02结构几何组成分析(二).
结构力学第二章几何组成分析.李廉锟
geometrically stable system
结构
Under the action of any loads, the system still maintain its shape and remains its location if the deformations of the members are neglected.
F
E
2 rigid bodies, connected by 3 links, which are nonparallel and nonconcurrent cross the hinge, form an internally stable system with no redundant restraints. 。
Degrees of freedom of a system are the numbers of independent movements or coordinates which are required to locate the system fully.
for a point in plane n=2
C
structure formed by Attaching of binary systems 减二元体简化分析
W=3 ×10-(2×14+3)=-1<0 W=2 ×6-13=-1<0
计算自由度 = 体系真实 的自由度 ？
W=2 ×6-12=0 W=3 ×9-(2×12+3)=0
缺少联系 几何可变
W=2 ×6-11=1 W=3 ×8-(2×10+3)=1
summary
W>0, 缺少足够联系，体系几何可变 Restraints are not enough, unstable。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求的最少 联系数目has the minimum necessary numbers of restraints for stable system。
结构力学 2几何组成分析
II
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系 三刚片三铰相连,三铰不共线, 为无多余约束的几何不变体系. 为无多余约束的几何不变体系.
三刚片虚铰在无穷远处的讨论
一个虚铰在无穷远
一个虚铰在无穷远： 一个虚铰在无穷远：若组成此虚铰的二杆与另两铰的连 线不平行则几何不变；否则几何可变. 线不平行则几何不变；否则几何可变
例1: 对图示体系作几何组成分析
I II
III
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体 三刚片三铰相连,三铰不共线, 系为无多余约束的几何不变体系. 系为无多余约束的几何不变体系.
例2: 对图示体系作几何组成分析Байду номын сангаас
I
II
III
主从结构， 主从结构，顺序安装
例3: 对图示体系作几何组成分析
I III
FAy 如何求支 座反力? 座反力 静定结构
FB 无多余 联系几何 不变。 不变。
例1:如何通过减约束变成静定？ 1:如何通过减约束变成静定 如何通过减约束变成静定？
或
或
还有其他可能吗？ 还有其他可能吗？
结论与讨论
结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。 结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。 正确区分静定、超静定，正确判定超静定结 构的多余约束数十分重要。 超静定结构可通过合理地减少多余约束使其 变成静定结构。 变成静定结构。 分析一个体系可变性时，应注意刚体形状可 任意改换。按照找大刚体（或刚片）、减二元 任意改换。按照找大刚体（或刚片）、减二元 体、去支座分析内部可变性等，使体系得到最 大限度简化后，再应用三角形规则分析。 大限度简化后，再应用三角形规则分析。
彼此等长 →常变
彼此不等长 →瞬变
结构力学《第二章几何组成分析》龙奴球
第二章 结构的几何构造分析
瞬变体系（
×）
体系是由三个刚片用三个共线的铰 ABC相连，故为瞬变体系。（ ）
×
第二章 结构的几何构造分析
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系简单化，然 后再分析。
