,∴∠B+∠C+∠D+∠E=510°.
章末培优专练
1. [2021绥化中考]一个多边形的内角和是外角和的4倍,则这个多边形是 (
)
A.八边形 B.九边形
C.十边形
D.十二边形
答案
1.C 设这个多边形的边数为n,则(n-2)×180°=360°×4,解得n=10,故这个多边形是
十边形.
2. [2021盐城中考]将一副三角板按如图方式重叠,则∠1的度数为 (
)
A.45° B.60° C.75° D.105°
人教版数学八年级上册 全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)
人教版数学八年级上册 全等三角形（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________．【答案】10【解析】【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果．【详解】解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ，∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ，∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ，∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ，∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠，∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152DE BD ==，12BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠， 在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ，∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5，∴11451022ABC S AB CF =⋅=⨯⨯=． 故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．2．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．【答案】363【解析】【分析】分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可；【详解】解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°∵∠C＝45°∴∠AME＝∠C又∵∠AME＞∠C∴这种情况不成立；②若AE＝EM∵∠B＝∠AEM＝45°∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135°∴∠BAE＝∠MEC在△ABE和△ECM中，B BAE CEN AE EIIC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ECM （AAS ），∴CE ＝AB ＝6，∵AC ＝BC ＝2AB ＝23，∴BE ＝23﹣6；③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＝45°∴AE 平分∠BAC∵AB ＝AC ，∴BE ＝12BC ＝3． 故答案为23﹣6或3．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．3．如图，在等边ABC ∆中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ∆∆+=_________．【答案】9364+【解析】【分析】把线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS证得△ADB≌△APC，连接PD，根据旋转的性质知△APD是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形，∠BPD＝90︒，由△ADB≌△APC得S△ADB＝S△APC，则有S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD，根据等边三角形的面积为边长平方的3倍和直角三角形的面积公式即可得到S△ADP＋S△BPD＝3 4×32＋12×3×4＝9364+．【详解】将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD，连接PD ∴AD＝AP，∠DAP＝60︒，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60︒，AB＝AC，∴∠DAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP，∴∠DAB＝∠PAC，又AB=AC,AD=AP∴△ADB≌△APC∵DA＝PA，∠DAP＝60︒，∴△ADP为等边三角形，在△PBD中，PB＝4，PD＝3，BD＝PC＝5，∵32＋42＝52，即PD2＋PB2＝BD2，∴△PBD为直角三角形，∠BPD＝90︒，∵△ADB≌△APC，∴S△ADB＝S△APC，∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝3×32＋12×3×4＝936+．故答案为：936+．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．4．如图，点P 是AOB ∠内任意一点，OP =5 cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，PN PM MN ++的最小值是5 cm ，则AOB ∠的度数是__________．【答案】30°【解析】试题解析：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：∵点P 关于OA 的对称点为D ，关于OB 的对称点为C ，∴PM=DM ，OP=OD ，∠DOA=∠POA ；∵点P 关于OB 的对称点为C ，∴PN=CN ，OP=OC ，∠COB=∠POB ，∴OC=OP=OD ，∠AOB=12∠COD ， ∵PN+PM+MN 的最小值是5cm ，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP ，∴OC=OD=CD ， 即△OCD 是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°．5．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．【答案】80y x =-【解析】【分析】根据题意，由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线，进而得到AD ＝ED ，求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式．【详解】∵BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥∴1122ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒，90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-︒ ∴AB BE =∴AF EF =∴AD ED =∴DAF DEF ∠=∠∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠，50C ∠=︒∴130BAC x ∠=︒-︒∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒∵CDE BED C ∠=∠-∠∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒∴80y x =-，故答案为：80y x =-．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．6．如图，已知每个小方格的边长为1，A 、B 两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C ，使△ABC 是等腰三角形，这样的格点C 有________个。
人教版八年级数学上册 三角形认识 单元培优卷(含答案)
八年级数学上册三角形认识单元培优卷一、选择题：1、如图所示的△ABC中,线段BE是△ABC边AC上的高的是( ).2、为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB 间的距离不可能是（）A.15mB.17mC.20mD.28m3、已知一个多边形的内角和是720º，则这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形4、若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A.10B.9C.8D.65、将一副直角三角尺如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是( )A.45°B.50°C.60°D.75°6、如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于( )A.50°B.30°C.20°D.15°7、三条线段a,b,c长度均为整数且a=3,b=5.则以a,b,c为边的三角形共有( )A.4个B.5个C.6个D.7个8、现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根可以组成不同三角形的个数 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个9、如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=( )A.118°B.119°C.120°D.121°10、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（）A. 90°B. 135°C. 270°D. 315°11、一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠1= 50°，则∠2+∠3 =（）A.190°B.130°C.100°D.80°12、如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C.