点睛常见问题汇总

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公文标题怎样“画龙点睛”？

公文标题怎样“画龙点睛”？作者：刘文森来源：《公务员文萃》2018年第07期常言道：题好一半文。

公文标题好比公文的眼睛。

在公文标题拟制上下功夫，能起到“画龙点睛”的作用。

要素的完整性常见问题：公文标题要素残缺，省略行文机关名称，乱用文种，甚至直接将文种作为公文标题等。

《党政机关公文处理工作条例》第三章第九条第七款规定：公文标题由发文机关名称、事由和文种组成。

例如：《国务院办公厅关于加强和改进行政应诉工作的意见》，此标题要素由三部分组成。

一是发文机关名称为“国务院办公厅”；二是事由为“加强和改进行政应诉工作”；三是文种为“意见”。

在党政机关常用的15个公文文种中，除“公报”“公告”“通告”“令”四个文种以外，其他文种的标题，三要素均应完整。

同时，在行文中也要注意公文标题的三种特殊形式：一是“双项式”公文标题，如《中华人民共和国主席令》。

二是“转文式”公文标题，如《××省教育厅关于转发教育部〈高等学校学生行为准则〉（试行）的通知》。

三是“复式”公文标题，即由主标题和副标题组成，如，主标题为《关于建国以来党的若干历史问题的决议》，在主标题下方居中位置标注副标题并用圆括号括起来，即“（一九八一年六月二十七日中国共产党第十一届中央委员会第六次全体会议一致通过）”。

表述的准确性常见问题：文种选用不准确，事由内容表述不准确等。

毛泽东同志在《工作方法六十条》一文中指出，文章和文件都应当具有这样三种性质：准确性、鲜明性、生动性。

其中，排在第一的就是准确性。

公文标题表述最要紧的就是准确性。

准确主要表现在题能统文、文能对题、题文相符。

如果题文不合，甚至标题离文万里，那么标题拟写得再生动，也不足取。

1.选用文种要准确。

近似文种的选用更要讲究准确性。

例如：“通知”与“通报”，“公告”与“通告”，“请示”与“函”等。

既要熟知近似文种的适用范围，又要了解把握它们之间的共同点和不同点。

2.表述事由力求准确无误。

2024年初中语文现代文阅读理解常见考点答题术语汇总

2024年初中语文现代文阅读理解常见考点答题术语汇总考点一理解标题的含义及作用题型展示：1. 给文章拟写一个恰当的标题。

2. 文章拟题是否合理?说明理由。

(文章标题“××”能否改为“××”，请简述理由。

)3. 理解文章标题的含义。

4. 结合全文，说说标题的作用(妙处)。

方法点拨：一般来说，标题是对文章内容、主题、描写对象以及作者思想情感等的高度概括与提炼。

1. 拟写文章标题可以从以下几个方面入手：①寻找文章线索;②明确主旨和思想感情;③反复研读开头和结尾;④注意反复出现的词语或句子;⑤抓住核心人物;⑥抓住核心事物;⑦抓住核心事件;⑧把握作者情感。

注：所拟标题要简洁、凝练、概括、鲜明，要能吸引读者注意或触动人心。

2. 判断文章拟题是否合理或标题能否替换。

这类题实际上考查的是对文章中心思想、主要内容、作者的思想情感的理解与把握能力，因此，答题时可结合所给标题的含义从中心思想、主要内容、思想感情等方面具体分析。

同时还应注意标题的生动性、凝练性和概括性等特点。

4. 标题的作用(妙处)：①概括文章所述的中心事件;②交代文章行文线索;③点明文章的中心思想;④吸引读者注意;⑤含蓄隽永，一语双关，具有象征意义。

另外还可从修辞手法、表现手法等角度分析标题特点及其表达效果等。

标题类题型答题思路小结：A.拟写标题：①对文章主要内容、思想情感等进行高度概括;②所拟标题应简洁、凝练、概括、鲜明。

考点二概括文章内容题型展示：1. 请按事情发生的先后顺序概述所讲述的故事。

2. 本文写了××的哪几件事?请用简洁的语言分别加以概括。

3. 请简要概括故事情节。

4. 请简要概括本文的主要内容。

方法点拨：该考点主要考查对文章的整体把握与理解以及语言表达能力。

解答这类题要在理解文章内容的基础上进行综合分析：1. 审清题干要求，即正确理解题意，看清题干是要求概括全文内容，概括(几)段内容，概括一些特定条件的故事，还是按一定要求(如先后顺序)概括几个故事或情节等。

高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。

设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。

解得。

∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN的长为. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案；（2）由（1）可设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12MN k t t =+，则()11:220MN x t t y tt -++=；同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11t t ⇒=（1）；由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2）将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．（2）设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12211222=MN t t k t t t t -=-+，则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=；同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）；由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2）将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值. 【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k + 的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-，所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----，又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+-- ()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．【答案】(1) 22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，由()221{ 143y k x x y =-+=，消元得()22223484120k xk x k +-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x kk x x k +=+-⋅=+，方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AF x λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.同理2223PB my BFmy λ-==，且113my my -与223my my -异号，所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=-()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=，所以， 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C ： 24y x =， F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设l 的斜率为1，求AB ；（2）求证： OA OB ⋅是一个定值. 【答案】(1) 8AB =（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，由21{4x ky y x=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=， 124y y =-()()1122,,,OA x y OB x y ==，∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++，()212121222144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-，∴OA OB ⋅是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b+=>>的,右焦点为求椭圆C 的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 的距离为定值2. 【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a ，b ，c ；（2）对于AB 有无斜率进行讨论，设出A ，B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原点到直线AB的距离d==，当AB的斜率不存在时, 11x y= ,可得,1x d==依然成立.所以点O 到直线点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()222210x yb aa b-=>>渐近线方程为y=，O为坐标原点，点(M在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,P Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求2211OP OQ+的值．【答案】（Ⅰ）22126x y-=；（Ⅱ）221113OP OQ+=.【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OP OQ⊥，可设出直线,OP OQ的方程，代入双曲线方程求得点,P Q的坐标可求得221113OP OQ+=。

验光配镜知识300问之（1-100问）

验光配镜知识300问之（1-100问）1、电脑验光准不准啊？电脑验光的结果一般来说是近视度数会偏高，远视和散光的度数偏低。

电脑验光结果在我们这里只是作为验光师的一个大概参考，不能直接作为配镜处方，电脑验光之后还要由我们的验光师对您进行专业的精确验光及试戴，最后才能确定您的配镜处方。

2、你们的验光准不准？你们店验光有老医生，还有年轻的，哪个验光更准？在回答顾客这个问题时我们要有说服力。

首先要让顾客知道眼镜店的验光员，无论是年长的还是年轻的，都是通过国家资格认证的，验光都很准确。

所有验光员都是受过专业的知识培训，持有专业的上岗证书并有多年的工作经验，而且我们提供的是专业的技术服务，采用的验光方法都是与世界同步的，在我们店配镜如果出现光度不适两周内可以免费复验，如果属验配问题可以免费更换镜片，我们保证每一副眼镜到你手中都是合格的，也是最合适您的！所以请你放心！要让顾客真正感觉到在我们店消费得到了真正的售后保障。

3、你们店开的这么大，成本一定很高吧？确实，我们的房租和人员成本比那些只有2、3个人的小店要高；但我们是连锁企业，规模很大，可以统一、大批量进货，可以直接从厂家拿到最优惠的价格，此外，我们的员工可以得到公司最专业的培训，从而提供给您最专业的服务，我们的客流量也不是那些小店可以比的，多销是可以薄利的。

此外，我们还有完善的售后服务体系，您的眼镜能用多久，我们就可以免费为您保养多久。

4、你们一定店大欺客。

首先，我们眼镜行业不是垄断行业，您去数数我们这里有多少家眼镜店就知道了。

如果不是垄断行业就一定要把自己的产品和服务做好才能有生意，否则肯定要倒闭。

我们店面大是为了给您提供一个更好的购物空间，使您在购物的时候更舒适，更愉悦，就像您买房子一样，不考虑价钱的话一定希望买大的，可以住得更舒适。

此外，我们作为本地知名的眼镜企业，周末和节假日的时候顾客是很多的，如果地方太小、服务人员太少的话，会使我们对顾客的服务质量下降，这不是我们所愿意看到的。

2023年中考数学《代数式和方程中常见的易错问题》重点知识及例题解析

2023年中考数学《代数式和方程中常见的易错问题》重点知识及例题解析◆题型一：直线定点和代数式的值和某字母无关一次函数y=mx+m-1过定点【解析】一次函数过定点问题和整式中和某字母取值无关是同一类题:一次函数过定点实质上指的是和m的取值无关。

按照这种思路过可以解决很多的定点问题。

把一次函数解析式变形：y=m（x+1）-1，我们把（x+1）看作m的系数，若和m的取值无关，则系数（x+1）=0，即x=1，此时y=-1.因此，此一次函数过定点（-1，-1）。