D A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后， 剩下大地。故该体系为无多余约 束的几何不变体系。
第二章 结构的几何构造分析 2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉 基础，只分析上部。
第二章 结构的几何构造分析
用一链杆将一刚片与地面相联 两刚片用一链杆相联
1、2、3、4是链杆， 折线型链杆、曲线型 链杆可用直线型链杆 代替。
3 6 4
Ⅰ
1 5
5、6不是链杆。
第二章 结构的几何构造分析
单铰：联结两个刚片的铰称为单铰
一个单铰相当于几个约束呢？ 在平面内两个刚片自由 度等于6 加入一个单铰后自由度 等于4，减少了2个自由 度
A
C B
规则4 三刚片以不在一条直线 上的三铰 两两相连，组成无多余 约束的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
第二章 结构的几何构造分析
关于无穷远瞬铰的情况
1 C II
I A
2
B
III
图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、 B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个 铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多 余约束。
(3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。
(4) 各有限远点都不在∞线上。
第二章 结构的几何构造分析
§2-2 几何不变体系的组成规则
基本规律：三角形规律
02结构力学1-几何组成分析
§2-1 基本概念 W = 3m-(3g+2h+b) 四. 计算自由度
例3：计算图示体系的计算自由度 2 1 解法一
9根杆,9个刚片
有几个单铰？
3 3
3根单链杆
2 1
W=3 ×9-(2×12+3)=0
§2-1 基本概念
四. 计算自由度 例3：计算图示体系的计算自由度 铰结链杆体系：完全由两端 铰结的杆件所组成的体系
y 两个刚片一共6个自由 度 加两个单链杆之后：整 个体系有4个自由度 减少2个自由度
x
1单铰=2个单链杆
y
§2-1 基本概念
三. 约束（联系） 约束：减少自由度的装置 实铰 x
两个单链杆
y
y
虚铰 x
x
§2-1 基本概念
三. 约束（联系）
既不平行又不相交于一点 的三个单链杆=一个固定支 座
三个单链杆=一个固定支座？
§2-2 静定结构的组成规则
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组 成一个三角形——基本出发点。
二刚片规则： 二刚片规则： 两个刚片用三根 两个刚片用一 不全平行也不交 个铰和一根不通 于同一点的链杆 过此铰的链杆相 相联，组成无多 联，组成无多余 余联系的几何不 联系的几何不变 变体系。
体系。
§2-2 静定结构的组成规则
x
1单铰=2个约束
§2-1 基本概念
三. 约束（联系） 约束：减少自由度的装置 y
复铰
三个刚片一共9个自由 度 加铰之后：整个体系有 5个自由度 减少4个自由度 x
复铰 等于多少个 单铰？
1连接N个刚片的复铰 =N-1个单铰
§2-1 基本概念
三. 约束（联系） 约束：减少自由度的装置
结构力学第二章结构的几何组成分析
=6 结构系统 结构系统结构系统 （c ）铰链 平面两个刚片的自由度: 平面单铰相当于2个约束 x y A O A xA yα β 单铰 6 23=?=n 用单铰连接后只剩下4个自由度:β α,,,A A y x 4 =n 2 46=-=∴c 连接两个平面刚片的单铰 x y A O 复铰 m 个刚片 原m 个刚片的总自由度：连接m 个刚片的复铰 用复铰连接后自由度为2个线位移加m 个角度：m m n 33=?=m n +=2故约束数)1(2)2(3-=+-=m m m c 连接m 个刚片的复铰相当于个约束。 )1(2-m m 个铰的总自由度数： 系统中元件（刚体、杆、刚片）和铰既可以看作自由体，也可以看作约束。 1 2 3 4 5 6 m-1
2 3 f >0时，有多余约束，称为静不定（超静定）结构，f 就是静不定的次数。 如果元件安排合理，则
布置不合理
f