当A，B移动后，∠BAO=45°时，则∠C的度数是( )A.30°B.45°C.55°D.60°二、填空题:13、如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有性.14、已知三角形的边长分别为4、a、8，则a的取值范围是；如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长为.15、如果一个多边形的每一个外角都是30°，则这个多边形对角线的条数是，它的内角和是，它的外角和是 .16、如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .17、把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点J，则∠BJI的大小为__________.18、如图，已知∠A＝α，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点A1，得∠A1；若∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2……∠A2015BC的平分线与∠A2015CD的平分线相交于点A2018，得∠A2018，则∠A2018=____.(用含α的式子表示)三、解答题:19、如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长.20、在各个内角都相等的多边形中，一个外角比一个内角少120°，求这个多边形的一个内角的度数和它的边数.21、如图, AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.（1）∠ABE=15°，∠BAD=36°，求∠BED的度数；（2）作出△BED中DE边上的高，垂足为H；（3）若△ABC面积为20,过点C作CF//AD交BA的延长线于点F，求△BCF的面积。
新人教版八年级上三角形培优
培优资料《三角形》【例题讲解】例题1:某等腰三角形的周长为30,求腰x和底y的取值范围．例题2：已知：∠B=∠C=∠BAD，∠ADC=∠DAC，AE⊥BC，求∠DAE．例题3：（1)如图1，这是一个五角星ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗?为什么？（必须写推理过程）（2）如图2，如果点B向右移动到AC上，那么还能求出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程)（3）如图,当点B向右移动到AC的另一侧时,上面的结论还成立吗？（4）如图4，当点B、E移动到∠CAD的内部时，结论又如何？根据图3或图4，说明你计算的理由．例题4：Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点,点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示,且∠α=50°,则∠1+∠2=°;(2)若点P在边AB上运动，如图（2)所示,则∠α、∠1、∠2之间有何关系？（3)若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD)，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．例题5:如图1，在△ABC中，∠B=90°,分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．(1)∠E=°；（2)分别作∠EAB与∠ECB的平分线,且两条角平分线交于点F．①依题意在图1中补全图形;②求∠AFC的度数；（3）在（2）的条件下,射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC,射线HN与FM交于点P,若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，求m，n的值．【巩固练习】1．已知线段AC=3，BC=2，则线段AB的长度（)A．一定是5 B．一定是1 C．一定是5或1 D．以上都不对2．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线,BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是(）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④3．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能4．要想使一个六边形活动支架ABCDEF稳固且不变形，至少需要增加根木条才能固定．5．一个多边形的一个外角为α,且该多边形的内角和与α的和等于840°,则这个多边形的边数为，α=度．6．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P．设∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度数依次为a、b、c、d，用仅含其中2个字母的代数式来表示∠P的度数：．7．已知a，b，c是△ABC的三边长，a=4，b=6，设三角形的周长是x．（1）直接写出c及x的取值范围;（2）若x是小于18的偶数①求c的长；②判断△ABC的形状．8．如图，△ABC中,AB=AC，且AC上的中线BD把这个三角形的周长分成了12cm和6cm 的两部分,求这个三角形的腰长和底边的长．9．如图，四边形ABCD中,∠A=∠C=90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．（1）∠1与∠2有什么关系，为什么？（2）BE与DF有什么关系？请说明理由．10．如图:∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E，求证：∠E=∠A．11.如图,已知△ABC,P为内角平分线AD,BE，CF的交点，过点P作PG⊥BC于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系，并说明理由.12．小明在学习三角形的知识时，发现如下三个有趣的结论:在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F．（1）如图1,M为边AC上一点,则BD，MF的位置关系是，并证明；(2）如图2，M为边AC反向延长线上一点，则BD，MF的位置关系是，并证明; (3）如图3，M为边AC延长线上一点，则BD，MF的位置关系是，并证明．第14题图1 第14题图2 第15题图3。
人教版八年级数学上册《全等三角形》培优专题训练(含答案)
《全等三角形》培优专题训练1 全等三角形的概念两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合在一起，重合的角叫做对应角，重合的边叫做对应边.全等三角形的对应角相等，对应边相等. 经典例题如图所示，ABC DEF ∆≅∆，30A ∠=︒，50B ∠=︒，2BF =.求DFE ∠的度数与EC 的长.解题策略在ABC ∆中，+180A B ACB ∠∠+∠=︒ (三角形内角和为180°).因为30A ∠=︒，50B ∠=︒(已知)，所以1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒ 因为ABC DEF ∆≅∆ (已知)，所以ACB DFE ∠=∠(全等三角形对应角相等) BC EF =(全等三角形对应边相等)， 因此100DFE ∠=︒，所以2EC EF FC BC FC BF =-=-== 画龙点睛1. 在解答与全等三角形有关的问题时，要充分利用全等三角形的定义所得到的对应边相等、对应角相等的结论.2. 在本题中求EC 的长时，不能直接求，可将之转化为两条线段的差，这也是将来求线段长的一种常用的转化方法.举一反三1. 如图，若ABC ADE ∆≅∆，则这对全等三角形的对应边是 ;对应角是 .2. 如图，若ABD ACD ∆≅∆，试说明AD 与BC 的位置关系.3. 如图所示，斜折一页书的一角，使点A 落在同一页书内'A 处，DE 为折痕，作DF平分'A DB ∠，试猜想FDE ∠等于多少度，并说明理由.融会贯通4. 如图，ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若θ∠的度数50°，则BAC ∠的度数是 .2 三角形全等的判定判断两个三角形全等，并非需要证明两个三角形的三条边以及三个角均对应相等，而只需满足全等三角形的判定定理就可以了. 经典例题已知:如图，AO 平分EAD ∠和EOD ∠，求证:(1)AOE AOD ∆≅∆;(2) BOE COD ∆≅∆.解题策略证明:(1)因为AO 平分EAD ∠和EOD ∠，所以OAD OAE ∠=∠，AOE AOD ∠=∠，又因为AO AO =，所以AOE AOD ∆≅∆ ( ASA).(2)由AOE AOD ∆≅∆，得OE OD =，且AEO ADO ∠=∠.又180BEO AEO ∠=︒-∠，180CDO ADO ∠=︒-∠，所以B E O C D O ∠=∠.在AOE ∆和AOD ∆中，因为B E O C D O ∠=∠，OE OD =，BOE COD ∠=∠，所以B O E C O D ∆≅∆(ASA). 画龙点睛1. 判定两个三角形全等，往往需要三个条件，根据题目已知的条件可以得到两个条件(要注意公共角及公共边)，这时.设法证明所缺的条件也成立就是证题的关键了. 2. 要证明两条线段或者两个角相等，常用的方法是证明它们是一对全等三角形的对应边或者对应角.举一反三1. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC ∆≅∆的是( ).(A) CB CD = (B)BAC DAC ∠=∠ (C)BCA DCA ∠=∠ (D)90B D ∠=∠=︒2. 如图所示，点D 、C 在BF 上，//AB EF ，A E ∠=∠，BC DF =.求证AB EF =.3. 如图，AB 交CD 于点O ，AD 、CB 的延长线相交于点E ，且OA OC =，EA EC =，你能证明A C ∠=∠吗?点O 在AEC ∠的平分线上吗?融会贯通4. 如图所示，已知BD 、CE 分别是ABC ∆的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =.求证:(1)AP AQ =;(2)AP AQ ⊥.3 全等三角形的应用全等三角形的判定和性质被广泛地应用于几何证明题中。
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；（用含 x，y 的代数式表示）
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（3）如图 2，若△ABC 是钝角三角形，其他条
件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说 明理由. （3）解：（2）中的结论成立．理由如下. ∵∠B=x，∠ACB=y， ∴∠BAC=180°-x-y. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠DAC= ∠BAC=90°- x- y.
