三角函数的图像变换习题课
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第5章三角函数 第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换课后训练巩固提升1.要得到函数y=sin (2x -π3)的图象,只需将函数y=sin 2x 的图象( )A.向右平移π6个单位长度B.向左平移π6个单位长度C.向右平移π3个单位长度D.向左平移π3个单位长度y=sin (2x -π3)=sin [2(x -π6)],所以只需将函数y=sin2x 的图象向右平移π6个单位长度.2.将函数y=12sin x 图象上各点的纵坐标伸长为原来的4倍,横坐标不变,得到的图象对应的函数解析式为( ) A.y=4sin x B.y=2sin x C.y=sin xD.y=14sin x解析:y=12sinx 的图象y=4×12sinx=2sinx 的图象.3.将函数y=sin xcos x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度,再将横坐标缩短为原来的一半,得到的图象对应的函数解析式为( ) A.y=sin 4xB.y=cos 4xC.y=12sin 4x D.y=12cos 4xy=sinxcosx=12sin2x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度,得到函数y=12sin2(x+π4) =12sin(2x+π2)=12cos2x 的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半,得到函数图象的解析式为y=12cos4x.4.(多选题)下列四种变换,能使y=sin x 的图象变为y=sin (2x +π4)的图象的是( )A.向左平移π4个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的12B.向左平移π8个单位长度,再将各点的横坐标扩大为原来的2倍 C.将各点横坐标缩短为原来的12,再向左平移π8个单位长度D.将各点横坐标缩短为原来的12,再向右平移π8个单位长度y=sinx 的图象变为y=sin(2x+π4)的图象有两种图象变换方式,第一种:先平移,后伸缩,向左平移π4个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的12;第二种:先伸缩,后平移,将各点横坐标缩短为原来的12,再向左平移π8个单位长度.故选AC.5.要得到函数y=cos (2x +π3)的图象,只需将函数y=sin 2x 的图象( )A.向左平移5π12个单位长度B.向右平移5π12个单位长度C.向左平移5π6个单位长度D.向右平移5π6个单位长度(2x +π3)=sin [π2+(2x +π3)]=sin(2x+5π6)=sin [2(x +5π12)].由题意知,要得到y=sin (2x +5π6)的图象,只要将y=sin2x 的图象向左平移5π12个单位长度.6.函数y=12sin (2x -π4)的图象可以看作把函数y=12sin 2x 的图象向平移 个单位长度得到的.π87.把函数f(x)=cos (2x -π6)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,得到函数g(x)的图象,则g(x)的最小正周期是 .g(x)=cos (4x -π6),故最小正周期T=2π4=π2.8.将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sin x 的图象,则f (π6)= .y=sinx 的图象向左平移π6个单位长度,得到y=sin (x +π6)的图象,再把各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin(12x+π6)的图象,即为f(x)=sin(ωx+φ)的图象,所以f(x)=sin (12x +π6),故f (π6)=√22.9.将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可以得到函数y=cos 2x 的图象. (1)求f(π)的值;(2)求f(x)的单调递增区间.将函数y=cos2x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=cos4x 的图象,再将所得图象向右平移π12个单位长度,得到函数y=cos4(x-π12)=cos (4x -π3)的图象,故f(x)=cos(4x-π3).因此f(π)=cos (4π-π3)=cos π3=12. (2)令2kπ-π≤4x -π3≤2kπ(k∈Z),解得12kπ-π6≤x≤12kπ+π12(k ∈Z),故f(x)的单调递增区间为[12kπ-π6,12kπ+π12](k ∈Z).1.将函数f(x)=cos (x +7π6)的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可以是( ) A.x=π3B.x=-π3C.x=π12D.x=-π12y=cos (x +7π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=cos (12x +7π6)的图象.令12x+7π6=kπ(k∈Z),解得x=2kπ-7π3(k ∈Z).故可得当k=1时,所得函数的图象的一条对称轴方程为x=-π3.2.若将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度,所得图象与原图象重合,则ω的值不可能等于( ) A.4B.6C.8D.12由题意可知π2=kT(k ∈Z). 因为f(x)=sin(ωx+φ)的周期为T=2π|ω|,所以π2=k·2π|ω|,即|ω|=4k(k∈Z).故ω的值不可能等于6.3.(多选题)为了得到函数y=2sin 2x 的图象,下列变换正确的是( ) A.将函数y=(sin x+cos x)2的图象向右平移π4个单位长度B.将函数y=1+cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度C.将函数y=2sin 2(x +π6)的图象向右平移π6个单位长度D.将函数y=2sin 2(x +π6)的图象向左平移π6个单位长度2x=1-cos2x.将函数y=(sinx+cosx)2=1+sin2x 的图象向右平移π4个单位长度,得到函数y=1+sin2(x -π4)=1+sin (2x -π2)=1-cos2x 的图象,故A 正确.将函数y=1+cos2x 的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y=1+cos (2x +π2)=1-sin2x 的图象,故B 不正确.将函数y=2sin 2(x +π6)=1-cos (2x +π3)的图象向右平移π6个单位长度,得到函数y=1-cos[2(x-π6)+π3]=1-cos2x 的图象,故C 正确,D 不正确.4.将函数y=3sin (4x +π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移π6个单位长度,所得函数图象的一个对称中心为( ) A.(7π48,0)B.(π3,0)C.(7π12,0)D.(5π8,0)y=3sin (4x +π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得到y=3sin (2x +π6)的图象,再向右平移π6个单位长度,得到y=3sin [2(x -π6)+π6]=3sin (2x -π6).令2x-π6=kπ(k∈Z),解得x=kπ2+π12(k ∈Z).当k=1时,x=7π12.故函数图象的一个对称中心为(7π12,0),故选C.5.要得到y=sin (x2+π3)的图象,需将函数y=cos x2的图象上所有的点至少向左平移 个单位长度.:cos x2=sin (x2+π2),将y=sin(x2+π2)的图象上所有的点向左平移φ(φ>0)个单位长度得y=sin (x2+φ2+π2)的图象.令φ2+π2=2kπ+π3(k ∈Z),解得φ=4kπ-π3(k ∈Z),故当k=1时,φ=11π3,即为φ的最小正值.6.将函数f(x)=12sin(2x+φ)的图象向左平移π6个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象关于直线x=π3对称,则|φ|的最小值为 .:f(x)=12sin(2x+φ)向左平移π6个单位长度后得到y=12sin (2x +π3+φ),再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=12sin (x +π3+φ),此函数图象关于直线x=π3对称.当x=π3时,sin (π3+π3+φ)=sin (2π3+φ)=±1,所以2π3+φ=π2+kπ(k∈Z),得φ=-π6+kπ(k∈Z).故|φ|的最小值为π6.7.将函数y=lg x 的图象向左平移1个单位长度,可得函数f(x)的图象;将函数y=cos (2x -π6)的图象向左平移π12个单位长度,可得函数g(x)的图象.(1)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象; (2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.函数y=lgx 的图象向左平移1个单位长度,可得函数f(x)=lg(x+1)的图象,即图象C 1;函数y=cos (2x -π6)的图象向左平移π12个单位长度,可得函数g(x)=cos [2(x +π12)-π6]=cos2x 的图象,即图象C 2.画出图象C 1和C 2的图象如图所示.(2)由(1)中的图象可知,两个图象共有5个交点,即方程f(x)=g(x)解的个数为5.8.已知函数f(x)=2sin ωx,其中常数ω>0. (1)若y=f(x)在区间[-π4,2π3]上单调递增,求ω的取值范围;(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b ∈R 且a<b)满足:y=g(x)在区间[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的区间[a,b]中,求b-a 的最小值.因为ω>0,所以根据题意有{-π4ω≥-π2,2π3ω≤π2,解得0<ω≤34.所以ω的取值范围为(0,34].(2)由题意知f(x)=2sin2x,g(x)=2sin [2(x +π6)]+1=2sin (2x +π3)+1.由g(x)=0得,sin (2x +π3)=-12,解得x=kπ-π4或x=kπ-7π12,k ∈Z,即g(x)的相邻零点之间的间隔依次为π3和2π3.故若y=g(x)在区间[a,b]上至少含有30个零点,则b-a 的最小值为14×2π3+15×π3=43π3.。
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)习题课
(2)若函数
f(x)是以π2
为周期的偶函数，且
π f( 3
)＝1，求
f(－167π
)
的值． 【思路分析】 将－176π利用周期性转化为π3 ，进而求值．
π 【解析】 ∵f(x)的周期为 2 ，且为偶函数，
【解析】 (1)∵x∈R，f(x)＝sin(34x＋3π2 )＝－cos34x，∴f(－ x)＝－cos3（－4 x）＝－cos34x＝f(x)．
∴函数 f(x)＝sin(34x＋3π2 )为偶函数． (2)f(x)＝（1－c1o＋s2sxi）nx＋sinx＝sin12＋x＋sinsixnx＝sinx，但函数应满 足 1＋sinx≠0，
思考题 3 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sinx－x tanx； (2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)； (3)f(x)＝1c－oss2inxx； (4)f(x)＝ 1－cosx＋ cosx－1. 【答案】 (1)偶函数 (2)奇函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是 奇函数又是偶函数
(1)①要判断奇偶性的函数是三角函数型的复合函数． ②sin(34x＋3π 2 )＝－cos34x.
(2)①所判断的函数是以公式形式给出的； ②f(x)的定义域可求，即 sinx＋1≠0. 解答本题中的(1)可先利用诱导公式化简 f(x)，再利用 f(－x) 与 f(x)的关系加以判断． 解答本题中的(2)可先分析 f(x)的定义域，然后再利用定义加 以分析．
∴函数的定义域为{x|x∈R，且 x≠2kπ＋32π，k∈Z}． ∵函数的定义域不关于原点对称， ∴该函数既不是奇函数也不是偶函数． 探究 3 (2)中易忽视 f(x)的定义域而进行非等价变形，得 f(x) ＝sinx（1＋1＋sinsxinx）＝sinx，从而导致结果错误． 判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再 看 f(－x)与 f(x)的关系．
专题五+5.3三角函数的图像与性质课件——2023届高三数学一轮复习
标):ωx+φ=π+2kπ.(以上k∈Z)
例1
(2022重庆十一中月考,5)函数f(x)=Asin(ωx+φ)
A
0,
ω
0,
0
φ
2
的部分图象如图所示,将其向右平移 3 个单位长度后得到图象对应的函
数解析式为 ( )
A.y= 2 sin 2x
B.y=
2
sin
2x
3
C.y=
2
sin
2x
3
D.y=
5 3
, 13 6
⫋
3 2
, 5 2
,易知函数y=sin
x在
3 2
,
5 2
上单调递增,则函数f(x)=sin
2
x
3
在区间
,
5 4
上单调递增,故
D正确.故选BD.
