画线段的和差倍

和差倍问题(四年级)

和差倍问题和差倍问题是指已知几个数的和、差或它们的倍数关系（其中的两项），求这几个数的应用题。

包括和倍问题、差倍问题、和差问题这三类应用题，及可以转化为这三类应用题的比较复杂的倍数问题。

这几类应用题有比较相似的数量关系和解题思路，列方程来解非常简单，但四年级孩子没有学过方程法解题，需要根据数量关系逆向推理，列综合算式解答。

教学中常常采用画线段图的方法来分析各种数量间的关系，帮助孩子理解题意，寻找解题途径。

解题关键是，要在题目中确定一个数量为标准（常以最小数为标准，即1倍量），把标准量看作一份，再根据其它数量与标准量的倍数关系，找出几个数量的和、差或（和+差）、（和-差）对应的份数，通过除法计算先求出标准量，再算出其它相关数量。

涉及两个数的和差倍问题，最基本数量关系有以下3组：①和倍问题：已知大小两个数的和及它们的倍数关系，求这两个数。

和÷（倍数+1）=小数；小数×倍数=大数。

②差倍问题：已知大小两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。

差÷（倍数-1）=小数；小数×倍数=大数。

③和差问题：已知大小两个数的和与两个数的差，求这两个数。

（和+差）÷2=大数；（和-差）÷2=小数。

模仿训练，练习1【题目】：一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？【解析】：先求出长方形长和宽的和：36÷2=18（厘米）；把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应的就是3份，所以长方形的宽是：18÷（2+1）=6（厘米）；长是：6×2=12（厘米）；这个长方形的面积是：12×6=72（平方厘米）。

模仿训练，练习2【题目】：北京路小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。

已知红花的朵数比黄花的2倍少30朵。

问两种花各有多少朵？【解析】：我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下：从线段图中可以看出，两种花的总和再添上30朵，正好对应了3份。

四年级数学人教版秋季奥数：第二讲和差倍问题

第二讲和差倍问题知识点讲解什么是和差倍问题？知道两个数的和或者两个数的差或者两个数之间的倍数关系，从而让我们去求这两个数分别是多少的问题，通通叫做和差倍问题。

和差倍问题有哪些类型？和差倍问题的类型：和差问题、和倍问题、差倍问题。

和差问题：已知两数的和与两数的差，求两个数各是多少的应用题，叫和差问题应用题。

公式：大数=（和+差）÷2小数=（和-差）÷2和倍问题：已知两个数的和与这两个数的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题，我们通常把它叫做和倍问题。

公式：小数=两数和÷（倍数+1）大数=小数×倍数大数=两数和-小数注:小数为1倍量，大数为多倍量。

差倍问题：已知两数的差和它们之间的倍数关系，要求出这两个数各是多少的应用题叫差倍问题。

公式：小数=差÷（倍数－1）大数=小数×倍数大数=小数+差注:小数为1倍量，大数为多倍量。

例题讲解（差倍问题）差倍问题基本差倍问题1、学校合唱团成员中，女生人数是男生的3倍，而且女生比男生多80人，合唱团里男生和女生各有多少人？先找到差倍关系，再画出线段图分析∶从线段图中可以看出差是80，倍数是3在差倍问题中，差÷(倍-1)=1倍数所以男生有80÷(3-1)=40(人)女生有40×3=120(人)也可以根据差的关系计算女生有40+80=120(人)同步练习1、学校合唱团成员中，三年级的人数是二年级的4倍，二年级的人数比三年级少36人，合唱团里二年级、三年级各有多少人？小结：基本差倍问题：和÷（倍-1）=1倍量1倍量+差=多倍量1倍量×倍数=多倍量差倍问题含有“暗差”的差倍问题2、牛牛和乐乐两人分别带了150元、70元去买东西。

