九年级数学圆与圆的位置关系2
九年级下数学圆知识点总结
九年级下数学圆知识点总结在九年级下学期的数学课程中，圆是一个重要的几何形状。
学习圆的相关知识对于理解几何学和进一步解决问题至关重要。
在本文中，将对九年级下数学课程的圆相关知识点进行总结。
一、圆的定义和基本性质1. 圆的定义：圆是由平面上离定点距离相等的所有点组成的集合。
2. 圆的要素：圆心、半径和直径是圆的基本要素。
- 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。
- 半径：圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
- 直径：通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上，通常用字母d表示。
3. 圆的性质：- 圆上任意两点的距离等于半径的长度。
- 圆的直径是半径的两倍。
- 圆的周长等于直径乘以π（圆周率），即C = πd。
- 圆的面积等于半径平方乘以π，即A = πr²。
二、圆的位置关系和判定方法1. 圆的位置关系：- 同心圆：具有相同圆心但半径不同的圆。
- 内切圆：两个圆相交，且较小的圆完全位于较大的圆内部，二者只有一个公共点。
- 外切圆：两个圆相交，且较小的圆完全位于较大的圆外部，二者只有一个公共点。
- 相交圆：两个圆有两个不重叠的公共点。
- 相离圆：两个圆没有公共点。
2. 判定圆的方法：- 已知圆心和半径：根据圆的定义，可以通过圆心和半径确定一个圆。
- 已知圆上的三个点：三点确定一个圆，可以根据圆的性质绘制出圆来。
- 已知直径两端的点：通过两点绘制直径，以直径中点为圆心，直径的一半为半径即可确定圆。
三、圆的相关角度1. 弧度制和角度制：- 弧度制：用圆的弧长与半径的比值表示，一周为2π弧度。
- 角度制：以直角为90度，一周为360度。
2. 弧度和角度之间的转换：- 角度制转弧度制公式：弧度= (π/180) × 角度- 弧度制转角度制公式：角度= (180/π) × 弧度3. 圆心角和弧度：- 圆心角：以圆心为顶点的角。
- 弧度的定义：弧度是圆心角所对应的弧长与半径的比值。
四、圆与直线的位置关系1. 相切关系：- 切线：与圆只有一个交点的直线。
数学教案-圆和圆的位置关系
数学教案-圆和圆的位置关系篇一：圆和圆的位置关系说明圆和圆的位置关系教案说明一、课题名称本课属新人教版九年级上册第24章第二节《与原有关的位置关系》第二课之圆和圆的位置关系。
二、教学目的(一)教学知识点1．理解圆与圆之间的几种位置关系．2．理解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联络．(二)才能训练要求1. 经历探究两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探究才能．2．通过平移实验直观地探究圆和圆的位置关系，开展学生的识图才能和动手操作才能．(三)情感与价值观要求1．通过探究圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探究与制造，感受数学的严谨性以及数学结论确实定性．2．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，开展形象思维。
三、课型本课属探究课。
四、课时圆和圆的位置关系共计一课时五、教学重点探究圆与圆之间的几种位置关系，理解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联络．六、教学难点探究两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程．七、教学过程教师借助多媒体讲解与学生合作交流探究法Ⅰ．创设征询题情境，引入新课Ⅱ．新课讲解（一）、想一想（二）、探究圆和圆的位置关系我总结出共有五种位置关系，如以下图：(1)外离：两个圆没有公共点，同时每一个圆上的点都在另一个圆的外部；(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部（三）、例题讲解两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如以下图(点O，O＇是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．1、想一想如图(1)，⊙O1与⊙O2外切，这个图是轴对称图形吗？假设是，它的对称轴是什么？切点与对称轴有什么位置关系？假设⊙O1与⊙O2内切呢？〔如图(2)〕2、议一议投影片设两圆的半径分别为R和r．(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的间隔(简称圆心距)d与R和r具有如何样的关系？反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗？(2)当两圆内切时(R＞r)，圆心距d与R和r具有如何样的关系？反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗？3、随堂练习八、作业安排习题3．9，重点检验学生对本章圆和圆的五种位置关系的掌握情况。
圆九年级数学《与圆的位置关系》课件
4、如图，圆O1、圆O2相交于点A、B，过点A的 作CD⊥AB交两圆于点C、D，求证：CD=2O1O2
C
A
D
O2
O1
B
圆与圆的位置关系
新课引入
O1
O2
圆O1沿直线O1O2向右运动，它与 圆O2的交点数有何变化情况？
学习目标
了解圆与圆的五种位置关系，会根据圆 心距判断圆与圆的位置关系
自学探究
自学课本45~46页，回答下列问题 1、圆与圆有几种位置关系？如何判断？ 2、当两圆相交、外切、内切时连心线有何性 质？
疑探交流
当圆心O1和圆心O2重合时，即d=0时，两圆 是同心圆
A
O1 C
O2
B
定理：两圆相交时， 连心线垂直平分两 圆的公共弦
O1
C
O2
定理：两圆 相切时，连 心线过切点
当堂检测 1、圆O1、圆O2的半径分别为3cm、4cm.若设： （1）O1O2=8cm，（2）O1O2=7cm，（3）O1O2=5cm， （4）O1O2=1cm，（5）O1O2=0cm，（6）O1O2=0.5cm 2、已知：两圆的圆心距为6cm，其中一个圆的半 径为1cm，在下列条件下，求另一个圆的半径r或 取值范围 （1）两圆外切 （2）两圆内切 （3）两圆内含 3、三角形三边分别为2、3、4，以各顶点作圆， 三个圆两两外切，求这三个圆的半径.