答案 BD
考法三 三角函数的最值 求三角函数最值常见的函数形式
1.y=asin x+bcos x= a2 b2 sin(x+φ),其中cos φ= a ,sin φ= b .
2
,
0
,(π,-1),
3 2
,
0
,(2π,1).
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图时,一般先列表,后 描点,连线,其中所列表如下:
ωx+φ
x
y=A· sin(ωx+φ)
0
π
2
-
π - + 2
左平移 个单位长度,得到曲线C2
12
三角函数的图像和变换以及经典习题和答案
3.4函数sin()y A x ωϕ=+的图象与变换【知识网络】1．函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义；２．函数sin()y A x ωϕ=+图象的变换（平移平换与伸缩变换） 【典型例题】 ［例1］(1)函数3sin()226x y π=+的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；相位是 ；初相是 ．（１）32； 14π；26x π+；6π （2）函数2sin(2)3y x π=-的对称中心是 ；对称轴方程是；单调增区间是 ． （２）(,0),26k k Z ππ+∈；5,212k x k Z ππ=+∈； ()5,1212k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(3) 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- （３）C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=． (4) 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点 （ ）（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （４）C 先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2sin(),6y x x R π=+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像(5)将函数x x f y sin )(= 的图象向右平移4π个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 的表达式是 （ ）（A ）x cos （B ）x cos 2 （C ）x sin （D ）x sin 2 （５）B 提示: 212sin cos 2y x x =-=的图象关于x 轴对称的曲线是cos 2y x =-,向左平移4π得cos 2()sin 24y x x π=-+=2sin cos x x =［例2］已知函数2()2cos 2,(01)f x x x ωωω=+<<其中，若直线3x π=为其一条对称轴。
人教B版高中数学必修第三册课后习题 第7章 三角函数 7.3.2 正弦型函数的性质与图象
7.3.2 正弦型函数的性质与图象课后训练巩固提升1.若函数y=sin x 图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到的图象的解析式为y=sin ωx,则ω的值为( ) A.2 B.12C.4D.142.函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A.2,-π3B.2,-π6C.4,-π6 D.4,π3由题中图象易知34T=5π12−(-π3)=3π4,得T=π,则ω=2πT =2ππ=2.易知x=5π12为“五点法”中第二点,即2×5π12+φ=π2,解得φ=-π3,故A 正确.3.已知函数f(x)=sin (ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )A.关于直线x=π8对称B.关于点(π4,0)对称C.关于直线x=π4对称D.关于点(π8,0)对称T=π,ω=2πT =2,f(x)=sin (2x +π4).当x=π8时,sin (2×π8+π4)=sin π2=1.所以A 正确,D 错误;当x=π4时,sin 2×π4+π4不等于0,±1,所以B,C 错误.4.将函数y=sin 2x 的图象向左平移π4个单位,再向上平移1个单位所得的图象的函数解析式是( ) A.y=cos 2xB.y=1+cos 2xC.y=1+sin (2x +π4)D.y=cos 2x-1的图象向左平移π4个单位,得y=sin [2(x +π4)]=sin (2x +π2)=cos2x 的图象,再向上平移1个单位,得y=cos2x+1的图象,故选B.5.把函数y=sin (2x -π4)的图象向右平移π8个单位,所得的图象对应的函数是( ) A.非奇非偶函数 B.既是奇函数又是偶函数C.奇函数D.偶函数f(x)=sin[2(x-π8)-π4]=sin(2x-π2)=-sin(π2-2x)=-cos2x,而f(-x)=-cos(-2x)=-cos2x=f(x),所以f(x)为偶函数,故D 正确.6.(多选题)要得到函数y=sin (2x -π3)的图象,只要将y=sin 2x 的图象( )A.向左平移π3个单位B.向右平移π3个单位C.向左平移5π6个单位D.向右平移π6个单位[2(x -π6)],要得到y=sin(2x-π3)的图象,只要将y=sin2x 的图象向右平移π6个单位,也可以向左平移π-π6=5π6个单位.故CD 正确.7.将函数y=3sin (3x +π4)的图象向右平移π3个单位后所得的图象的函数解析式为 .解析 平移所得图象的函数解析式为y=3sin 3x-π3+π4=3sin 3x-3π4.(3x -3π4)8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图,则f(0)的值是 ;f(x)的单调递增区间为 .A=√2,T4=7π12−π3=π4,∴T=π,ω=2ππ=2.∵函数图象过点(π3,0),∴2×π3+φ=2kπ+π(k∈Z),∴φ=2kπ+π3(k ∈Z).令k=0,得φ=π3. ∴函数的解析式为f(x)=√2sin (2x +π3),∴f(0)=√2sin π3=√62. 由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k ∈Z,得kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k ∈Z. ∴函数的单调递增区间为[kπ-5π12,kπ+π12],k ∈Z.[kπ-5π12,kπ+π12](k ∈Z)9.用五点法作出函数y=2sin (x -π3)+3的图象.y=2sin (x -π3)+3在一个周期内的图象.(1)列表:(2)描点、连线.(3)作图.再将上述一个周期内的图象向左、向右两边延展,即得y=2sin x-π3+3的图象,如图所示.10.下图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2在一个周期内的图象.(1)写出函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)与f(x)的图象关于直线x=2对称,求函数g(x)的解析式,并写出函数g(x)的最小正周期、频率、振幅;(3)不作图象,试说明函数g(x)的图象怎样由函数y=sin x的图象变换得到.由题图可知,A=2,T=2×[3-(-1)]=8,ω=2πT =2π8=π4,∴f(x)=2sin(π4x+φ).将点(-1,0)的坐标代入得0=2sin (-π4+φ),观察题图可知-π4+φ=2kπ(k∈Z),∴φ=2kπ+π4(k ∈Z).∵|φ|<π2,∴φ=π4,∴f(x)=2sin (π4x +π4).(2)设g(x)的图象上任意一点的坐标为(x 0,y 0),则其关于直线x=2对称的点的坐标为(4-x 0,y 0).由题意知(4-x 0,y 0)在f(x)的图象上,故y 0=2sin[π4(4-x 0)+π4]=2sin (π4x 0-π4),故函数g(x)的解析式为g(x)=2sin(π4x-π4),且g(x)的最小正周期T=2ππ4=8,频率f=1T=18,振幅A=2.(3)(方法一)先平移再伸缩.y=sinx 的图象y=sin (x -π4)的图象y=sin (π4x -π4)的图象y=2sin (π4x -π4)的图象.(方法二)先伸缩再平移.y=sinx 的图象y=sin π4x 的图象y=sin [π4(x -1)]=sin(π4x-π4)的图象y=2sin(π4x-π4)的图象.。
第二十七、二十八堂三角函数的习题课
的值。
12 5）已知 tan ，求 sin , cos 的值； 5
1 6）已知 cos( 75 ) ，且 1800 900 ) ，求 3 0 cos(15 ) 的值；
0
1 7）已知函数 y 2 sin( x ) 5 ，求 3 7
三 角 函 数 的 图 象 和 性 质
例
1） 为第二象限角，则
0 0
题
2
为第几象限角？ 180 ,180 呢？
2）扇形的周长为 8cm，圆心角为 2，求此扇形的面积。 3）若 为锐角，则 , sin , tan 大小关系怎么样？
5 4）已知角 的终边经过点 P( x,6) ，且 cos ，求x 13
三角函数的习题课
知识点
任意角、弧度 任意角的三角函数 三角函数的图象和性质 三 角 函 数 图 象 的 变 换 三 角 函 数 的 应 用
终 边 相 同 的 角 的 集 合
弧 度 制
任 意 的 三 角 函 数
同 角 三 角 函 数 关 系
三 角 函 数 诱 导 公 式
三 角 函 数 的 周 期 性
（1）求此函数的周期； （2）求此函数的最大、最小值及取得最大、最小 值时自变量的x的集合；
（3）讨论此函数的单调性； （4）指出它可由函数 y sin x的图象经过哪些图形的 变换而得到的。
三角函数图像和性质习题课(含答案)
三角函数的图像和性质习题课例1．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)是偶函数，则φ满足的条件是______． 解析 y ＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数，即关于y 轴对称 ∴sin φ＝±1，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．例2．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值为________．解析 y ＝sin 2x 向右平移φ个单位得y ＝sin(2x －2φ)x ＝π6是一条对称轴， 则2×π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z ∴φ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴φ的最小值为5π12.例3．将函数y ＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象，则θ的值为________． 解析 设f (x )＝sin (2x ＋θ)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋θ.由已知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5.∴π2＋θ＝π5，∴θ＝－3π10.：例4．设ω>0为常数，函数y ＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上单调递增，则实数ω的取值范围是__________． 答案 0<ω≤32例5．关于f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题(1)由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； (2)y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；(3)y ＝f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； (4)y ＝f (x )图象关于x ＝－π6，对称．其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的都填上)解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π(k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3利用公式得：f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∴②对； 对于③，f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心．∴③对； 对于④， 函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．∴④错．\例6．(创新拓展)已知f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ， (1)当f (x )＝0有实数解时，求a 的取值范围； (2)当x ∈R ，有1≤f (x )≤174，求a 的取值范围． 解 (1)由f (x )＝0，有a ＝sin 2x －sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122－14.当sin x ＝－1时，a max ＝2；当sin x ＝12时，a min ＝－14.∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.(2)由1≤f (x )≤174有1≤－sin 2x ＋sin x ＋a ≤174，即a ≤sin 2x －sin x ＋174和a ≥sin 2x －sin x ＋1对k ∈R恒成立．由sin 2x －sin x ＋174＝⎝⎛⎭⎫sin x －122＋4≥4，得a ≤4.由sin 2x －sin x ＋1＝⎝⎛⎭⎫sin x －122＋34≤3，得a ≥3. 故3≤a ≤4.练习：1．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的周期是________，振幅是________，当x ＝________时，y max ＝________；当x ＝________时，y min ＝________.答案 4π3 4k π＋32π (k ∈Z ) 3 4k π－π2(k ∈Z ) －3<2．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向 __ __ ____，可以得到函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象．解析 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 而y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin （x －5π12＋π4），即将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4向右平移5π12个单位，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.3．将正弦曲线y ＝sin x 上各点向左平移π3个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象解析式为______________．解析 由y ＝sin x 向左平移π3得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，再把横坐标伸长到原来的2倍，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3.4．函数y ＝3－sin x 3＋sin x 的值域为____________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，25．