两人买了同样的东西之后，牛牛剩下的钱是乐乐剩下的5倍。

那么牛牛、乐乐两人身上还剩下多少钱？每人花了多少钱?牛牛剩下的钱是乐乐剩下的5倍还要找到他们剩下的钱数的差两人买了同样的东西花的钱数一样，所以前后差不变。

7.2 画线段的和、差、倍

课堂小结作业布置课后反思
1. 线段的和、差、倍、分的画法 2. 线段中点的定义
AM = MB ， AM = MB ， BM = 1 AB
2
AB = 2 AM ， AB = 2 MB 7. 已知线段 AB，你会画出它的中点 C 吗？除了用尺测量，你还有其他方法吗？ 8. 介绍用尺规作线段 AB 的中点解：（1）以点 A 为圆心，以大于 AB 的长 a 为半径作弧，以点 B 为圆心，以 a 为半径作弧，两弧分别相交于点 E、点 F；（2）作直线 EF，交线段 AB 于点 C. 点 C 就是所求的线段 AB 的中点
年级：六年级（下）课题名称授课时间第学习目标重点难点
1. 2. 3.
科目：数学 7.2 画线段的和、差、倍课型第节新授课主备课人汤爱雯
周星期
理解线段可以相加减，掌握用直尺、圆规作线段的和、差、倍掌握线段中点的定义，了解线段中点的五种表示法掌握用度量法求作线段的中点，了解如何用直尺圆规作线段中点Βιβλιοθήκη 学习过程与方法
课题： 7.2 画线段的和、差、倍二、新课讲授 1．这几条线段之间的等量关系 AB+ BC= AC AC- BC= AB AC- AB= BC 2．由此，你可以得到怎样的结论两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的和（或差） 3．例题 1：如图,已知线段 a、b, 1）画出一条线段 , 使它等于 a+b 2）画出一条线段 , 使它等于 a-b ※学生尝试画图（）（1）①画射线 OP; ②在射线 OP 上顺次截取 OA=a, AB=b 线段 OB 就是所要画的线段. （2）①画射线 OP; ②在射线 OP 上截取 OC=a，在射线 OC 上截取 CD=b 线段 OD 就是所要画的线段. 注意画图语句的叙述

小学数学解题方法和倍问题差倍问题

和倍问题差倍问题和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。

解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。

求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。

根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。

解答和倍应用题的最好助手是，采用画线段图的方法来表示两种量间的数量关系，以便找到解题的途径；理解和倍问题中各个量之间的关系。

和倍问题和+（倍数-1）=小数小数X倍数=大数差倍问题差。

（倍数-1）=小数小数X倍数=大数一、和倍问题例题例1：甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？集体讨论：甲班和已班各占多少分，你能不能画出倍数图线？分析与解答：设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：乙班〕本位3倍口本甲班（ -- ，.. •，1T本解：乙班：160+（3+1）=40 （本）甲班：40X3=120 （本）或160-40=120（本）答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。

这道应用题解答完了，怎样验算呢？可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160本；再把甲班的本数除以乙班本数，看是不是等于3倍.如果与条件相符，表明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。

验算：120＋40=160（本）120 + 40=3 （倍）。

例2：汽车运输场有大小货车115辆，大货车比小货车的5倍多7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？分析：大货车比小货车的 5 倍还多7辆，这7 辆也在总数115辆内，为了使总数与（5+1）倍对应，总车辆数应（115-7）辆。

列式为（115-7 ） + （5+1 ）=18 （辆）18 X 5+7=97 （辆）例3：甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？集体讨论：你能画出图线来表示题中甲班和已班的倍数的关系吗？工班二p题本_________________：_ 、甲班（12 0本分析与解答：解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。

(完整版)画线段图解决倍数问题

海豚教育个性化简案学生姓名：朱泽遇年级：四年级科目：数学授课日期：月日上课时间：时分 ------ 时分合计：小时教学目标1.会根据题意准确画出线段图并准确列出算式2.体会数学思考的严谨性和数学结论的确定性，培养对数学的积极情感。

重难点导航1.画线段图找数量关系2.列综合算式教学简案：画线段图解决倍数问题1.知识点整理2.方法指导3.典型例题4.模仿练习授课教师评价：□准时上课：无迟到和早退现象（今日学生课堂表□今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况（大写）□海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象学生签字：教师签字：备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹贰叁肆签章：海豚教育个性化教案教学内容【知识整理】混合运算和应用题混合运算三步式题：小括号中有两级运算，先算乘、除法，后算加减法三步计算的文字叙述题两、三步计算的应用题两步应用题：连乘连除的应用题（两种方法）三步应用题：（是在求两数和、差及倍数关系的一步应用题的基础上发展起来的）简单的数据整理和求平均数数据整理求平均数123...⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪【方法指导】混合运算应用题—和倍问题和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

和倍（一倍的数量）=和÷（倍数+1）【典型例题】根据线段图列式【模仿练习】小敏有14元，小花有10元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的2倍？【典型例题】师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？从线段图上可以看出，把徒弟加工的个数看作1份数，师傅加工的个数就比3份数还多5个，如果师傅少加工5个，两人加工的总数就少5个，总数变为（105-5）个，这样这道题就转化为例5类型的题目，就可以求出师傅和徒弟各加工多少个了.列式：如果师傅少做5个师、徒共做：105-5=105(个)，徒弟做了：100÷（3+1）=25(个),师傅做了：25×3+5=80(个)．【模仿练习】1．小卫家里养了20只兔子，其中大兔只数是小兔的4倍，问小卫家养的小兔和大兔各有多少只？2．某校四、五年级共有学生218人，五年级学生人数比四年级的2倍少22人。