针对上述问题，组内交流合作，先对议， 再组议
学教新课
O1
O2
外离
Hale Waihona Puke O1O2外切
O1
O2
O1
O2
O1 O2
相交
内切
内含
连接O1O2，上述五种位置关系中，圆心距d与 两圆半径R、r有何关系？
圆与圆的位置关系(34ppt)
外离:两圆无公共点, 并且每个圆上的点 都在另一个圆的外 部时,叫两圆外离.
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公
共点外,每个圆上的点都在另一个圆
的外部时,叫两圆外切.
7
相交:两圆有两个公 共点时,叫两圆相交.
切点
内切:两圆有一个公共 点,并且除了公共点外, 一个圆上的点都在另 一个圆的内部时,叫两 圆内切.
..
O
P
解：设⊙P的半径为R (1)若⊙O与⊙P外切，
则 OP=5+R=8 (2)若R⊙=3O与cm⊙P内切，
则 OP=R-5=8
R=13 cm
所以⊙P的半径为3cm或13cm
21
练一练 1.填写表格(一)
r1
r2
d 两圆的位置关系
9
外离
8
外切
5
5
3
2
相交 内切
1
内含
0同心圆55源自0互相重合22
2.已知:⊙A、⊙B的半径分别是3cm、5cm,圆心 距为10cm,请你判断这两个圆的位置关系． 外离
（×）
24
1.若两圆半径为6cm和4cm,圆心距为10cm,那么这两圆的 位置关系为( C )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 2.若半径为1和5的两圆相交,则圆心距d的取值范围为( B )
A.d＜6 B. 4＜ d ＜6 C.4≤d≤6 D.1＜d＜5 3.若半径为7和9的两圆相切,则这两圆的圆心距长一定为( C )
x29x14 0的两根,则两圆的关系为 内切 .
9.两圆的半径为5和3,且两圆无公共点,则两圆圆心距d的取值 范围为 d＞8或d＜2.
31
巩固练习
填空题：1.⊙O1和⊙O2的半径分别为3、5，设d=O1O2 ： （1）当d=9时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___外__离____. （2）当d=8时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___外__切____. （3）当d=5时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___相__交____. （4）当d=2时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___内__切____. （5） 当d=1时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是__内__含_____. （6）当d=0时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_同__心__圆____.
人教版九年级上册数学精品教学课件 第24章圆 点和圆、直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质
B
A
O P
练一练 1. 如图①，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线
MN 与⊙O 相切于点 B. 若∠ABN = 30°，则∠AOB = 60 °.
N A
C
B O
A O BD
2.
图①
如图②，AB
M 为⊙O
图②
的直径，D 为
（ C）A．40° B源自35° C．30° D．45°4. 如图，PB 切☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O
的半径是多少？
解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°.
设⊙O 的半径为 r，则
OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2.
B
在 Rt△OBP 中，OB2 + PB2 = PO2，
∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°， O
即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直径，∴ AC 是☉O 的切线. A
C
例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB，
CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
证分明析：连由接于 AOBC.过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要
切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
O
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
∴直线 l⊥OA.