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12. 【探究】如图 1，在△ABC 中，∠ABC 的平 分线与∠ACB 的平分线相交于点 P.
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A= 50 度，∠P= 115 度；
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（3）【应用】如图 2，在△ABC 中，∠ABC 的平
分线与∠ACB 的平分线相交于点 P. ∠ABC
的外角平分线与∠ACB 的外角平分线相交于
点 Q.直接写出∠A 与∠Q 的
数量关系为
.
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6. 如图， ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= 540° .
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7. 如图，∠B=∠C，DE⊥BC 于点 E，EF⊥AB 于 点 F，若∠ADE=140°，则∠FED= 50° .
人教版八年级数学上册第11章三角形培优专题训练(含答案)
人教版八年级数学上册第11章三角形培优专题训练一、选择题1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5cm，2cm，4cm B．5cm，2cm，2cmC．5cm，2cm，3cm D．5cm，12cm，6cm2．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CM是∠ACB的角平分线，若∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠MCD的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°3．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A．B．C．D．4．下列说法中正确的是（）A．三角形的三条高都在三角形内B．直角三角形只有一条高C．锐角三角形的三条高都在三角形内D．三角形每一边上的高都小于其他两边5．已知AD为△ABC的中线，且AB＝10cm，AC＝8cm，则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．18cm6．盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（）A．∠1+∠2＝90°B．∠3＝60°C．∠2＝∠3 D．∠1＝∠48．如图所示，∠1＝∠2＝145°，则∠3＝（）A．80°B．70°C．60°D．50°9．如图，CF是△ABC的外角∠ACM的平分线，且CF∥AB，∠ACF＝50°，则∠B的度数为（）A．80°B．40°C．60°D．50°10．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10或11 B．11或12或13 C．11或12 D．10或11或12 11．若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（）边形．A．6 B．7 C．8 D．912．如图，五边形ABCDE是正五边形，则x为（）A．30°B．35°C．36°D．45°13．如图∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B＝215°，则∠1+∠2+∠3＝（）A．140°B．180°C．215°D．220°二、填空题14．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC．CD是△ABC外角的角平分线，若∠A＝50°，则∠D＝．15．如图，在△ABC中，已知DE∥BC，∠1＝∠2，∠BEC＝96°，则∠FGE＝°．16．小华用三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长度分别为10cm和2cm，第三根木棒的长度为偶数，则第三根的长度是cm．17．如图，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE共线，则∠BOE的度数是．三、解答题18．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，∠B＜∠C．（1）若∠B＝44°，∠C＝72°，求∠DAE的度数；（2）若∠B＝27°，当∠DAE＝度时，∠ADC＝∠C．19．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，∠C＝50°，∠BDC＝95°，求∠BED的度数．20．如图，已知CD是△ABC的角平分线，∠CDE＝∠DCE．（1）求证：DE∥BC；（2）若CD⊥AB，∠A＝30°，求∠CED的度数．21．如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，点E在AB上，连接CE、DE．（1）若∠1＝35°，∠2＝25°，则∠CED＝°；（2）若∠1＝∠2，求证：∠3+∠4＝90°．参考答案1．解：A、2+4＞5，能构成三角形，符合题意；B、2+2＜5，不能构成三角形，不符合题意；C、2+3＝5，不能构成三角形，不符合题意；D、5+6＜12，不能构成三角形，不符合题意．故选：A．2．解：∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝60°．∵CM是∠ACB的角平分线，∴∠ACM＝∠ACB＝30°．∴∠CMB＝∠CAB+∠ACM＝75°．∵CD是AB边上的高，∴∠CDA＝∠CDB＝90°．∵∠CDB＝∠MCD+∠CMB．∴∠MCD＝∠CDB﹣∠CMB＝90°﹣75°＝15°．故选：A．3．解：A选项中，BE与AC不垂直；B选项中，BE与AC不垂直；C选项中，BE与AC不垂直；∴线段BE是△ABC的高的图是D选项．故选：D．4．解：A、三角形的三条高不一定都在三角形内，如钝角三角形的高在三角形外部，说法错误，不符合题意；B、直角三角形有三条高，说法错误，不符合题意；C、锐角三角形的三条高都在三角形内，说法正确，符合题意；D、三角形每一边上的高不一定小于其他两边，说法错误，不符合题意；故选：C．5．解：∵AD为中线，∴BD＝CD，∴△ABD与△ACD的周长之差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，∵AB＝10，AC＝8，∴△ABD与△ACD的周长之差＝10﹣8＝2（cm）．故选：A．6．解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．故选：A．7．解：Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故A正确；∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3，故C正确；∵∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠4，故D正确；故选：B．8．解：∵∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，∴∠1+∠2+∠3＝360°，∵∠1＝∠2＝145°，∴∠3＝360°﹣145°×2＝70°，故选：B．9．解：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCM，∵CF平分∠ACM，∠ACF＝50°，∴∠FCM＝∠ACF＝50°，∴∠B＝50°，故选：D．10．解：设多边形截去一个角的边数为n，则（n﹣2）•180°＝1620°，解得n＝11，∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，∴原来多边形的边数是10或11或12．故选：D．11．解：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°，∴这个多边形的内角和为720°+360°＝1080°，设多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝1080°，解得：n＝8，即多边形是八边形，故选：C．12．解：因为五边形ABCDE是正五边形，所以∠E＝∠CDE＝＝108°，AE＝DE，所以，所以x＝∠CDE﹣∠1﹣∠3＝36°．故选：C．13．解：五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∵∠A+∠B＝215°，∴∠AED+∠EDC+∠BCD＝540°﹣215°＝325°，又∵∠AED+∠EDC+∠BCD+∠1+∠2+∠3＝180°×3＝540°，∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣325°＝215°．故选：C．14．解：∵∠ACE是△ABC的一个外角，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，同理：∠D＝∠DCE﹣∠DBC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBE＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，∴∠D＝（∠ACE﹣∠ABC）＝∠A＝×50°＝25°，故答案为：25°．