五年级-和差倍问题-大班课课件

动动手，画画图
男生的数量比女生的3倍还多5人
动动手，画画图
在一个除法算式中，商是5，没有余数
a÷b=5
动动手，画画图
在一个两位数的末尾加个零
56 560
动动手，画画图
甲数的小数点向右移动一位就是乙数
2.5 25
一开始就完美
八戒和悟空，两人一共吃了140个西瓜，八戒吃的数量是悟空的4倍，你知道两人各吃了多少西瓜吗？
只要看到有倍字一画二标三列式
小试牛刀
姐姐妹妹
妹妹分到的是姐姐的2倍
一开始不完美
甲、乙两箱薯片共重700千克，从甲箱取出24千克放入乙箱，那么乙箱的重量是甲箱的4倍，问两箱原有薯片各多少千克？
五年级上册必考题
甲乙两数的和为13.2，若将乙数的小数点向左移动一位正好与甲数相等。甲数是（），乙数是（）
第六讲和差倍问题
一.和倍问题二.差倍问题
一.和倍问题
整倍问题我家老鼠的数量是人数量的3倍，蟑螂数量是老鼠的2倍
只要看到有个倍画出线段没问题
接下来，让我们看几个关于“倍”的完美表达
动动手，画画图
苹果的数量是梨的5倍
动动手，画画图
鸡的数量是兔子的4倍
动动手，画画图
杨树的数量是柳树的3倍
画图小技巧
小数点向右移动一位：移动之前（1段）移动之后（10段）小移数动点之向前右（移1段动）两移位动：之后（100段）
二、差倍问题
明差型
⻁鲨
鲸鲨
鲸鲨⻓度是⻁鲨的5倍，鲸鲨比⻁鲨⻓15米
小⻢⻁错题系列
1.将加数看错ຫໍສະໝຸດ 例题1单选题小⻢⻁在计算3.65+2.08，错误的看成3.65+2.8，算出的结果会（）

和倍、差倍、和差问题解析

第六讲和倍问题、差倍问题及和差问题一．和倍问题和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题。

为了帮助我们理解题意，弄清两个量之间的数量关系，经常采用画线段的方法来表示两个量间的这种关系。

例1．甲班和乙班共有图书160本，甲班的图书本书是乙班的3倍，甲、乙两班各有图书多少本？解：乙班：160÷(3+1)=40（本）；甲班：40×3=120（本），或160–40=120（本）。

答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。

例2．甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍。

解：甲、乙两班共有图书是120+30=150（本），甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是2+1=3倍，乙班现有的图书是150÷3=50本，所以甲班给乙班的图书是50–30=20本。

答：甲班给乙班20本后，甲班的图书是乙班图书的2倍。

例3．光明小学有学生760人，其中男生人数比女生人数的3倍少40人，问男、女生各有多少人？解：160本甲班乙班甲班乙班女生人数：(760+40)÷(3+1)=200（人），男生人数：200×3–40=560人，或者760–200=560（人）。

答：男生有560人，女生200人。

例4．果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵，桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？解：梨树的棵树：(552+20–12)÷(1+2+1)=560÷4=140（棵）；桃树的棵树：140×2+12=292（棵）；苹果树的棵树：140–20=120棵。

答：桃树、梨树和苹果树分别有292、140、120棵。

例5．549是甲、乙、丙、丁四个数的和，如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则四个数相等，求四个数各是多少？解：女生760人男生20棵苹果树梨树552棵桃树丙数是：(549+2–2)÷(2+2+1+4)=549÷9=61；甲数是：61×2–2=120；乙数是：61×2+2=124；丁数是：61×4=244。