1. 2022·江苏泰州·三模）小明经探究发现：不论字母系数m 取何值，函数()224365y x m x m =−+++的图像恒过一定点P ，则P 点坐标为______．【答案】3,142⎛⎫− ⎪⎝⎭【分析】根据不论字母系数m 取何值图像恒过一定点P ，取值与m 无关，则字母m 的系数为0，进而可得答案．【详解】解：()224365y x m x m =−+++()224635y x x m x =+−++当46=0x +，即32x =−时，14y =，所以无论字母系数m 取何值时，图像恒过一定点P 3,142⎛⎫− ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，知道字母m 的系数为0时，才与m 的取值无关．2. 整式（ax 2+bx -1）-（4x 2+3x ）的最后结果与x 的取值无关，求a ，b 的值。

解：由（1）（ax 2+bx-1）-（4x 2+3x ）化简的结果是（a-4）x 2+（b-3）x-1，得a=4，b=3.1．（2022·重庆八中二模）对于五个整式，A ：2x 2；B ：x +1；C ：﹣2x ；D ：y 2；E ：2x-y 有以下几个结论：①若y 为正整数，则多项式B ⋅C +A +B +E 的值一定是正数；②存在实数x ，y ，使得A+D+2E 的值为-2；③若关于x 的多项式M =3(A −B)+m ⋅B ⋅C (m 为常数)不含x 的一次项，则该多项式M 的值一定大于-3．上述结论中，正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【分析】根据整式的四则运算法则逐个运算即可判断．【详解】解：对于①：B ⋅C +A +B +E =(x +1)(−2x)+2x 2+x +1+2x −y =x −y +1，显然当x =−100,y =1时代入化简后的式子中结果为负数，故①错误；对于②：A +D +2E =2x 2+y 2+2(2x −y)=2x 2+y 2+4x −2y =−2时，整理得到：2(x +1)2+(y −1)2−1=0，显然当x =−1,y =2时代入化简后式子中满足，故②正确；对于③：M =3(A −B)+m ⋅B ⋅C =3(2x 2−x −1)+m(x +1)(−2x)=(6−2m)x 2−(3+2m)x −3， ∵不含x 的一次项，∴320m +=，解出m =−32，此时M =9x 2−3≥−3，即M 的值一定大于等于-3，故③错误；故选：B ．【点睛】本题考查了整式的四则运算，属于基础题，熟练掌握整式的四则运算法则是解题的关键． 2．（2022·重庆市育才中学二模）已知多项式A =x 2+2y +m 和B =y 2−2x +n （m ，n 为常数），以下结论中正确的是（）①当2x =且m +n =1时，无论y 取何值，都有A +B ≥0；②当m =n =0时，A ×B 所得的结果中不含一次项；③当x y =时，一定有A ≥B ；④若m +n =2且A +B =0，则x y =；⑤若m =n ，A −B =−1且x ，y 为整数，则|x +y |=1．A ．①②④B ．①②⑤C ．①④⑤D ．③④⑤ 【答案】B【分析】主要是运用整式的运算法则及因式分解等知识对各项进行一一判断即可．【详解】①当2x =且m +n =1时，A+B=4+2y +m +y 2−4+n =y 2+2y +1=(y +1)2，∵无论y 取何值，总有(y +1)2≥0，∴无论y 取何值，都有A +B ≥0，故①正确；②当m =n =0时，A ×B =(x 2+2y )(y 2−2x )=x 2y 2−2x 3+2y 3−4xy ，∴A ×B 所得的结果中不含一次项；故②正确；③当x y =时，A −B =x 2+2y +m −(y 2−2x +n )=x 2+2x +m −x 2+2x −n =4x +m −n ，其结果与0无法比较大小，故③错误；④若m+n=2且A+B=0，则A+B=x2+2y+m+y2−2x+n=x2+y2+2y−2x+2=0，变形得：(x−1)2+(y+1)2=0，∴x=1，y=-1，∴x=-y，故④错误；⑤若m=n，A−B=−1且x，y为整数，则A−B=x2+2y+m−(y2−2x+n)=x2+2y−y2+2x=−1x2−y2+2x+2y+1=0变形得：(x+1)2−(y−1)2=−1，因式分解得：(x+y)(x−y+2)=−1，∵x，y为整数，则必有|x+y|=1．故⑤正确；故选：B【点睛】本题主要考查的是整式运算及因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握运用乘法公式进行计算及因式分解．3．（2022·江苏泰州·三模）小明经探究发现：不论字母系数m取何值，函数y=2x2+(4m−3)x+6m+5的图像恒过一定点P，则P点坐标为______．,14)【答案】(−32【分析】根据不论字母系数m取何值图像恒过一定点P，取值与m无关，则字母m的系数为0，进而可得答案．【详解】解：y=2x2+(4m−3)x+6m+5y=2x2+(4x+6)m−3x+5时，y=14，当4x+6=0，即x=−32,14)．所以无论字母系数m取何值时，图像恒过一定点P(−32【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，知道字母m的系数为0时，才与m的取值无关．4．（2021·河北唐山·一模）老师写出一个整式（ax2+bx-1）-（4x2+3x）（其中a、b为常数，且表示为系数），然后让同学给a 、b 赋予不同的数值进行计算，(1)甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为2x 2-3x -1，则甲同学给出a 、b 的值分别是a =_______，b =_______；(2)乙同学给出了a =5，b =-1，请按照乙同学给出的数值化简整式；(3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与x 的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果．【答案】(1)6、0(2)241x x −−(3)丙同学的计算结果是-1．【分析】（1）将所求式子化简，然后根据计算的结果为2x2-3x-1，即可得到a 、b 的值；（2）将a 、b 的值代入（1）中化简后的结果，即可解答本题；（3）根据（1）中化简后的结果和题意，可以写出丙同学的计算结果．【详解】（1）解：（ax2+bx-1）-（4x2+3x ）=ax2+bx-1-4x2-3x=（a-4）x2+（b-3）x-1，∵甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为2x2-3x-1，∴a-4=2，b-3=-3，解得a=6，b=0，故答案为：6，0；（2）解：由（1）（ax2+bx-1）-（4x2+3x ）化简的结果是（a-4）x2+（b-3）x-1，∴当a=5，b=-1时，原式=（5-4）x2+（-1-3）x-1=x2-4x-1，即按照乙同学给出的数值化简整式结果是x2-4x-1；（3）解：由（1）（ax2+bx-1）-（4x2+3x ）化简的结果是（a-4）x2+（b-3）x-1，∵丙同学给出一组数，计算的最后结果与x 的取值无关，∴原式=-1，即丙同学的计算结果是-1．【点睛】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的结果．5．（2021·河北唐山·一模）定义：若A−B=m，则称A与B是关于m的关联数．例如：若A−B=2，则称A与B是关于2的关联数；(1)若3与a是关于2a的关联数，则a=__________．(2)若(x−1)2与x+1是关于-2的关联数，求x的值．(3)若M与N是关于m的关联数，M=2mn−n+3，N的值与m无关，求N的值．【答案】(1)1(2)x1=1，x2=2(3)2.5【分析】（1）直接利用关联数列出方程进行计算即可；（2）直接利用关联数列出方程进行计算即可；（3）直接利用关联数列出M-N=m的方程，将M=3mn+n+3代入，用m、n的式子表示出N，再利用N的值与m无关进行计算即可．(1)解：∵3与a是关于2a的关联数，∴3-a=2a，∴a=1，故答案为：1(2)解：(x−1)2−(x+1)=−2，整理得x2−3x+2=0则(x−2)(x−1)=0解得：x1=1，x2=2．∴x的值为1或2；(3)解：(2mn−n+3)−N=m，N=2mn−m−n+3=m(2n−1)−n+3，∵N的值与m无关，∴2n−1=0，∴n=0.5，∴N=2.5．【点睛】本题考查了新型定义题型，解一元一次方程、解一元二次方程，整式的值与字母无关，解题的关键是准确理解题干，列出方程，进行解答．6．（2021·浙江·杭州育才中学二模）已知多项式M=(2x2+3xy+2y)−2(x2+x+yx+1)．(1)当|x−1|+(y−2)2=0，求M的值；(2)若多项式M与字母x的取值无关，求y的值．【答案】(1)M=2(2)y=2【分析】（1）先化简M，进而根据非负数的性质求得x,y的值，进而代入求解即可；（2）根据（1）中M的化简结果变形，令含x项的系数为0，进而求得y的值【详解】（1）解：M=(2x2+3xy+2y)−2(x2+x+yx+1)=2x2+3xy+2y−2x2−2x−2yx−2=xy+2y−2x−2|x−1|+(y−2)2=0∴x=1,y=2原式=1×2+2×2−2×1−2=2（2）∵M=xy+2y−2x−2=(y−2)x+2y−2与字母x的取值无关，∴y−2=0解得y=2【点睛】本题考查了整式加减化简求值，整式无关类型，掌握整式的加减运算是解题的关键．◆题型二：特殊代数式求值①若m，n是方程2x2−4x−7=0的两个根，则2m2−3m+n的值为【解析】一次代入无法求得结果，出现这种情况，我们可以从先代高次再代低次！把2m2=4m+7代入，原式=m+n+7，然后用韦达定理即可求值。

眼部护理的常见问题解决眼部问题的方法

眼部护理的常见问题解决眼部问题的方法眼睛是反映精气神的重要部位，想要拥有好状态和好气色吗?那么怎么应对眼部肌肤的各种问题呢?下面是店铺为大家整理眼部护理的常见问题的相关资料，供大家参考!眼部护理的常见问题1.用很轻薄的眼霜还会长脂肪粒，怎么办?A：眼部脂肪粒形成的原因主要有两种：一种是使用过于油腻的眼霜;另一种是由于眼睑上肉眼看不到的微小创口自动愈合而产生的。