15．解：∵DE∥BC，∴∠2＝∠EBC，∵∠1＝∠2，∴∠EBC＝∠1，∴GF∥BE，∴∠BEC+∠FGE＝180°，∵∠BEC＝96°，∴∠FGE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣96°＝84°．故答案为：84．16．解：根据三角形的三边关系，得10﹣2＜第三根木棒＜10+2，即8＜第三根木棒＜12．又∵第三根木棒的长选取偶数，∴第三根木棒的长度只能为10cm．故答案为：10．17．解：由题意：∠OED＝108°，∠OBA＝120°，∴∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，故答案为：48°．18．解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∠AED＝90°．（1）∵∠B＝44°，∠C＝72°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣44°﹣72°＝64°．∴∠BAD＝×64°＝32°．∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝44°+32°＝76°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADC＝90°﹣76°＝24°．（2））∵∠B＝27°，∠C＝∠ADC，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣27°﹣∠C＝153°﹣∠C．∴∠BAD＝×（153°﹣∠C）＝76.5°﹣．∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝27°+76.5°﹣∠C＝103.5°﹣∠C．∵∠ADC＝∠C，∴103.5°﹣∠C＝∠C．∴∠ADC＝∠C＝69°．∴∠DAE＝∠AED﹣∠ADC＝90°﹣69°＝21°．故答案为：21．19．解：∵∠C＝50°，∠BDC＝95°，∴∠DBC＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝180°﹣50°﹣95°＝35°．∵BD平分∠ABC，∴∠EBC＝2∠DBC＝70°，∵DE∥BC，∴∠BED+∠EBC＝180°，∴∠BED＝180°﹣70°＝110°．20．（1）证明：∵CD是△ABC的角平分线，∴∠BCD＝∠ECD，∵∠CDE＝∠DCE，∴∠EDC＝∠BCD，∴DE∥BC；（2）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠EDC＝∠ACD＝60°，∴∠CED＝180°﹣∠EDC﹣∠ECD＝60°．21．解：（1）∵∠1＝35°，∠2＝25°，∠B＝90°，∴∠BEC＝180°﹣∠B﹣∠2＝180°﹣90°﹣25°＝65°，∠CED＝180°﹣∠1﹣∠CEB＝180°﹣35°﹣65°＝80；故答案为：80．（2）∵∠1＝∠2，∵∠B＝90°，∴∠2+∠BEC＝90°，∴∠1+∠BEC＝90°，∴CDE＝180°﹣90°＝90°，∴∠3+∠4＝180°﹣∠CDE＝180°﹣90°＝90°。
人教版八年级数学上册 全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)
人教版八年级数学上册 全等三角形（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____.【答案】15CP ≤≤【解析】【分析】根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.【详解】如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小，此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，如图，当点F 与点C 重合时，CP 的值最大，此时CP=AC ，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP 的最大值为5， 所以线段CP 长的取值范围是1≤CP≤5，故答案为1≤CP≤5.【点睛】本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键.2．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为___________．【答案】4【解析】【分析】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出MD=ED，∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案．【详解】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．∵BD=CD，且∠BDC=140°，∴∠DBC=∠DCB=20°，∵∠A=40°，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，同理可得∠NCD=90°，∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，在△BDM和△CDE中，BM CEMBD ECDBD CD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△BDM≌△CDE（SAS），∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，∴∠MDE=∠BDC=140°，∵∠MDN=70°，∴∠EDN=70°=∠MDN，在△MDN和△EDN中，MD EDMDN EDNDN DN⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=EN=CN+CE，∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．3．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长为_____．【答案】14．【解析】【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC＝14．【详解】∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF，∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF，同理FE＝EC，∴△AED的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝8+6＝14．故答案为：14．【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的等角对等边的性质.4．如图,A,B,C三点在同一直线上,分别以AB,BC（AB>BC）为边,在直线AC的同侧作等边ΔABD和等边ΔBCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN. 以下结论：①AE=DC，②MN//AB，③BD⊥AE，④∠DPM=60°，⑤ΔBMN是等边三角形.其中正确的是__________（把所有正确的序号都填上）.【答案】①②④⑤【解析】【分析】①由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论；②由①中三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA 可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形；可得∠BMN=60°，进行可得∠BMN=∠ABD，故MN//AB，从而可判断②，⑤正确；③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；④由①得∠EAB=∠CDB，根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.【详解】①∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABE=∠DBC=120°，在△ABE和△DBC中，∵AB DBABE DBCBE BC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE ≌△DBC （SAS ），∴AE=DC ，故①正确；∵△ABE ≌△DBC ，∴∠AEB=∠DCB ，又∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，在△MBE 和△NBC 中，∵AEB DCB EB CB MBE NBC ∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨＝＝＝，∴△MBE ≌△NBC （ASA ），∴BM=BN ，∠MBE=60°，则△BMN 为等边三角形，故⑤正确；∵△BMN 为等边三角形，∴∠BMN=60°,∵∠ABD=60°,∴∠BMN=∠ABD ，∴MN//AB ，故②正确；③无法证明PM=PN ，因此不能得到BD ⊥AE ；④由①得∠EAB=∠CDB ，∠APC+∠PAC+∠PCA=180°，∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°，∵∠DPM =∠PAC+∠PCA∴∠DPM =60°，故④正确，故答案为：①②④⑤.