和差倍问题二

二：
一：
3 3
73
二：73-3×3=64（万元）64÷8=8（万元）共：8×4+3=35（万元）
例5(★★★)特殊型甲乙共83颗糖，乙丙共有86颗糖，丙丁共有88颗糖，请问：甲和丁共有多少颗糖？
甲+乙=83 一乙+丙=86 二
丙+丁=88 甲+丁=？
三
一+三：甲+乙+丙+丁=83+88 四四-二：甲+丁=83+88-86=85
10
露露：
乐乐：
80
一倍数：（80-10）÷（1+6）=10（元）
露露带了：10+10=20（元）
总结
解题步骤 1.画线段图 2.找对应关系 3.求一倍数 4.求解隐藏条件寻找不变量数形结合
例2(★★★) 下课了，同学们一起玩老鹰捉小鸡的游戏，男生做老鹰时，发现男女生人数一样多；女孩当老鹰时，男生比女生的人数多一倍。你能求出男女各几人？ 1人女生：女生： 1人男生：男生：
总结读句子会写等式。
合理凑数，设一倍不好算就设他们公共例6(★★★★★)的倍数，而设的往往是最小的公倍数
不凡手里有三种颜色的卡片，其中黄色卡片的数量最多，是红色卡片的4倍，是蓝色卡片的3倍，蓝色的比红色的多20张。请问不凡手里共有多少张卡片？
设黄：12
红：3 蓝：4
一份；20÷（4-3）=20（张）
总共；20×（12+3+4）=380（张）
总结不变量是常用的突破口，需牢记。
本讲总结
一、几种类型基础型复杂型特殊型
二、解题步骤 1.画线段图 2.找对应关系 3.求一倍数 4.求解

小学奥数和差、和倍、差倍问题

• 2，少先队一、二、三中队共植树165棵，二中队植树的棵树比一中队的2倍多5棵，三中队植树的棵树比一中队的3倍少20棵。三个中队各植树多少棵？
•
被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是多少？
？
•
除数
和是320 被除数
？
被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是多少？
• 思路导航：由商是7可知，被除数是除数的7倍，把
练一练 • 1，学校图书馆有故事书和连环画共920本，如果借出20本故事书后，故事书的本数就是连环画的 2倍。这两种书各有多少本？
• 2，饲养场有鸡和鸭共560只，如果卖出120只鸡后，鸡的只数就是鸭的3倍。饲养场有鸡和鸭各多少只？
为美化校园，学校买来松树、柏树和樟树共250棵，松树的棵树比柏树的2倍多3棵，樟树比柏树少5棵。求学校买回松树、柏树、樟树各多少棵？
• 思路导航：根据条件“松树的棵树比柏树的2
倍多3棵，樟树比柏树少5棵”，可知都是同柏树相比较，以柏树的棵树为标准，作为1份数额解答。已知三种数的总数是250棵，如果给樟树增加5棵，那么樟树就和柏树同样多了；再从松树里减少3棵，那么松树的棵树就相当于柏树的 2倍，而总棵树变为250+5-3=252棵，相当于柏树的4倍。
学校举行体育比赛，跑步的人数比跳远的4倍少 15人，已知跳远的比跑步的少45人，跑步的和跳远的各有多少人？
解：跳远：（45+15）÷（4-1）＝60÷3 ＝20（人）跑步：20×4-15＝65（人）答：跑步的有65人，跳远的有20人。
练一练
牧场里有一群羊，其中母羊比公羊232只，但母羊比公羊的4倍少68只。问牧场里母羊和公羊各有多少只？

2和差倍问题（学生）

1. 和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

解决和差问题我们可画线段图来分析，结论如下：1) 方法一：(和+差)2÷=大数和-大数=小数或大数-差=小数2) 方法二：(和-差)2÷=小数和-小数=大数或小数+差=大数2. 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题。

解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

和倍问题的数量关系式是：1) 和÷(倍数1+)=小数2) 小数⨯倍数=大数或和-小数=大数3. 差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题。

差倍问题的特点与和倍问题类似。

解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。

解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法。

被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量。

基本关系式：1) 差÷(倍数1-)=小数2) 小数⨯倍数=大数或小数+差=大数【例1】文具店有钢笔和圆珠笔共850支，当两种笔卖出同样多的支数后，还剩下钢笔123支，圆珠笔87支。

原来文具店有钢笔多少支？第二讲和差倍问题知识概述例题精讲【拓展】（2009年第八届“小机灵杯”三年级初赛）在6~26之间插入三个数，使它们每相邻的两个数的差相等，这些数的和是（）。

【例2】（2006年第五届“小机灵杯”三年级初赛）把27米长的一根绳子分成三段，使后一段都比前一段多3米。

那么，这三段绳子分别（）米、（）米、（）米。

【拓展】（2009年第八届“小机灵杯”三年级初赛）王强，李刚是哥哥，小丽，小红是妹妹，四人的年龄和为90，哥哥都比妹妹大4岁，小红比王强小5岁。

小红多少岁？【例3】（2009年第八届“小机灵杯”三年级初赛）两正整数的和是18，其中一个数是另一个数的5倍，这两数分别是（）和（）。

学而思三年级竞赛班(第四讲和差倍)