=0 f =1 布置合理，1
次超静定 f =0 布置合理，静定
2 由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。 2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。 1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A' x y A yA xA z A zA' O 空间一根杆有5个自由度，一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3 x y A yAxA z AzA' O B B'
02-2结构力学第二章 平面体系的几何组成分析-作业答案汇总
38 3 2 29 3 3
3个单铰结点, 3个折算为2个单铰结点的复铰结点
支杆
b3
11/73
(II III) 刚片II
(I II)
刚片III
几何不变且无多余约束
j9 单链杆：12根 复链杆：2根 折算为6根单链杆
W 2 j b 29 12 6 0
5/73
【作业1】分析图示体系的几何构造
图3
【作业1】分析图示体系的几何构造
图4
先考察如图所示结构
∞(II III)
9/73
【作业2】求图示系统的计算自由度
刚片 m 1 单刚结点 g 4 铰结点 h 0 支杆 b 3
内部无多余约束刚片
W 3m 3g 2h b
31 3 4 3 12
10/73
【作业2】求图示系统的计算自由度
刚片 m 8
单刚结点 g 2
W 3m 3g 2h b
铰结点 h 9
刚片 m 14 单铰链结点 h 18
刚片II
刚片III
(I II)
(I III) 刚片I
瞬变体系
其中折算为2个单铰结点的 复铰结点有6个
∞(II III)
其中折算为3个单铰结点的 复铰结点有2个 单刚结点 2个 g 2 和基础相连的支杆 0个 b 0
W 3m 3g 2h b
314 3 2 218 0
∞(II III)
刚片II (I II) (I III) 刚片III
刚片I
几何不变且无多余约束
(I II) 刚片II (I III) 刚片III
刚片I
几何不变且无多余约束
7/73
【作业2】求图示系统的计算自由度
图1 并进行几何构造分析
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
➢ 在任意体系上依次增加，或依 次拆除二元体，原体系的自由度 数不变。
(a)
(b)
3、基本组成规则中约束方式 的影响
利用这两个规则的要点是规则中 的三个要素：
❖ 刚片及刚片数 ❖ 约束、约束数及约束的方式 ❖ 结论
两个刚片用三个链杆相连 的情况：
❖ 当三个链杆平行并且长度相等时， 是几何可变体系
两平行链杆构成一交点在无穷远的虚铰其作用相当于无穷远处的一个实铰的作用一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系或是刚片或是内部几何不变体系基本三角形规则基本三角形规则可用以下12两个简单组成规则等效
结构力学第2章平面体系的几何 组成分析
第二章 平面体系的几何组成分析
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
(b)
(c)
虚铰的典型运动特征为：瞬心
从瞬时运动角度来看，刚片1与刚 片2的相对运动，相当于绕两链杆 的交点处的一个实铰的转动。
(a)
(b)
➢ 两平行链杆构成一交点在 无穷远的虚铰，其作用相当于
无穷远处的一个实铰的作用 。
§2.3 平面几何不变体系的基 本组成规律
1.基本组成规律的产生 (a)
例2-4-6（多余约束）
分析图： (a)
说明：
对于有多余约束的几何不变体系， 可以用去掉约束的方法，使体系成 为无多余约束的几何不变体系，所 去掉的约束数就是原体系所具有的
多余约束数，这种方法叫拆除约束 法。
例2-4-7
分析图：
说明：
把四周用连续杆、刚结点及固定端 构成的体系叫封闭框。一个封闭框 是有3个多余约束的几何不变体系。
❖ 当三个链杆平行但长度不全相 等时，是几何瞬变体系
结构力学第二章结构的几何组成分析
链杆法
链杆选取
选择适当的链杆，作为分析的基本单元。
约束条件分析
分析链杆的约束条件，确定结构的几何特性。
几何组成判定
根据链杆的几何特性和约束条件，判断结构 的几何组成。
混合法
1 2
方法选择
根据结构特点，选择刚片法或链杆法进行分析。