求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值．解 y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝4sin 2x －4sin x －1 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122－2，令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1， ∴y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－2 (－1≤t ≤1)！∴当t ＝12，即x ＝π6＋2k π或x ＝5π6＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－2；当t ＝－1，即x ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时，y max ＝7.6．函数y ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋b 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，92，求a 的值，以及原函数的单调递增区间．解(1)当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝－12a ＋b ＝92∴a ＝52，b ＝2，∴y ＝52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2.又∵－π2＋2k π≤x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z .∴－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z . ∴原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π＋2k π，π3＋2k π，k ∈Z .(2)当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－12－a ＋b ＝92∴a ＝－52，b ＝2.∴y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2.又∵π2＋2k π≤x ＋π6≤32π＋2k π，k ∈Z .∴π3＋2k π≤x ≤43π＋2k π，k ∈Z . ∴原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，43π＋2k π，k ∈Z . 7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.！(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫38π－π8＝π，ω＝2πT ＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(2)列出x 、y 的对应值表：x －π8 π8 —38π 58π 78π 2x ＋π4 0 π2 π 32π 2π y~2－28．(创新拓展)已知函数f (x )＝2cos ωx (ω>0)，且函数y ＝f (x )图象的两条相邻对称轴间的距离为π2. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间．解 (1)函数y ＝f (x )图象的两条相邻对称轴间的距离为π2∴T ＝2×π2＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2cos 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2)由(1)知f (x )＝2cos 2x ，向右平移π6个单位得y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，得g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3由2k π≤12x －π3≤2k π＋π，k ∈Z 得4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3，k ∈Z即函数g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫12x －π3的递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3，k ∈Z .。
三角函数的图像与性质习题课(学案)
三角函数的图象与性质特训庖丁解题一：利用三角函数的单调性求参数1.已知函数()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是．2.已知函数π()sin (0)4f x x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在区间π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是.庖丁解题二：与函数零点或方程的根有关的参数问题1.已知函数2π1sin (0)64y x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围是（）A ．()2,4B ．8,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．8,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]2,42.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为T ，63T T f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在[]0,1内恰有10个零点则ω的取值范围是．庖丁解题三：利用三角函数的对称性（奇偶性）求参数1.已知函数()πcos (0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间[]0,2π内恰有3条对称轴，则ω的取值范围是（）A ．715,88⎡⎤⎢⎣⎦B ．59,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．513,88⎛⎤ ⎝⎦D ．91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,2.已知函数()cos f x x x ωω=-（ω＞0），若f （x ）在区间[]0,2π上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（）A ．54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1319,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．419,312⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．134,123⎡⎫⎪⎢⎣⎭庖丁解题四：与图象平移有关的参数范围问题锦囊：1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数()f x =平移后的函数()g x .2、平移后与新图象重合：平移后的函数()f x =新的函数()g x .3、平移后的函数与原图象关于y 轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于x 轴对称：平移前的函数()f x =平移后的函数-()g x ；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
正弦三角函数的图像与性质
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
2.任意给定一个实数x，对应的正弦值（sinx）、余弦值(cosx)是否存在？惟一？
问题提出
1.在单位圆中，角α的正弦线、余弦线分别是什么？
P（x，y）
O
x
y
M
sinα=MP
cosα=OM
4.一个函数总具有许多基本性质，要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性，我们应从哪个方面人手？
思考4：由诱导公式可知，y=cosx与 是同一个函数，如何作函数 在[0，2π]内的图象？
x
y
O
2π
π
1
y=sinx
-1
思考5：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象如何？其中起关键作用的点有哪几个？
x
y
O
2π
π
1
-1
思考6：函数y=cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线，怎样画出余弦曲线，余弦曲线的分布有什么特点？
正切函数是周期函数，周期是π.
思考3：函数 的周期为多少？一般地，函数 的周期是什么？
思考4：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？
正切函数是奇函数
思考5：观察下图中的正切线，当角x 在 内增加时，正切函数值发生什么变化？由此反映出一个什么性质？
小结作业
1.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，即存在非零常数T，使f(x＋T)=f(x)恒成立.
2.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期.
3.周期函数的周期有许多个，若T为周期函数f(x)的周期，则T的整数倍也是f(x)的周期.
思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正周期是多少？
三角函数的平移伸缩变换练习题
三角函数的平移伸缩变换题型一：已知开始和结果，求平移量ϕω【2016高考四川文科】为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 （C ） 向上平行移动3π个单位长度 （D ） 向下平行移动3π个单位长度【】为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度【】要得到函数cos y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ）（A ）．向右平移π6个单位 （B ）．向右平移π3个单位 （C ）．向左平移π3个单位 （D ）．向左平移π6个单位【】要得到函数(21)y cos x ＝＋的图象，只要将函数2y cos x ＝的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位【】要得到sin(2)3y x π=-的图象，只需将sin 2y x =的图象 （ ）（A ）向左平移3π个单位 （B ）向右平移3π个单位 （C ）向左平移6π个单位 （D ）向右平移6π个单位【】.将函数sin 2y x =的图象作平移变换，得到函数sin(2)6y x π=-的图象，则这个平移变换可以是 （ ）A. 向左平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向右平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【】为了得到函数4sin(3)()4y x x R π=+∈的图象，只需把函数4sin()()4y x x R π=+∈的图象上所有点（ ）A 、横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B 、横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变C 、纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D 、纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变．【2015山东】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【】为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需把函数πsin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像 A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位【】要得到cos(2)4y x π=-的图像，只需将sin 2y x =的图像（ ） A 向左平移8π个单位 B 向右平移8π个单位 C 向左平移4π个单位D 向右平移4π个单位【】已知函数()sin 4πf x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()R 0x ω∈>，的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度题型二：已知开始，平移量，求结果【】. 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=-（C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=-【】函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） （A ）sin(2),3y x x R π=-∈ （B ）sin(),26x y x R π=+∈（C ）sin(2),3y x x R π=+∈ （D ）2sin(2),3y x x R π=+∈【】函数3sin(2)3y x π=+的图象，可由y sinx =的图象经过下述哪种变换而得到 ( )（A ）向右平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍（B ）向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍（C ）向右平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的31倍（D ）向左平移6π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标缩小到原来的31倍【】.将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是 . 【】. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是____________▲________________ .【】把函数sin(2)4y x π=+的图像向左平移8π个单位长度，再将横坐标压缩到原来的12，所得函数的解析式为（ ）。
三角y=asinwx图象课件
三角函数y=asinwx的应用
Chapter
三角函数y=asinwx在描述振动和波动现象时非常有用，例如简谐振动和波动传播。
振动和波动
交流电
信号处理
交流电的电压和电流通常用三角函数表示，特别是正弦函数，这与y=asinwx有密切关系。
在信号处理领域，如音频和图像处理中，三角函数用于进行傅立叶变换等操作。
03
02
01
在土木工程和机械工程中，结构振动分析经常用到三角函数。
结构振动
在自动控制和航空航天领域，控制系统设计和分析中经常使用三角函数。
控制系统
在雷达和声呐信号处理中，三角函数用于信号的发射、传播和接收。
雷达和声呐
05
三角函数y=asinwx的习题与解析
Chapter
题目：已知函数$f(x) = \sin wx$的图像关于点$(\frac{\pi}{6},0)$对称，且$f(x)$的最小正周期为$\pi$，则$f(x)$在区间$\lbrack - \frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\rbrack$上的最大值为____.