A
l
性质定理的证明 证法：反证法 理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直. （1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作
OM⊥CD，垂足为 M；
九年级数学下册圆和圆的位置关系课件华师大版
选的
择孩
在子
冬是
天荷
开花
放，
选
择
在
夏
我们，还在路上……
这些图形是轴对称图形吗？
这些图形是轴对称图形吗？
（外离）
（内含）
（外切）
（内切）
（相交）
位对 切它 置称 点们 关轴 与的 系是 对 ？什 称 么轴 ？有
什 么
两圆相切的性质：
当两圆外切时，圆心距d与半径r,R的数量关系为
Rr
如果两圆相切，两圆的连心线
经过切点d。=R+r
d
当两圆内切时，圆心距d与半径r,R 的数量关系为
R
d=R-r
r
d
练习（1）
如果两圆只有两个公共点，那么 这两个圆的位置关系是_相__交____
练习（2）
如果两圆没有公共点， 那么这两个圆的位置关系是_外__离__或_内_ 含
练习（3）
如 那果么两这圆 两有 个唯 圆一的的位公置共关点系，是_外__切__或__内切
练习（4）
（，则另一圆的
半径是__7_㎝___或__13㎝
（2）两圆的半径的比为2：5，当两圆
内切时，圆心距是6cm，当两圆外切时
圆心距为（ B ）
A
21 cm
B
14 cm
C
11 cm
D
5 cm
N T
P
例：同样大小的肥
皂泡粘在一起，其剖面
O
O’ 如图所示（点O,O’）
Q
为圆心，分隔两个肥皂
圆和圆的位置关系
你还记得吗？
• 请你动手摆摆看，平面 内两个不等圆之间有几种 位置关系？
你还能举出反映圆和圆 的位置关系的实例吗？
九年级数学 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
九年级数学 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r ，点P 到圆心的距离为d 。
则：点P 在圆内⇔ ；点P 在圆上⇔ ；点P 在圆外⇔ 。
2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点 作圆，过 三点，有且只有一个圆；⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的 。
⑶三角形外心的形成：三角形 的交点， 相等。
1、直线与圆的位置关系有 种：○1当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线,； ○2当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线； ○3当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线。
2、设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则：直线l 与⊙O 相交r d _____⇔直线l 与⊙O 相切r d _____⇔直线l 与⊙O 相离r d _____⇔3、 切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 。
【谈重点】根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系。
⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线是圆的切线。
【谈重点】在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。
当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r 来判定相切。
4、 切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角5、 三角形的内切圆：⑴与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ；⑵三角形内心的形成：是三角形 的交点；（3）内心的性质：到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分 。
【谈重点】三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r=考点一：切线的性质例题1已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；（2）证明：PE=PF；（3）若PF=13，sinA=513，求EF的长．对应训练1．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，cos∠ABF=45，求DE的长．考点二：切线的判定例题2如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）对应训练2．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=8，DF=40，求⊙O的半径r．知识点三、圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d；○1当⊙O 1 与⊙O 2 外离⇔；○2当⊙O 1 与⊙O 2 外切⇔；○3当⊙O 1 与⊙O2相交⇔；○4当⊙O 1 与⊙O2内切⇔；○5当⊙O 1 与⊙O 2内含⇔。
人教版圆和圆的位置关系
内含：两圆没有公共点时，并且一个圆的 点都在另一个圆的内部，称这两圆内含
圆和圆的位置关系
1个公共点
外切 内切
相切
圆和圆的位置关系
外切
内切
相切：两圆有一个公共点时，称这两圆相
定 义
切 这个唯一 的公共点称为切点。
外切：两圆有一个公共点时，并且除了这
个公共点外，一个圆的点都在另一个圆的
外部，称这两圆外切。
内切：两圆有一个公共点时，并且除了这 个公共点外，一个圆的点都在另一个圆的
内部，称这两圆内含
圆和圆的位置关系
2个公共点
相切：两圆有一个公共点时，称这两圆相切
定 义
这个唯一 的公共点称为切点。
圆和圆的位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
圆和圆的位置关系
请说一说图中所反映的圆和圆有哪些位置关系？
外离
圆和圆的位置关系
请说一说图中所反映的圆和圆有哪些位置关系？
内切
圆和圆的位置关系
请说一说图中所反映的圆和圆有哪些位置关系？
内含
圆和圆的位置关系
请说一说图中所反映的圆和圆有哪些位置关系？
外切
动手操作：请用半径不同的两圆摆一摆
圆和圆有几种不同的位置关系，每种位置 关系中两圆有多少个公共点？
两圆的位置关系
讨论：
如果两圆的半径分别为r和R（设
R>r），圆心距（两圆圆心的距离）
为d，那么圆和圆的五种位置关系 中，d与R+r和R-r之间有什么数量 关系？
几何画板展示圆和圆的五种位置关系
圆O1和圆O2的半径分别为３厘米和４厘米， 下列情况下两圆的位置关系是怎样?