综合分析
综合运用刚片法和链杆法，对结构进行几何组成 分析。
3
结果判定
常变体系
在荷载作用下，体系的几何形状会发生变化，且这种变化是持续的。例如，一个由三个链杆连接的刚片，在荷载 作用下会持续发生变形。
03
几何组成分析方法
刚片法
刚片选取
选择适当的刚片，作为分析的基本单 元。
自由度计算
几何不变体系判定
根据约束条件，判断结构是否为几何 不变体系。
计算各刚片的自由度，确定约束条件。
结构力学第二章结构的几何组成分析
目录 Contents
• 几何组成分析基本概念 • 几何组成分析基本规则 • 几何组成分析方法 • 几何组成与结构性能关系 • 复杂结构几何组成分析示例 • 几何组成分析在工程应用中的意义
01
几何组成分析基本概念
几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状和位置都不会改变。
几何可变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状或位置可以发生改变。
自由度与约束
自由度
描述体系运动状态的独立参数，即体系可以独立改变的坐标 数目。
约束
对体系运动状态的限制条件，即减少体系自由度的因素。
刚片与链杆
刚片
在力的作用下，形状和大小保持不变 的平面或空间图形。
2 平面体系的几何构造分析
11
④定向支座(滑动支座)
限制刚片A点在竖直方向的移动和转动，减少 两个自由度，相当于两个约束。
A
MA
A
MA
Fy A
Fy A
12
（2）刚片间的连接约束 ①链杆 简单链杆——仅连接两个结点的杆件称为 简单链杆。一根简单链杆能减少一个自由度， 故一根简单链杆相当于一个约束。
y
x
φ
x
x,
链杆约束
13
I 刚片I, III——用铰B连接 刚片II,III——用铰C连接
B III
A
II
C
25
例2-3:分析体系的几何组成。
刚片I, II——用铰C连接
刚片II,III——用铰B连接
刚片I, III——用铰A连接
该体系为几何不变,无多余约束。
26
例2-4:分析体系的几何组成。
刚片I, II——用铰C连接
20
例2-1:求该体系的计算自由度数。
解: W=3m-(2n+r) =3×4-（2×4+6） =-2<0 体系有两个多余约束。
21
例2-2:求该体系的计算自由度数。 解:
W=3m-(2n+r) =3×10-（2×13+4） =0 W=2J-(b+r)
=2×7-（2×10+4）
=0
22
练习:求该体系的计算自由度数。 解: W=3m-(2n+r) =3×9-（2×12+3） =0 W=2J-(b+r)
III 若铰A、B连线与形成瞬铰的链杆1、2平行， 则体系为瞬变。 若铰A、B连线与形成瞬铰的链杆1、2平行且 三者等长，则体系为常变。
29
结构力学 2几何组成分析(第二、三课)
h＝12 b＝０
J I G H K
W = 3 × 9 − 2 × 12 = 3
F L I
(1,3)
A
B
C
D E
A
B
C
D E
F L
(1,2)
.
J I G H K
J (2,3) K
G
H
40
作业：2-4 （c），(e），2-8 （a），2-10（a） 作业：
41
(1,2) D
E
无多余约束几何不变体系
26
A
思考： 思考：
B 1
D I E 2 F 3
G II 4 C
刚片I、II中各有一个多余约 刚片 、 中各有一个多余约 整体为有2个多余约束的 束，整体为有 个多余约束的 几何不变体系。 几何不变体系。
哪个连杆是多余约束？ 哪个连杆是多余约束？
27
思考题： 思考题：
O
.
. O’
A
C
B
D
10
7、无穷远处虚较
1）每个方向只有一个∞点（即该方向各平行线的 每个方向只有一个∞ 交点） 交点） 2）不同方向有不同的∞点 不同方向有不同的∞ 3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线 点都在同一直线上，此直线称为∞ 4）各有限点都不在∞线上。 各有限点都不在∞线上。
11
§2-2 几何不变体系的组成规律 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
2
§2-1 基本概念
1 几何不变体系、几何可变体系 几何不变体系、