答案：$1$
感谢观看
THANKS
ห้องสมุดไป่ตู้定义
具有周期性、对称性、极值点等性质。
性质
三角函数是数学中的基本函数之一，y=asinwx作为其特殊形式，在数学分析、微积分、物理等领域有广泛应用。
01
02
在解决实际问题时，如振动、波动等现象，常常需要用到y=asinwx形式的函数。
y=asinwx具有周期性，其周期为π/|w|。
极值点出现在x=kπ/|w| (k∈Z)处。
坐标纸
01
可以在坐标纸上手动绘制y=asinwx的图像。首先确定x的范围和间隔，然后计算对应的y值，最后将点连接起来形成图像。
三角函数的图象与性质 高中数学例题课后习题详解
第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质例1画出下列函数的简图：（1）1sin y x =+，[0,2π]x ∈；（2）cos y x =-，[0,2π]x ∈.解：（1）按五个关键点列表：x0π2π3π22πsin x010-101sin x+1211描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-6）：（2）按五个关键点列表：x0π2π3π22πcos x10-101cos x--11-1描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-7）：例2求下列函数的周期：（1）3sin y x =，x ∈R ；（2）cos 2y x =，x ∈R ；（3）1π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，x ∈R .分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式()()f x T f x +=而求出相应的周期.对于（2），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2()cos 2x T x +=，x ∈R ；对于（3），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出1π1πsin ()sin 2626x T x ⎡⎤⎛⎫+-=- ⎪⎢⎣⎦⎝⎭，x ∈R .解：（1）x ∀∈R ，有3sin(2π)3sin x x +=.由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.（2）令2z x =，由x ∈R 得z ∈R ，且cos y z =的周期为2π，即cos(2π)cos z z +=，于是cos(22π)cos 2x x +=，所以cos 2(π)cos 2x x +=，x ∈R .由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.（3）令1π26z x =-，由x ∈R 得z ∈R ，且2sin y z =的周期为2π，即2sin(2π)2sin z z +=，于是1π1π2sin 2π2sin 2626x x ⎛⎫⎛⎫-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1π1π2sin (4π)2sin 2626x x ⎡⎤⎛⎫+-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.例3下列函数有最大值､最小值吗？如果有，请写出取最大值､最小值时自变量x 的集合，并求出最大值､最小值.（1）cos 1y x =+，x ∈R ；（2）3sin 2y x =-，x ∈R ；解：容易知道，这两个函数都有最大值､最小值.（1）使函数cos 1y x =+，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数cos y x =，x ∈R 取得最大值的x 的集合{}2|π,x x k k =∈Z ；使函数cos 1y x =+，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数cos y x =，x ∈R 取得最小值的x 的集合(){}1|2π,x x k k =+∈Z .函数cos 1y x =+，x ∈R 的最大值是112+=；最小值是110-+=.（2）令2z x =，使函数3sin y z =-，z ∈R 取得最大值的z 的集合，就是使sin y z =，z ∈R 取得最小值的之的集合π2π,2z z k k ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z .由π22π2x z k ==-+，得ππ4x k =-+.所以，使函数3sin 2y x =-，x ∈R 取得最大值的x 的集合是ππ,4x x k k ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z .同理，使函数3sin 2y x =-，x ∈R 取得最小值的x 的集合是ππ,4x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .函数3sin 2y x =-，x ∈R 的最大值是3，最小值是-3.例4不通过求值，比较下列各组数的大小：（1）πsin 18⎛⎫-⎪⎝⎭与πsin 10⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23πcos 5⎛⎫-⎪⎝⎭与17πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭.分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.解：（1）因为πππ021018-<-<-<，正弦函数sin y x =在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.（2）23π23π3πcos cos cos 555⎛⎫-== ⎪⎝⎭，17π17ππcos cos cos 444⎛⎫-== ⎪⎝⎭.因为π3π0π45<<<，且函数cos y x =在区间[0,π]上单调递减，所以π3πcos cos 45>，即17π23πcos cos 45⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例5求函数1πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[2π,2π]x ∈-的单调递增区间.分析：令1π23z x =+，[2π,2π]x ∈-，当自变量x 的值增大时，z 的值也随之增大，因此若函数sin y z =在某个区间上单调递增，则函数1πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在相应的区间上也一定单调递增.解：令1π23z x =+，[2π,2π]x ∈-，则24π,π33z ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.因为sin y z =，24π,π33z ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的单调递增区间是ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，且由π1ππ2232x -≤+≤，得5ππ33x -≤≤.所以，函数1πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，[2π,2π]x ∈-的单调递增区间是5ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.例6求函数ππtan 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域､周期及单调区间.分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论.解：自变量x 的取值应满足ππππ232x k +≠+，k ∈Z ，即123x k ≠+，k ∈Z .所以，函数的定义域12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z .设ππ23z x =+，又tan(π)tan z z +=，所以ππππtan πtan 2323x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()ππππtan 2tan 2323x x ⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭.因为12,3x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 都有()ππππtan 2tan 2323x x ⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以，函数的周期为2由ππππππ2232k x k -+<+<+，k ∈Z 解得512233k x k -+<<+，k ∈Z .因此，函数在区间512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z 上都单调递增.5.4.1正弦函数､余弦函数的图象练习1.在同一直角坐标系中,画出函数sin y x =,[0,2]x πÎ,cos y x =,3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象.通过观察两条曲线,说出它们的异同.【答案】见解析【解析】【分析】根据五点作图法画出图像,再直观分析即可.【详解】解:可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象,图象如图.两条曲线的形状相同,位置不同.【点睛】本题主要考查了正余弦函数图像之间的关系,属于基础题.2.用五点法分别画下列函数在[,]-ππ上的图象:(1)sin y x =-;(2)2cos y x =-.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】根据五点作图法的方法描点,再用光滑曲线连接起来即可.【详解】解:xπ-2π-02ππsin y x =-010-102cos y x=-32123【点睛】本题主要考查了五点作图法的运用,属于基础题.3.想一想函数|sin |y x =与sin y x =的图象及其关系,并借助信息技术画出函数的图象进行检验.【答案】见解析【解析】【分析】分析可知当sin 0y x =≥时|sin |y x =与sin y x =的图象相同,当sin 0y x =<时,|sin |y x =与sin y x =的图象关于x 轴对称,再分析即可.【详解】解:把sin y x =的图象在轴下方的部分翻折到x 轴上方,连同原来在x 轴上方的部分就是|sin |y x =的图象,如图所示.【点睛】本题主要考查了绝对值图像与原图像之间的关系,属于基础题.4.函数y=1+cos x ，,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象与直线y =t （t 为常数）的交点可能有（）A.0个B.1个C.2个D.3个E.4个【答案】ABC 【解析】【分析】画出1cos y x =+在,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象，即可根据图象得出.【详解】画出1cos y x =+在,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下：则可得当0t <或2t ≥时，1cos y x =+与y t =的交点个数为0；当0=t 或322t ≤<时，1cos y x =+与y t =的交点个数为1；当302t <<时，1cos y x =+与y t =的交点个数为2.故选：ABC.5.4.2正弦函数､余弦函数的性质练习5.等式2sin sin 636πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭是否成立?如果这个等式成立,能否说23π是正弦函数sin y x =,x ∈R 的一个周期?为什么?【答案】见解析【解析】【分析】2sin sin 636πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭成立，再利用函数的周期的定义说明不能说23π是正弦函数sin y x =,x ∈R 的一个周期.【详解】等式2sin sin 636πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭成立,但不能说23π是正弦函数sin y x =,x ∈R 的一个周期.因为不满足函数周期的定义,即对定义内任意x ,2sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭不一定等于sin x ,如2sin sin 333πππ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭,所以23π不是正弦函数sin y x =,x ∈R 的一个周期.【点睛】本题主要考查周期函数的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.求下列函数的周期,并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验:(1)3sin4y x =,x ∈R ;(2)cos 4y x =,x ∈R ;(3)1cos 223y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R ;(4)1sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R .【答案】(1)周期为83π.见解析(2)周期为2π.见解析(3)周期为π.见解析(4)周期为6π.见解析【解析】【分析】利用周期函数的定义证明函数的周期，再作出函数的图象得解.【详解】解:(1)因为33388()sin sin 2sin 44433y f x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为83π.函数的图象如图所示：(2)因为()cos 4cos(42)cos 422y f x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫===+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.函数的图象如图所示：(3)因为111()cos 222cos 2()()232323y f x x x x f x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==-=-+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.函数的图象如图所示：(4)因为111()sin sin 2sin (6)(6)343434y f x x x x f x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==+=++=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为6π.函数的图象如图所示：【点睛】本题主要考查三角函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.下列函数中,哪些是奇函数?哪些是偶函数?(1)2sin y x =;(2)1cos y x =-;(3)sin y x x =+;(4)sin cos y x x =-.【答案】(1)(3)(4)是奇函数;(2)是偶函数.【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.【详解】(1)()2sin f x x =,函数的定义域为R ，()2sin()2sin ()f x x x f x ∴-=-=-=-，所以函数是奇函数；(2)()1cos f x x =-，函数的定义域为R ，()1cos()1cos ()f x x x f x ∴-=--=-=，所以函数是偶函数；(3)()sin f x x x =+，函数的定义域为R ，()sin (sin )()f x x x x x f x ∴-=--=-+=-，所以函数是奇函数；(4)()sin cos f x x x =-，函数的定义域为R ，()sin()cos()sin cos ()f x x x x x f x ∴-=---==-所以函数是奇函数.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.设函数()()f x x ∈R 是以2为最小正周期的周期函数,且当[0,2]x ∈时,2()(1)f x x =-.求(3)f ,72f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案】(3)0f =,7124f ⎛⎫=⎪⎝⎭【解析】【分析】直接利用函数的周期求解.【详解】解:由题意可知,2(3)(21)(1)(11)0f f f =+==-=;2733312122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查函数的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.练习9.观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的x 所在的区间:(1)sin 0x >;(2)sin 0x <;(3)cos 0x >;(4)cos 0x <.【答案】(1)(2,2)()k k k πππ+∈Z ;(2)(2,2)()k k k πππ-∈Z ;(3)2,2()22k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ;(4)32,2()22k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】【分析】观察正弦曲线和余弦曲线得解.【详解】(1)sin 0x >,观察正弦曲线得(2,2)()x k k k πππ∈+∈Z ；(2)sin 0x <，观察正弦曲线得(2,2)()x k k k πππ∈-∈Z ；(3)cos 0x >，观察余弦曲线得2,2()22x k k k ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭Z ；(4)cos 0x <，观察余弦曲线得32,2()22x k k k πππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭Z .【点睛】本题主要考查正弦曲线和余弦曲线的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.求使下列函数取得最大值､最小值的自变量的集合,并求出最大值､最小值.(1)2sin y x =,x ∈R ;(2)2cos3xy =-,x ∈R .