高等数学空间解析几何及向量代数

第七章 空间解析几何与向量代数

第一节 空间直角坐标系

教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空

间解析几何的意义和目的。

教学重点：1.空间直角坐标系的概念

2.空间两点间的距离公式

教学难点：空间思想的建立

教学内容：

一、空间直角坐标系

1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。

2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标面分别为xoy 面、yoz 面、zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示 图7－2空间直角坐标系图 图7－3空间两点

21M M 的距离图3．

空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。

注意：特殊点的表示

a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；

b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。 若),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点， 则21M M 的距离（见图7－3），利用直角三角形勾股定理为：

22

221222122

12NM pN p M NM N M M M d ++=+== 而 121x x P M -=

12y y PN -= 122z z NM -=

所以

21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-==

特殊地：若两点分别为),,(z y x M ，)0,0,0(o

222z y x oM d ++==

例1：求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。

证明: 14)21()13()74(22222

1=-+-+-=M M 6)23()12()75(22223

2=-+-+-=M M 6)13()32()45(222213=-+-+-=M M

由于 1332M M M M =，原结论成立。

例2：设P 在x 轴上，它到)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍，求点P 的坐标。

解：因为P 在x 轴上，设P 点坐标为)0,0,(x

()11

3222221+=++=x x PP ()21122222+=+-+=x x PP

212PP PP =Θ 221122+=+∴x x

1±=⇒x

所求点为：)0,0,1(，)0,0,1(-

小结：空间直角坐标系（轴、面、卦限）

空间两点间距离公式

作业：

第二节 向量及其运算

教学目的：使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。

教学重点：1.向量的概念2.向量的运算

教学难点：向量平行与垂直的关系

教学内容：

一、向量的概念

1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。

2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。

3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。

4． 量的模：向量的大小，记为a

。

模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。

5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。

6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a -

二、向量的运算

1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行

四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算

规律有交换率和结合率见图7－4

2．c b a =- 即c b a =-+)(

3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为

0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ=

0)2(=λ时，0a =λ

0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ=

其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么a a a 0= 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b ＝a λ

例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，

b =AD ，试用a 和b 表示向量MA 、MB 、MC

和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。（见

图7－5）

图7－4 解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(21b a +-

=→

MA 由于→→-=MA MC ， 于是)(2

1b a +=→MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2

1a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2

1a b --=→MB 小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学

生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。

作业：

第三节 向量的坐标

教学目的：进一步介绍向量的坐标表示式、为空间曲面等相关知识打好基础。

教学重点：1.向量的坐标表示式

2.向量的模与方向余弦的坐标表示式

教学难点：1.向量的坐标表示

2.向量的模与方向余弦的坐标表示式

教学内容：

一、向量在轴上的投影

1．几个概念

(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u ，AB 是轴u 上的有向线段，如果

数λ满足=λ且当与轴u 同向时λ是正的，当与轴u 反向时λ是负的，那么数λ叫做轴u 上有向线段的值，记做AB ，即AB =λ。设e 是与u 轴同方向的单位向量，则e λ=

(2) 设A 、B 、C 是u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有+=

(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a 和b ，任取空间一点O ，作a =，b =，规定不超过π的AOB ∠称为向量a 和b 的夹角，记为),(b a ∧

(4) 空间一点A 在轴u 上的投影：通过点A 作轴u 的垂直平面，该平面

与轴u 的交点'A 叫做点A 在轴u 上的投影。

(5) 向量在轴u 上的投影：设已知向量的起点A 和终点B 在轴