体系受到某种荷载作用， 体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变， 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称 几何可变体系。 为几何可变体系。
2 几何组成分析
n=2
刚 片
定义：在平面内可以看成是几何形状不变的物体。
一根杆件（一根梁、一个柱）、地基基础或体系中已经 肯定为几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。
刚片Ⅱ
刚片Ⅰ
刚片Ⅲ
刚片形状可以任意替换
每个自由刚片有 多少个 自由度呢？
平面刚体——刚片
B
刚片 自由度数
x
A
y
n=3
几何不变体系的自由度一定等于零 S=0 几何可变体系的自由度一定大于零 S>0
W=3 ×10-(2×14+3)=-1<0 W=2 ×6-13=-1<0
◆在计算自由度的式子中，部件可以是点，也可以是
刚片。但刚片必须是内部没有多余约束的刚片，如果
遇到内部有多余约束的刚片，则应把它变成内部无多 余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束
总数时应当考虑进去。
无多余 约 束的刚片
W=2 ×6-11=1 W=3 ×8-(2×10+3)=1
例4：求下列图示体系的计算自由度
2 2
有 几 个 单 铰？
体系W 等于多少？
可变吗？
3 1
3
1
W=0,体系 是否一定 几何不变呢？
W=3 ×9-(2×12+3)=0
W<0,体系 是否一定 几何不变呢？
例5：求图 示体系的计 算自由度
上部 具有多 余联系
W=2j-b-r
其中： j--结点数 b--链杆数 r-支座链杆
应用上述公式时注意：
（1）复铰要换算成单铰。 一个复铰相当于（n-1)个单铰， 其中，n：复铰联接的杆件数。 如下图所示：
（2）铰支座、定向支座相当于两个链杆， 固定端相当于三个链杆。
西北工业大学航空学院结构力学课后题答案第二章结构的几何组成分析
第二章 结构的几何组成分析2-1 分析图2-27所示平面桁架的几何不变性，并计算系统的多余约束数。
3571(a)(a)解：视杆为约束，结点为自由体。
C ＝11，N ＝7×2＝14f =11－7×2＋3=0该桁架布局合理，不存在有应力的杆，故为无多余约束的几何不变系。
(b)(b)解：视杆和铰支座为约束，结点为自由体。
C ＝9＋2＋1＝12，N ＝6×2＝12f ＝12－6×2＝0该桁架布局合理，不存在有应力的杆，故为无多余约束的几何不变系。
(c)(c)解：视杆和铰支座为约束，结点为自由体。
C ＝10＋2×2＝14，N ＝6×2＝12ｆ＝14－12＝2该桁架为有两个多余约束的几何不变系。
1217(d)(d)解：视杆和铰支座为约束，结点为自由体。
C ＝30＋3＝33，N ＝17×2＝34ｆ＝33－34＝-1故该桁架为几何可变系。
8(e)(e)解：视杆为约束，结点为自由体。
C ＝13，N ＝8×2＝16ｆ＝13－16＋3＝0将1-2-3-4、5-6-7-8看作两刚片，杆3-6、杆2-7、杆4-5相互平行，由两刚片原则知，为瞬时可变系统。
6(f)(f)解：视杆和固定铰支座为约束，结点为自由体。
C ＝22＋3×2＝28，N ＝14×2＝28ｆ＝28－28＝0将12-13-14、7-11-12、1-2-3-4-5-6-7-8-9-10看作三刚片，三刚片由铰7、铰12、铰14连结，三铰共线，故该桁架为瞬时可变系统。
(g)(g)解：视杆和固定铰支座为约束，结点为自由体。
C＝24＋4×2＝32，N＝16×2＝32ｆ＝32－32＝0由于杆15-14-3、杆12-11-4、杆9-5相交于一点，故该桁架为瞬时可变系。
(h)(h)解：视杆和固定铰支座为约束，结点为自由体。
C＝12＋2×2＝16，N＝8×2＝16ｆ＝16－16＝0该桁架布局合理，加减二元体之后，无有应力的杆，故该桁架为无多余约束的几何不变系。
第二章 结构的几何组成分析
m=7，n=9，r=3 W=3×m－2×n－r
=3×7－2×9－3
=0
注意：1、W并不一定代表体系的实际自由度，仅说明了体系 必须的约束数够不够。即： W>0 体系缺少足够的约束，一定是几何可变体系。 W=0 实际约束数等于体系必须的约束数 W<0 体系有多余约束
不能断定体系 是否几何不变
由此可见:W≤0 只是保证体系为几何不变的必要条件,而不是 充分条件。
方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.