【答案】(1)当|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最大值2;当|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最小值-2.(2)当{|63,}x x x k k ππ∈=+∈Z 时,函数取得最大值3;当{|6,}x x x k k π∈=∈Z 时,函数取得最小值1.【解析】【分析】（1）利用2sin y x =取得最大值和最小值的集合与正弦函数sin y x =取最大值最小值的集合是一致的求解；（2）利用2cos 3xy =-取得最大值和最小值的集合与余弦函数cos y x =取最小值最大值的集合是一致的求解.【详解】（1）当sin 1x =即|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最大值2;当sin 1x =-|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最小值-2；(2)当cos 13x=-即2+,3x k k Z ππ=∈即{|63,}x x x k k ππ∈=+∈Z 时,函数取得最大值3;当cos13x=即2,3x k k Z π=∈即当{|6,}x x x k k π∈=∈Z 时,函数取得最小值1.【点睛】本题主要考查三角函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.下列关于函数4sin y x =,[0,2]x πÎ的单调性的叙述,正确的是.A.在[0,]π上单调递增,在[,2]ππ上单调递减B.在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C.在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦及3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦及3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】【分析】利用正弦函数的单调性分析判断得解.【详解】因为4sin y x =,[0,2]x πÎ，所以函数的单调性和正弦函数sin y x =的单调性相同，所以函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦及3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小:(1)2cos 7π与3cos 5π⎛⎫-⎪⎝⎭;(2)sin 250︒与sin 260︒.【答案】(1)23cos cos 75ππ⎛⎫>-⎪⎝⎭(2)sin 250sin 260︒︒>【解析】【分析】（1）利用cos y x =在(0,)π内为减函数判断它们的大小；（2）利用sin y x =在()90,270︒︒内为减函数判断它们的大小.【详解】解:(1)33cos cos 55ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∵23075πππ<<<,且cos y x =在(0,)π内为减函数,∴23cos cos 75ππ>,即23cos cos 75ππ⎛⎫>-⎪⎝⎭.(2)∵90250260270︒︒︒︒<<<,且sin y x =在()90,270︒︒内为减函数,∴sin 250sin 260︒︒>.【点睛】本题主要考查正弦余弦函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13.求函数3sin(2),[0,2]4y x x ππ=+∈的单调递减区间．【答案】5[,88ππ和913[,]88ππ.【解析】【分析】根据正弦型函数的性质有3222242k x k πππππ+≤+≤+时函数单调递减，即可求出3sin(2)4y x π=+的递减区间，进而讨论k 值确定[0,2]x πÎ上的递减区间即可.【详解】∵3222242k x k πππππ+≤+≤+()k ∈Z 上3sin(2)4y x π=+单调递减，∴588k x k ππππ+≤≤+上3sin(2)4y x π=+单调递减，当0k =：5[,][0,2]88x πππ∈⊂；当1k =：913[,][0,2]88x πππ∈⊂；∴5[,]88ππ、913[,]88ππ为3sin(2),[0,2]4y x x ππ=+∈的单调递减区间.5.4.3正切函数的性质与图象练习14.借助函数tan y x =的图象解不等式tan 1x ≥-，0,22x πππ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.【答案】30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【解析】【分析】画出0,,2tan ,2x x y πππ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭=和1y =-的图象，观察图象即可.【详解】在同一坐标系中画出0,,2tan ,2x x y πππ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭=和1y =-的图象，如下：当tan 1x =-时，34x π=，由图象可知不等式tan 1x ≥-的解集为30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.【点睛】本题考查了正切函数不等式，考查了用数形结合法，属于基础题.15.观察正切曲线，写出满足下列条件的x 值的范围：（1）tan 0x >；（2）tan 0x =；（3）tan 0x ≤．【答案】（1）2k x k πππ<<+()k ∈Z ；（2）x k π=()k ∈Z ；（3）2k x k πππ-<≤()k ∈Z ；【解析】【分析】画出tan y x =的函数图象，通过图象判断（1）、（2）、（3）对应自变量的取值范围即可.【详解】（1）tan 0x >：2k x k πππ<<+()k ∈Z ；（2）tan 0x =：x k π=()k ∈Z ；（3）tan 0x ≤：2k x k πππ-<≤()k ∈Z ；16.求函数tan 3y x =的定义域.【答案】,36k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】令()32x k k Z ππ≠+∈，解出x 的范围即可求得定义域.【详解】令()32x k k Z ππ≠+∈，得()36k x k Z ππ≠+∈，所以函数tan 3y x =的定义域为,36k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查正切函数的定义域，属于基础题.17.求下列函数的周期：（1）tan 2y x =，()42k x k ππ≠+∈Z ；（2）5tan 2xy =，(21)()x k k π≠+∈Z .【答案】（1）周期为2π（2）周期为2π【解析】【分析】（1）由诱导公式，得tan 2tan(2)x x π=+，即()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，问题得解；（2）由诱导公式，得2tan tan tan 222x x x ππ+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即()(2)f x f x π=+，问题得解；【详解】（1）令()y f x =，因为()tan 2tan(2)tan 222f x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数tan 2y x =，()42k x k ππ≠+∈Z 的周期为2π.（2）令()y f x =，因为2()5tan5tan 5tan (2)222x x x f x f x πππ+⎛⎫==+==+ ⎪⎝⎭，所以函数5tan2xy =，(21)()x k k π≠+∈Z 的周期为2π.【点睛】本题考查了诱导公式，函数周期性定义，属于中档题.18.不通过求值，比较下列各组中两个正切值的大小：（1）()tan 52-︒与()tan 47-︒；（2）13tan4π与17tan 5π【答案】（1）()()tan 52tan 47-︒<-︒；（2）1317tan tan 45ππ<【解析】【分析】（1）根据tan y x =在()90,0-︒︒的单调性进行比较，得到答案；（2）根据正切函数的周期对所求的值进行化简，再根据tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性进行比较，得到答案.【详解】解：（1）9052470-︒<-︒<-︒<︒，且tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数，()()tan 52tan 47∴-︒<-︒.（2）13tantan 3tan 444ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，1722tantan 3tan 555ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，20452πππ<<< ，且tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内为增函数，2tantan 45ππ∴<，故1317tan tan 45ππ<.【点睛】本题考查根据正切函数的单调性比较函数值的大小，属于简单题.习题5.4复习巩固19.画出下列函数的简图：（1）1sin ,[0,2]y x x π=-∈；（2）3cos 1,[0,2]y x x π=+∈.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据五点作图法作图法作图；（2）根据五点作图法作图法作图.【详解】解：（1）x2ππ32π2π1sin y x=-10121描点连线得如图①，（2）x2ππ32π2π3cos 1y x =+412-14描点连线得如图②.【点睛】本题考查考查五点作图法作图，考查基本分析作图能力，属基础题.20.求下列函数的周期：（1）2sin ,3y x x R =∈；（2）1cos ,2y x x R =Î．【答案】（1）3k π()k ∈Z ；（2）2k π()k ∈Z .【解析】【分析】利用正余弦的性质，结合2||T πω=可求（1）（2）中三角函数的最小正周期，进而可写出函数的周期.【详解】（1）由题设知：23ω=，故最小正周期为2232||3T πππω===，即2sin ,3y x x R =∈的周期为3k π()k ∈Z ；（2）由题设知：1ω=，故最小正周期为222||1T πππω===，即1cos ,2y x x R =Î的周期为2k π()k ∈Z ；21.下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数.（1）|sin |y x =；（2）1cos 2y x =-；（3）3sin 2y x =-；（4）12tan y x =+.【答案】（1）偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）非奇非偶函数.【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义进行判断；（2）根据奇偶性定义进行判断；（3）根据奇偶性定义进行判断；（4）根据奇偶性定义进行判断；【详解】（1）|sin |y x =定义域为R,且|sin()||sin |x x -=，所以|sin |y x =是偶函数；（2）1cos 2y x =-定义域为R,且1cos 2()1cos 2x x --=-，所以1cos 2y x =-是偶函数；（3）3sin 2y x =-定义域为R,且3sin 2()3sin 2(3sin 2)x x x --==--，所以3sin 2y x =-是奇函数；（4）12tan y x =+定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z ,但12tan()12tan ,12tan()12tan ,x x x x +-≠++-≠--，所以12tan y x =+既不是奇函数，也不是偶函数.【点睛】本题考查函数奇偶性，考查基本分析判断能力，属基础题.22.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并求出最大值、最小值.（1）11cos ,23y x x R π=-∈；（2）3sin 2,4y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.（3）31cos ,226y x x R π⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭；（4）11sin ,223y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.【答案】（1）使y 取得最大值的x 的集合是max 3{|63,},2x x k k Z y =+∈=；使y 取得最小值的x 的集合是min 1{|6,},2x x k k Z y =∈=.（2）使y 取得最大值的x 的集合是max |,,38x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；使y 取得最小值的x 的集合是min 3|,,38x x k k Z y ππ⎧⎫=-∈=-⎨⎬⎩⎭.（3）使y 取得最大值的x 的集合是max 73|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；使y 取得最小值的x 的集合是min 3|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=-⎨⎬⎩⎭.（4）使y 取得最大值的x 的集合是max 1|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；使y 取得最小值的x 的集合是min 51|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=-∈=-⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）根据余弦函数性质求最值以及对应自变量范围；（2）根据正弦函数性质求最值以及对应自变量范围；（3）根据余弦函数性质求最值以及对应自变量范围；（4）根据正弦函数性质求最值以及对应自变量范围.【详解】（1）由2,3x k k Z πππ=+∈得使y 取得最大值的x 的集合是max 3{|63,},2x x k k Z y =+∈=；由2,3x k k Z ππ=∈使y 取得最小值的x 的集合是min 1{|6,},2x x k k Z y =∈=.（2）由22,42x k k Z πππ+=+∈得使y 取得最大值的x 的集合是max |,,38x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；由22,42x k k Z πππ+=-∈得使y 取得最小值的x 的集合是min 3|,,38x x k k Z y ππ⎧⎫=-∈=-⎨⎬⎩⎭.（3）由12,26x k k Z πππ-=+∈得使y 取得最大值的x 的集合是max 73|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；由12,26x k k Z ππ-=∈得使y 取得最小值的x 的集合是min3|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=-⎨⎬⎩⎭.（4）由12,232x k k Z πππ+=+∈得使y 取得最大值的x 的集合是max1|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；由12,232x k k Z πππ+=-∈得使y 取得最小值的x 的集合是min 51|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=-∈=-⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查正余弦函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.23.利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin10315︒'与sin16430︒'；（2）3cos 10π⎛⎫- ⎪⎝⎭与4cos 9π⎛⎫- ⎪⎝⎭.（3）sin 508︒与sin144︒；（4）47cos 10π⎛⎫ ⎪⎝⎭与44cos 9π⎛⎫ ⎪⎝⎭.【答案】（1）'sin10315sin16430︒'︒>（2）34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）sin 508sin144︒︒<（4）4744cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据正弦函数单调性判断大小；（2）先根据诱导公式化简，再根据余弦函数单调性判断大小；（3）先根据诱导公式化简，再根据正弦函数单调性判断大小；（4）先根据诱导公式化简，再根据余弦函数单调性判断大小.【详解】解：（1）901031516430180︒︒︒︒'︒<<< ，且sin y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内为减函数，'sin10315sin16430︒'︒∴>.（2）3344cos cos ,cos cos 101099ππππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.340109πππ<<< ，且cos y x =在(0,)π内为减函数.34coscos 109ππ∴>，即34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）()sin 508sin 360148sin148︒︒︒︒=+=.90144148180︒︒︒︒<<< ，且sin y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内为减函数，sin144sin148︒︒∴>，即sin 508sin144︒︒<.（4）4777coscos 4cos 101010ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，4488cos cos 4cos 999ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.782109ππππ<<<，且cos y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内为减函数，78coscos 109ππ∴>，即4744cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查诱导公式以及正余弦函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.24.求下列函数的单调区间：（1）1sin ,[0,2]y x x π=+∈；（2）cos ,[0,2]y x x π=-∈.