前者改用轻薄的水质眼霜就能改善，而你很可能属于后者。

对策：用修复型眼霜促使它自然脱落检查一下自己的护眼习惯，揉眼睛等小动作也会造成创口。

另外，补水不够也是脂肪粒的温床。

皮肤缺水时会分泌油脂来保水，加剧脂肪粒的负担。

针对这种“创口型脂肪粒”，应该开始用修复型的眼霜，加速角质代谢，让它自然脱落。

2.最近眼袋有加重的趋势，该采取什么措施缓解呢?A：眼袋主要有脂肪型与水肿型。

脂肪型多为天生的，不通过手术难有大的改变。

若是水肿型的，那么通过具有排水、加快代谢作用的眼霜，就能够在短期之内改善。

对策：白天紧致+晚间排水无论对脂肪型还是水肿型的眼袋，具有提升收紧功效的眼霜都有改善作用，还能够对抗地心引力。

因此，建议你双管齐下：白天用“紧致型”的眼霜，紧致肌肤;晚上用“排水型”的眼霜，在睡眠中促进排水代谢。

3.眼周出现了细纹，左右深浅不同，该怎么办?A：细纹的产生，主要原因是真皮层中胶原蛋白纤维网络因为肌肤胶原蛋白分泌不足或者胶原纤维老化而不够紧实。

根据你的情况，首先要检查自己的眼霜，仅仅是保湿类的产品，还是针对细纹的抗老化产品?对策：抗老眼霜+注意表情对付细纹，尤其要选择那些既能够起到即时填充效果，又能促进肌肤生成胶原蛋白的眼霜，才会有明显的改善。

其次，细纹是在表情纹的基础上深化而成的，你的细纹深浅不同，说明你的表情存在左右不对称的情况，可以有意识地调整一下。

4.长年黑眼圈，睡眠不足更严重，还有救吗?A：根据你的描述来看，这样的黑眼圈属于微循环不畅所致，通过充足睡眠能够改善。

2024高考巴蜀圆锥曲线解答题解析

2024高考巴蜀圆锥曲线解答题解析一、解答题1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知抛物线()2:20E y px p =>，O 是坐标原点，过()4,0的直线与E 相交于A ，B 两点，满足OA OB ⊥．(1)求抛物线E 的方程；(2)若()0,2P x 在抛物线E 上，过()4,2Q -的直线交抛物线E 于M ，N 两点，直线PM ，PN 的斜率都存在，分别记为1k ，2k ，求12k k ⋅的值．3【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知抛物线2:4,,C x y M N =为抛物线C 上两点，,M N 处的切线交于点()00,P x y ，过点P 作抛物线C 的割线交抛物线于,A B 两点，Q 为AB 的中点.(1)若点P 在抛物线C 的准线上，（i ）求直线MN 的方程（用含0x 的式子表示）；（ii ）求PMN 面积的取值范围.(2)若直线MQ 交抛物线C 于另一点D ，试判断并证明直线ND 与AB 的位置关系.【答案】(1)（i ）012y x =【详解】（1）（i ）设点221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为抛物线2:4C x y =，得12y x '=，则()21111:42MP x l y x x x -=-，整理得2111124y x x x =-①，()22221:42NP x l y x x x -=-，整理得2221124y x x x =-②，联立①②得()0120121214x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点P 在抛物线C 的准线上，即直线1y =-上，所以124x x =-，设直线MN 的方程为y kx b =+，斜率必存在，联立24=+⎧⎨=⎩y kx bx y ，消去y 得2440x kx b --=，所以212012Δ161604244k b x xk x x x b ⎧=+>⎪+==⎨⎪=-=-⎩，得0121k x b ⎧=⎪⎨⎪=⎩.所以直线MN 的方程为0112y xx =+；（ii ）由（i ）得21x x -=（2）直线ND 与AB 平行，证明：直线AB 斜率必存在，设消去y 得20444x kx kx -++=则()2034340161610444k kx x x k x x kx ⎧-+>⎪+=⎨⎪=+⎩，得则直线(21:4MQ x l y k x x '-=-()2122011214442x k k x x x k x ----=-整理得()(221284k x x k ---则2211112842D kx k x kx x x k x -+-=-则2101284142D kx k kx y k x ⎛-+-= -⎝【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般联立方程，然后用韦达定理来解决问题，特别是当一个交点知道的情况下，3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知()()122,0,2,0C C -，动点P 满足1PC 与2PC 的斜率之积为定值14.(1)求动点P 的轨迹Γ的方程；(2)过点()4,0M 的直线l 与曲线Γ交于,A B 两点，且,A B 均在y 轴右侧，过点A 作直线:1l x '=的垂线，垂足为D .（i ）求证：直线BD 过定点；（ii ）求MBD 面积的最小值.【答案】(1)(22104x y y -=≠(2)（i ）证明见解析；（ii ）3【分析】（1）设动点P 的坐标，由题意列式并化简，即可得答案；（2）（i ）设直线方程:l x my =结合题意有(2212212240Δ644884124m m m m y y m y y m ⎧-≠⎪=-⎪⎪-⎨+=⎪-⎪⎪⋅=<-⎩解得22m -<<，且122my y =又直线BD 的方程为1y y -=令0y =，则()122111y x x y y -=--()(122121235422=y y y y y y y y ++-=-4．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知点00(,)P x y 是椭圆E :221(0)a b a b +=>>上的动点，离心率2e =设椭圆左、右焦点分别为12,F F ，且12|||4|PF PF +=(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线12,PF PF 与椭圆C 的另一个交点分别为A ，B ，问PAB 面积是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．5．（23-24高三上·重庆·期中）已知椭圆C :()2210a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()121,01,0F F -,，椭圆C 上一动点A 在第二象限内，点A 关于x 轴的对称点为点B ，当AB 过焦点1F 时，直线2AF 过点30,4⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)点B 与焦点2F 所在直线交椭圆C 于另一点P ，直线AP 交x 轴于点T ，求TAB △面积最大时，点A 横坐标的值.【答案】(1)22143x y +=(2)13-设直线PB 的方程为1x my =+，联立得()2234690m y my ++-=，由于直线则12122269,343m y y y y m m -+=-=++直线PA 的方程为(21121y y y y x x ++=-令0y =，得(1121212y my y x y x x y y ==++即(4,0)T ；()()1114||432TABS x AB x =-⋅=-6．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知椭圆C ：()2210a b a b +=>>的上、下顶点分别为A ，B ，左顶点为D ，ABD △(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆外一点(),0M m 的直线交椭圆于P ，Q 两点，已知点P 与点P '关于x 轴对称，直线P Q '与x 轴交于点K ；若AKB ∠是钝角，求m 的取值范围．【点睛】方法点睛：求解椭圆的方程，关键是求得所以需要两个条件，如本题中，等边三角形以及等边三角形的面积，一共两个条件，用这两个条件列方程组，即可求得,a 7．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）如图3所示，点1F ，A 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点和右顶点，点F 为抛物线2:16C y x =的焦点，且124OF OA OF ==（O 为坐标原点）.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点1F 作直线l 交椭圆E 于B ，D 两点，连接AB ，AD 并延长交抛物线的准线于点M ，N ，求证：1MF N ∠为定值.8．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知椭圆()22:10x y C a b a b +=>>的离心率为e =，且经过点()1,e .(1)求椭圆C 的方程；(2)若A ，F 分别为椭圆C 的上顶点和右焦点，直线()3:0l y kx k =->与椭圆C 交于点B ，D ，F 到直线AB ，AD 的距离分别为1d 和2d ，求证：12d d =.。