例5: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为常变体系. 方法4: 去掉二元体.
方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分
方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.
例7: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为有一个多余约束几何不变体系.
谢谢大家
（2）有两对平行链杆（有两个虚铰在无穷远处）：
结论：
这两对平行链杆互相平行——几何可变； 这两虚铰的两对 链不平行则几何不变；否则几何可变；
（3）有三对平行链杆（有三个虚铰在无穷远处）：
结论：
几何可变
虚铰
§2.3 几何组成分析方法
四、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置
常见才约束有：铰、链杆、刚性支座等。
1.铰
①、单铰： 联结两个刚片的铰 加单铰前体系有六个自由度 加单铰后体系有四个自由度 单铰可减少体系两个 自由度相当于两个约束
1 C 2
x
y
②、虚铰（瞬铰）
联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单 铰即瞬铰。 瞬铰
结构力学第二章 平面体系的几何组成分析
2 3 固定一个结点的装配格式简单装配格式
B
I
C
A
A
II
II
固定一个刚片的装配格式
3
3
B
I
B C 12 I
C 联合装配格式
A
II
III
固定两个刚片的装配格式
B
I C 复合装配格式
29/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配 多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各 种各样的几何不变且无多余约束的体系。 装配的过程通常有两种： 1 从基础出发进行装配
x
一个链杆相当于1个约束
若用数学表达式，则应满足以下条件： xB xA 2 yB yA 2 l2
4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动 几何参数。
14/73
2-1 几何构造分析的几个概念 五、多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此 而减少，这种约束称为多余约束。
二、刚片
在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具 体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。
6
4 2
5 3
1
5/73
2-1 几何构造分析的几个概念 三、自由度
y A'
A Dx
O
x
平面内一点有两种独立运动方式 (两个坐标x, y可以独立地改变)
一点在平面内有两个自由度
Dy Dy
A
II B
3
I
C
II
B 12
A
3
I
C
几何不变 无多余约束
几何不变 无多余约束
规律3 两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则 组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
第二章结构几何构造分析(本)
W=9 (6)复链杆
W=3
A
B
连接m个铰的复链杆等于2m-3个
5、必要约束与多余约束
1、必要约束：使体系自由度数减少为零所需的最少约束。
2、多余约束：体系上约束数目大于体系的自由度数目，则 其差值就是多余约束。
a
注意：多余约束将影响结构的受力与变形。 有无多余约束是判定结构是静定和超静定的依据。
注意：
没有多余约束 的几何不变体系
2）分析已组成的体系
例1：
上部作为 刚片1
地基作为刚片2
结论：没有多余 约束的几何不 变体系。
例2：
1 2
二元体 结论：内部没有 多余约束的几何 不变体系。
例3： 虚铰
o
刚片1 1
3 2
结论：没有多余约 束的几何瞬变体系。
地基作为刚片2
三、平面几何瞬变体系构造分析 例：图示两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆联 结，分析其几何构造。
几何可变体系。
例11 分析图示链杆体系的几何组成。
C A E
无多余约束的几何不变体系。
B D F
例12 分析图示体系的几何组成。
A B C
D
无多余约束的几何不变体系。
例13 分析图示体系的几何组成。
C E
D
C
E
D
D
C
E
A
B
A
B
A
B
无多余约束的 几何不变体系。
无多余约束的 几何不变体系。
有一个无多余 约束的几何不变体 系。
第2章 结构的几何构造分析
洛阳理工学院 浮海梅
主要内容
§2-1 §2-2 §2-3 几何构造分析的几个概念 平面几何不变体系的组成规律 平面杆件体系的计算自由度