【答案】（1）单调递增区间为30,,,222πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；单调递减区间为3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）单调递增区间为[0,]π，单调递减区间为[,2]ππ.【解析】【分析】（1）根据正弦函数单调性求单调区间；（2）根据余弦函数单调性求单调区间【详解】（1）当22,()22k x k k Z ππππ-≤≤+∈时；1sin y x =+单调递增；因为[0,2]x πÎ，所以单调递增区间为30,,,222πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当322,()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈时；1sin y x =+单调递减；因为[0,2]x πÎ，所以单调递减区间为3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当22,()k x k k Z πππ≤≤+∈时；cos y x =-单调递增；因为[0,2]x πÎ，所以单调递增区间为[0,]π；当222,()k x k k Z ππππ+≤≤+∈时；cos y x =-单调递减；因为[0,2]x πÎ，所以单调递减区间为[,2]ππ.【点睛】本题考查正余弦函数单调区间，考查基本分析求解能力，属基础题.25.求函数tan 26y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的定义域.【答案】|,3x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据正切函数性质列式求解，即得结果.【详解】解：由()62x k k Z πππ+≠+∈，得()3x k k Z ππ≠+∈，∴原函数的定义域为|,3x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查正切函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.26.求函数5tan 2,()3122k y x x k Z πππ⎛⎫=-≠+∈ ⎪⎝⎭的周期.【答案】2π【解析】【分析】根据周期定义或正切函数周期公式求解.【详解】解法一：()tan 2tan 2tan 233232f x x x x f x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ∴所求函数的周期为2π.解法二：所求函数的周期2ππT ω==.【点睛】本题考查正切函数周期，考查基本分析求解能力，属基础题.27.利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）tan 5π⎛⎫- ⎪⎝⎭与3tan 7π⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）tan1519︒与tan1493︒；（3）9tan 611π与3tan 511π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）7tan8π与tan 6π.【答案】（1）3tan tan 57ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）tan1519tan1493︒︒>（3）93tan 6tan 51111ππ⎛⎫>- ⎪⎝⎭（4）7tantan 86ππ<【解析】【分析】（1）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；（2）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；（3）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；（4）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小【详解】解：（1）33tan tan ,tan tan 5577ππππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.30572πππ<<< ，且tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，33tantan ,tan tan 5757ππππ⎛⎫⎛⎫∴<∴->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()tan1519tan 436079tan 79︒︒︒︒=⨯+=，()tan1493tan 436053tan 53︒︒︒︒=⨯+=.0537990︒︒︒︒<<< ，且tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，tan 53tan 79︒︒∴<，即tan1519tan1493︒︒>.（3）9938tan 6tan ,tan 5tan 11111111ππππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.893211112ππππ<<<，且tan y x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，89tantan 1111π∴<，即93tan 6tan 51111ππ⎛⎫>- ⎪⎝⎭.（4）7tantan tan 888ππππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2862ππππ-<-<< ，且tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，tan tan 86ππ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，即7tan tan 86ππ<.【点睛】本题考查周期函数单调性以及诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.综合运用28.求下列函数的值域：（1）5sin ,,44y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦；（2）cos ,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【答案】（1）,12y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；（2）1,22y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据正弦函数单调性求值域；（2）根据余弦函数单调性求值域.【详解】（1）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时sin y x =单调递增，22y ∈；当5(,24x ππ∈时sin y x =单调递减，2[,1)2y ∈-；因此5sin ,,44y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的值域为,1][,1)[,1]222-=- ；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，31[,]22y ∈-；因此cos ,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；【点睛】本题考查根据正余弦函数单调性求值域，考查基本分析求解能力，属基础题.29.根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合.（1）3sin ()2x x R ∈；（22cos 0()x x R +∈ .【答案】（1）2|22,33x k x k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭；（2）33|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-++∈⎨⎬⎩⎭ .【解析】【分析】（1）先作一个周期的图象，再根据图象写结果；（2）先作一个周期的图象，再根据图象写结果.【详解】（1）所以3sin ()2x x R ∈成立的x 的取值集合为2|22,33x k x k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭（2）22cos 0cos 2x x ∴-22cos 0()x x R +∈ 成立的x 的取值集合为33|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-++∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查根据正余弦函数图象解简单三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.30.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（）A.|sin |y x =B.cos y x= C.tan y x= D.cos2x y =【答案】A 【解析】【分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调性，即可选择判断.【详解】|sin |y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上|sin |sin y x x ==单调递减；cos y x =最小正周期为2π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；tan y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；cos 2xy =最小正周期为4π，在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；故选：A【点睛】本题考查函数周期以及单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.31.若x 是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的x 的集合：（1）1tan 0x + ；（2）tan 0x .【答案】（1）3|24x x ππ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）|32x x ππ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）根据正切函数单调性求解三角不等式；（2）根据正切函数单调性求解三角不等式.【详解】（1）1tan 0tan 1,()24x x k x k k Z ππππ+∴-∴-+<≤-+∈ 3(0,)(,)2224x x πππππ∈∴<≤ ，即所求集合为3|24x x ππ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2））tan 0tan ,()32x x k x k k Z ππππ∴≥+≤<+∈ (0,)(,)2232x x πππππ∈∴≤< ，即所求集合为|32x x ππ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查根据正切函数单调性解三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.32.求函数3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调区间.【答案】单调递减区间为5,,2828k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭；无单调递增区间.【解析】【分析】根据正切函数单调性列不等式，解得结果.【详解】当32,()242k x k k Z πππππ-+<-<+∈时，3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭单调递减，即5,,2828k k x k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭所以3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调递减区间为5,,2828k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭；无单调递增区间.【点睛】本题考查正切函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.33.已知函数()y f x =是定义在R 上周期为2的奇函数，若(0.5)1f =，求(1),(3.5)f f 的值.【答案】(1)0f =，(3.5)=1f -【解析】【分析】根据函数周期以及奇偶性找自变量之间关系，即可解得结果.【详解】解：由题意可得(1)(12)(1)(1)(1)f f f f f ，=-=-=-，2(1)0,(1)0f f ∴=∴=.(3.5)(40.5)(0.5)(0.5)1f f f f =-=-=-=-.【点睛】本题考查根据函数周期以及奇偶性求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.34.已知函数1()sin 2,23f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）T π=（2）最大值为14，最小值为12-【解析】【分析】（1）根据正弦函数周期公式求解；（2）根据正弦函数单调性求最值.【详解】解：（1）最小正周期为22T ππ==.（2）5,244636x x πππππ-∴--≤ ，11111sin 2,sin 2322234x x ππ⎛⎫⎛⎫∴--∴-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .即()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为14，最小值为12-.【点睛】本题考查正弦函数周期以及最值，考查基本分析求解能力，属基础题.拓广探索35.在直角坐标系中，已知O 是以原点O 为圆心，半径长为2的圆，角x （rad ）的终边与O 的交点为B ，求点B 的纵坐标y 关于x 的函数解析式，并画出其图象【答案】2sin y x =，图象见解析【解析】【分析】根据三角函数定义可得点B 的纵坐标y 关于x 的函数解析式，利用五点作图法可画图.【详解】解：三角函数定义可得sin 2sin y r x x ==，x 02ππ32π2π2sin y x =020-20描点连线，再向两边延伸得图象如图所示：【点睛】本题考查三角函数定义以及五点作图法，考查基本分析求解能力，属基础题.36.已知周期函数()y f x =的图象如图所示，（1）求函数的周期；（2）画出函数(1)y f x =+的图象；（3）写出函数()y f x =的解析式.【答案】（1）2T =.（2）见解析（3）|2|,[21,21],y x k x k k k Z=-∈-+∈【解析】【分析】（1）根据周期定义结合图象求得结果；（2）把()y f x =向左平移一个单位得(1)y f x =+的图象；（3）根据一次函数解析式得()y f x =在一个周期上的解析式，再根据周期得结果.【详解】解：（1）1(1)2T =--=.（2）把()y f x =向左平移一个单位得(1)y f x =+的图象，即如图所示（3）,[0,1],[1,1],[1,0)x x y x x x x ∈⎧==∈-⎨-∈-⎩所以|2|,[21,21],y x k x k k k Z =-∈-+∈.【点睛】本题考查函数周期、图象变换以及解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.37.容易知道，正弦函数sin y x =是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题【答案】见解析【解析】【分析】根据正弦函数、余弦函数以及正切函数性质即可得到结果.【详解】解：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，它们的坐标为(,0)()k k Z π∈，正弦曲线是轴对称图形，对称轴的方程为()2x k k Z ππ=+∈.能.由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为,0()2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴的方程是()x k k Z π=∈，正切曲线的对称中心坐标为,0()2k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，正切曲线不是轴对称图形.【点睛】本题考查正弦函数、余弦函数以及正切函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.。
三角函数的图象和性质习题课
三角函数的单调性
1 例1 求函数 y sin( x ), x [-2 ,2 ]的 2 3 单调递增区间。
1 练习：写出函数 y sin( x )的单调递减区间： 2 3
7 [ 4k , 4k ], k Z 3 3
求三角函数的值域和最值
例 2 求下列函数的最大值和 最小值，并写出 取最大值和最小值时的 自变量 x的集合。
x （1）y 3 - 2 sin( ), 2 3
(2) y 1 cos(2 x
3
).
求三角函数的值域和最值
例3 求函数 y sin(cosx) 的最大值和最小值。
(2) y x sinx的奇偶性是 偶函数
5
2 T (3) y 2 sin( 3 x )的最小正周期是 3
(4) y 2 cos x 1的值域是 [1,3]
( 5) 已 知a sin36 , b sin46 , c cos46 , 比 较a , b, c的大 小 a c b
y
1.4 三角函数图
y sin x
o0
-1 -2 -3
12
y cos x
5 6
2
x
函数 性质
y= sinx
(k∈z)
y= cosx
x∈ R
(k∈z)
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合
x∈ R [-1,1]
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数
2
0
1
2
3 2
2
5 2
3
【课件】第三课时+三角函数的图象变换及性质应用课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
6
)
再把正弦曲线向右平移1π8
个单位长度，得到函
O
y=sin3x
数 y=sin3(x－1π8)＝sin3x－π6的图象；
最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 2 倍， 这时的曲线就是函数 y=2 sin3x－π6的图象，如图 5.6-7 所示.