杨树
杨树
柳树槐树
柳树
10 200
槐树
6
计算：200-10+6=196（棵）一倍数：196÷（2+1+1）=49（棵）杨树：49×2=98（棵）柳树：49+10=59（棵）槐树：49-6=43（棵）
二、差倍问题（知道两个数的倍数关系以及这两个数的差，求这两个数各是多少的问题）
（一）整倍型例 6 甲乙两筐梨，甲筐比乙筐重 48 千克，甲筐每天可以卖出的数量是乙筐的 2 倍，4 天后
哥哥 45
弟弟
计算一倍数，即哥哥现在的图书量：（25+20）÷（1+2）=15（本）哥哥给弟弟的图书量：25-15=10（本）
（四）暗倍注意：数字问题中，末尾添一个 0 即为原来的 10 倍
例 4 两个数的和是 682，其中一个加数的个位是 0，如果把这个 0 去掉，就得到另一个加数，求两个加数各是多少。解析：大数把个位的 0 去掉，即是÷10，得到小数，那么可知大数是小数的 10 倍，那么和应该就是（1+10）=11 倍一倍数（小数）：682÷（1+10）=62 大数：62×10=620
例 2 商店运来桔子、苹果、香蕉共 53 千克，桔子的重量是苹果的 3 倍少 3 千克，香蕉的重量是苹果的 2 倍多 2 千克，桔子重多少千克？解析：苹果是 1 倍数，画出线段图
苹果
3 倍数
桔子
2 倍数
少3
53
香蕉
多2பைடு நூலகம்
看图可知，根据“多”的减去，“少”的加上的原则，53 加上 3，减去 2，则是一个整倍数。
三年级竞赛 2010 秋季第四讲和差倍
程雪
是乙堆的 3 倍，那么甲堆原来有零件多少个？李师傅一共生产了多少个？解析：如果从甲堆零件中拿 15 个放到乙堆中，则两堆零件个数相等，说明甲堆比乙堆多 15

线段的和差(53张PPT)数学

答案
解析
1
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7
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9
10
11
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18
CD
CB
解析由题图可知：BD＝BC＋CD，AD＝AC＋BD－CB.
(2)如果CD＝4 cm，BD＝7 cm，B是AC的中点，那么AB的长为_____cm.
答案
解析
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3
解析如果CD＝4 cm，BD＝7 cm，B是AC的中点，则BC＝BD－CD＝7－4＝3 cm，∴AB＝BC＝3 cm.
∴点O是线段AB的中点；∵AB＝2OB，∴点O是线段AB的中点.故选C.
答案
解析
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4.如图，C是线段AB上的一点，点D是线段BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则AD等于( )A.4 B.6 C.7.5 D.8
D
解析 ∵BC＝AB－AC＝4，点D是线段BC的中点，∴CD＝DB＝ BC＝2，∴AD＝AC＋CD＝6＋2＝8.故选D.
中点
知识点2 与中点有关的计算
答案
自我检测2.点C是线段AB的中点，则下列结论不成立的是( )A.AC＝BC B.AC＝ ABC.AB＝2AC D.BC＝ AB
B
答案
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画线段图解决和差倍问题

画线段图解决和差倍问题这部分内容主要让学生通过解答只有两个已知条件的两步计算实际问题, 进一步实践并体验从问题出发分析和解决问题的策略,提高运用策略解决问题的能力。

教学目标 :1.经历探究和交流解决问题的过程,感受解决问题的策略,学会通过画线段图分析数量关系,掌握解决与和倍有关的两步计算的实际问题及相应的变式问题，提高学生解决问题的能力。

2. 感受数学与日常生活的密切联系,进一步增强学生对学习数学的兴趣和信心,初步形成独立思考的习惯和探究问题的意识。

教学重点 :用线段图辅助解决两步计算的和倍问题。

教学难点:分析数量关系。

教学准备 :课件教学方法:探究法、讨论法、、教师导学法、学生自学法，倡导自主、合作、探究的学习方式,教学过程 :一、谈话引入谈话:同学们,昨天妈妈带小明去人民公园玩，在公园门口他遇到这样的问题，他想知道这一天公园一共接待游客多少人？你们愿意帮助小明吗?设计说明:数学教学应以生活为原型,数学教学的内容应体现学生的社会生活。