点睛常见问题汇总

点睛网常见听课问题汇总一、登录问题（一）点击登陆按钮没有反应—————-------------------------第2页（二）用户登陆之后一直弹出登陆框-----------------------------第2页（三）登陆后提示您还没有登录或登录已超时---------------------第2页二、DRM认证问题（一）听课提示需要下载安全组件-------------------------------第2页（二）听课认证页面无法弹出-----------------------------------第3页（三）DRM升级不成功------------------------------------------第3-4页（四）DRM升级显示无法找到该页--------------------------------第4页（五）DRM升级显示应用程序出错--------------------------------第4页（六）DRM升级出现证书中的日期已无效或过期的提示--------------第4-5页（七）DRM升级时出现Windlws Mdeia Player安装不正确-----------第5页（八）DRM升级时出现服务器将播放机重定向到了无效位置----------第5-6页三、播放问题（一）播放按钮显示灰色----------------------------------------第6页（二）点击听课所有页面即关闭----------------------------------第6页（三）课件下载到本地无法播放----------------------------------第6页（三）点击播放显示此程序无法显示网页--------------------------第6-7页（四）点击播放显示页面脚本发生错误----------------------------第7-8页（五）Windows media play尚未配置为可用Internet---------------第8-9页（六）点击听课显示Windows media play无法播放该文件-----------第9页四、播放器安装问题（一）12个常见播放器安装问题---------------------------------第9-15页五、音频问题（一）正在播放的课件没有声音----------------------------------第15页（二）点击听课提示播放此文件需要一个音频编解码器--------------第15-16页六、其它问题（一）无法显示隐藏文件夹--------------------------------------第16页（二）如何卸载Windows MediaPlayer-----------------------------第16页（三）如何还原备分许可证--------------------------------------第17页（四） Windows Media Player 此时无法执行请求的操作------------第17页（五）打开听课界面IE崩溃-------------------------------------第18页（六）打开点睛网出现病毒提示----------------------------------第18页七、P2P视频直播问题（一）黑屏？无法播放？弹不出认证许可证框?RM组件无法升级？-----第18页（二）没有安装P2P播放插件------------------------------------第18-19页（三）您的浏览器不允许使用Active控件-------------------------第19-21页（四）您的浏览器拦截了弹出窗口--------------------------------第21页（五）弹出窗口Media player 没有联网---------------------------第21-23页（六）对系统进行初始化设置------------------------------------第23-26页一、登录问题（一）点击登陆按钮没有反应问题描述：输入用户名和密码，点击登陆按钮没有反应解决方案：1、可能是浏览器的设置有问题，点击浏览器—选项—安全—还原成默认值2、点击浏览器—选项—高级——还原成默认值（二）用户登陆之后一直弹出登陆框问题描述：用户名登陆之后一直弹出登陆框解决方案：打开浏览器——点击工具－－INTERNET选项－－隐私－－站点－－添加——允许——确定（三）登录后提示您还没有登录或登录已超时问题描述：登录后出现提示您还没有登录或登录已超时，单击确定页面会跳转到网站首页解决方案：1、先刷新浏览器2、浏览器---工具---internet选项--安全---还原默认3、浏览器---工具---internet选项--隐私---还原默认4、浏览器---工具---internet选项--高级---还原默认注：如果浏览器已为默认状态则只需要将所有的浏览器都关闭再重新打开即可。

2023年度注会(CPA)《审计》点睛提分卷及答案

2023年度注会（CPA）《审计》点睛提分卷及答案学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(25题)1.下列关于信息技术一般控制、应用控制与公司层面控制三者之间的关系的说法，错误的是( )。

A.公司层面信息技术控制决定了信息技术一般控制和信息技术应用控制的风险基调B.信息技术一般控制的有效与否会直接关系到信息技术应用控制的有效性是否能够信任C.信息技术一般控制是基础D.信息技术一般控制决定信息技术应用控制的风险基调2.下列关于对识别出的或怀疑存在的违反法律法规行为的沟通和报告的说法中，错误的是（）A.注册会计师针对被审计单位违反法律法规的事项采用口头沟通方式，应当形成沟通记录并作为审计工作底稿保存B.如果怀疑违反法律法规行为涉及管理层或治理层，注册会计师应当向被审计单位审计委员会或监事会等更高层级的机构通报C.如果注册会计师识别出违反法律法规的事项，但无法确定向谁报告时，应当考虑是否需要向外部监管机构报告或征询法律意见D.如果根据判断认为需要沟通的违反法律法规行为是故意和重大的，注册会计师应当在完成审计工作前向治理层通报3.下列情形中，属于注册会计师应当计划较少地利用内部审计工作的是（）。

A.当内部审计人员的胜任能力较低时B.内部审计没有采用系统、规范化的方法C.内部审计在被审计单位的地位以及相关政策和程序不足以支持内部审计人员的客观性D.内部审计人员缺乏足够的胜任能力4.下列各项，通常不会影响函证可靠性的因素是（）。

A.所函证样本的选取方法B.函证的方式C.被询证者易于回函的信息类型D.拟函证信息的性质5.下列各项中，不属于控制环境要素的是（）。

A.对胜任能力的重视B.治理层的参与程度C.管理层的经营风格D.业绩评价6.下列选项中，不用于衡量职业判断质量的是（）。

A.职业判断的复杂性B.职业判断的意见一致性C.职业判断的决策一贯性D.职业判断的可辩护性7.下列各项中，不属于评价专家工作恰当性的内容是（）。

2023年高中生物边角知识问题和答案汇总

高中生物边角知识问题和答案汇总（必修1 分子与细胞）1.盐析在鸡蛋清中参加食盐会出现白色絮状物，高温加热后鸡蛋清会呈现白色固态状，导致蛋白质出现这两种情况的原理相同吗？说明理由。

——问题源于（必修1）P23“与生活的联系〞]（提示）不同。

在食盐作用下析出蛋白质，蛋白质本身的结构没有改变，仍维持原有的生物活性；高温加热后蛋白质的空间结构发生了改变，丧失了原有的生物活性。

（点睛）盐析一般是指溶液中参加无机盐类而使某种物质溶化度降低而析出的过程，原理是物质在不同浓度的盐溶液中溶化度不同—蛋白7质在高浓度盐溶液中析出，而DNA是在低浓度盐溶液中析出，盐析为可逆反响，由此可见，盐析与高温、过酸、过碱导致的蛋白质不可逆转变性失活有本质不同。

（例证）(2023·全国卷Ⅱ，3)以下关于生物体中酶的表达，正确的选项是( )A.在细胞中，核外没有参与DNA合成的酶B.由活细胞产生的酶在生物体外没有催化活性C.从胃蛋白酶的提取液中沉淀该酶可用盐析的方法D.唾液淀粉酶催化反响最适温度和保存温度是37℃（解析）细胞质中线粒体和叶绿体内也有参与DNA合成的酶，A错误；在适宜环境下，酶在生物体内外都有催化活性，B错误；在胃蛋白酶的提取液中参加某些无机盐溶液后，可以使胃蛋白酶凝聚而从溶液中析出，C正确；唾液淀粉酶催化反响的最适温度不合适该酶的保存，应该在低温下保存，D错误。

（答案）C2.水盐与生命健康患急性肠炎的病人脱水时需要及时补充水分，同时也需要补充体内丧失的无机盐，因此，输入葡萄糖盐水是常见的医治方法。

大量出汗会排出过多的无机盐，导致体内的水盐平衡和酸碱平衡失调，这时应多喝淡盐水。

——摘自（必修1）P36“与生活的联系〞]（点睛）急性肠胃炎的病人因为小肠的汲取功能受到了影响，不能将喝进去的水汲取进入血液，所以简单造成脱水。

其它，汲取功能降低，体内细胞生命活动不断消耗能量，分解体内葡萄糖，还要及时补充体内葡萄糖，满足机体生命活动所需要的能源。

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画龙点睛法写作文结尾

画龙点睛法写作文结尾一、自然结尾法即用事情的结果作为文章的结尾，事物叙述完了，文章随之结尾。

结尾的方法例如：《月光曲》的结尾：“兄妹俩被美妙的陶醉了。

等他们苏醒过来，贝多芬早已离开了茅屋。

他飞奔回客店，花了一夜工夫把刚才弹的曲子——《月光曲》记录下来”。

又如：《飞夺泸定桥》：“红军主力渡过了天险大渡河，浩浩荡荡地奔赴抗日最前线。

”《李闯王渡黄河》：“闯王谢了船夫，带领大军胜利渡过了黄河。

”二、点题结尾法这是一种常见的结尾方法。

例如《美丽的小兴安岭》一课，作者按总述——分述——总述的结构，在总分述了小兴安岭一年四季变化和土特产及名贵药材后，用“小兴安岭是一座巨大的宝库，也是一座美丽的大花园。

”作结尾，总结了全文，点明了文章的中心。

如《大理石街》、《一个苹果》|《大森林的主人》等文章都采用了这种方法。

这种结尾法，适合写人、记事、写景状物的文章，是我们常用的结尾法。

同学们写作时，要注意：如何总结全文，如何提炼文章中心思想，切忌重复文章基本内容，或重复开头等。

三、发问结尾法即结尾时以发问的形式（反问或设问）提出问题。

四、例如：《一夜的工作》一课“看啊，这就是我们中华人民共和国的总理，我看见他一夜的工作。

他每个夜晚都是这样工作的。

你们看见过这样的总理吗？”结尾具有启发、感染、强调和肯定的作用。

这种结尾法适合于以写人为主的记叙文。

同学们在写作文时，要注意设问，反问的目的是抒发真情实感，不要牵强附会。

四、抒发感情结尾法即结尾时作者对描述的事物抒发真情实感，饱含赞美之情。

例如：《金色的鱼钩》一课结尾写道：“擦干了眼泪，我把老班长留下的鱼钩小心地包起来，放在贴身的衣兜里，我想，等革命胜利以后，一定要把它送到革命烈士纪念馆去，让我们的子子孙孙都瞻仰它，在这个长满了红锈的鱼钩上，闪烁着金色的光芒！”这样结尾，老班长那种关心同志、舍己救人、忠于革命的品质便跃然纸上，引起读者强烈的共鸣。

如《海上日出》、《珍贵的教科书》、《桂林山水》、《桥》等课文均采用了这种方法。

点睛网听课流程及常见问题

河北律师点睛网络听课流程及常见问题一、学员如何登录二、如何选择新课三、学员如何听课四、如何查看课时五、如何修改密码六、学员常见问题七、点睛联系方式一、学员如何登录第一类登录方式1．打开您本地的ＩＥ，输入河北司法厅网址：2．点击网站右上角“河北律师”。

3．网站首页右侧有一学员登录区，点击“河北律师网校”链接，如下图：4．学员在登录区，输入用户名及密码，点击“登录”。

如下图：第二类登录方式1．打开您本地的ＩＥ，输入点睛听课网址 (域名政法网校简拼)2. 网站首页右上角有一学员注册登录区，如下图：3．学员在点击通行证页面，输入用户名及密码，点击“登录”。

