一元一次方程知识点归纳及典型例题

【相关概念】
1、方 程：含 的等式叫做方程 [1].
2、方程的解：使方程的等号左右两边相等的 ，就是方程的解[2]。

3、解 方 程：求 的过程叫做解方程。

4、一元一次方程[3]
只含有一个未知数（元），未知数的最高次数是方程叫做一元一次方程。

[基础练习]
1☆选项中是方程的是（ ）
A.3+2=5
B. a-1>2
C. a2＋b2－5
D. a2+2a-3=5 2☆下列各数是方程a2+a+3=5的解的是（ ） A.2 B. -2 C.1 D. 1和-2
3☆下列方程是一元一次方程的是（ ）
A.
x
2
+1=5 B. 3(m-1)-1=2 C. x-y=6 D.都不是 4★若x=4是方程a x
-2
=4的解，则a 等于（ ） 2
1
C.-3
D.-2 5★★已知关于x 的一元一次方程ax －bx=m （m≠0）有解，则有（ ） A. a≠b B.a>b C.a<b D.以上都对 二、【方程变形——解方程的重要依据】 1、▲等式的基本性质 ·等式的性质1：等式的两边同时加（或减） （ ），结果仍相等。

即：如果a=b ，那么a±c=b 。

·等式的性质2：等式的两边同时乘 ，或除以 数，结果仍相等。

即：如果a=b ，那么ac =bc 或 如果a=b （ ），那么a/c =b/c [＃ 注：等式的性质（补充）： 等式的两边，结果仍相等。

即：如果a=b ，那么b=a ＃]
2、△分数的基本的性质[4]
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值
不变。

即：
b a =bm am =m b m
a ÷÷（其中m≠0） [基础练习]
1☆ 利用等式的性质解方程：2x+13=12
第一步：在等式的两边同时 ， 第二步：在等式的两边同时 ， 解得：x=
2★ 下列变形中，正确的是（ ）
3★★解方程：103
.013.031.02.0=--x x 【解一元一次方程的一般步骤】图示
23
,23-
==-x x B 得、由5
5,253==-x x x A 得、由21,4)1(2=-=-x x C 得、由2
3
,032==y y D 得、由
说明：1、上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤； 2、解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；
3、对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解。

要点诠释：理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: ①a≠0时，方程有唯一解a
b
x =；②a=0，b=0时，方程有无数个解；③a=0，b≠0时，方程无解。

[基础练习] （1）5
2
321+-=--
y y y （2）)9(76)20(34x x x x --=--
解答题：利用已学知识，构造一元一次方程
1、根据绝对值或平方数相加等于零（注意：0a ≥，2
0a ≥） （1）已知()2
523360x x y --++=⎡⎤⎣⎦，求x 和y 的值.
（2）若()223340x x y ++-+=，求()2
2
1y x -+的值．
2、方程中有未知字母，根据方程的解，求未知字母
（1）已知28x =是方程111222x a a a ⎡⎤
⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
的解，求a 的值.
（2）已知2x =时，代数式2
25x x c ++的值是14，求2x =-时代数式的值．
3、根据代数式值相等、同类项或相反数的知识 （1）若代数式1
2
x x --与代数式225x +-的值相等，求x 的值.
（2）当m 、n 取什么值时，单项式231
2m n a b c
-与223
6m a bc
-是同类项？
四、【一元一次方程的应用】
▲依据题目中的信息将问题转化为解方程的问题 【想想算算填填】
(1)若=-=+++y x x y 则,0)5(22。

（2）若31
3
92b a b
a n m n ++-与是同类项，则m= ，n= 。

（3）若2
13y nx y mx m p +与的和为0，则m-n+3p = 。

（4）代数式x+6与3(x+2)的值互为相反数，则x 的值为 。

（5）若
3
4+x 与56
互为倒数，则x= 。

建立一元一次方程模型解实际问题的步骤：
审：分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系． 设：设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．
建：把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，建立方程模型． 解：解方程．
检：一检验方程的解正确吗，二检验方程的解是否符合题意． 答：给实际问题一个结论．
等积变
形问题
变形前后体积相等
行程问题相遇
问题
路程＝速度×时间
甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离
追及
问题
同地不同时出发：前者走的路程＝追者
走的路程
同时不同地出发：前者走的路程＋两地
距离＝追者所走的路程
顺、逆流
问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
顺流的距离＝逆流的距离
劳力调配问题从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语
工程问题工作总量＝工作效率×工作时间各部分工作量之和＝1（总量）
利润问题利润＝售价－进价
%
100
⨯
=
进价
利润
利润率
售价＝进价×(1＋利润率)
利润＝进价×利润率
抓住价格升降对利润率的影响来考虑
或
抓住利润的两种计算方式
数字问题设一个两位数的十位上的数字、个位上的数
字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a
＋b
抓住数字所在的位置或新数、原数之间
的关系
年龄问题大小两个年龄差不会变抓住年龄增长，一年一岁，人人平等
分配问题一般分
配
此问题中一般存在不变量，而不变量正是列方程必不可少的一种相等关系。

比例分
配
甲∶乙∶丙＝a∶b∶c
全部数量＝各种成分的数量之和(设法
1：设一份为x；设法2：设甲、乙、丙
分别ax,bx,cx)
日历问题同一行上相邻两数，右边的数比左边的数大
1；同一列上相邻两数，下边的比上边的大
7
日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，
且都是正整数。