（ 1 ） O1O2=8厘米 外离
中考数学专题5 圆与圆的位置关系
中考信息速递之五——圆与圆的位置关系知识要点：1．圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R 和r ，同心距为d ） （1）两圆外离⇔d ＞R+r ； （2）两圆外切⇔d=R+r ； （3）两圆相交⇔R －r ＜d ＜R+r ； （4）两圆内切⇔d=R －r ；（5）两圆内含d ＜R－r 。
（同心圆（6）是一种内含的特例）2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3．公切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。
当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。
定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。
外公切线的长为（1）（2）（3）（4） （5）（6）外公切线4．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
5．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点6圆与圆的位置关系总结如下设两圆半径为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系如下：【典型例题】例1．已知如图，⊙O1和⊙O2相交于点E、F，直径AE的延长线交⊙O2于点B，延长AF交⊙O2于点C，⊙O1的切线ED交AC于点D，求证：AE/EB=AD/DC。
B例2．如图，已知AB是⊙O的直径，以B为圆心的圆交⊙O于E、F两点；直线AB与⊙B 交于点C、D，EC的延长线与⊙O交于点G，连结AE、DE、BG。
求AE·BC=DE·CG。
例3. 设两圆半径为R和r，圆心距为d，请将下表填写完整：DA中考考点基础练习：1．如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含2．如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（）。
新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)
](https://img.taocdn.com/s3/m/6db3c67aa9956bec0975f46527d3240c8447a1d2.png)
新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)1)相交圆的位置关系：两圆相交于两点，相切于一点，相离于两点.2)内切圆和外切圆的位置关系：内切圆和外切圆的切点在圆心连线上，内切圆和外切圆的圆心连线垂直于切点所在的直线.要点诠释：在解决两圆位置关系问题时，需要注意圆心的位置关系，切点的位置关系以及圆心连线与切点所在直线的垂直关系.要点二、切线及其性质1．切线的定义：过圆上一点，且与圆相交于该点的直线叫做圆的切线.2．切线的性质：1)切线与半径的关系：切线与过切点的圆的半径垂直.2)切线定理：切线与半径的关系可以推出切线定理：过圆外一点作圆的切线，切点与此点的连线垂直于切线.3)切线的判定方法：切线与圆的位置关系可以通过勾股定理、切线定理和判别式来进行判定.要点诠释：切线是圆的一个重要性质，切线定理是判定切线的重要工具，切线的判定方法可以根据具体情况选择不同的方法.要点三、圆的面积和弧长1．圆的面积公式：S=πr².2．弧长公式：L=αr(α为圆心角的度数).3．扇形的面积公式：S=(α/360°)πr².要点诠释：圆的面积公式和弧长公式是圆的基本公式，扇形的面积公式可以通过弧长公式和圆的面积公式来推导得出.要点四、圆锥的侧面积和全面积1．圆锥的侧面积公式：S=πrl.2．圆锥的全面积公式：S=πr(l+r).要点诠释：圆锥的侧面积公式和全面积公式是圆锥的基本公式，其中l为斜高，r为底面半径.1) 两个圆是轴对称图形，其对称轴是连接两圆心的直线。
2) 相交的两个圆的连心线垂直平分它们的公共弦，相切的两个圆的连心线经过切点。
4.与圆有关的角度1) 圆心角是以圆心为顶点的角度。
圆心角的度数等于它所对应的弧的度数。
2) 圆周角是顶点在圆上，两边都与圆相交的角度。
圆周角的性质包括：①圆周角等于它所对应的弧所对应的圆心角的一半；②同弧或等弧所对应的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等；③90度的圆周角所对应的弦为直径；半圆或直径所对应的圆周角为直角；④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角。
九年级数学圆与圆的位置关系
九年级数学圆与圆的位置关系在我们学习数学的过程中，有些知识总是能让人拍案叫绝，比如说圆与圆之间的位置关系。
你想啊，两个圆就像两个好朋友，有时候紧紧相拥，有时候则是形同陌路。
今天咱们就来聊聊这些圆的“社交”动态，保准让你听了哈哈大笑，边学边乐。
首先呢，咱们得知道圆和圆之间的基本关系。
两个圆如果能够相交，形成两个交点，那就叫做“相交”。
这就好比是两位朋友在某个聚会上聊得火热，结果发现两个人的兴趣爱好还真是有那么一点点相似，嘿嘿，意外的发现吧。
如果这两个圆的距离刚刚好，让它们只轻轻碰了一下，那就叫做“相切”。
就像两个朋友在街上偶遇，点头致意一下，心照不宣，继续各自的旅程，既亲密又有些距离。
哦，对了，记得咱们的圆心距离和半径的关系。
圆心距小于半径之和，那就能相交；等于半径之和，那就相切；大于半径之和，嘿，那就各自飞了。