这样把社会生活中的题材引入到数学课堂教学中, 会让学生感到数学课堂的亲切, 激起学习的兴趣。

二、呈现例题,弄清题意1. 教学例题。

(1)课件出示例题的教学情境图,引导学生认真观察。

(2)理解题意。

让学生观察情境图,说说从中获得了哪些信息。

追问:你能理解“下午接待游客是上午的3倍, 这一天一共接待游客多少人？”的意思吗?设计说明:先呈现例题中的情境图,引导学生收集数学信息,把理解题意的重点放在“下午接待游客是上午的3倍,这一天一共接待游客多少人?”这句话的含义上,不仅有助于激发学生的生活经验,而且能使接下来的画线段图分析数量关系, 解答问题提供了支持。

三、运用策略,探寻思路1. 引导:怎样解决“这一天公园一共接待游客多少人?”这一问题呢?今天我们还请来了一位数学小助手,它的名字叫线段图。

我们可以借助线段图来分析题目中的数量关系。

①先画一条线段表示上午接待游客人数。

上午: 365人②下午接待游客的线段该怎么表示?画多长呢?(同桌合作画画) 引导:下午接待游客是上午的3倍,要画这样的 3份(指名板演)下午：下午接待游客是上午的3倍2. 想一想,算一算。

第四讲和差倍问题

“1”
梨：
苹果：
“3”
梨+苹果=40（个）
1份+3份=40（个） 40÷（1+3）=40÷4=10（个）
梨： 10×1=10（个）
苹果：10×3=30（个） 30-10=20（个）
答：苹果比梨多20个。
例二：交通协管员一个月一共开出78张罚单。这些罚单有两种，一种是违章停车，一种则是闯红灯。违章停车的罚单比较多，比闯红灯罚单数的4倍还多3张，请问：违章停车的罚单共有多少？
菜包子：
“2”
画线段图：
肉包子：
菜包子+肉包子=90（个）
1份 + 2份 =90（个） 1份： 90÷（1+2）=90÷3=30（个） 30×1=30（个）答：肉包子有30个。
⒈ 一般选取较少的数量画成一段 ⒉ 在按照题目中条件所给的数量关系画出其他量的长度
随堂练习：苹果和梨一共有40个，其中苹果是梨的3倍，那么苹果比梨多多少个？
23只
11×3+1=33+1=34（只）
答：狼村有34只狼。
今天知识大家觉得简单吗？有没有学懂呢？
线段图法：谁少看作“1份”画一段
谁多根据条件画几段去多凑整倍算出一份的数量算出其他的数量
附加题：阿宝去水果店买苹果和梨，苹果的数量是梨的4倍少2 个，且苹果比梨多62个，请问：阿宝分别买了多少苹果和梨？
小山羊：卡莉娅： 92-4=88（颗） 88÷（1+3）=88÷4=22（颗）
“1”
“3”
4
22×3+4=66+4=70（颗）
答：卡莉娅有70颗糖。
例三：学校合唱团成员中，女生人数是男生的3倍，而且女生比男生多80人，合唱团里男生和女生各有多少人？

线段的和差倍分问题一

线段的和、差、倍、分问题（一）1．数有加减乘除四则运算，线段有和差倍分四则运算。

2．线段的和差倍分四则运算，关键是正确地画出图形，有时需要分类讨论。

3．对于比较复杂的，可设某个线段为x，找出等量关系，列一元一次方程求解。

4．结论：已知线段AB，点C是线段AB上任意．．一点，点M，N分别是线段AC与线段BC的中点，则MN=12 AB．证明：由于点M是AC中点，所以MC= 12AC，由于点N是BC中点，则CN=12BC，而MN=MC+CN=1 2（AC+AB）=12AB。