如下图：二、如何选择新课1.学员登录后，点击网站左上角“听课中心”。

如下图：2.学员登录后点击左上角“选课中心”，或者点击右边“我要选课”，如下图：3.页面自动跳转到选课界面，点击课程后面的“选课”，再点击“确认”。

如下图：三、学员如何听课1．学员按如上步骤登录，进入用户听课界面后，点击网页左边“我的课程”，再点击课程后面的“课件”。

如下图：2．点击“听课”，如图：3．如果您是第一次听本节课程，那么系统将直接播放课程，如图：4. 如您原来听过本节课程，但未听完，系统会自动提示：您上次播放多少分钟，是否从上次播放的时间继续？如想继续则点击“确定”，如想从头开始学习请点击“取消”。

四、如何查看课时1.律师如何查看课时1.1学员登录学习平台，系统会自动弹出听课提醒，页面将显示您的听课课时，如图：1.2 学员登录后，点击网页左边“进度统计”，如图：2.律协和律所如何查看课时2.1 管理员登录后，可以查看到该律师协会或律所培训信息统计，如下图：2.2 导出律师听课明细，请点击“听课统计”，再点击黄颜色文字的“听课统计”，考核年度选择“2013”年，系统默认课时为“自选课时”，选择需要导出听课明细的律协。

如下图：2.3 在待选择律所栏目中，如只想查看某所或某律师听课明细，可先输入该所名称，点击“添加”；或请选择该所，点击“添加”；如果是想了解下属所有律师听课明细，则点击“添加全部”，最后点击“生成报告”。

中考数学常见几何模型最值模型-胡不归问题

专题10 最值模型---胡不归问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）2驿道V 2V 1MNCBA1）121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值. 2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CHk AC=，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值. 3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC最小．【解题关键】在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．（若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。

