立体几何专题

立体几何专题

1. (北京文) (18) (本小题 14 分)

如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， 平面 PAD⊥平面 ABCD ， PA⊥ PD ， PA=PD ， E ， F 分别为 AD ， PB 的中点.

( Ⅰ ) 求证： PE ⊥BC ； (Ⅱ)求证：平面 PAB ⊥平面 PCD ； (Ⅲ) 求证： EF∥平面 PCD.

2. (北京理) (16) (本小题 14 分)

如图， 在三棱柱 ABC- A 1B 1C 1 中， CC 1 」平面 ABC ， D ， E ， F ， G 分别为 AA 1，AC ， A 1C 1，

BB 1 的中点， AB=BC= 5， AC= AA 1 =2．

( Ⅰ ) 求证： AC⊥平面 BEF ； ( Ⅱ ) 求二面角B-CD-C 1 的余弦值； (Ⅲ) 证明： 直线 FG 与平面 BCD 相交．

3. (江苏) (15) (本小题满分 14 分)

在平行六面体ABCD 一 A B C D 中，AA = AB, AB 」B C ．

求证： (1) AB∥平面A B C； (2) 平面ABB A 」平面A BC．

4. (浙江) (19) (本题满分 15 分)如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A， B1B， C1C

均垂直于平面 ABC，∠ABC=120°， A1A=4， C1C=1， AB=BC=B1B=2．

(Ⅰ)证明：AB1 ⊥平面A1B1C1；

(Ⅱ)求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值．

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

第 2 页共 10 页

5. (天津文) (17)(本小题满分 13 分)

如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面 ABC⊥平面 ABD，点 M 为棱AB 的中点， AB=2， AD= 2 3 ，∠BAD=90°．

( Ⅰ )求证：AD⊥BC；( Ⅱ ) 求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；

(Ⅲ)求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值．

6. (天津理) (17)(本小题满分 13 分)

如图，AD∥BC 且 AD=2BC，AD 」CD , EG∥AD且 EG=AD，CD∥FG 且 CD=2FG，DG 」平面ABCD， DA=DC=DG=2.

(I)若 M 为 CF 的中点， N 为 EG 的中点，求证：MN∥平面CDE；

(II)求二面角E BC F 的正弦值；

(III)若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为60°，求线段 DP 的长.

7. (全国卷一文)(18)(12 分)

如图， 在平行四边形 ABCM 中， AB = AC = 3， ∠ACM = 90， 以 AC 为折痕 将△ ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA． (1)证明：平面 ACD ⊥平面 ABC ；

(2) Q 为线段 AD 上一点， P 在线段 BC 上， 且 BP = DQ = DA ， 求三棱锥

3

Q ABP 的体积．

8. (全国卷一理)(18)(12 分)

如图， 四边形 ABCD 为正方形， E, F 分别为 AD, BC 的中点， 以 DF 为折 痕把 △DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF 」BF . (1)证明：平面 PEF 」平面 ABFD ； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 .

2

9. (全国卷二文)( 19) (12 分)

如图，在三棱锥P ABC 中，AB = BC = 2 2，PA = PB = PC = AC = 4，O为AC 的中点．

(1)证明：PO 」平面ABC；

(2)若点M 在棱 BC 上，且MC = 2MB，求点C 到平面POM 的距离．

10. (全国卷二理)(20)(12分)

如图，在三棱锥P ABC 中，AB = BC = 2 2，PA = PB = PC = AC = 4，O 为AC 的中点．

(1)证明：PO 」平面ABC；

(2) 若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C 为30，求PC 与平面 PAM 所

成角的正弦值．

P

O

A C

M

B

11. (全国卷三文)(19)(12分)

如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C， D 的点．

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)在线段AM 上是否存在点 P ，使得MC∥平面PBD ？说明理由．

12. (全国卷三理)(19)(12分)

如图，边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C， D 的点．

(1)证明：平面 AMD⊥平面BMC；

(2) 当三棱锥M ABC 体积最大时，求面 MAB 与面MCD所成二面角的

正弦值．

13． (12 分)

如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD，1

AB = BC = AD, 三BAD = 三ABC = 90o , E 是 PD 的中点.

2

(1) 证明：直线CE/ / 平面 PAB

(2) 点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为45o ，求二面角 M-AB-D 的余弦值

14． (12 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中， AB//CD，且三BAP = 三CDP = 90

(1)证明：平面 PAB⊥平面PAD；

(2)若 PA=PD=AB=DC, 三APD = 90 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.