典型例题例1 如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=4cm，BC=2cm，那么AC两点之间的距离为（）A、2cmB、6cmC、2或6cmD、无法确定分析：本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题．解：本题有两种情形：（1）当点C在线段AB上时，如图：AC=AB-BC，又∵AB=4cm，BC=2cm，∴AC=4-2=2cm；（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图：AC=AB+BC，又∵AB=4cm，BC=2cm，∴AC=4+2=6cm．例2 如果A，B，C在同一条直线上，线段AB=6cm，BC=2cm，M是AB的中点，N是BC的中点，那么M、N两点之问的距离是（）A、4cmB、2cmC、4cm或2cmD、8cm或4cm分析：根据中点定义求出BM、BN的长度，然后分①点C不在线段AB，②点C在线段AB上两种情况进行讨论求解．解：∵AB=6cm，BC=2cm，M是AB的中点，N是BC的中点，∴BM=12AB=12×6=3cm，BN=12BC=12×2=1cm，①如图1，点C在线段AB的延长线上时，MN=BM+BN=3+1=4cm，②如图2，点C在线段AB上时，MN=BM-BN=3-1=2cm，综上所述，M、N两点之问的距离是4cm或2cm．例3 如图，线段AC=6 cm，线段BC=15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB=1：2，求MN的长．分析：因为点M是AC的中点，则有MC=AM= 12AC，又因为CN：NB=1：2，则有CN= 13BC，故MN=MC+NC 可求．解：∵M是AC的中点，∴MC=AM=12AC=12×6=3cm，又∵CN：NB=1：2，∴CN=13BC=13×15=5cm，∴MN=MC+NC=3cm+5cm=8cm．答：MN的长为8cm．强化训练：1．已知线段AB=8cm，点C是线段AB上任意一点，点M，N分别是线段AC与线段BC的中点，则线段MN= ．2．如图，线段AB=12cm，C是线段AB上任意一点，M，N分别是AC，BC的中点，MN的长为cm，如果AM=4cm，BN的长为cm．3．已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（）A、7cmB、3cmC、7cm或3cmD、5cm4．如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，M是AB的中点，N是DC的中点，MN=a，BC=b，那么AD等于（）A、a+bB、a+2bC、2b-aD、2a-b5．C，D是线段AB上任意两点，M，N分别是AC，BD的中点，若CD=a，MN=b，则AB的长为（）A、2b-aB、b-aC、2b+aD、以上均不对6．已知AB=10cm，在AB的延长线上取一点C，使AC=16cm，则线段AB的中点与AC的中点的距离为A、5cmB、4cmC、3cmD、2cm7．若M是AB的中点，C是MB上任意一点，那么与MC相等的是（）A、12（AC-BC）B、12（AC+BC）C、AC-12BC D、BC-128．已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为（）A、3：4B、2：3C、3：5D、1：29．C为线段AB上一点，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点；若AB=26cm ，AM=6cm。

和倍差倍和差问题

和倍、差倍、和差问题一、熟练掌握线段图画法二、熟练掌握解答倍数问题※线段图画法画线段图非常非常非常重要，是解决中常用的一种思考策略，它能将题中抽象关系以形象的方式表达出，更清楚地反映数量关系。

画线段图不会浪费时间，越复杂的题目越需要画图，可以说,会不会画图决定着你的解题能力,决定分数!※和倍、差倍、和差问题公式和倍问题：两数之和÷（倍数+ 1）=小数差倍问题：两数之差÷（倍数—1）=小数和差问题:（和+ 差）÷ 2 =大数（和—差）÷ 2 =小数稍复杂的倍数问题可能包含两个状态，我们一般抓住倍数的那个状态。

●和倍问题线段图1.甲班和乙班共有图书160本。

甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？（和倍)2.甲班和乙班共有图书210本.甲班的图书本数是乙班的3倍多10本,甲班和乙班各有图书多少本？（和倍)3.甲班和乙班共有图书150本.甲班的图书本数是乙班的3倍少10本，甲班和乙班各有图书多少本?（和倍) 4.甲班和乙班共有图书150本。

甲班的图书给乙班20本后，两班就一样多，甲班和乙班原来各有图书多少本？（和倍)●差倍问题线段图1.甲班的图书比乙班多160本。

甲班的图书本数是乙班的3倍,甲班和乙班各有图书多少本?(差倍)2.甲班的图书比乙班多160本。

甲班的图书本数是乙班的3倍多10本,甲班和乙班各有图书多少本？(差倍）3.甲班的图书比乙班多160本。

甲班的图书本数是乙班的3倍少10本，甲班和乙班各有图书多少本?(差倍)●和差问题线段图甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数比乙班的多20本，甲班和乙班各有图书多少本？（和差）和倍问题习题（一)1．小红和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈年龄是小红年龄的4倍，小红和妈妈各几岁？2．小红和妈妈的年龄加在一起是49岁，妈妈年龄是小红年龄的4倍多4岁，小红和妈妈各几岁？3．小红和妈妈的年龄加在一起是49岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍少1岁，小红和妈妈各几岁？4．小明买大书和小书共25本,其中大书的本数比小书的本数的2倍多4本，大书的本数有几本，小单线的书有几本?5．小明买大书和小书共25本，其中大书的本数比小书的本数的2倍少5本,大书的本数有几本，小单线的书有几本?6．师傅和徒弟共生产零件190个，师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个；师、徒各生产几个？7．一块长方形木板，长是宽的2倍，周长是54厘米。

第4讲和差倍问题

和差倍问题课首小测（100分）1、0.36里面有36个（）分之一, 化成分数是（）。

2、把3米长的绳子平均分成5段，每段长（）米，每段占这条绳子的（）。

3、A ÷B ＝5（A ，B 是不为0的自然数），则A 和B 的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

