第六章 误差理论基础与最小二乘原理

f 2 f 2 f 2 m x m1 x m2 x mn 1 2 n
2 z 2 2 2
使用误差传播定律的注意事项：
1、正确列出函数式 例：用长30 m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差 为ml =±5 mm，求全长D及其中误差mD。 2、在函数式中各个观测值必须相互独立，即互不相关。 例：设有函数z=3x+2y，且y=3x，已知x的中误差为为 mx，求z的中误差mz
最或然值：最可靠值 观测条件：观测者、观测仪器和外界环境

精密度：测量结果中的偶然误差大小的程度 正确度：测量结果中的系统误差大小的程度 准确度：测量结果中的系统误差与偶然误差的综合， 表示测量结果与真值的一致程度
例如： 在相同的观测条件下，对一平面三角形的三个内角重复进 行普通角度测量358次，每次测得一个高差闭合差，现取 误差区间的间隔3〃，现分析闭合差的误差规律。
误差 钢尺尺长误差Dk 钢尺温度误差Dt 水准仪视准轴误差i 经纬仪视准轴误差C
消除或削弱的方法： 测量系统误差的大小，并对观测值进行改正 采用对称测量法 检校仪器
误差
钢尺尺长误差Dk 钢尺温度误差Dt 水准仪视准轴误差i 经纬仪视准轴误差C
处理方法
计算改正 计算改正 操作时抵消(前后视等距) 操作时抵消(盘左盘右取平均)

观测时所处的外界环境
由于测量时所处的外界环境中的空气温度、压力、风力、日光照射、 大气折光、烟尘等客观因素的不断变化，必将使测量结果产生误差。
三、观测误差的分类 1、按照误差产生的规律分 （1）系统误差：在相同的条件下作多次观测，如 果误差值在大小和符号上表现出一致性或者按照一 定的函数规律变化。
则函数中误差为：
m m m
2 Z 2 x
2 y
例题： 在ΔABC中，∠C=180°－∠A－∠B，∠A和∠B的 观测中误差分别为3″和4″，则∠C的中误差为多少？
三、一般线形函数的中误差 一般的线性函数为 Z=k1x1±k2x2±……±knxn 则函数中误差为：
mz k m k m k m
（3）权只有相对意义 （4）权始终是正值 （5）在同一问题中只能选定一个C值
设对某角作了三次不等精度观测，已知观测值L1的中 误差m1=±3〃，L2的中误差m2=±4〃，L3的中误差 m3=±5〃,求观测值的权。
L1 L2 Ln [ L] X n n
2、等精度观测值的改正数及其数学特性 （1）等精度观测值改正数的代数和为零，即[v]=0 （2）等精度观测值改正数平方和最小，即[vv]=最小
3、精度评定 用真误差求中误差
m

n
用改正数求观测值中误差公式
m
[vv] n 1
次数
1 2 3 4 5 6
观测值
75°32’13〃 75°32’18〃 75°32’15〃 75°32’16〃 75°32’14〃 75°32’17〃
观测值
75°32’13〃 75°32’18〃 75°32’15〃 75°32’16〃 75°32’14〃 75°32’17〃
x [ L ] / n 7 5 3 2 '1 5 . 5 "
负的误差
正的误差 个数k 相对个数 k/n
误差区间 0~3〃 3~6 6~9 9~12 12~15 15~18 18~21 21~24 24以上 ∑
个数k
相对个数 k/n
备注 等于区间 左端值的 误差计入 该区间
45 40 33 23 17 13 6 4 0 181
0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 0.505
（2）偶然误差：在相同的条件下作多次观测，其 误差值在大小和符号上都不相同，表面看不出明显 的规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差 。 （3）粗差亦称错误，是由于观测者使用的仪器不 合格、观测者的疏忽大意或外界条件发生意外变动 引起的错误。



系统误差——找出规律，加以改正 偶然误差——多余观测，制定限差 粗 差——细心，多余观测
最或然值的中误差
1 1 1 1 L (l1 l2 L ln ) l1 l2 ln n n n n
1 M m n
m n n
算术平均值的中误差是观测值中误差的 倍,这说 明算术平均值的精度比观测值的精度要高，且观测 次数愈多，精度愈高。 所以多次观测取其平均值，是减小偶然误差的影 响、提高成果精度的有效方法。
一、测量误差的定义
观测误差 X为观测量的真值 L为该量的观测值 Δ为该量的真观测误差：Δi= Li- X
二、测量误差来源 仪器工具的质量
由于受到测量仪器精确度、仪器结构不完善的限制，使得测量误差 受到一定的影响。