咱们得聊聊“相离”这种情况。
两圆如果完全不相交，远得像两个恋人各自生活在两个城市，联系得少之又少，那就是“相离”。
你想啊，两个圆心的距离大于半径之和，真是远得像是天涯海角，不同的生活方式，不同的爱好，没啥交集，生活就这么各自精彩。
想象一下，两个圆在画纸上悄悄地待着，互不干扰，彼此就是那种“风马牛不相及”的感觉。
再来看看特殊的情况。
比如，当两个圆的圆心重合，但半径不同，那就有点意思了。
想象一下，有个圆在外面转来转去，另一个圆在它的“肚子”里悄悄待着。
这个时候，内圆完全被外圆包裹住了，像极了朋友间的包容。
总有那么一个人，给你无条件的支持，虽然不总是被看到，但心里永远有那么一个位置。
可惜，这种情况可不是每个人都能理解的。
说到这里，咱们再来琢磨一下这些圆之间的关系的意义。
生活中，朋友之间的关系也好，爱人之间的互动也罢，都是那么复杂又简单。
有人总是希望彼此相交，有人则想要独立。
相交的朋友就像是在一起打游戏，总是能碰撞出各种火花，而相切的朋友则是在适当的时候给予彼此空间，既能相互支持，又能保留个人的独特性。
初中数学知识归纳圆与圆之间的位置关系
初中数学知识归纳圆与圆之间的位置关系圆与圆之间的位置关系是初中数学中的一个重要内容，它涉及到圆的相交关系、包含关系以及外切关系等多个方面。
通过归纳总结，我们可以更好地理解和运用这些知识点。
一、相离关系当两个圆没有任何交点时，它们被称为相离的圆。
两个相离的圆之间的最大距离等于它们的半径之和。
二、外切关系如果两个圆的半径相等，并且它们的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，我们称这两个圆为外切的圆。
三、相交关系相交是指两个圆的内部空间存在公共点。
根据两个圆的圆心之间的距离和半径的关系，相交的情况又可以分为四种。
1.相交于两点当两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，并且大于两个圆的半径之差时，两个圆相交于两个点。
2.相切于外点当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，两个圆相切于外点。
3.相切于内点当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之差时，两个圆相切于内点。
4.相切于公切线当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，并且两个圆的半径不相等时，两个圆相切于一条公切线。
四、内含关系如果一个圆的内部完全位于另一个圆内部，我们称这两个圆为内含的关系。
在内含的情况下，内含圆的半径小于包含圆的半径。
五、包含关系如果一个圆的外部完全包含另一个圆，我们称这两个圆为包含的关系。
在包含的情况下，包含圆的半径大于内含圆的半径。
通过对圆与圆之间的位置关系进行归纳整理，我们可以更好地理解和应用这些知识点。
在解决相关题目时，我们可以根据题目给出的条件和要求，运用这些位置关系进行分析和推理。
同时，我们还可以通过观察图形特点和运用相关定理来判断两个圆之间的位置关系，从而解决问题。
初中数学中的圆与圆之间的位置关系是一个基础而重要的内容，它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在实际生活和工程中也有着重要的作用。
通过掌握和运用这些知识，我们可以更好地理解和应用数学，为解决实际问题提供有力的支持。
九年级数学第三十三课 圆与圆的位置关系
第33课圆与圆的位置关系知识点：圆和圆的位置关系、两圆的连心线的性质、两圆的公切线大纲要求：1．了解两圆公切线的求法，掌握圆和圆的位置关系;2．了解两圆位置关系与公共点个数、外公切线条数、内公切线条数以及d、R、r之间的关系;3．掌握相交两圆的性质和相切两圆的性质;4．注意 (1)圆与圆的五种位置关系相交和相切是重点；(2)在解题中把两个圆中有关问题利用圆的性质和直线圆的位置关系的定理和性质转化为一般圆的问题；(3)涉及相交两圆的问题常可作出公共弦，利用圆周角定理及其推论或连心线垂直乎分公共弦。
公共弦可沟通两个圆的角之间关系，有了连心线，公共弦不仅可取应用相交两圆的性质定理且还能沟通两圆半径、公切线等之间的关系；(4)涉及相切两圆问题主要可从以下几个方面考虑；①过切点作两圆的公切线，利用弦切角定理或切线长定理；②作出连心线，利用连心线过切点的性质；③利用两圆的圆心距等于两圆半径之和或之差；④当两圆外切时，利用连心线、外公切线及过公切线切点的两条毕径组成的直角梯形，将有关圆的间题转化为直线形间题，把梯形问题转化为直角三角形问题，通过解直角三角形来解决有关两圆公切线等问题。
考查重点与常甩题型：1．判断基本概念、基本定理等的正误。
在中考题申常以选择题或填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解，如：已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆位置关系是 ( )(A)外离 (B)外切 (C)相交 (D) 内切2．考查两圆位置关系中的相交及相切的性质，可以以各种题型形式出现，多见于选择题或填空题，有时在证明、计算及综合题申也常有出现。
预习练习：1．已知两圆的半径分别是2和4，圆心距是3，那么这两圆的位置是（）(A)内含 (B)内切 (C)相交 (D) 外切2．已知半径为R和r的两个圆相外切。
