常系数齐性非线性微分方程

因此特解为 y* x ( 1 x 1) e 2 x . 2
所求通解为
1 ( 2
x 2 x ) e2 x .
例3. 求解定解问题 y 3 y 2 y 1
解: 本题 0 , 特征方程为
y (0) y (0) y (0) 0
特解 y* x Qm ( x ) e
k
x
0, 不是根 k 1, 是单根, 2, 是重根
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
例1.
解: 本题 0 , 而特征方程为
的一个特解.
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为 代入方程 :
比较系数, 得
1 b0 1 , b1 3
(1) 若 不是特征方程的根, (2) 若 是特征方程的单根 , 即
为m 次多项式, 故特解形式为
(3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
是 m 次多项式, 故特解形式为 y* x 2Qm ( x) e x 则 Q(x)
小结 对方程
py qy e x Pm ( x ) y
一、
f ( x ) e Pm ( x ) 型
py qy e x Pm ( x ) y
①
x
设特解为 y* e x Q ( x) , 其中 Q (x) 为待定多项式 ,
为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 .
y* e x [ Q ( x) Q ( x) ] y* e x [ 2 Q ( x) 2 Q ( x) Q ( x) ]
e i x e i x e i x e i x ~ Pn ( x) f ( x) e x Pl (x) 2i 2 ~ Pl ( x) Pn ( x) ( i ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ e 2i 2 ~ Pl ( x) Pn ( x) ( i ) x e 2i 2 令 m max n , l , 则
的一个特解 .
不是特征方程的根, 故设特解为 代入方程得
(3 a x 3 b 4 c) cos 2 x (3 c x 3 d 4 a) sin 2 x x cos 2 x 3a 1 1 4 3b 4 c 0 a 3 , d 9 比较系数 , 得 3c 0 bc0 3d 4 a 0
y* y1 y1
Qm (cos x i sin x) ~ x k e x Rm cos x Rm sin x ~ 其中 R m , R m 均为 m 次多项式 .
Qm e Qm e x k e x Qm (cos x i sin x)
y p y q y Pm ( x) e ( i ) x
特解: 故
y1
② ③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
x Qm ( x) e
k
( i ) x
(Qm ( x) 为m 次多项式)
( y1 ) p ( y1 ) q y1 Pm ( x) e ( i ) x
代入原方程 , 得
e x [ Q ( x) ( 2 p ) Q ( x) (2 p q ) Q ( x) ] x e Pm (x)
Q (x)
y* e xQm ( x), 其中
(2 p q ) Q ( x) Pm (x)
则设 为 m 次待定系数多项式.
f ( x) Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e ( i ) x
Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e ( i ) x
第二步 求如下两方程的特解
p y q y Pm ( x) e ( i ) x y
y* ~ 均为 m 次实 所以 y 本质上为实函数 , 因此 Rm , Rm
y

y1
y1
y1
y1

y1
y1


上述结论也可推广到高阶方程的情形.
例5.
~ 解: 本题 0, 2, Pl ( x) x, Pn ( x) 0, 特征方程 r2 1 0
其根为
故对应齐次方程通解为 Y C1 C2 e x C3 e 2 x 设非齐次方程特解为 原方程通解为
y C1 C2 e x C3e 2 x
代入方程得
故
由初始条件得
C2 2C3 1 2
解得
C1 3 4 C2 1 C 1 3 4
y1 y1
等式两边取共轭 :
p
q
y1
Pm ( x) e
( i ) x
这说明
为方程 y1
③ 的特解 .
第三步 求原方程的特解 原方程
x
~ y p y q y e Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
第二步 求出如下两个方程的特解
y p y q y Pm ( x) e ( i ) x
y p y q y Pm ( x) e ( i ) x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
比较系数得
x
(2 a) e (1 a b) x e c e
x x
x
1 a b 0 2a c 1 a b 0
a0 b 1 c2
y e x x e x
故原方程为
Y C 1 e x C 2 e x 对应齐次方程通解:
原方程通解为
y C 1 e x C 2 e x x e x
二、 f ( x ) e 分析思路:
x

~ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x 型

第一步 将 f (x) 转化为
f ( x) Pm ( x) e
( i ) x
Pm ( x) e
( i ) x
于是所求特解为
例2.
的通解.
解: 本题 2 , 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为
y* x ( b0 x b1 ) e 2 x
1 b0 , b1 1 2
代入方程得 2 b0 x b1 2 b0 x 比较系数, 得
第八节 常系数非齐次线性微分方程
一、 f ( x) e x Pm ( x) 型 二、 f ( x) e x [ Pl ( x) cos x ~ Pn ( x) sin x] 型
二阶常系数非齐次线性方程:
y py qy f ( x )
其中，p、q都是常数.
于是所求解为
3 x 1 2 x 1 y e e x 4 4 2
y a y b y c e x 有特解 例4. 已知二阶常微分方程 y e x (1 x e 2x ) , 求微分方程的通解 .
解: 将特解代入方程得恒等式
(1 a b) e
于是求得一个特解
例6. 解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
的通解.
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 代入方程: 6b cos 3x 6a sin 3x
比较系数, 得 因此特解为 y* x ( 5 cos 3x 3 sin 3x ) 所求通解为
x ( 5 cos 3x 3 sin 3x )
作 业
P347 1 (1) , (5) , (6) , (10) ; 2 (2) , (4) ; 5; 6
x e
k x
i x i x
第四步 分析 y 的特点 y y1 y1

x e
因为
k x
~ Rm cos x Rm sin x
多项式， m max n , l . 从而，特解形式为 0, i不是根; ~ k x y x e Rm cos x Rm sin x k 1, i是单根.
f (x) 的常见形式 : (其中Pm ( x)是m次多项式) Pm ( x ), Pm ( x )e x , Pm ( x )e x cos x , Pm ( x)ex sinx 根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解 难点：如何求非齐次线性微分方程特解？ 方法：待定系数法——先确定解的形式，再把形式解 代入方程定出解中包含的常数的值．