巩固与练习 一、三角函数图象五点作图及的平移变换
பைடு நூலகம்
下面用“五点法”画函数 y=2 sin3x－π6在一个周期(T＝23π )内的图象，
步骤1
步骤2
步骤3
步骤4
y
y=sinx
O
y y=sin(ωx)
x
O
y y=sin(ωx+φ)
x
x
O
y
y=Asin(ωx+φ)
O
x
φ＞0 时所有点向左平移ωφ个单位 φ＜0 时所有点向右平移ωφ个单位
复习引入 你能结合筒车运动的例子解释函数 y=2sin3x＋π6+1.5 的实际意义吗？
筒车 筒车角 转前初 轴心距水 半径 速度 始位置 面高度
巩固与练习
分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋 转，在旋转过程中，游客距离地面的高度 H 呈现周而复始的变化，因 此可以考虑用三角函数来刻画， 先观察运动状态动画 由右图不难看出游客距 离地面的的高度 H 随 时间 t 的变化，是一个 关于时间 t 的三角函数
巩固与练习 解
用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象． 用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤 第一步：列表，列出五个关键点； 第二步：在同一坐标系中描出各点； 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
数学课程三角函数图像练习题及答案
数学课程三角函数图像练习题及答案为了帮助学生更好地理解和掌握三角函数的图像，我们提供了一系列练习题及其答案。
请学生们认真完成练习，并参考答案进行自我检查。
题目一：绘制正弦函数图像1）绘制下列函数的图像：y = sin(x)2）写出函数的周期、最大值和最小值解答：1）根据正弦函数的性质，我们可以得到以下关键点：(0, 0)、(π/2, 1)、(π, 0)、(3π/2, -1)、(2π, 0)等。
连接这些关键点，就可以得到正弦函数y = sin(x)的图像。
2）正弦函数y = sin(x)的周期为2π，最大值为1，最小值为-1。
题目二：绘制余弦函数图像1）绘制下列函数的图像：y = cos(x)2）写出函数的周期、最大值和最小值解答：1）根据余弦函数的性质，我们可以得到以下关键点：(0, 1)、(π/2, 0)、(π, -1)、(3π/2, 0)、(2π, 1)等。
连接这些关键点，就可以得到余弦函数y = cos(x)的图像。
2）余弦函数y = cos(x)的周期为2π，最大值为1，最小值为-1。
题目三：绘制正切函数图像1）绘制下列函数的图像：y = tan(x)2）写出函数的周期和渐近线方程解答：1）正切函数有一些特殊的性质，导致其图像在一些点上会出现无穷大的情况。
在绘制图像时，为了简化，我们通常只绘制其中一个周期内的图像。
2）正切函数y = tan(x)的周期为π，其渐近线方程为x = (n + 1/2)π，其中n为整数。
题目四：绘制余切函数图像1）绘制下列函数的图像：y = cot(x)2）写出函数的周期和渐近线方程解答：1）余切函数的图像与正切函数的图像相似，只是在y轴上关于原点对称。
因此，我们可以通过正切函数的图像进行绘制。
2）余切函数y = cot(x)的周期为π，其渐近线方程为x = nπ，其中n 为整数。
题目五：绘制正割函数图像1）绘制下列函数的图像：y = sec(x)2）写出函数的周期和渐近线方程解答：1）正割函数的图像在每个周期内都有一个垂直渐近线，因此我们只需要绘制一个周期内的图像即可。
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图像习题课件 新人教A版必修4
(2)y＝|tanx|＝t－antxa，nx，x∈x[∈kπ（，kπkπ－＋π2π，2 ）kπ（]k（∈kZ∈）Z.）.
可作出其图像(如图)，由图像知函数 y＝|tanx|的单调递减区 π
间 为 (k π － 2 ， k π ](k∈Z) ， 单 调 递 增 区 间 为 [k π ， k π ＋ π 2 )(k∈Z)．
π 是[0，＋∞)；单调递增区间是[kπ，kπ＋ 2 )(k∈Z)；周期 T＝
π.
课后巩固
1．函数
y＝ta1nx(－π4
π <x< 4
)的值域是(
)
A．[－1，1]
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
答案 B
2．函数 y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间(π2 ，3π2 )内的图 像大致是( )
π
⇒kπ－
x≠kπ＋ 2 （k∈Z）
2
<x<kπ＋
3
，
π
π
∴定义域为(kπ－ 2 ，kπ＋ 3 )(k∈Z)，值域为 R.
题型二 正切函数的奇偶性 例 2 判断下列函数的奇偶性： (1)y＝tanx(－π4 ≤x<π4 )； (2)y＝xtan2x＋x4； (3)y＝sinx＋tanx.
【思路分析】 先分别求出各个函数的定义域，看是否关于原点
思考题 4 作出函数 y＝tanx＋|tanx|的图像，并求其定义 域、值域、单调区间及最小正周期．
【解析】 y＝tanx＋|tanx|＝ 2tanx，tanx≥0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z. 0，tanx<0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z.
其图像如图所示，
π
三角函数 正弦函数、余弦函数的图像 课时练习 含答案
§1.4.1正弦函数、余弦函数的图像一、选择1、以下对正弦函数sin y x =的图像描述不正确的是（ ）A 、在[]()2,22x k k k z πππ∈+∈上的图像形状相同，只是位置不同B 、介于直线1y =与直线1y =-之间C 、关于x 轴对称D 、与y 轴仅有一个交点 2、函数))(2sin(R x x y ∈+=π在（ ）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是增函数 B []π,0上是减函数 C []0,π-上是减函数 D []ππ,-上是减函数3、y=1+sin [02x x ,∈,π]的图象与32y =交点的个数是… ( )A.0B.1C.2D.3 4．不等式cos x <0，x ∈[0,2π]的解集为( )A ．(π2，3π2)B ．[π2，3π2]C ．(0，π2)D ．(π2，2π)5.函数y=-cosx 的图象与余弦函数图象( )A.关于x 轴对称B.关于原点对称C.关于原点和x 轴对称D.关于原点和坐标轴对称6．函数y ＝cos(x ＋π2)，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )7、在同一坐标系内的函数x y sin =与x y cos =的图象的交点坐标是 （ ） A ． Z k k ∈),0,(π B Z k k ∈+),1,22(ππC Z k k k∈-+),)1(,2(ππ D Z k k k∈-+),2)1(,4(ππ8、下面有四个判断：① 作正、余弦函数的图象时，单位圆的半径长与x 轴上的单位长可以不一致； ② []π2,0,sin ∈=x x y 的图象关于)0,(πP 成中心对称； ③ []π2,0,cos ∈=x x y 的图象关于直线π=x 成轴对称； ④ 正、余弦函数的图象不超过两直线1,1-==y y 所夹的范围。
其中正确的有 （ ）A 1个B 2个C 3个D 4个 二、填空xy π12π-πO9．若x ∈[－π，π)，则满足cos x ≥12的x 的取值范围是________．10．方程x 2＝cos x 的实根的个数是________．11、设0≤x ＜2π且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________． 12、下列函数中：①y ＝sin x －1；②y ＝|sin x |；③y ＝－cos x ；④y ＝cos 2x ；⑤y ＝1－cos 2x ； 与函数y ＝sin x 形状完全相同的有________． 三、解答13．用五点法作出函数y ＝－sin x －1，x ∈[0,2π]的简图．【拓展】：你能画出上式x ∈R 的图像吗？能写出其单调区间吗？能找到它的最值吗？14．已知直线y ＝a ，函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]，试探求以下问题： (1)当a 为何值时，直线与函数图像只有一个交点？ (2)当a 为何值时，直线与函数图像有两个交点？ (3)当a 为何值时，直线与函数图像有三个交点？ (4)当a 为何值时，直线与函数图像无交点？（5）由图像写出函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合．四、能力提升15、与图中曲线对应的函数是 （ ）A x y sin =B x y sin =C x y sin -=D x y sin -= 16.与图中曲线对应的函数是( )A.y=sinxB.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|【拓展】若函数]2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 与直线k y =有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围；17.方程sin 12a x -=在3[x π∈,π]上有两个实数根,求a 的取值范围.18、作函数xxy tan sin的图象.§1.4.1正弦函数、余弦函数的图像 答案一、选择1、答案: C2、答案: B3、解析:如右图y=1+sin [02x x ,∈,π]的图象,与32y =的图象有两个交点.答案:C4．解析：由y ＝cos x 的图像知，在[0,2π]内使cos x <0的x 的范围是(π2，32π)．答案：A 5.解析:在同一坐标系中作出y=cosx 与y=-cosx 的图象(如右图),由图象知:y=cosx 与y=-cosx 的图象关于x 轴对称且关于原点对称.答案:C6．解析：y ＝－sin x 与y ＝sin x 在[－π2，32π]上的图像关于x 轴对称 答案：D7、答案：D 8、答案：C 二、填空9．解析：如图知x ∈[－π3，π3]． 答案：[－π3，π3]10．解析：在同一坐标系中，作出y ＝x 2和y ＝cos x 的图像如图，由图可知，有两个交点，也就是实根的个数为2. 答案：211、解析：由条件知sin x ≥cos x ．由图可知x ∈[π4，54π]． 答案：[π4，5π4]12、解析：①y ＝sin x －1是将y ＝sin x 向下平移1个单位，没改变形状；③y ＝－cos x ＝sin(x －π2)是由y ＝sin x 向右平移π2个单位而得到，没改变形状，与y ＝sin x 形状相同；∴①③与y ＝sin x 的形状完全相同；而②y ＝|sin x |，④y ＝cos 2x ＝|cos x |和⑤y ＝1－cos 2x ＝|sin x |与y ＝sin x 的形状不相同． 答案：①③ 三、解答13．解：(1)列表：(2)描点并用光滑曲线连接可得其图像，如图所示：14．解：由图像易知：(1)当a ＝±1时，直线与函数图像只有一个交点．(2)当0＜a ＜1或－1＜a ＜0时，直线与函数图像有两个交点． (3)当a ＝0时，直线与函数图像有三个交点． (4)当a ＞1或a ＜－1时，直线与函数图像无交点． 四、能力提升 15、B16. 解析:排除法:A 不是;B 中y=sin|x|,当0x ≥时,y=sinx 也不符合;D 中y=-|sinx|0≤. ∴选C. 答案:C 【拓展】答案：31<<k17.解:首先作出y=sin 3[x x π,∈,π]上的图象.然后再作出12ay -=的图象.由图象知如果y=sinx 与12ay -=的图象有两个交点,方程sin 123[a x x π-=,∈,π]就有两个实数根. 设1y =sin 3[x x π,∈,π],2y =12a-.1y =sin 3[x x π,∈,π]的图象如图. 由图象可知,当31221a -≤<,即113a -<≤-时,y=sin 3[x x π,∈,π]的图象与12a y -=的图象有两个交点,即方程sin 12a x -=在3[x π∈,π]上有两个实根. 18、图略x 0 π2 π 3π2 2π y－1－2－1－1。