4、分数单位是81的所有最简真分数的和是（）。

5、解方程。

32＋x ＝1211x －135＝416、计算下列题，能用简便算法的要用简便算法。

)4183(43+-31838532+++7、幼儿园买来一些糖果，第一次吃了它的51，第二次比第一次少吃了这些糖果的61，两次一共吃了这些糖果的几分之几？培优导学知识点一：和倍问题和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数。

和倍问题的数量关系式是：和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数或和一小数=大数如果要求两个数的差，要先求1份数：l 份数×(倍数－1)=两数差解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。

例题大挑战1、根据线段图列式计算：2、小敏有14元，小花有10元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的2倍？3、小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍。

爷爷比小华大多少岁？4、师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？我爱展示1、5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。

每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？2、红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票56张．其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的2倍，蓝色纸盒里的彩票是红色纸盒的2倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票?3、果园里有梨树和苹果树共54棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？4、商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，橘子重多少千克?5、实验一小、实验二小两校共有学生2346人，如果实验一小增加146人，实验二小减少88人，两校的学生人数就相等，你知道两校实际各有多少人吗?知识点二：差倍问题解答差倍问题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。

线段和差倍分

（3）方程思想的运用。
课堂检测
1．如果线段AB＝13厘米，MA+MB＝17厘米，那么下面说法正确的是（ D ）
A．M点在线段AB上 B．M点在直线AB上 C．M点在直线AB外 D．M点可能在直线AB上，也可能在直线AB外
2．如图，点C是线段AB上一点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，
如果MC比NC长2cm，AC比BC长（B ）
思路1：算数法
思路2：设未知数
∵AB：BC：CD=2：3：4
4 ∴CD= 9 AD=8，
∴AD=18
由AB：BC：CD=2：3：4，设 AB=2x，BC=3x，CD=4x，则 AD=9x
∵CD=8，即4x=8，解得：x=2
又∵M是AD的中点 1
∴MD= 2AD=9 ∴MC=MD-CD=1
∴AD=9x=18 又∵M是AD的中点 ∴MD= 12AD=9
1 2
AB
类似的可以这样处理三等分点、四等分点等。
3、线段比例关系的处理
若AB：BC：CD=1：2：3，有以下两种处理方式：
【方式1】算数法
AD被分成了1+2+3=6份，所以AB=
1 6
AD，BC= 13
AD，
1
CD= 2AD 【方式2】设未知数
由AB：BC：CD=1：2：3，设AB=x，BC=2x，CD=3x
专题学习
线段的和差倍分计算
学习目标
• 理解线段的和、差，以及线段中点的意义，并能解决相关的问题。
1、线段的和差
AC=AB+BC AB=AC-BC BC=AC-AB
2、线段的倍分
知识梳理
若点C为线段AB的中点，则：
相等关系：AC=BC

和差倍问题3

2.草地上有黑兔、白兔、灰兔共27 只，黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只．黑兔、白兔、灰兔各有多少只？
【解析】画图分析：黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只，把黑兔比白兔多的，补到灰兔比白免少的部分，这样黑兔、白兔、灰兔共27 只也可以看成是3倍白兔这么多，因此可以先求出白兔的只数．列式：白兔：27÷3=9（只）黑兔：9+2=11 （只）灰兔：9-2=7（只）
1508070千克知道两个数的和以及它们的差要求这两个数解决和差问题需要我们画线段图来分析方法如下方法一数量和数量差2小数和小数大数方法二数量和数量差2大数和大数小数1
和差问题
知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数
【例1】两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克？
【巩固】1.学而思学校新进99本书，分给三、四、五三个年级，三年级比四年级多分了2本，四年级比五年级多分了5 本，三个年级各分得多少本书?

我们用图来表示题意：此题从两个数量扩展到三个数量．已知三年级比四年级多分了2本，四年级比五年级多分了5本，从线段图上可以清楚地看出：三年级比五年级多分了2＋5＝7(本)．如果三年级少拿7本，四年级少拿5本，那么书的总数就要减少 7＋5＝12(本)，总共就是99－12＝87(本)．87本相当于五年级所有的书本数的3倍，由此可以算出三年级四年级五年级三人各自书本的数量．五年级：[99－(2＋5+5）]÷3＝29(本) 四年级：29＋5＝34(本) 三年级：34＋2＝36(本)
2. 三年级同学参加义务劳动,一班和二班共搬砖830块,一班比二班少搬 70块,问一班,二班各搬砖多少块?
.(830+70)÷2=450(块)