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．5．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，D 为BC 中点，E 为AC 边上一动点，连接DE ，以DE 为边并在DE 的右侧作等边DEF ∆，连接BF ，则BF 的最小值为______.【答案】3【解析】【分析】由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG，利用△BDF≌△GDE，转换BF=GE，然后即可求得其最小值.【详解】以BD为边作等边三角形BDG，连接GE，如图所示：∵等边三角形BDG，等边三角形DEF∴∠BDG=∠EDF=60°，BD=GD=BG，DE=DF=EF∴∠BDG+∠GFD=∠EDF+∠GFD，即∠BDF=∠GDE∴△BDF≌△GDE（SAS）∴BF=GE当GE⊥AC时，GE有最小值，如图所示GE′，作DH⊥GE′∴BF=GE=CD+12DG=2+1=3故答案为：3.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长.6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F ＝30°，DE＝1，则EF的长是_____．【答案】2【解析】【分析】连接BE，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE＝∠F，进一步说明BE ＝EF，，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可.【详解】解：如图：连接BE∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，∴AE＝BE，∠A+∠AED＝90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠F+∠CEF＝90°，∵∠AED＝∠FEC，∴∠A＝∠F＝30°，∴∠ABE＝∠A＝30°，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，∴∠CBE＝∠F，∴BE＝EF，在Rt△BED中，BE＝2DE＝2×1＝2，∴EF＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.7．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推：∠A n =1702n -︒ 故答案为：1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..8．已知等边△ABC 中，点D 为射线BA 上一点，作DE=DC ，交直线BC 于点E,∠ABC 的平分线BF 交CD 于点F ，过点A 作AH ⊥CD 于H ，当EDC=30︒，CF=43，则DH=______．【答案】23【解析】连接AF.∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF.在△ABF和△CBF中，AB BCABF CBFBF BF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF≌△CBF，∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°.∵AH⊥CD，∴AH=12AF=12CF=23.∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=23.故答案为2 3 .点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点B旋转α（0＜α＜60°）到△A′BC′，边AC 和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q.当△BPQ为等腰三角形时，则α＝__________.【答案】20°或40°【解析】【分析】过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转可得△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，进而得到BP平分∠A'PC，再根据∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，可得∠CBQ=∠C'PQ=θ，即可得出∠BPQ=12（180°-∠C'PQ）=90°-12θ，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．【详解】如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，∴BP平分∠A'PC，又∵∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，∴∠CBQ=∠C'PQ=θ，∴∠BPQ=12（180°-∠C'PQ）=90°-12θ，分三种情况：①如图所示，当PB=PQ时，∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ，∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°，∴90°-12θ+2×（30°+θ）=180°，解得θ=20°；②如图所示，当BP=BQ时，∠BPQ=∠BQP，即90°-12θ=30°+θ，解得θ=40°；③当QP=QB时，∠QPB=∠QBP=90°-12θ，又∵∠BQP=30°+θ，∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2（90°-12θ）+30°+θ=210°＞180°（不合题意），故答案为：20°或40°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出BP平分∠A'PC，解题时注意分类思想的运用．10．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s时，△POQ是等腰三角形.【答案】103或10【解析】【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.【详解】当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示当点P在AO上时，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t当PO=QO时，102t t-=解得103 t=当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图2所示当点P在BO上时∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t当PO=QO时，210t t-=解得10t=故答案为：103或10【点睛】本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难） 11．已知点M(2,2)，且OM=22，在坐标轴上求作一点P ，使△OMP 为等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ）A ．(22,0)B ．(0,4)C ．(4,0)D ．(0,82) 【答案】D【解析】【分析】分类讨论：OM=OP ；MO=MP ；PM=PO ，分别计算出相应的P 点，从而得出答案．【详解】∵M(2,2),且OM=22,且点P 在坐标轴上当22OM OP == 时P 点坐标为：()()22,0,0,22±± ，A 满足；当22MO MP ==时：P 点坐标为：()()4,0,0,4，B 满足；当PM PO =时：P 点坐标为：()()2,0,0,2，C 满足故答案选：D【点睛】本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键．12．如图,ABC ∆中,3AC DC ==，BD 垂直BAC ∠的角平分线于D ,E 为AC 的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )A ．1.5B ．3C ．4.5D ．9【答案】C【解析】【分析】 首先证明两个阴影部分面积之差=S △ADC ，然后由DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大求出结论即可．【详解】延长BD 交AC 于点H ．设AD 交BE 于点O ．∵AD⊥BH，∴∠ADB=∠ADH=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°．