随机信号分析实验：随机序列的产生及数字特征估计

实验一 随机序列的产生及数字特征估计

实验目的

1. 学习和掌握随机数的产生方法。

2. 实现随机序列的数字特征估计。

实验原理

1.随机数的产生

随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。

在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。

(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布，即U(0,1)。实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：

N

y x N ky y y n

n n n =

==-) (mod ,110 （1.1）

序列{}n x 为产生的(0,1)均匀分布随机数。

下面给出了（1.1）式的3组常用参数：

① 1010=N ，7=k ，周期7

105⨯≈；

②（IBM 随机数发生器）312=N ，3216+=k ，周期8

105⨯≈； ③（ran0）1231

-=N ，5

7=k ，周期9

102⨯≈；

由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。

定理1.1 若随机变量X 具有连续分布函数)(x F X ，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有

)(1

R F X X -= （1.2）

由这一定理可知，分布函数为)(x F X 的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按（1.2）式进行变换得到。

2.MATLAB 中产生随机序列的函数 （1）(0,1)均匀分布的随机序列

函数：rand

用法：x = rand(m,n)

功能：产生m ×n 的均匀分布随机数矩阵。 （2）正态分布的随机序列 函数：randn

用法：x = randn(m,n)

功能：产生m ×n 的标准正态分布随机数矩阵。

如果要产生服从),(2σμN 分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。 （3）其他分布的随机序列

MATLAB 上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数，表1.1列出了部分函数。

表1.1 MATLAB 中产生随机数的一些函数

分布 函数 分布 函数 二项分布 binornd 指数分布 exprnd 泊松分布 poissrnd 正态分布 normrnd 离散均匀分布 unidrnd 瑞利分布

raylrnd 均匀分布 unifrnd

2χ方分布

chi2rnd

3.随机序列的数字特征估计

对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。这里我们假定随机序列)(n X 为遍历过程，样本函数为)(n x ，其中1,,2,1,0-=N n 。那么，)(n X 的均值、方差和自相关函数的估计为

∑-==1

)(1ˆN n X n x N

m

（1.3）

[]∑-=--=10

2

2ˆ)(11ˆN n X

X

m n x N σ （1.4） () ,2,1,0 )()(1ˆ1

±±=+-=∑--=m m n x n x m

N m R M N n X

（1.5）

利用MATLAB 的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。 （1）均值函数 函数：mean 用法：m = mean(x)

功能：返回按（1.3）式估计)(n X 的均值，其中x 为样本序列)(n x 。 （2）方差函数 函数：var

用法：sigma2 = var(x)

功能：返回按（1.4）式估计)(n X 的方差，其中x 为样本序列)(n x ，这一估计为无偏估计。 （3）互相关函数 函数：xcorr

用法：c = xcorr(x,y)

c = xcorr(x)

c = xcorr(x,y,'opition') c = xcorr(x,'opition')

功能：xcorr(x,y)计算)(n X 与)(n Y 的互相关，xcorr(x)计算)(n X 的自相关。 option 选项可以设定为： 'biased' 有偏估计，即

() ,2,1,0 )()(1ˆ1

±±=+=∑--=m m n x n x N

m R M N n X

（1.6）

'unbiased' 无偏估计，即按（1.5）式估计。 'coeff' m = 0时的相关函数值归一化为1。 'none' 不做归一化处理。

实验内容

1.采用线性同余法产生均匀分布随机数1000个，计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。改变样本个数重新计算。

MATLAB实验代码：

>> y(1)=1;

>> for n=2:1001

y(n)=mod(7*y(n-1),10^10);

x(n)=y(n)/10^10;

end; end语句以前是线形同余法

>> plot(x); 画出随机序列x[n]

>> m=mean(x); 求均值

>> stem(m,'fill'); 画出均值的图形

>> sigma1=var(x); 求方差

>> stem(sigma1,'fill'); 画出方差图形

实验结果：

随机序列