结构力学 第2章 平面体系的几何组成分析
2.1 几何不变体系和几何可变体系
一、几何不变体系和几何可变体系
1、几何不变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑 材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。
D
FP A A1 弹性变形 EI FP A
几何不变体系：刚体.swf
EI1=∞
B
B
一、几何不变体系和几何可变体系
2、几何可变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑材料 的应变，其几何形状和位置仍可以发生改变的体系。
三、体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系
a) W=1>0 由此可知：
b) W=0
c) W=-1<0
(1) 若W＞0，体系一定是几何可变的。 (2) 若W≤0，只表明具有几何不变的必要条件，但不 是充分条件。因为体系是否几何不变还取决于约束的 布置是否合理。
2.4 平面几何不变体系的基本组成规则
(4)刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入g和h， 而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入r。
【例2-1】试求图示体系的计算自由度W。
m1 m4 m7 (3)h m2 m5 (1)h m6 (3)g
(1)h m3 (3)h
m8
(3)r
m9 (3)r
m=9，g=3，h=8, r=6
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×3+2×8+6) = -4
图a是内部没有多余约束的 刚片，而图b、c、d则是内 部分别有1、2、3个多余约 a) 束的刚片，它们可以看作 在图a的刚片内部分别附加 了一根链杆或一个铰结或 c) 一个刚结。
b)
d)
在应用公式时，应注意以下几点：
(3)刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（复刚结或复 铰结应折算为单刚结或单铰结数目）计入g和h。
(完整版)西北工业大学航空学院结构力学课后题答案第二章结构的几何组成分析
第二章结构的几何组成分析2-1分析图2-27所示平面桁架的几何不变性，并计算系统的多余约束数。
(a)(a)解：视杆为约束，结点为自由体。
C＝11，N＝7×2＝14f =11－7×2＋3=0该桁架布局合理，不存在有应力的杆，故为无多余约束的几何不变系。
(b)(b)解：视杆和铰支座为约束，结点为自由体。
C＝9＋2＋1＝12，N＝6×2＝12f ＝12－6×2＝0该桁架布局合理，不存在有应力的杆，故为无多余约束的几何不变系。
(c)(c)解：视杆和铰支座为约束，结点为自由体。
C＝10＋2×2＝14，N＝6×2＝12ｆ＝14－12＝2该桁架为有两个多余约束的几何不变系。
1217(d)(d)解：视杆和铰支座为约束，结点为自由体。
C ＝30＋3＝33，N ＝17×2＝34ｆ＝33－34＝-1故该桁架为几何可变系。
(e)(e)解：视杆为约束，结点为自由体。
C ＝13，N ＝8×2＝16ｆ＝13－16＋3＝0将1-2-3-4、5-6-7-8看作两刚片，杆3-6、杆2-7、杆4-5相互平行，由两刚片原则知，为瞬时可变系统。
6 (f)(f)解：视杆和固定铰支座为约束，结点为自由体。
C ＝22＋3×2＝28，N ＝14×2＝28ｆ＝28－28＝0将12-13-14、7-11-12、1-2-3-4-5-6-7-8-9-10看作三刚片，三刚片由铰7、铰12、铰14连结，三铰共线，故该桁架为瞬时可变系统。
(g)(g)解：视杆和固定铰支座为约束，结点为自由体。
C＝24＋4×2＝32，N＝16×2＝32ｆ＝32－32＝0由于杆15-14-3、杆12-11-4、杆9-5相交于一点，故该桁架为瞬时可变系。
(h)(h)解：视杆和固定铰支座为约束，结点为自由体。
C＝12＋2×2＝16，N＝8×2＝16ｆ＝16－16＝0该桁架布局合理，加减二元体之后，无有应力的杆，故该桁架为无多余约束的几何不变系。
《结构力学》龙驭球第2章_结构的几何构造分析2
W = 2 j −b
j—结点数； 结点数； 结点数 b—简单链杆数。 简单链杆数。 简单链杆数 3. 混合公式 —— 将体系中刚片和结点为被约束对象，铰、刚结和链杆为 将体系中刚片和结点 被约束对象， 刚片和结点为 刚结和链杆为 约束，则计算自由度公式为： 约束，则计算自由度公式为：
W = (3m + 2 j ) − (3g + 2h + b)
C 2
III 3
W = 3×3−(2×3+3) = 9 −9 = 0
I A II
m=3 g = 0 h =3 b =3
例2-3.4：求图示体系的计算自由度。 ：求图示体系的计算自由度。 解：