∵∠BAD=∠HAD，∴∠ABD=∠H，∴AB=AH．∵AD⊥BH，∴BD=DH．∵DC=CA，∴∠CDA=∠CAD．∵∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°，∴∠CDH=∠H，∴CD=CH=AC．∵BD=DH，AC=CH，∴S△CDH=12S△ADH14=S△ABH．∵AE=EC，∴S△ABE14=S△ABH，∴S△CDH=S△ABE．∵S△OBD﹣S△AOE=S△ADB﹣S△ABE=S△ADH﹣S△CDH=S△ACD．∵AC=CD=3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12⨯3×392=．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．13．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为14，BC=8，则AC 的长为A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】【分析】根据题意可得MN是直线AB的中点，所以可得AD=BD，BC=BD+CD，而△ADC为AC+CD+AD=14，即AC+CD+BD=14，因此可得AC+BC=14，已知BC 即可求出AC .【详解】根据题意可得MN 是直线AB 的中点AD BD ∴= ADC 的周长为14AC CD AD ++=14AC CD BD ++=∴BC BD CD =+14AC BC =∴+已知8BD =6AC ∴= ，故选B【点睛】本题主要考查几何中的等量替换，关键在于MN 是直线AB 的中点，这样所有的问题就解决了.14．如图所示，等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，其中1(0,1)A ，()21,13A --，()31,13A -，4(0,2)A ，()52,223A --，……，按此规律排下去，则2019A 的坐标为（ ）A ．(673,6736733-B ．(673,6736733--C ．(0,1009)D ．(674,6746743- 【答案】A【解析】【分析】 根据等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，及点的坐标特征，每三个点一个循环，2019÷3=673，A 2019的坐标在第四象限即可得到结论．【详解】∵2019÷3=673，∴顶点A 2019是第673个等边三角形的第三个顶点，且在第四象限．第673个等边三角形边长为2×673=1346，∴点A 2019的横坐标为 12⨯1346=673．点A 2019的纵坐标为673-134632⨯=673﹣6733．故点A 2019的坐标为：()673,6736733-．故选：A ．【点睛】本题考查了点的坐标、等边三角形的性质，是点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质，确定出点A 2019所在三角形是解答本题的关键．15．如图，等腰ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP OC =.下列结论：①30APO DCO ∠+∠=；②APO DCO ∠=∠；③OPC ∆是等边三角形；④AB AO AP =+.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 ①②连接OB ，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP ，即可解题；③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；④AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ ，即可解题.【详解】连接OB ，∵AB AC =，AD ⊥BC ，∴AD 是BC 垂直平分线，∴OB OC OP ==，∴APO ABO ∠=∠，DBO DCO ∠=∠，∵AB=AC ，∠BAC =120∘∴30ABC ACB∠=∠=︒∴30ABO DBO∠+∠=︒，∴30APO DCO∠+∠=．故①②正确；∵OBP∆中，180BOP OPB OBP∠=︒-∠-∠，BOC∆中，180BOC OBC OCB∠=︒-∠-∠，∴360POC BOP BOC OPB OBP OBC OCB∠=︒-∠-∠=∠+∠+∠+∠，∵OPB OBP∠=∠，OBC OCB∠=∠，∴260POC ABD∠=∠=︒，∵PO OC，∴OPC∆是等边三角形，故③正确；在AB上找到Q点使得AQ=OA，则AOQ∆为等边三角形，则120BQO PAO∠=∠=︒，在BQO∆和PAO∆中，BQO PAOQBO APOOB OP∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴BQO PAO AAS∆∆≌（），∴PA BQ=，∵AB BQ AQ=+，∴AB AO AP=+，故④正确.故选：D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，本题中求证BQO PAO∆∆≌是解题的关键．16．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6,∠BAC=120°，点P、Q分别是线段BC、射线BA上一点，则CQ+PQ的最小值为（）A ．6B ．7.5C ．9D ．12【答案】C【解析】【分析】 通过作点C 关于直线AB 的对称点，利用点到直线的距离垂线段最短，即可求解.【详解】解：如图，作点C 关于直线AB 的对称点1C ，1CC 交射线BA 于H ，过点1C 作BC 的垂线，垂足为P ，与AB 交于点Q ，CQ+PQ 的长即为1PC 的长.∵AB=AC=6,∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，易得BC=3在Rt △BHC 中，∠ABC=30°，∴HC=33BCH=60°， ∴163CC =在1Rt △PCC 中，1PCC ∠=60°，∴19PC =∴CQ+PQ 的最小值为9，故选：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及利用对称点求最小值的问题，认真审题作出辅助线是解题的关键.17．如图，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD ．有下列结论：①∠C =2∠A ；②BD 平分∠ABC ；③S △BCD =S △BOD ．其中正确的选项是（ ）A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①②【答案】D【解析】 ①、∵∠A=36°，AB=AC ，∴∠C=∠ABC=72°，∴∠C=2∠A ，正确；②、∵DO 是AB 垂直平分线，∴AD=BD ．∴∠A=∠ABD=36°．∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD ．∴BD 是∠ABC 的角平分线，正确；③，根据已知不能推出△BCD 的面积和△BOD 面积相等，错误；故选：D.18．如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，AH BC ⊥，AE 平分BAC ∠，M 是 BC 中点，则下列结论正确的个数为（ ）（1）AB BE AC += （2）2AB BH BC += （3）2AB HM = （4）CH EH AC +=A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】（1）延长AB 取BD=BE ，连接DE ，由∠D=∠BED ，2ABC C ∠=∠，得到∠D=∠C ，在△ADE 和△ACE 中，利用AAS 证明ADE ACE ≌，可得AC=AD=AB+BE ；（2）在HC 上截取HF=BH,连接AF ，可知△ABF 为等腰三角形，再根据2ABC AFB C ∠=∠=∠，可得出△AFC 为等腰三角形，所以FC+BH+HF=AB+2BH=BC ； （3）HM=BM-BH ，所以2HM=2BM-2BH=BC-2BH ，再结合（2）中结论，可得2AB HM =；（4）结合（1）（2）的结论，BC 2BH BE BC BH BE BH CH EH AC AB BE =+=-+=-+-=+.【详解】解：①延长AB 取BD=BE ，连接DE ，∴∠D=∠BED ，∠ABC=∠D+∠BED=2∠D,∵2ABC C ∠=∠，∴∠D=∠C ，在△ADE 和△ACE 中，DAE CAE D C AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE ACE ≌∴AC=AD=AB+BE ，故（1）正确；②在HC 上截取HF=BH,连接AF ，∵AH BC ⊥，∴△ABF 为等腰三角形，∴AB=AF ，∠ABF=∠AFB ，∵2ABC C ∠=∠，∴∠AFB=2∠C=∠C+∠CAF ，∴FC=AF=AB ，∴FC+BH+HF=AB+2BH=BC ，故（2）正确；③∵HM=BM-BH ，∴2HM=2BM-2BH=BC-2BH ，由②可知BC-2BH=AB ，∴2AB HM =④根据①②结论，可得:BC 2BH BE BC BH BE BH CH EH AC AB BE =+=-+=-+-=+，故（4）正确；故选D.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的外角以及全等三角形的判定和性质，结合实际问题作出合适辅助线是解题关键.19．如图，在△ABC 中，AB=AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线交AC 于D ，则△BCD 的周长为（ ）A．13B．15C．18D．21【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质，可由AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，得到AD=BD，进而得出△B CD的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．故选A．点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．20．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）A．2B．1+22C．2D2-1【答案】B 【解析】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为22；2，腰长为12，所以周长为11221 2222 ++=+.故答案为B.。