观测者感觉器官鉴别能力的局限性
由于受观测者的感觉器官的鉴别能力的影响，使得在对仪器进行对 中、整平、照准、读数、观测者技能的熟练程度等方面均会产生误差。
二、极限误差 在测量规范中，为了确保成果质量，根据测量的精 度要求，通常取3倍或2倍中误差作为测量中偶然误 差的极限值，成为极限误差，简称限差。 ∆ 限= 3m
三、相对误差 相对误差等于绝对误差的绝对值与相应观测值 之比。 比值，无量纲
误差传播：直接观测值不可避免地含有偶然误差， 使得由直接观测值求得的函数值，也必定受到影 响而产生误差，这种现象称为误差传播。 误差传播定律：在测量上用以描述直接观测值中误 差同函数中误差之间的关系的定律，称为误差传 播定律。
改正数
2.5 ″ -2.5 ″ 0.5 ″ -0.5 ″ 1.5 ″ -1.5 ″
vv
6.25 6.25 0.25 0.25 2.25 2.25
[vv ] 17 . 5
[v ] 0
解： 观测值的最或然值： x=75°32′15.5″ 观测值的中误差：
[vv ] m 1.98" n 1
一、倍乘函数的中误差 设有函数 z=Kx 则函数中误差为：
2 2 2 mz K mx
m z km x
例题： 在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度 为 d=23.4 mm，其中误差 md=±0.2 mm，求该 两点的实际距离D及其中误差 mD 。
二、和差函数的中误差 设有函数Z=X±Y
m

n
例题：有甲、乙两人在相似条件下，观测同样10个 三角形 之所有内角，得两列三角形的闭合差，结果如表所示：
闭合差 甲 乙 1 3 0 2 -2 1 3 -4 -7 4 2 -2 5 1 1 6 0 -1 7 4 8 8 -3 0 9 -2 -3 10 3 1
由公式可以求得：
72 m甲 2.7 10 130 m乙 3.6 10
2 1 2 1 2 2 2 2 2 n
2 n
例题： 有一函数 Z 2x1 x 2 3x 3 ，其中x1、x2及x3的 中误差分别为±3mm、±2mm和±1mm，则Z的 中误差是多少？
四、非线性函数的中误差 设有一般函数 式中x1、x2、…、xn为独立观测值，已知其中误 差为mi （i=1,2, …,n），则中误差为：
一、水准测量的精度分析
M h n mh
二、水平角的精度分析 三、距离测量的误差及精度分析
一、最小二乘法原理
改正数：若某量的观测值与某量的最或然值的差值即 为改正数（v）
在[vv]最小的条件下求该量的最或然值的方法为最小 二乘法。
二、等精度平差 1、最或然值 在相同的观测条件下，对某量进行了n 次观测，其 观测值分别为 L1，L2……Ln，则
1 n
当观测的中误差m一定时，算术平均值的中误差M与观 测次数n的平方根成反比。
观测次数 算数平均值的中误差M
2 4 6 10 20
0.71m 0.50m 0.41m 0.32m 0.22m
例题： 对某角等精度观测6次，其观 测值见表。试求观测值的最或 然值、观测值的中误差以及最 或然值的中误差。
M m n
1.98" 6 0.8"
最或然值中误差为：
一、权的概念 1、定义 在一组非等精度观测值中，权是表示观测结果质 量相对可靠程度的一种权衡值。
C Pi 2 mi
2、特点
（1）权与中误差均是用来衡量观测值精度的指标， 权是相对性数值，表示观测值的相对精度。 （2）权与中误差的平方成反比，中误差越小，其 权就越大。表示观测值越可靠，即精度越高
lim
n
1 2 ...... n lim 0 n n n
观测误差 X为观测量的真值 L为该量的观测值 Δ为该量的真观测误差：Δ= L- X
一、中误差 设对未知量X进行了多次观测，其结果为 L1， L2……Ln，每个观测结果相应的真误差为Δ1， Δ2 …… Δn ，我们取各真误差平方和的平均 数，在开平方根作为衡量标准。
46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
0.126 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 0.495
（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超出 一定的限值（误差有界性） （2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大 （小误差的密集性） （3）绝对值相等的正误差和负误差出现的概率大致相等 （正负误差的对称性） （4） 随着观测次数的无限增多，偶然误差的算术平均值 趋向于零。
2、按误差产生的来源分 （1）人差 （2）仪器误差 （3）外界环境误差
四、多余观测
多余观测：测量工作往往都要进行多余必要次数的观测。 闭合差：多余观测后，观测结果之间的矛盾。 测量平差：处理带有偶然误差的观测结果的工作。
五、研究误差理论的目的 （1）从带有误差的观测值中获得最或然值 （2）评定观测值的最或然值的精度