则它的外公切线长为（）(A)R＋r (B)R2+r2 (C) R+r (D) 2Rr3.已知⊙O1半径为3cm，⊙O2半径为4cm，并且⊙O1与⊙O2相切，则这两个圆的圆心距为（）(A)1cm (B)7cm (C) 10cm (D) 1cm或7cm4.两圆半径为5和r，圆心距为8，当两圆相交时，r取值范围是5．两圆直径分别为6、8，圆心距为10，则这两圆的最多公切线条数是考点训练：1．已知半径为R和r的两个圆外切，R＝2＋ 3 ，r＝2－ 3 ，两圆的一条公切线与连心线的夹角为α，则角α的度数为（）(A)30 ° (B)45 ° (C) 60 ° (D) 无法确定2．如图，两个同心圆，点A在大圆上，ABC为小圆的割线，若AB·AC＝8，则圆环的面积为（）(A)8π(B)12π(C) 4π(D) 16π。
九年级数学圆和圆的位置关系
九年级数学圆和圆的位置关系6圆和圆的位置关系本节课要学习的内容是圆和圆的位置关系，其中包括利用平移实验直观地探索圆和圆之间的几种位置关系，通过讨论两圆圆心之间的距离d与两圆半径R和r之间的关系来确定两圆的位置关系．重点和难点是通过学生动手操作和互相交流探索出圆和圆之间的几种位置关系．在教学中教师不要只强调结论，要关注学生的动手操作过程，关注他们互相交流的过程．看学生是否能积极地投入到数学活动中去，在他们困难的时候要适时地给予帮助，要多加鼓励，提高他们学习数学的兴趣，只要学生有了兴趣就成功了一半，他们就能敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验．通过学习本节课的内容，使学生具备一定的识图能力，体会数学活动充满着探索性和创造性，敢于发表自己的观点，并尊重和理解他人的见解，能从交流中获益．教学目标教学知识点．了解圆与圆之间的几种位置关系．．了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．能力训练要求经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力．．通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．情感与价值观要求．通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维．教学重点探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．教学难点探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程．教学方法教师讲解与学生合作交流探索法教具准备投影片三张张：第二张：第三张：教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．它们的位置关系都有三种．今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢?没有调查就没有发言权．下面我们就来进行有关探讨．Ⅱ．新课讲解一、想一想[师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢?[生]如自行车的两个车轮间的位置关系；车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等．[师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多．下面我们就来讨沦这些位置关系分别是什么．二、探索圆和圆的位置关系在一张透明纸上作一个⊙o．再在另一张透明纸上作一个与⊙o1半径不等的⊙o2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙o1，平移⊙o2，⊙o1与⊙o2有几种位置关系?[师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流．[生]我总结出共有五种位置关系，如下图：[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗?从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑．[生]如图：外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙o2上的点在⊙o1的内部；内含：两个圆没有公共点，⊙o2上的点都在⊙o1的内部．[师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗?[生]外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．[师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．经过大家的讨论我们可知：投影片如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离外离外切相切内含内切三、例题讲解投影片两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．分析：因为两个圆大小相同，所以半径oP=o′P＝oo′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥oP，PN⊥o′P，即∠oPT＝∠o′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠oPT+∠o′PN+∠oPo°即可．解：∵oP＝oo′＝Po′，∴△Po′o是一个等边三角形．∴∠oPo′=60°．又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPo=∠NPo′=90°．∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°．四、想一想如图，⊙o1与⊙o2外切，这个图是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?切点与对称轴有什么位置关系?如果⊙o1与⊙o2内切呢?[如图][师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一个轴对称图形呢?这就要看切点了是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证明．反证法的步骤有三步：步是假设结论不成立；第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论；第三步是证明假设错误，则原来的结论成立．证明：假设切点丁不在o1o2上．因为圆是轴对称图形．所以T关于o1o2的对称点广也是两圆的公共点，这与已知条件⊙o1和⊙o2相切矛盾，因此假没不成立．则T在o1o2上．由此可知图是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上．在图中应有同样的结论．通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，图和图都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．五、议一议投影片设两圆的半径分别为R和r．当两圆外切时，两圆圆心之间的距离d与R和r具有怎样的关系?反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗?当两圆内切时，圆心距d与R和r具有怎样的关系?反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗?[师]如图，请大家互相交流．[生]在图中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线o1o2上，所以o1o2＝o1A+o2A＝R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，o1、A、o2在一条直线上，所以⊙o1与⊙o2只有一个交点A，即⊙o1与⊙o2外切．在图中，⊙o1与⊙o2相内切，切点是B.因为切点B在连心线o1o2，所以o1o2＝o1B-o2B，即d＝R-r：反之，当d ＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即o1o2=o1B-o2B，说明o1、o2、B在一条直线上，B既在⊙o1上，又在⊙o2上，所以⊙o1与⊙o2内切．[师]由此可知，当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切d＝R+r 当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d＝R-r．Ⅲ．课堂练习随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习了如下内容：．探索圆和圆的五种位置关系；．讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系；．探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与R和r之间的关系．Ⅴ．课后作业Ⅵ．活动与探究已知图中各圆两两相切，⊙o的半径为2R，⊙o1、⊙o2的半径为R，求⊙o3的半径．分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙o3的半径为r，则o1o3=o2o3＝R+r，连接oo3就有oo3⊙o1o2，所以oo2o3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙o3的半径r.解：连接o2o3、oo3，∴o2oo3＝90°，oo3＝2R-ro2o3＝R+r，oo2＝R∴2=2+R2．∴r=R板书设计6圆和圆的位置关系一、1．想一想．探索圆和圆的位置-关系．例题讲解．想一想．议一议二、课堂练习三、课时小结四、课后作业备课资料参考练习．⊙o1和⊙o2的半径分别为3c和4c，若两圆外切，则d＝_____；若两圆内切；则d＝____．．如果两个圆相切，那么切点和两圆的圆心_____．．半径为5c的⊙o外一点P，则以点P为圆心且与⊙o相切的⊙P能画_______个．．两圆半径之比为3：5，当两圆内切时，圆心距为4c，则两圆外切时圆心距的长为_____．．两圆内切时圆心距是2，这两圆外切时圆心距是5，两圆的半径分别是______、．两圆的半径分别为10c和R、圆心距为13c，若这两个圆相切，则R的值是。
人教版九年级上册数学2与圆有关的位置关系
.
例题： 如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm。
D.外切或内切
相切的两个圆,除了切点外,一个圆上的点都在另一圆的外部时,我们就说这两个圆外切;
则 OP=5+R =8
6.两圆相切,圆心距等于3,一个圆的半径为5cm,则另一个圆的
半径为 2cm或8cm. 已知两圆的半径为R和r(R＞r), 圆心距为d ,
圆 若以P为圆心作⊙P与⊙O相切，求⊙P的半径？
两圆相切,圆心距等于3,一个圆的半径为5cm,则另一个圆的半径为
.
所以⊙P的半径为3cm或13cm
R=3 cm
的 两圆位置关系的性质与判定:
若以P为圆心作⊙P与⊙O相切，求⊙P的半径？
位 外 切 所以⊙P的半径为3cm或13cm
置 ∠O1AB的度数为
.