人教版八年级数学上册(三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法)竞赛培优题(含答案)
人教版八年级数学上册(三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法)竞赛培优题分数：100 考试时间：80分钟一、选择题(10=30分)1. 下列运算正确的是 （ ）A 、x 2 + x 3 = x 5B 、－2x ·x 2 =－2x 3C 、x 6÷x 2 = x 3D 、(－ x 2 )3 = x 62. 的值是（ ）A 、0B 、－2C 、2D 、 3. 下列各组图形中，是全等形的是（ ）A.两个含60°角的直角三角形B.腰对应相等的两个等腰直角三角形C.边长为3和4的两个等腰三角形D.一个钝角相等的两个等腰三角形4. 若二次三项式26x ax +-可分解成，则a ，b 的值分别为（ ）A ． 1，3B ． 1-，3C ． 1，3-D ． 1-，3-5.要使二次三项式25x x p -+在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值可以有（ ） A ． 2个 B ． 4个 C ． 6个 D ．无数个6.如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是( ) A 、3.5 B 、4.2 C 、5.8 D 、77.如图，把矩形纸片ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD ，对于下列结论，其中说法错误的是（ ）A.△EBD 是等腰三角形，EB =ED ；B .折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等；C .折叠后得到的图形是轴对称图形 ； D.△EBA 和△EDC 一定是全等三角形。
8.如图,等边三角形△ABC 的边长是6，面积是，AD 是BC 边上的高，点E 是AB 的中点，在AD 上求一点P ，则P B ＋PE 的和的最小值为( )A 、3B 、6C 、D 、9. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，已知△ABC 的 面积为28．AC ＝6，DE ＝4，则AB 的长为（ ） A ．6 B ．8 C ．4 D ．1010. 如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，点B 关于AC 的对 称点B ′恰好落在CD 上，若∠BAD ＝100°，则∠ACB 的 度数为（ ）A ．40°B ．45° C ．60° D ．80° 二、填空题(5=15分)11. 分解因式得正确结果为． 12. 满足的整数的值是 ．13. 如图：在△FHI 中，HF ＋FG=GI ，HG ⊥FI ，∠F=058，则∠FHI= 度。
人教版八年级数学上册第十一章 三角形培优综合训练(含答案)
(1)观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
正多边形边数 3
4
5
6
……
∠α的度数
______° _____° ______° ______° ……
n _____°
(2)根据规律，计算正八边形中的∠α的度数. (3)是否存在正 n 边形使得∠α=21°？若存在，请求出 n 的值，若不存在，请说明理由
C．30°
D．40°
7．若一个多边形的内角和等于 720°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
8．如图，在平面上将变长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠
放在一起，则 3 1 2 （ ）
A． 30°
B． 24
C． 20
D． 28
9．如图，在四边形 ABCD 中，∠A＋∠D＝α，∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点 P，则∠P＝( )
A．90°－ 1 α 2
B．90°＋ 1 α 2
C． 1 α 2
D．360°－α
10．如图，已知直线 AB ，CD 被直线 AC 所截，AB//CD ，E 是平面内任意一点（点 E 不 在直线 AB ，CD ，AC 上），设 BAE ，DCE ．下列各式：① ，② ， ③180 ，④ 360 ， AEC 的度数可能是（ ）
答案 1．B 2．B 3．A 4．B 5．B 6．A 7．B 8．B 9．C 10．D 11．9 12．20° 13．16 14．360° 15．△ABC 各边的长为 14cm、14cm、5cm． 16．∠EAD=10°，∠BAC=60° 17．这个多边形的边数为 18
180 18．(1)60，45，36，30°， n ；(2)22.5；(3)不存在
人教版八年级上册数学 全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)
人教版八年级上册数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____．【答案】AD的中点【解析】【分析】【详解】分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短.详解：如图，过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD∴△ABP≌△DC′P∴AP=PD即P为AD的中点.故答案为P为AB的中点.点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．2．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．【答案】2.【解析】【分析】【详解】过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等边三角形，∵△B′DE≌△BDE，∴B′F=1B′E=BE=2，DF=23,2∴GD=B′F=2，∴B′G=DF=23，∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴AB′=27．考点：1轴对称；2等边三角形.3．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，∆为等腰三角形，符合条件的C点有∠=︒，在x轴或y轴上取点C，使得ABCABO36__________个．【答案】8【解析】【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．【详解】解：如下图所示，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴和y轴各有两个交点，但其中一个会与点B重合，故此时符合条件的点有3个；若以点B为圆心，以AB为半径画弧，同样与x轴和y轴各有两个交点，但其中一个与点A重合，故此时符合条件的点有3个；线段AB的垂直平分线与x轴和y轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．4．在锐角三角形ABC中．BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．【答案】4【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN 的最小值，再根据BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，∵BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE=BC•cos45°=32×22=4．∴CM+MN的最小值为4．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．5．