m = 2 g =1 h = 1 b = 5 W = 3×2 −(3×1+ 2×1+5) = 6 −10 = −4
复铰：连接两个以上刚片的铰结点。 复铰：连接两个以上刚片的铰结点。 连接n个刚片的铰相当于 ） 连接 个刚片的铰相当于（n-1）个单铰 个刚片的铰相当
3 6－2×（1）= 4 － × ） 9－2×（2）= 5 － × ）
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。 个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。 个单链杆。 连接 n 个铰结点的复链杆相当于 个单链杆
二、平面体系的计算自由度 W 平面体系的计算自由度
1、平面刚片体系公式 —— 将体系中刚片为被约束对象，铰、刚结和链杆 、 将体系中刚片 被约束对象， 刚片为 约束。则计算自由度公式为： 为约束。则计算自由度公式为：
W = 3m − (3 g + 2h + b)
结构力学 第二章 几何组成分析(典型例题)
［例题2-1—1］计算图示体系的自由度。
，可变体系。
(a) （b ）解：(a）几何不变体系，无多余约束（b)几何可变体系[例题2—1—2］计算图示体系的自由度.桁架几何不变体系，有多余约束。
解：几何不变体系，有两个多余约束［例题2—1—3］计算图示体系的自由度。
桁架自由体。
解:几何不变体系，无多余约束［例题2-1—4］计算图示体系的自由度.，几何可变体系。
解:几何可变体系[例题2—1-5］计算图示体系的自由度。
刚架自由体。
解：几何不变体系，有6个多余约束［例题2—2-1］对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束［例题2—2—2］对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则.几何不变体系,且无多余约束［例题2-2-3］对图示体系进行几何组成分析.两刚片规则.几何不变体系，且无多余约束［例题2—2-4］对图示体系进行几何组成分析.两刚片规则.几何不变体系,有一个多余约束［例题2-2—5］对图示体系进行几何组成分析。
二元体规则。
几何不变体系，且无多余约束［例题2-2-6］对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则，三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束［例题2—2-7］对图示体系进行几何组成分析.三刚片规则.几何不变体系，且无多余约束［例题2-2-8］对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束［例题2-3—1]对图示体系进行几何组成分析.两刚片规则。
几何瞬变体系[例题2-3-2］对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何瞬变体系［例题2—3-3］对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则.几何瞬变体系[例题2-3—4］对图示体系进行几何组成分析.三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束［例题2-3—5］对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束［例题2—3-6]对图示体系进行几何组成分析。
二元体规则,三刚片规则.几何瞬变体系[例题2—3-7］对图示体系进行几何组成分析。
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邢台职业技术学院建筑工程系 《建筑结构受力分析》
建筑结构受力分析学习任务书
填空 1. _____________________________________________ 二元体规则：在一个刚片上增加或拆除一个 ______________________________________ 一个点和一个刚片用 两根不共线的 _________ 目连，则组成无多余约束的几何不变体系。
2. ______________________________________________ 两刚片规则：两刚片用不在一条直线上的一个 ____________________________________ 口一根 _______ 接, 或用不全平行也不全交于一点的 _________ 接，则组成无多余约束的几何不变体系。
3. ____________________________________ 三刚片规则：三刚片用不共线的 两相连接，则组成无多余约束的 几何不变体系。
二、几何组成分析
班级 学习任务 姓名 结构几何组成分析（二）
学号 组别
编号 练习二
1.对图示各梁进行几何组成分析。