例1．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，△CAB ＝30°，AD △BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ．则P A +2PB 的最小值为 _____．【答案】4在△BAC 的外部作△CAE ＝15°，作BF △AE 于F ，交AD 于P ，例2．（2022·湖北武汉·一模）如图，在ACE △中，CA CE =，30CAE ∠=︒，半径为5的O 经过点C ，CE 是圆O 的切线，且圆的直径AB 在线段AE 上，设点D 是线段AC 上任意一点(不含端点)，则12OD CD +的最小值为______．//CH AB ，30CAE ∠=︒，OC OA =， 30HCA OCA ∴∠=∠=︒，sin HCD ∴∠当O ，∴当O ，'OH OC =相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______． O M AC 3AM =P BD 12MP PB +【分析】过M 点作MH 垂直BC 于H 点，与OB 的交点为P 点，此时的长度最小为MH ，再算出MC 的长度，在直角三角形MPC 中利用三角函数即可解得MH 【详解】过M 点作MH 垂直BC 于H 点，与OB 的交点为P 点，此时的长度最小∵菱形中，∴AB =BC =AC =10，△ABC 为等边三角形 ∴∠PBC =30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH 中，∠PBH =30°∴PH = ∴此时得到最小值， ∵AC =10，AM =3,∴MC =7又∠MPC =60°∴MH =MC【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P 点是解题关键. 例4．（2022·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,2)，点C 的坐标是(0,2)-，点(,0)B x 是x 轴上的动点，点B 在x 轴上移动时，始终保持ABP 是等边三角形（点P 不在第二象限），连接PC ，求得12AP PC +的最小值为（）12MP PB +12MP PB +ABCD 10AB AC ==1PB 212MP PB +1=2MP PB MP PH MH ++=A．B．4C．D．2当点P 运动到y 轴时，如图2所示，此时点P 与点C 重合，例5．（2021·资阳市·中考真题）抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直y x bx c =-++()()1,0,0,3B C -线上方的一点，与相交于点E ，当时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D 落在点处，且，点M 是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N ，连结的值最小时，求的长．【答案】（1）；（2）或；（3）．【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点的坐标为，先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据可得点的坐标，代入直线的解析式求解即可得；（3）先根据求出点的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点的坐标，从而可得点的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得．【详解】解：（1）由题意，将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为；（2）对于二次函数，当时，，解得或，，设点的坐标为，点的坐标为，AC BP AC :1:2PE BE =CD D 2DD CD '=D //MN y OD 'CN N CN '+MN 2y x 2x 3=-++(1,4)P (2,3)P 34P 2(,23)P a a a -++AC :1:2PE BE =E AC 2DD CD '=D M N 5D N CN '+()()1,0,0,3B C -2y x bx c =-++103b c c --+=⎧⎨=⎩23b c =⎧⎨=⎩2y x 2x 3=-++2y x 2x 3=-++0y =2230x x -++=1x =-3x =(3,0)A ∴P 2(,23)(03)P a a a a -++<<E 11(,)E x y，，解得，，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，将点代入得：，解得或，当时，，此时，当时，，此时，综上，点的坐标为或；（3）二次函数的顶点坐标为，设点的坐标为，，，解得，，则平移后的二次函数的解析式为，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，如图，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，:1:2,(1,0)PE BE B =-1121111223102a x x a a y y -⎧=⎪+⎪∴⎨-++-⎪=⎪-⎩121213324233x a y a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩22124(,2)3333E a a a ∴--++AC y kx t =+(3,0),(0,3)A C 303k t t +=⎧⎨=⎩13k t =-⎧⎨=⎩AC 3y x =-+22124(,2)3333E a a a --++22124323333a a a -++=-++1a =2a =1a =2231234a a -++=-++=(1,4)P 2a =22342233a a -++=-+⨯+=(2,3)P P (1,4)P (2,3)P 2223(1)4y x x x =-++=--+D (1,4)D D 22(,)D x y '2,(0,3),(1,4)DD C D D C '=2212104243x y -⎧=⎪⎪-∴⎨-⎪=⎪-2236x y =⎧⎨=⎩(3,6)D '∴22(3)663y x x x =--+=-+-OD '0y k x =(3,6)D '036k =02k =OD '2y x =M 2(,63)(3)M m m m m -+-<N (,2)N m m AD 'N NF AD '⊥F C CG AD '⊥G OD 'N 'CF，轴，，，由两点之间线段最短得：的最小值为，由垂线段最短得：当点与点重合时，取得最小值，此时点与点重合，则点的纵坐标与点的纵坐标相等，即，解得，则，，．【点睛】二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键．例6．（2020·湖南·中考真题）已知直线与抛物线（b ，c 为常数，）的一个交点为，点是x 轴正半轴上的动点．（1）当直线与抛物线（b ，c 为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为，时，求b 的值．【答案】（1）-2，2，-3，；（2）4或6；（3）3【分析】（1）由题意可知直线经过，因而把代入直线即可求出k 的值，然后把代入抛物线得出含b 的代数式表达c ，再根据直线(3,0),(3,6)D A 'AD x '∴⊥3FN m ∴=-3D N CN CN m CN FN CN '+==-+=+FN CN +CF F G CF CG N N 'N 'C 23m =32m =2263243MN m m m m m =-+--=-+-233()4322=-+⨯-34=2y kx =-2y x bx c =-+0b >(1,0)A -(,0)M m 2y kx =-2y x bx c =-+0b >12b +2DM +()1,4-2y kx =-(1,0)A -(1,0)A -2y kx =-(1,0)A -与抛物线（b ，c 为常数，）的另一个交点得出抛物线的顶点坐标E ，并代入直线，解方程即可求出b 的值，代入即可求解；（2）将点D 的横坐标代入抛物线（b ，c 为常数，），根据点A 的坐标得到含b 的代数式表达c ，求出点D 的纵坐标为，可知点D 在第四象限，且在直线的右侧，取点，过点D 作直线AN 的垂线，垂足为G ，DG 与x 轴相交于点M ，过点D 作QH ⊥x 轴于点H ，则点H ，在Rt △MDH 中，可知，由题意可知点，用含b 的代数式表示m ，因，可得方程，求解即可得出答案．【详解】解：（1）∵直线经过，∴把代入直线，可得，解得； ∵抛物线（b ，c 为常数，）经过， ∴把代入抛物线，可得，∵当直线与抛物线（b ，c 为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E ，∴顶点的坐标为，把代入直线，可得，∴，解得，∵，∴，∴，∴顶点的坐标为．（2）∵点D 在抛物线（b ，c 为常数，）上，且点D 的横坐标为， ∴，∵在抛物线（b ，c 为常数，）上，∴，即，∴，2y kx =-2y x bx c =-+0b >24,24b c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭22y x =--12b +2y x bx c =-+0b >324b --13,224b b ⎛⎫+--⎪⎝⎭x b =(0,1)N 1,02b ⎛⎫+⎪⎝⎭45DMH MDH ︒∠=∠=(,0)Mm 24DM +=2y kx =-(1,0)A -(1,0)A -2y kx =-02k =--2k =-2y x bx c =-+0b >(1,0)A -(1,0)A -2y x bx c =-+1c b =--2y kx =-2y x bx c =-+0b >E 24,24b c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭E24,24b c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭22y x =--242224b c b --⨯-=()2412224b b b----⨯-=2b =±0b >2b =213c =--=-E ()1,4-2y x bx c =-+0b >12b +21122D y b b b c ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1,0)A -2y x bx c =-+0b >()210b c -+=+1c b =--21131=2224D b y b b b b ⎛⎫⎛⎫=+-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知点D在第四象限，且在直线的右侧．，∴可取点，如图2，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，∴，得，则此时点M满足题意，过点D作QH⊥x轴于点H，则点H，在Rt△MDH中，可知，∴，∵点，∴，解得：，，∴．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积公式等知识点，解题的关键是学会使用待定系数法求出抛物线的解析式．例7．（2022·四川成都·中考模拟）6．如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，13,224bb⎛⎫+--⎪⎝⎭x b=222DM AM DM⎛⎫+=+⎪⎪⎝⎭(0,1)N45GAM︒∠= 2AM GM=1,02b⎛⎫+⎪⎝⎭45DMH MDH︒∠=∠=,DDH MH M==(,0)M m31242bb m⎛⎫⎛⎫---=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124bm=-24DM+=111(1)224224b bb⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---++--=⎪ ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎦3b=(2)(4)(8ky x x k=+-0)k> x A B y C B y b=+DD5-P A B P ABC∆k设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？4解：（1）抛物线，令，解得或，，．直线经过点，，解得，直线解析式为：．当时，，，．点，在抛物线上，，．抛物线的函数表达式为：．即．（2）由抛物线解析式，令，得，，．因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是或．①若，则有，如答图所示．设，过点作轴于点，则，．FBD AF M A AFFFD D F M(2)(4)8y x x=+-0y=2x=-4x=(2,0)A∴-(4,0)B y b=+(4,0)B40b+=b=∴BD y x=5x=-y=(5D∴-(5D-(2)(4)8ky x x=+-∴(52)(54)8k-+--=k∴=∴2)(4)y x x+-2y xx=y k=-(0,)C k∴-OC k=P ABP∠ABC APB∆∆∽ABC PAB∆∆∽ABC APB∆∆∽BAC PAB∠=∠21-(,)P x y P PN x⊥N ON x=PN y=，即：，．，代入抛物线解析式，得，整理得：，解得：或（与点重合，舍去），．，，解得：． ②若，则有，如答图所示．设，过点作轴于点，则，．，即：，．，代入抛物线解析式，得，整理得：，解得：或（与点重合，舍去），．，，tan tan BAC PAB ∠=∠22k y x =+2k y x k ∴=+(,)2k P x x k ∴+(2)(4)8ky x x =+-(2)(4)82k kx x x k +-=+26160x x --=8x =2x =-A (8,5)P k ∴ABC APB ∆∆∽∴AC AB AB AP ==k =ABC PAB ∆∆∽ABC PAB ∠=∠22-(,)P x y P PN x ⊥N ON x =PN y =tan tan ABC PAB ∠=∠42k y x =+42k ky x ∴=+(,)42k k P x x ∴+(2)(4)8ky x x =+-(2)(4)842k k kx x x +-=+24120x x --=6x =2x =-A (6,2)P k ∴ABC PAB ∆∆∽AB CBAP AB=∴=k =，，综上所述，或（3）方法一：如答图3，由（1）知：，，如答图，过点作轴于点，则，，，，．过点作轴，则．过点作于点，则．由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，，即运动的时间值等于折线的长度值．由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点．点横坐标为，直线解析式为：，，．综上所述，当点坐标为，时，点在整个运动过程中用时最少．方法二：作，，交直线于点，，，，当且仅当时，最小，点在整个运动中用时为：，，【点睛】本题考查单动点问题；二次函数和一次函数交点问题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；相似三角形的判定；垂直线段最短的性质；分类思想和数形结合思想的应用．0k>k ∴k =k =(5D -22-D DN x ⊥N DN =5ON =459BN =+=tan DN DBA BN ∴∠==30DBA ∴∠=︒D //DK x 30KDF DBA ∠=∠=︒F FG DK ⊥G 12FG DF =M AF DF +12t AF DF =+t AF FG ∴=+AF FG +AF FG +DK x A AH DK ⊥H t AH =最小AH BD F A 2-BD y =+(2)y ∴=-=(2F ∴-F (2-M //DK AB AH DK ⊥AH BD F 30DBA ∠=︒30BDH ∴∠=︒sin302FDFH DF ∴=⨯︒=∴AH DK ⊥AF FH +M 12AF FDt AF FH =+=+:BD l y =2X X F A ∴==-(F ∴-课后专项训练1．（2022·河北·九年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（）A．B．C．D．2【解答】解：如图，在△ABC内作∠MBA＝30°过点A作AE⊥BM于点E，BM交AC于点P，∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°∴EP＝AP当BP⊥AE时，则AP+PB＝PE+PB的值最小，最小值是BE的长，在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2∴BE＝AB•cos30°＝．∴AP+PB的最小值是．故选：B．2．（2022·江苏·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4∴△ABP是等边三角形∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，FH＝FB∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值∵AE⊥CD于点G∴∠AGC＝90°∵O为AC中点∴OA＝OC＝OG＝AC∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝∴OQ＝OP＝∴GH最小值为故选：C．3．（2022·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD＋PC的最小值是（）A ．4B ．2＋C ．D ．32△二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与y 轴交于点B （0，﹣3），△c ＝﹣3，为OB 上一动点，则AP +的最小值为( )A ．4B ．5C ．D ．解：如图，过点A 作AH OC ⊥于点H ，过点P 作PF OC ⊥于点F ，连接AC 交OB 于点J ．四边形OABC 是菱形，AC OB ∴⊥，OJ JB ∴==CJ 2AC CJ ∴==AH OC ⊥，12OC AH OB AC ∴⋅=⋅⋅，142AH ∴==，sin PF CJ POF OP OC ∴∠===，PF ∴=，AP AP PF ∴=+，AP PF AH +，4AP ∴，AP ∴的最小值为4，故选：A ．5．（2022·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x =别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，若C 为x 轴上的一动点，则2BC +AC 的最小值为__________．【答案】6【分析】先求出点A ，点B 坐标，由勾股定理可求AB 的长，作点B 关于OA 的对称点B '，△3OB OB '==，△23BB '=，23AB AB '==△AB AB BB ''==，△ABB '∆是等边三角形，6．