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm，则三角形的面积为__________【答案】4【解析】如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰长是4cm，可求得BD=12AB =4×12=2，因此此三角形的面积为：S=12AC•BD=12×4×2=8×12=4（cm2）．故答案是：4．6．如图，点A,B,C在同一直线上,△ABD和△BCE都是等边三角形，AE,CD分别与BD,BE交于点F,G，连接FG，有如下结论：①AE=CD ②∠BFG= 60°；③EF=CG；④AD⊥CD⑤FG ∥AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)【答案】①②③⑤【解析】【分析】易证△ABE≌△DBC，则有∠BAE＝∠BDC，AE＝CD，从而可证到△ABF≌△DBG，则有AF＝DG，BF＝BG，由∠FBG＝60°可得△BFG是等边三角形，证得∠BFG＝∠DBA＝60°，则有FG∥AC，由∠CDB≠30°，可判断AD与CD的位置关系．【详解】∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BD＝BA＝AD，BE＝BC＝EC，∠ABD＝∠CBE＝60°．∵点A、B、C在同一直线上，∴∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°．在△ABE和△DBC中，∵BD BAABE DBCBE BC∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∴AE＝CD，∴①正确；在△ABF和△DBG中，60BAF BDGAB DBABF DBG∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪==︒⎩，∴△ABF≌△DBG，∴AF＝DG，BF＝BG．∵∠FBG＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴②正确；∵AE＝CD，AF＝DG，∴EF=CG；∴③正确；∵∠ADB＝60°，而∠CDB=∠EAB≠30°，∴AD与CD不一定垂直，∴④错误．∵△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴∠GFB＝∠DBA＝60°，∴FG∥AB，∴⑤正确．故答案为①②③⑤．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质，证得△ABE≌△DBC是解题的关键．7．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有________个。
人教版数学八年级上等边三角形培优练习含答案
人教版数学八年级上册第十三章13.3.2 等边三角形培优练习一、选择题1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A.105°B.120°C.135°D.150°【答案】B2. 以下说法中，正确的命题是（）（1）等腰三角形的一边长为4 cm，一边长为9 cm，则它的周长为17 cm或22 cm；（2）三角形的一个外角等于两个内角的和；（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等；（4）等边三角形是轴对称图形；（5）如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（5）C．（2）（4）（5）D．（4）（5）【答案】D3. 已知直线DE与不等边△ABC的两边AC，AB分别交于点D，E，若△CAB=60°，则图中△CDE+△BED=()A.180°B.210°C.240°D.270°【答案】C4. 如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N，有如下结论：△△ACE△△DCB；△CM=CN；△AC=DN．其中，正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】B.5. 如图，已知△MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为()A.6B.12C.32D.64【答案】C.6.如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长（）A．2 B．3 C．1 D．8【答案】A7.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B。
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培优资料《三角形》
【例题讲解】
例题1：某等腰三角形的周长为30，求腰x和底y的取值范围．
例题2：已知：∠B=∠C=∠BAD，∠ADC=∠DAC，AE⊥BC，求∠DAE．
例题3：（1）如图1，这是一个五
角星ABCDE，你能计算出∠A+
∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗？为
什么？（必须写推理过程）
（2）如图2，如果点B向右移动
到AC上，那么还能求出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程）
（3）如图，当点B向右移动到AC的另一侧时，上面的结论还成立吗？
（4）如图4，当点B、E移动到∠CAD的内部时，结论又如何？根据图3或图4，说明你计算的理由．
例题4：Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=°；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？
（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
例题5：如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．
（1）∠E=°；
（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条
角平分线交于点F．
①依题意在图1中补全图形；
②求∠AFC的度数；
（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，求m，n的值．
【巩固练习】
1．已知线段AC=3，BC=2，则线段AB的长度（）
A．一定是5 B．一定是1 C．一定是5或1 D．以上都不对
2．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，
CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=
∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，
③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
3．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）
A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能
4．要想使一个六边形活动支架ABCDEF稳固且不变形，至少需要增加根木条才能固定．
5．一个多边形的一个外角为α，且该多边形的内角和与α的和等于840°，则这个多边形的边数为，α=度．
6．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P．设∠CAD、∠CBD、∠C、
∠D的度数依次为a、b、c、d，用仅含其中2个字母的代数式来表示∠P的
度数：．
7．已知a，b，c是△ABC的三边长，a=4，b=6，设三角形的周长是x．
（1）直接写出c及x的取值范围；
（2）若x是小于18的偶数①求c的长；②判断△ABC的形状．
8．如图，△ABC中，AB=AC，且AC上的中线BD把这个三角形的周长分成了12cm和6cm 的两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．
9．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE，DF分别是∠ABC，
∠ADC的平分线．（1）∠1与∠2有什么关系，为什么？（2）BE与DF有什么关系？请说明理由．
10．如图：∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
且BE、CE交于点E，求证：∠E=∠A．
11.如图，已知△ABC，P为内角平分线AD，BE，CF的交点，过点P作PG
⊥BC于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系，并说明理由.
12．小明在学习三角形的知识时，发现如下三个有趣的结论：
在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）如图1，M为边AC上一点，则BD，MF的位置关系是，并证明；
（2）如图2，M为边AC反向延长线上一点，则BD，MF的位置关系是，并证明；（3）如图3，M为边AC延长线上一点，则BD，MF的位置关系是，并证明．
第14题图1 第14题图2 第15题图3。