2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第一章 第一节集合的概念与运算 理

【金版学案】2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第一
章第一节集合的概念与运算
近三年广东高考中对本章考点考查的情况
本章主要包括两个内容：集合、常用逻辑用语．
1．集合主要包含两部分：集合的含义与表示以及集合的运算．
(1)对于集合的概念问题，学生在解题过程中易忽视集合的互异性，学会检验是处理此类问题最好的方法．
(2)研究元素与集合的关系，主要有两点：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．某个集合
在另一个集合中，也可以为元素．此外，在处理两个集合之间的关系时，需时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
(3)对于集合的运算，应充分利用数轴、Venn图的直观性来帮助解题．同时，在解题中融入分类讨论、数形结合等思想方法．
2．常用逻辑用语主要包含三部分：命题及命题的四种形式、充要条件、量词．
(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”和“逆否命题”．
(2)有关充要条件的证明必须分“充分性”和“必要性”两个环节分别进行推理论证，证明时易出现充分性与必要性概念混淆的情形，因此证明时必须依“定义”弄清楚．
(3)逻辑联结词“或”、“且”、“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，要注意类比．其中对逻辑联结词“或”的理解是难点．
(4)全(特)称命题的否定与命题的否定有区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定则是直接否定结论即可．从近几年的高考题来看，常以逻辑联结词“或”、“且”、“非”为工具，考查函数、不等式、数列、立体几何、解析几何等知识．
预测高考仍以选择题、填空题为主要考查题型，难度以容易题为主，以基本概念、基本方法为考查对象，以函数、不等式、三角、立体几何、解析几何等知识为依托，重点考查集合的运算，全称命题与特称命题的否定，判断特称命题、全称命题的真假，确定充分(或必要)条件等内容．
本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意：
1．复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联系，另一方面是对集合知识的应用．
2．主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对集合中的元素的属性要分清楚．
3．要注意逻辑联结词“或”、“且”、“非”与集合中的“并”、“交”、“补”是相关的，二者相互对照可加深对双方的认识和理解．
4．复习常用逻辑用语知识时，要抓住所学的几个知识点，通过解决一些简单的问题达到理解、掌握常用逻辑知识的目的．
要突出常用逻辑用语的工具性作用，从概念入手，根据有关的符号、术语、关系、条件，结合实际问题进行逻辑推理，重点是命题的相互关系，全称量词、存在量词及其否定，确定命题成立的充分或必要条件．复习应侧重于以下几点：
(1)能写出已知命题的四种形式，会根据命题的相互关系判断充分(或必要)条件、充要条件．
(2)了解简单逻辑联结词，能用数学符号表示命题，并能根据简单命题的真假判定复合命题的真假．
(3)理解全称量词、存在量词及其关系，能区分否命题与命题的否定的不同．
5．集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通．
第一节集合的概念与运算
1．集合的含义与表示：
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的
具体问题．
2．集合间的基本关系：
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(2)在具体情境中了解全集与空集的含义．
3．集合的基本运算：
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交
集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
知识梳理
一、集合的含义与表示方法
1．集合的含义：把研究的对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．2．集合元素的性质：________、________、________.
3．元素与集合的关系：①属于，记为________；②不属于，记为________．
4．集合的表示方法：________、________和________．
5．常用数集的记号：空集________，正整数集________，自然数集________、整数集________，有理数集________，实数集________，复数集________．
二、集合间的基本关系
三、集合的基本运算
四、有限集的子集数的求法
设有限集A的元素个数为n，则(1)A的子集个数为2n；(2)A的真子集个数为2n－1；(3)A 的非空子集个数为______；(4)A的非空真子集个数为______．
基础自测
1．(2013·广州模拟)设全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝{1,2}，B＝{－2,1,2}，则A∪(∁U B)等于 ( )
A．∅B．{1}
C．{1,2} D．{－1,0,1,2}
解析：由题意可知∁U B＝{－1,0}，所以A∪(∁U B)＝{－1,0,1,2}，故选D.
答案：D
2．(2013·北京东城区模拟)设全集U＝R，A＝{x|－x2－3x>0}，B＝{x|x < －1}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A ．{x |x >0}
B ．{x |－3<x <－1}
C ．{x |－3<x <0}
D ．{x |x <－1}
解析：依题意，得集合A ＝{x |－3<x <0}，所求的集合即为A ∩B ，所以图中阴影部分表示的集合为{x |－3<x <－1}．故选B.
答案：B 3．(2013·揭阳二模)已知全集U ＝R ，A ＝{}x |y ＝2x －1则 ∁U A ＝( ) A ．[0，＋∞) B．(－∞，0) C ．(0，＋∞) D．(－∞，0]
解析：集合A 即函数y ＝2x －1的定义域，由 2x －1≥0求得x ≥0，A ＝[0，＋∞)，故∁U A ＝(－∞，0)，故选B.
答案：B
4．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x ||x －a |≤1}，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围为________．
解析：化简得B ＝{x |a －1≤x ≤1＋a }．∵A ∩B ＝A ， ∴A ⊆B .∴a －1≤1且1＋a ≥2.解得1≤a ≤2. 答案：[1,2]
1．(2013·广东卷)设集合M ＝{x |x 2
＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R } ，则M ∪N ＝ ( )
A ．{0}
B ．{0,2}
C ．{－2,0}
D ．{－2,0,2}
解析：易得M ＝{－2,0}，N ＝{0,2}，所以M ∪N ＝{－2,0,2}，故选D. 答案：D
2．(2013·上海卷)设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )
A ．(－∞，2)
B ．(－∞，2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
解析：集合A 讨论后利用数轴可知，⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≥1，
a －1≤1或
解得a ≤2 ，故选B.
答案：B
1．(2013·梅州二模)已知集合A ＝{3，a 2
}，集合B ＝{0，b,1－a }，且A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝( )
A ．{0,1,3}
B ．{1,2,4}
C ．{0,1,2,3}
D ．{0,1,2,3,4}
解析：因为集合A ＝{3，a 2}，集合B ＝{0，b,1－a }，且A ∩B ＝{1}，所以a 2＝1，解得：a ＝1或a ＝－1，
当a ＝1时，1－a ＝1－1＝0，不合题意，舍去； 当a ＝－1时，1－a ＝1－ (－1)＝2，此时b ＝1，
所以集合A ＝{3,1}，集合B ＝{0,1,2}，则A ∪B ＝{0,1,2,3}．故选C. 答案：C
2.(2013·广州模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N
－M )，设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ≥－94，B ＝{x |x <0}，则A ⊕B ＝( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，0
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞)
D.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞)
解析：因为A －B ＝{x |x ≥0}，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－94，所以A B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x <－9
4或x ≥0. 答案：C。