（2022·湖南·九年级月考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝6，△BCD 为等边三角形点E 为△BCD 围成的区域（包括各边）的一点过点E 作EM ∥AB ，交直线AC 于点M 作EN ∥AC 交直线AB 于点N ，则AN +AM 的最大值为．【解答】解：过E 作EH ⊥AC 交AC 的延长线于点H ，∵EN ∥AC ，EM ∥AB ，∴四边形ANEM 是平行四边形，∠HME ＝∠A ＝60°，设EM ＝AN ＝a ，AM ＝b ，Rt △HEM 中，∠HEM ＝30°，∴MH ＝ME ＝a ， ∴AN +AM ＝a +b ＝MH +AM ＝AH ，当E 在点D 时，AH 的值最大是：3+4.5＝7.5， AN +AM 的最大值为7.5，故答案为：7.5．7．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，△ABCD 中60A ∠=︒，6AB =，2AD =，P 为边CD2PB +．【答案】63四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，△60A PDH ∠=∠=︒ 于B 、C 两点，点A 、C 的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且△OCB ＝60°，点P 是直线l 上一动点，连接AP ，则AP 的最小值是______．在Rt△PCG中，△PCG=60°，则△CPG=30°，如图，ABC中，是线段BE上的一个动点，则CD的最小值是__________．DH CM 即BE，2AB AE =（舍弃），△BE ，CM AB ⊥BHD BEA =∠5BD +=DH CM ，△45CD BD ，△CD 【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．10．（2022·广东·一模）已知抛物线243y xx =-+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 点左侧），与y 轴正半轴交于点C ，点P 是直线BC 上的动点，点Q 是线段OC 上的动点．(1)求直线BC 解析式．(2)如图①，求OP ＋P A 的和取最小值时点P 的坐标． (3)如图②，求AQ ＋QP 的最小值．(4)如图③，求AQ 12+QC 的最小值．Rt A PB '中求出，则可得当A ，Q ，△B （3，0），C （0，3），△BO ＝CO ＝3，由对称性可知OCP DCP ≌，OCB DCB ≌，OCB ＝45°，△CDB ＝△COB ＝90°，CO ＝CD ，△四边形OCDB 为正方形，△D 坐标为（，△AB ＝2，BD ＝3， 2222+3=13BD +=，则AQ ＋QP ＝A Q PQ A P ''+≥，当A '，Q ，P 三点共线，且A P BC '⊥时，AQ ＋PQ 最小， Rt A PB '中，）解：如图，在1111．（2022·江苏·中考模拟）如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？解：（Ⅰ）把，代入，得，解得：．抛物线的解析式为联立，解得：或，点的坐标为．如图1．，，，，，，22y x mx n =++32y x =-+A B x D C AC BC (0,3)A (3,0)C tan BAC ∠P y PA P PQ PA ⊥y Q P A P Q ACB ∆P E AC DE M D DE E EA A E M (0,3)A (3,0)C 212y x mx n =++31902n mx n =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩523m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴215322y x x =-+213215322y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩03x y =⎧⎨=⎩41x y =⎧⎨=⎩∴B (4,1)(3,0)C (4,1)B (0,3)A 220AB ∴=22BC =218AC =，是直角三角形，，；（Ⅱ）方法一：（1）存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似．过点作轴于，则．设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则．，，．若点在点的下方，①如图2①，当时，则．，，，．．则．把代入，得，整理得：解得：（舍去），（舍去）． ②如图2②，当时，则．同理可得：，则，把代入，得，整理得：解得：（舍去），，，；若点在点的上方，①当时，则，同理可得：点的坐标为．②当时，则．同理可得：点的坐标为，．综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，；方法二：作的“外接矩形” ，易证，， 222BC AC AB ∴+=ABC ∴∆90ACB ∴∠=︒1tan 3BC BAC AC ∴∠===P A P Q ACB ∆P PG y ⊥G 90PGA ∠=︒P x P y 0x >PG x =PQ PA ⊥90ACB ∠=︒90APQ ACB ∴∠=∠=︒G A PAQ CAB ∠=∠PAQ CAB ∆∆∽90PGA ACB ∠=∠=︒PAQ CAB ∠=∠PGA BCA ∴∆∆∽∴13PG BC AG AC ==33AG PG x ∴==(,33)P x x -(,33)P x x -215322y x x =-+21533322x x x -+=-20x x +=10x =21x =-PAQ CBA ∠=∠PAQ CBA ∆∆∽1133AG PG x ==1(,3)3P x x -1(,3)3P x x -215322y x x =-+215133223x x x -+=-21303x x -=10x =2133x =13(3P ∴14)9G A PAQ CAB ∠=∠PAQ CAB ∆∆∽P (11,36)PAQ CBA ∠=∠PAQ CBA ∆∆∽P 17(3P 44)9P (11,36)13(314)917(344)9APQ ∆AQGH AHP QGP ∆∆∽∴AP HPPQ QG=以，，为顶点的三角形与相似，或，设，，，①，，，， ②，，，（舍，满足题意的点的坐标为、，、，；（2）方法一：过点作轴于，如图3．在中，，即，点在整个运动中所用的时间为．作点关于的对称点，连接，则有，，，，．根据两点之间线段最短可得：当、、三点共线时，最小．此时，，四边形是矩形，，．对于，当时，有，解得：，．，，，，点的坐标为．A P Q ACB ∆∴13AP HP BC PQ QG AC ===3AP HP ACPQ QG BC===2(2,253)P t t t -+(0,3)A (2,3)H t 13HP QG =232531||23t t t --+∴=11323t ∴=21723t =3HPQG=23253||32t t t --+∴=1211t ∴=221t =-)∴P (11,36)13(314)917(344)9E EN y ⊥N Rt ANE∆sin 45EN AE AE =⋅︒=AE ∴M 1DE DE EN =+D AC D 'D E 'D E DE '=D C DC '=45D CA DCA ∠'=∠=︒90D CD ∴∠'=︒DE EN D E EN +='+D 'E N DE EN D E EN +='+90D CD D NO NOC ∠'=∠'=∠=︒∴OCD N '3ND OC ∴'==ON D C DC ='=215322y x x =-+0y =2153022x x -+=12x =23x =(2,0)D ∴2OD =321ON DC OC OD ∴==-=-=312NE AN AO ON ∴==-=-=∴E(2,1)方法二：作点关于的对称点，交于点，显然，作轴，垂足为，交直线于点，如图4，在中，，即，当、、三点共线时，最小，，，，，，，，，，，，为的中点，，，．方法三：如图，5，过作射线轴，过作射线轴，与交于点．，，．，，，，．．当且仅当时，在整个运动中用时最少为：，抛物线的解析式为，且，可求得点坐标为则点横坐标为2，将代入，得．所以．12．（2020·四川乐山市·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；②连结，求的最小值．D AC D 'DD 'AC M DE D E ='D N y '⊥N AC E Rt ANE∆sin 452EN AE AE =⋅︒=AE ∴D 'E N DE EN D E EN +='+(0,3)A (3,0)C :3AC l y x ∴=-+(,3)M m m ∴-+(2,0)D DM AC ⊥1DM AC K K ∴⨯=-3112m m -+∴-⨯=--52m ∴=5(2M ∴1)2M DD '(3,1)D ∴'1Y Y E D ='=(2,1)E ∴A //AF x D //DF y DF AC E (0,3)A (3,0)C :3AC l y x ∴=-+OA OC =90AOC ∠=︒45ACO ∴∠=︒//AF OC 45FAE ∴∠=︒sin 45EF AE ∴=⋅︒∴AF DF ⊥DE EF +M 1DE t DE EF ==+215322y x x =-+(3,0)C ∴D (2,0)E 2x =:3AC l y x =-+1y =(2,1)E 2y ax bx c =++x (1,0)A -(50)B ，C xD BC 4tan 3CBD ∠=P P x BC E E EF PE ⊥F FB FC BCF ∆PB 35PC PB +【答案】（1）；（2）①；②．【分析】（1）先函数图象与x 轴交点求出D 点坐标，再由求出C 点坐标，用待定系数法设交点式，将C 点坐标代入即可求解；（2）①先求出BC 的解析式，设E 坐标为，则F 点坐标为，进而用t 表示出的面积，由二次函数性质即可求出最大值；②过点作于，由可得，由此可知当BPH 三点共线时的值最小，即过点作于点，线段的长就是的最小值，根据面积法求高即可．【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：， ∵是抛物线的对称轴，∴，又∵，∴，即，代入抛物线的解析式，得，解得，∴二次函数的解析式为或；（2）①设直线的解析式为，∴ 解得241620999y x x =-++322454tan 3CBD ∠=42033=-+y x 420,33t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭241620999,t t t ⎛⎫ ⎪⎝-+⎭+BCF ∆P PG AC ⊥G 3sin 5PG PC ACD PC =⋅∠=35PC PB PG PB +=+35PC PB +B BH AC ⊥H BH 35PC PB +(1)(5)y a x x =+-CD (20)D ，4tan 3CBD ∠=tan 4CD BD CBD =⋅∠=(24)C ，4(21)(25)a =+-49a =-4(1)(5)9y x x =-+-241620999y x x =-++BC y kx b =+0542.k b k b =+⎧⎨=+⎩，4320.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线的解析式为，设E 坐标为，则F 点坐标为， ∴， ∴的面积 ∴， ∴当时，的面积最大，且最大值为； ②如图，连接，根据图形的对称性可知，，∴，过点作于，则在中，， ∴，再过点作于点，则， ∴线段的长就是的最小值，∵，又∵，∴，即，∴的最小值为．【点睛】此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面积最大值求法、线段和的最值问题．解（1）关键是利用三角函数求出C 点坐标，解（2）关键是由点E 、F 坐标表示线段EF 长，从而得到三角形面积的函数解析式，解（3）的难点BC 42033=-+y x 420,33t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭241620999,t t t ⎛⎫⎪⎝-+⎭+22420341620428409999993EF t t t t t =-++-=-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭BCF ∆21142840322999S EF BD t t ⎛⎫=⨯⨯=-+- ⎪⎝⎭2273()322S t =--+72t =BCF∆32AC ACD BCD ∠=∠5AC BC ==3sin 5AD ACD AC ∠==P PG AC ⊥G Rt PCG ∆3sin 5PG PC ACD PC =⋅∠=35PC PB PG PB +=+B BH AC ⊥H PG PH BH +≥BH 35PC PB +11641222ABC S AB CD ∆=⨯⨯=⨯⨯=1522ABC S AC BH BH ∆=⨯⨯=5122BH =245BH =35PC PB +245是将的最小值转化为点B 到AC 的距离． 13．（2021·四川达州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的横坐标分别为：2，，．【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为将，两点代入求得，c 的值即可；（2）胡不归问题，要求的值，将折线化为直线，构造相似三角形将转化为，再利用三角形两边之和大于第三边求得最值；（3）分2种情形讨论：①AB 为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N 点的坐标;35PC PB +2y x bx c =-++xA ()1,0C y ()0,3B x E F OE О'OE ()090αα︒<<︒'AE 'BE 13''BE AE +M N A B M N N 223y x x =--+3N 1-2y x bx c =-++()1,0C ()0,3B b 13''BE AE +13'AE 13'DE 13''BE AE +②AB 为矩形的对角线，设R 为AB 的中点,RN =AB ,利用两点距离公式求解方程可得N 点的坐标．【详解】解：（1）∵过，∴∴，∴抛物线的解析式为：（2）在上取一点，使得，连接，∵对称轴．∴，，∴，∴ ∴ ∴ 当，，三点在同一点直线上时，最小为．在中，， ∴ 即．（3）情形①如图，AB 为矩形的一条边时，联立得是等腰，122y x bx c =-++()1,0C ()0,3B 103b c c -++=⎧⎨=⎩2b =-3c =223y x x =--+OE D 13OD OE ='AE BD 11'33OD OE OE ==3112x -+==-()1,0E -1OE ='1OE OE ==3OA ='1'3OE OD OA OE ==''DOE E OA ∠=∠''DOE E OA ∆∆∽1''3DE AE =1''''3BE AE BE DE +=+B 'E D ''BE DE +BD Rt BOD ∆13OD =3OB =3BD ===13''BE AE +2023y y x x =⎧⎨=--+⎩31,00x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩(3,0),3A OA ∴-=3OB =ABO ∴Rt 45BAO ∠=︒分别过两点作的垂线，交于点，过作轴，轴,,也是等腰直角三角形设，则，所以代入，解得,（不符题意，舍）同理，设，则，所以代入，解得,（不符题意，舍）② AB 为矩形的对角线，设R 为AB 的中点,则，设，则整理得：解得：（不符题意，舍），（不符题意，舍），，综上所述：点的横坐标分别为：2，，或．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识，能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键．,A B AB 223y x x =--+12,N N 12,N N 1N Qy ⊥2N P x ⊥1245QBN PAN ∴∠=∠=︒∴1BN Q △2AN P △QB m =1N Q m =1(,3)N m m -+223y x x =--+11m =20m =∴1(1,4)N -OP n ==3PN n +2(,3)N n n --223y x x =--+1n 2=23n =-2(2,-5)N ∴12RN AB =()3,0,()0,3A B -33(,)22R ∴-AB ==122RB AB ∴==12RN AB ==2RN ∴2(,23)N x x x --+222233()(2)22x x x +++-=2(3)(1)0x x x x ++-=1=0x 23x =-31=2x -+41=2x --∴N 1-12-12-14．（2022·广西·南宁三中一模）如图，二次函数21y ax bx =++的图象交x 轴于点()2,0A -、()10B ,，交y 轴于点C ，点D 是第四象限内抛物线上的动点，过点D 作//DE y 轴交x 轴于点E ，线段CB 的延长线交DE 于点M ，连接OM 、BD 交于点N ，连接AD ．（1）求二次函数的表达式；（2）当OEM DBES S=时，求点D 的坐标及sin DAE ∠；（3）在（2）的条件下，点P 是x轴上一个动点，求DP 的最小值．OEM DBES S=，△OE【点睛】主要考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，勾股定理，垂．（广东东莞市三模）已知，如图，二次函数图像交轴于，交y 交轴于点(0,3)C ，D 是抛物线的顶点，对称轴DF 经过x 轴上的点(1,0)F ．（1）求二次函数关系式；（2）对称轴DF 与BC 交于点M ，点P 为对称轴DF 上一动点．①求AP 的最小值及取得最小值时点P 的坐标；②在①的条件下，把APF 沿着x 轴向右平移t 个单位长度(04)t ≤≤时，设APF 与MBF重叠部分面积记为S ，求S 与t 之间的函数表达式，并求出S 的最大值．11的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．【答案】（1）见解析；（2）（3）AB＝【解析】（1）连接OC，如图，∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE 是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图，由题可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，∴h＝OC•sin60°＝，∴OC＝h，∴AB＝2OC＝h；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝，∴＋OD＝DH＋FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH＋FD CD＋OD）最小，此时FH＝OF•sin∠FOH＝＝6，则OF＝4，AB＝2OF＝8．∴当＋OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．。