数学人教A版(新课标)高中必修第一册 课后习题——三角函数的图象与性质(含答案)
数学人教A版（新课标）高中必修第一册课后习题——三角函数的图象与性质（含答案）《三角函数的图象与性质》课后习题复习巩固1．画出下列函数的简图：（1）y＝1－sin x，x∈［0，2π］；（2）y＝3cos x＋1，x∈［0，2π］．2．求下列函数的周期：（1）y＝，x∈R；（2）y＝，x∈R．3．下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数？（1）y＝sin x；（2）y＝1－cos 2x；（3）y＝－3sin 2x；（4）y＝1＋2 tan x．4．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并求出最大值、最小值：（1），x∈R；（2），x∈R；（3），x∈R；（4），x∈R．5．利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin 103°15′与sin 164°30′；（2）与；（3）sin 508°与sin 144°；（4）与．6．求下列函数的单调区间：（1）y＝1＋sin x，x∈［0，2π］；（2）y＝－cos x，x∈［0，2π］．7．求函数的定义域．8．求函数，x≠（k∈Z）的周期．9．利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）与；（2）tan 1 519°与tan 1 493°；（3）与；（4）与．综合运用10．求下列函数的值域：（1）y＝sin x，x∈；（2）y＝．11．根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值集合：（1）sin x≥（x∈R）；（2）＋2cos x≥0（x∈R）．12．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）．（A）y＝｜sin x｜（B）y＝cos x（C）y＝tan x（D）y＝13．若x是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的x的集合：（1）1＋tan x≤0；（2）tan x－≥0．14．求函数的单调区间．15．已知函数y＝f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，若f（0.5）＝1，求f（1），f（3.5）的值．16．已知函数，x∈R，（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．17．在直角坐标系中，已知∈O是以原点O为圆心，半径长为2的圆，角x（rad）的终边与∈O的交点为B，求点B的纵坐标y关于x的函数解析式，并借助信息技术画出其图象．18．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，（1）求函数的周期；（2）画出函数y＝f（x＋1）的图象；（3）写出函数y＝f（x）的解析式．19．容易知道，正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．答案1．可以直接用“五点法”作出两个函数的图象；也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象，再通过变换得到这两个函数的图象．2．（1）3π （2）．3．（1）偶函数．（2）偶函数．（3）奇函数．（4）非奇非偶函数．4．（1）使y取得最大值的集合是｛x｜x＝6k＋3，k∈Z｝，最大值是；使y取得最小值的集合是｛x｜x＝6k，k∈Z｝，最小值是．（2）使y取得最大值的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝，最大值是3；使y取得最小值的集合是｛x｜x＝＋kπ，x∈Z｝，最小值是－3．（3）使y取得最大值的集合是｛x｜x＝＋4kπ，k∈Z｝，最大值是；使y取得最小值的集合是｛x｜x＝＋4kπ，k∈Z），最小值是．（4）使y取得最大值的集合是｛x｜x＝＋4kπ，k∈Z｝，最大值是；使y取得最小值的集合是｛x｜x＝＋4kπ，k∈Z｝，最小值是．5．（1）sin 103°15′＞sin 164°30′．（2）．（3）sin 508°＜sin 144°．（4）．6．（1）单调递增区间；单调递减区间．（2）单调递增区间［0，π］；单调递减区间［π，2π］．7．｛x｜x≠＋kπ，k∈Z｝．8．．9．（1）．（2）tan 1 519°＞tan 1 493°．（3）．（4）．10．（1）．（2）．11．（1）｛x｜＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z）．（2）｛x｜＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z｝．12．A．13．（1）．（2）．14．单调递减区间，k∈Z．15．f（1）＝0，f（3.5）＝－1．16．（1）π．（2）最大值为，最小值为＝．17．y＝2sin x，图略．18．（1）2．（2）y＝f（x＋1）的图象如图所示．（3）y＝｜x－2k｜，x∈［2k－1，2k＋1］，k∈Z．提示：可先求出定义域为一个周期的函数y＝f（x），x∈［－1，1］的解析式为y＝｜x｜，x∈［－1，1］；再根据函数y＝f（x）的图象和周期性，得到函数y＝f（x）的解析式为y＝｜x－2k｜，x∈［2k－1，2k ＋1］，k∈Z．19．由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为（kπ，0），k∈Z．正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是x＝＋kπ，k∈Z．由余弦函数和正切的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为（＋kπ，0），k∈Z，对称轴的方程是x＝－kπ，k∈Z；正切曲线的对称中心坐标为（，0），k∈Z，正切曲线不是轴对称图形．。
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wx + j 称为相位
w = 0 时的相位 j 称为初相
不画图，直接写出函数 y = 4sin( x + )，
的振幅、周期、频率及初相。 2 3
例题
由y=sinx经过哪些变换可以
得到y=2sin(2x+ ) 的图象？
3
解答1
所有点向左平移于 个单位
y=sinx
3
y=sin(x+ )
（变换相位）
短(0<A<1)到原来的 A 倍。(横坐标不变)
练习2
要得到函数y=sin(2x- )3的图象，
D 只需将y=sin2x的图象( ) (A)向左平移 3个单位 (B)向右平移 3 个单位 (C)向左平移 6 个单位 (D)向右平移 6个单位
练习3
要得到函数y=sin(x -2 )的3图象,
只需将y=sin 的x图2象( ) D
短(0<A<1)到原来的 A 倍。(横坐标不变)
小结 先周期变换再相位变换
1、周期变换：把所有点的的横坐标缩短(w>1)或
伸长 (0<w<1)到原来的 1 w 倍。(纵坐标不变)
2、相位变换：把的图象上所有点向左(j>0)或向
右(j<0)平移 j w 个单位。
3、振幅变换：把所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩
5
式为:
y
=
sin
1
(x
+)。351、把图象 y=
1 2
sin
x
上各点的横坐标
变为原来的 1 ，可得 y = 1 sin(4x) 的图象。
2
4
已知函数y = AsinwxA 0,w 0 的最大值是3，
最小正周期是 表达式是
5
，则这个函数的
。
y = 3sin(10x)
问题1
函数y=sinx与函数y=Asinx(A>0)的 图象间有何关系？
倍
1
y=3sin(
x-
)
（振幅变换）
23
小结 先相位变换再周期变换
1、相位变换：把的图象上所有点向左(j>0)或向
右(j<0)平移 j 个单位。
2、周期变换：把所有点的的横坐标缩短(w>1)或
伸长 (0<w<1)到原来的 1 w 倍。(纵坐标不变)
3、振幅变换：把所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩
函数y = Asin(wx + j)
的图象
概念介绍：
当函数 y = Asin(wx + j), x [0,+)( A 0,w 0)
表示一个振动量时，A就表示物体振动时离开平 衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；
往复振动一次所需要的时间 T = 2
称为这个振动的周期
w
单位时间内往复振动的次数 f = 1 称为振动的频率T
观察结果：
在y=sinx的基础上，把所有点的纵坐标伸
长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍
（横坐标不变）得到y =Asinx图象。
问题2
函数y=sinx与函数y=sinwx(w >0)图 象间有何关系？
观察结果： 在y=sinx的基础上，把所有各点的横坐标
伸长(0< w <1)或缩短(w>1)到原来的 1 倍
4、为得到ｙ＝２sin( 1 x -- )，x∈ R，的图
23
象，只需将函数ｙ＝２sin(x－
3
)，x∈
R的
图象上所有点(Ａ )
(A)横坐标变为原来的２倍，纵坐标不变
(B)横坐标变为原来的
1 2
倍，纵坐标不变
(C)纵坐标变为原来的２倍，横坐标不变
(D)纵坐标变为原来的
1 倍，横坐标不变
2
5、为得到函数ｙ＝sin(2x--
（周期变换）
y=sin( 1 x- )
23
各点纵坐标伸长到原来的 3 倍
（振幅变换）
y=3sin( 1 x- )
23
答案2 先周期变换再相位变换
各点横坐标伸长到原来的 2 倍
y=sinx
（周期变换）
y=sin 1 x
2
所有点向右平移于 2 个单位
3
y=sin(
1
x-
)
（变相位换）
23
各点纵坐标伸长到原来的 3
3
各点横坐标缩短到原来的 一半y=sin(2x+ )
（周期变换）
3
各点纵坐标伸长到原来 的 2
（振幅变换）
倍
y=2sin(2x+ 3 )
解答2
y=sinx 各点横（坐周标期缩变短换到）原来的一半y=sin2x
所有点向左平移于 6 个单位 y=sin(2x+ )
（变换相位）
3
各点纵坐标伸长到原来的
(A)向左平移 3个单位
(B)向右平移 3 个单位 (C)向左平移2 3 个单位 (D)向右平移2 3个单位
练习4
将函数y=sinx的图象纵坐标不变, 横坐标扩大到原来的2倍,再向右平
移 个4 单位,得到的函数( )C的图象。
(A)y=sin(2x+ 4) (B)y=sin( x 2- 4) (C)y=sin( x 2- 8) (D)y=sin( x 2+ 8)
3
),x
∈
R，的图
象，只需将函数ｙ＝sin2x, x ∈ R，的图象
上所有点(B )
(A)向左平移
6
个单位长度
(B)向右平移
6
个单位长度
(C)向左平移 个单位长度
3
(D)向右平移 个单位长度
3
6、将函数y=sinx的图象上所有点的
横坐标变为原来的３倍，纵坐标不
变，再将所得函数图象向左平移
个单位长度，得到的函数的解析
(纵坐标不变)得到y =sinwx 图象。 w
问题3
函数y=sinx与函数y=sin(x+j)图象 间有何关系？
观察结果： 在y=sinx的基础上，把所有的点向左
(j >0)或向右(j <0)平行移 j 个单
位得到y =sin(x+ j)图象
2
倍
y=2sin(2x+
)
（振幅变换）
3
练习1
写数y出=由3si函n(数1yx=sinx)的的图图象象得的到变函换
过程。 2 3
1、先相位变换再周期变换
2、先周期变换再相位变换
答案1 先相位变换再周期变换
y=sinx
所有点向右平移于
个单位
3
y=sin(x
)
（变相位换）
3
各点横坐标伸长到原来的 2 倍