2、如果两圆没有交点，则这两圆的位置关系是外离.
∠O1AB的度数为
.
关 内 切 1、若两圆只有一个交点,则这两圆外切.
相切的两个圆,除了切点外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,我们就说这两个圆内切.
系 所以⊙P的半径为3cm或13cm
∠O1AB的度数为
.
∠O1AB的度数为
.
且
则两圆的位置关系为( )
相切:当两个圆有唯一公共点时,叫做两圆相切.
相切的两个圆,除了 切点外,一个圆上的点 都在另一圆的外部时, 我们就说这两个圆外切;
相切的两个圆,除了 切点外,一个圆上的点 都在另一个圆的内部时, 我们就说这两个圆内切.
相交:当两个圆有两个公共点时,叫做两圆相交.
相离:当两个圆没有公共点
时,叫做两圆相离.
)
两圆位置关系的性质与判定:
A.d＜6 B. d ＜4 ∠O1AB的度数为
初中数学九年级《圆与圆的位置关系》-完整版PPT课件
关 置
与 圆
的 位
2008 新北京新奥运
认真观察 观察结果
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另 一个圆的外部时,叫两圆外离
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外, 每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两 圆外切
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一个 圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切
已知：⊙O1和⊙O2的半径分别２cm和4cm，当圆心 距O1O2分别为下列数值时，判断两圆位置关系．
（１）０cm （２）８ cm
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在另一 个圆的内部时,叫两圆内含
圆心距：两圆心之间的距离
外离
外切
相交
内切
内含同心圆
圆
外离
与
相离
圆 的
内含
位
外切
置
相切
关
系
内切
相交
两圆位置关系的性质与判定:
演示
0
两圆外离
位置关系
R―r
性质
d 和R、 r关系
Rr
d >R+ r
两圆外切
d =R+ r
两圆相交
判断： 1 两圆无公共点，两圆一定外离 （ ）
已知：⊙O1和⊙O2的半径分别２cm和4cm，当圆心距O1O2 分别为下列数值时，判断两圆位置关系．
（１）2cm （２）4 cm 3 6 cm
判断： 2 当两圆圆心距大于半径之差 时，两圆相交（ ）
判断: 3 已知两圆相切R=7, r=2则圆心距等于9 （ ）
同 心 圆 两圆内切 内
含;R+ r
九年级数学下册第28章圆28.2与圆有关的位置关系4圆与圆的位置关系课件华东师大版 (2)
1 86 2
24
cm2．
3.(2012·六盘水中考)已知两圆的半径分别为2和3，两圆的圆 心距为4，那么这两圆的位置关系是______. 【解析】∵3-2<4<3+2，∴两圆相交. 答案：相交
4.(2011·绍兴中考) 如图,相距2 cm的两个点A,B在直线l上,它 们分别以2 cm/s和1 cm/s的速度在l上同时向右平移,当点A,B分 别平移到点A1,B1的位置时,半径为1 cm的⊙A1与半径为BB1的 ⊙B相切,则点A平移到点A1所用的时间为______s.
6.如图,要在直径为50厘米的圆形木板上截出 四个大小相等的圆形凳面,问怎样截才能截出 直径最大的凳面,最大的凳面直径是多少厘米？
【解析】截法如图所示, 根据圆的对称性可知：O1,O3都在⊙O的直径AB上, 设所截出的凳面的最大直径为d厘米． 则O1O2=d,O2O3=d,O12Od3；= 又∵O1O3=AB-(O1A+O3B)=50-d, ∴ 2=d50-d, ( 2 1)d 50, ∴d=50( 2-1)(厘米)． ∴最大的直径是50( -21)厘米 .
【解析】连结OA，OC, ∵AB是小圆的切线,∴OC⊥AB. ∵OA=5 cm,OC=3 cm, ∴ AC OA2 OC2 52 32 4 cm. ∵AB是大圆的弦,OC过圆心,OC⊥AB, ∴AB=2AC=2×4=8 (cm). 答案：8
5.如图,两个等圆⊙O与⊙O′外切,过点 O作⊙O′的两条切线OA，OB, A，B是 切点,则∠AOB=_______. 【解析】连结OO′和O′A, 根据切线的性质,得O′A⊥OA, 根据题意得OO′=2O′A,则∠AOO′=30°, 再根据切线长定理得 ∠AOB=2∠AOO′=60°． 答案：60°
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