2023年度(CPA)注会全国统一考试《审计》点睛提分卷

2023年度（CPA）注会全国统一考试《审计》点睛提分卷学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(25题)1.下列关于注册会计师取得并检查银行存款余额调节表的程序的说法中，错误的是（）A.检查调节表中加计数是否正确B.检查调节事项C.特别关注银付企未付、企付银未付中支付异常的领款事项D.将银行余额调节表与银行函证回函核对，确认是否一致2.重要性取决于在具体环境下对错报金额和性质的判断。

以下关于重要性的理解中，错误的是（）。

A.重要性的确定离不开对被审计单位具体环境的考虑B.对重要性的评估需要运用职业判断C.重要性概念是针对管理层决策的信息需求而言的D.在考虑一项错报是否重大时，既要考虑错报的金额，又要考虑错报的性质3.下列有关一般控制和应用控制的描述中，错误的是（）。

A.应用控制是设计在计算机应用系统中的、有助于达到信息处理目标的控制B.信息技术一般控制只会对实现部分或全部财务报告认定做出间接贡献C.如果注册会计师计划依赖自动应用控制、自动会计程序或依赖系统生成信息的控制时，就需要对相关的信息技术一般控制进行测试D.注册会计师通常优先评估公司层面信息技术控制和信息技术一般控制的有效性4.下列情形中，为被审计单位的相关人员提供了舞弊的机会的是（）。

A.高层管理人员的报酬与财务业绩或公司股票的市场表现挂钩B.公司正在申请融资C.公司管理层能够凌驾于内部控制之上D.认为单位对自身的待遇不公5.下列选项中，不属于影响控制缺陷严重程度的因素是（）。

A.控制不能防止或发现并纠正账户或列报发生错报的可能性的大小B.因一项或多项控制缺陷导致的潜在错报的金额大小C.错报是否发生及金额大小D.所涉及的账户、列报及其相关认定的性质6.在下列控制中，属于检查性控制的是（）。

A.销货发票上的价格根据价格清单上的信息确定B.计算机每天比较运出货物的数量和开票数量，并生成差异报告C.在更新采购档案之前必须先有收货报告D.计算机将记账凭证上借贷方金额对比，对账户代码进行逻辑测试7.下列有关书面声明日期的说法中，正确的是（）。

点睛网听课流程及常见问题样本

河北律师点睛网络听课流程及常见问题一、学员如何登录二、如何选择新课三、学员如何听课四、如何查看课时五、如何修改密码六、学员常见问题七、点睛联系方式一、学员如何登录第一类登录方式1．打开您本地的ＩＥ , 输入河北司法厅网址:2．点击网站右上角”河北律师”。

3．网站首页右侧有一学员登录区, 点击”河北律师网校”链接, 如下图:4．学员在登录区, 输入用户名及密码, 点击”登录”。

如下图:第二类登录方式1．打开您本地的ＩＥ , 输入点睛听课网址 (域名政法网校简拼) 2. 网站首页右上角有一学员注册登录区, 如下图:3．学员在点击通行证页面, 输入用户名及密码, 点击”登录”。

如下图:二、如何选择新课1.学员登录后, 点击网站左上角”听课中心”。

如下图:2.学员登录后点击左上角”选课中心”, 或者点击右边”我要选课”, 如下图:3.页面自动跳转到选课界面, 点击课程后面的”选课”, 再点击”确认”。

如下图:三、学员如何听课1．学员按如上步骤登录, 进入用户听课界面后, 点击网页左边”我的课程”, 再点击课程后面的”课件”。

如下图:2．点击”听课”, 如图:3．如果您是第一次听本节课程, 那么系统将直接播放课程, 如图:4. 如您原来听过本节课程, 但未听完, 系统会自动提示: 您上次播放多少分钟, 是否从上次播放的时间继续? 如想继续则点击”确定”, 如想从头开始学习请点击”取消”。

四、如何查看课时1.律师如何查看课时1.1学员登录学习平台, 系统会自动弹出听课提醒, 页面将显示您的听课课时, 如图:1.2 学员登录后, 点击网页左边”进度统计”, 如图:2.律协和律所如何查看课时2.1 管理员登录后, 能够查看到该律师协会或律所培训信息统计, 如下图:2.2 导出律师听课明细, 请点击”听课统计”, 再点击黄颜色文字的”听课统计”, 考核年度选择””年, 系统默认课时为”自选课时”, 选择需要导出听课明细的律协。

关于验光过程中常见问题的几点参考意见

验光过程常见问题的参考意见1.客观与主观验光的主要区别：★客观的方法是通过物理原理（声纳，弱红外线或反射光）测定眼屈光状态。

是无需客人回答清楚与否。

★主观的方法是测定眼屈光状态过程中需客人配合提供自我感受。

★因这两种方法都有可能存在调节的影响故其结果准确性差不多★散瞳的目的就在最大限度排除调节对测定结果的影响，使测定结果相对更为准确。

2.主观验光应特别注意的问题：★尽量不刺激眼产生调节，使其处于放松状态★整个过程引导客人凭第一印象，无须仔细辨认。

(因仔细辨认会刺激调节的产生)★保持头脑清醒，验光程序牢记心中。

问话简洁清晰轻柔，转换镜片干净利落。

不做无谓的转换而致人眼花缭乱。

★从客人反应的快慢，回答的肯定程度，和其对感受的其他描述中来提取有效信息，判定镜片的应用，切忌让客人牵着鼻子走。

3测定裸眼视力的目的：★虽然裸眼视力与屈光不正的度数没有一定正比关系，但仍可作参考。

★经验：一般0.1都看不清的大概在-3.00以上，0.5看不清的大概在-1.00上下★预估客人对配镜视力的期望程度4测定主力眼的目的：★由于左右大脑开发利用的不对称和其功能分工的不同，往往有一眼位处于优先注视目标，另一眼位则被动靠拢，每个人可有不同。

★在做双眼平衡的时候，可能视力的清晰度一样，而底色会有不同★在做双光，渐进时需注意在单眼瞳距和瞳高时要往主力眼侧重5视力表的应用：★视力表的设计都遵循在检查距离时以一分视角为标准1.0来设计视标的大小★图案视标适合不会区分开口方向的小童，做初略了解视力状况（因其设计难以保证1分视角的标准）★数字视标也因其设计难以保证1分视角的标准，而且还需思维辨认，也做初略参考。

往往会出现E字视力表看得到1.0，而数字则看不到的情况。

★E字视力表最常用，应以它测定的视力为准。

一般0.2秒能分出方向为宜，哪怕是估也行6.红绿视标应用的原理；★红，绿色光是两种不同波长，不同频率的互补光线。

红光波长长，频率小;绿光波长短，频率大。