双曲型守恒律中的若干问题
二维双曲型守恒律方程的初值问题
ｙ８２Ｚ‘７７中目＃∞｛，ｏｌ＂２７０１７５８＊位代｝ｚ１１９０３｝ｅ０２７２０６６０上ｌ海大学＠硕士学位论文ＭＡＳＴＥＲ’ＳＴＨＥＳＩＳ曲型守恒律方程ｌ初值问题Ｊ作者毖垡学科专业应用数学导师壁互堕完成日期！！Ｑ！生！！旦一双的一维一』ｌ一一一题目一二维双曲型守恒律方程的初值问题作者：张华学位授予单位：上海大学参考文献(35条)1.E D Banta Lossless propagation of one-dimensional,finite amplitude sound waves 19652.D T Blackstock Propagation of plane sound waves of finite amplitude in non dissipative fluids1962(09)3.T Chang.Y F Guo A class of initial-value problems for systems of aerodynamic equations 19654.T Chang.L Hsiao Riemann Problem for one dimensional adiabatic flow without convxity 19795.T Chang.L Hsiao Riemann Problem and Interaction of Waves in Gas Dynam ics 19896.G Q Chen.D Li.D Tan Structure of Riemann solutions for 2-dimensional scalar conservation laws 19967.J Conlon.T P Liu Admissibility criteria for hyperbolic conservation laws 19818.E Conway.J Smoler Global solution of the Cauchy problem for quasilinear first-order equations in several variables 19669.R Courmt.D Hilbert Methods of Mathematical Physics10.C M Dafermos Structure of Riemann Problem for hyperbolic systems of conserva tion laws 197411.C M Dafermos.L Hsiao Global smooth thermomechanical processes in one dimensional nonlinear thermoviscoelasticity 198212.J Guckenheimer Shocks and rarefactions in two space dimensions 197513.L E Hargrove Fourier series for the finite amplitude sound waveform in a dissipa tionless medium 196014.L Hsiao.T Chang Interaction of elementary waves in one-dimensional adiabatic flow 197915.L Hsiao.C Kilingenberg The structure of the solution for the two-dimensional Riemannproblem,preprint 198616.A Jeffrey Quasilinear Hyperbolic Systems and Waves17.B L Keyfitz.H C Kranzer The Riemann Problem for a class of hyperbolic conservation laws exhibitinga parabolic degeneracy 198318.S N Kruzkov First order quasilinear equations with several independent variables 197019.P D Lax Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory of Shock Waves 197220.P D Lax Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves 197321.P D Lax.B Wendroff Systems ofconservation laws 196022.W Lester On the theory of the propagation of plane,finite amplitude waves in a dissipative fluid 196123.J Li.T Zhang.S Yang Two-dimensional Riemann Problem in Gas Dynamics 199924.T T Li.W C Sheng The general Riemann problem for the linearized system of two-dimensional isentropic flow in gas dynamics[外文期刊] 200225.W B Lindquist The scalar Riemann problem in two spatial dimensions:Piecewise smoothness of solutions 198626.T P Liu The Riemann Problem for general 2 × 2 conservation laws 197427.Partial Differential Equations 195228.Wancheng Sheng Two-dimentional Riemann problem for scalar conservation law 200229.复旦大学数学系数学物理方程 197930.D Tan.T Zhang Two-dimensional Riemann problem for a hyperbolic system of conservation laws,(Ⅰ)(Ⅱ) 199431.D Wagner The Riemann problem in two space dimentions for a single conservation law 198332.应隆安.滕振寰双曲型守恒律方程及其差分方法 199133.P Zhang.T Zhang Genralized characteristic analysis and Guckenheimer struc ture 199934.T Zhang.Y Zheng Two-dimentional Riemann problem for a single conservation law 198935.T Zhang.Y Zheng Conjecture on structure of solutions of Riemann problem for 2-D gas dynamic systems 1990本文读者也读过(10条)1.雷锦志.晏平关于发展方程的守恒率的一个标记[期刊论文]-应用数学2003,16(3)2.王乐乐双曲守恒律方程的弱解研究[学位论文]20073.梅元贵.周朝晖.许建林.李刚.MEI Yuan-gui.ZHOU Chao-hui.XU Jian-lin.LI Gang开孔缓冲结构条件下的隧道单车压力波特征数值分析[期刊论文]-铁道学报2005,27(4)4.陶明双曲守恒律（Ⅱ）：弱解存在性[学位论文]20075.姜在红对一般双曲守恒律的一些数学理论的研究[学位论文]20106.李念英带松弛项的守恒律方程解的大时间状态估计[学位论文]20067.肖计雄一类双曲型方程激波的形成[学位论文]20088.刘红霞.赵彦普.LIU Hong-Xia.ZHAO Yan-Pu一维浅水波方程有限体积流通量限制方法的数值研究[期刊论文]-重庆三峡学院学报2010,26(3)9.张通.谷应丽.杨汉春.ZHANG Tong.GU Ying-li.YANG Han-chun气体动力学等熵流2个疏散波的相互作用[期刊论文]-云南大学学报（自然科学版）2007,29(5)10.徐振礼.邱建贤.刘儒勋双曲守恒律方程WENO格式的优化方法[期刊论文]-中国科学技术大学学报2004,34(1)引用本文格式：张华二维双曲型守恒律方程的初值问题[学位论文]硕士 2004。
双曲守恒律方程及其差分方法
双曲守恒律方程及其差分方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊双曲守恒律方程及其差分方法。
你说这双曲守恒律方程啊，就像是个调皮的小精灵，总是在数学的世界里蹦来蹦去，让人又爱又恨。
它描述的那些物理现象，就好像是一场奇妙的冒险，充满了未知和惊喜。
想象一下，各种物质的流动、变化，都能被这双曲守恒律方程给捕捉到。
它就像一个超级敏锐的观察者，不放过任何一个细微的动态。
而这差分方法呢，就像是给这个小精灵套上了缰绳，让我们能够更好地驾驭它，去探索那些神秘的领域。
你看啊，差分方法就像是一把神奇的钥匙，能打开双曲守恒律方程背后隐藏的秘密。
它通过巧妙的计算和分割，把复杂的问题变得简单易懂。
这就好比我们走路，一步一步稳稳当当，把长长的路给走完。
比如说，在研究流体流动的时候，双曲守恒律方程就发挥着重要作用。
差分方法能让我们更准确地预测流体的行为，就像是能提前知道水流会往哪里拐，风会往哪里吹。
这多厉害呀！要是没有这差分方法，那我们对这些自然现象的理解可就要大打折扣了。
而且啊，这双曲守恒律方程和差分方法可不是孤立存在的。
它们就像一对好搭档，相互配合，共同攻克一个又一个难题。
就好像篮球场上的队友，互相传球，一起为了胜利而努力。
咱再想想，要是没有对双曲守恒律方程及其差分方法的深入研究，那很多现代科技还能发展得这么快吗？那些酷炫的特效、精确的模拟，不都得靠它们嘛！这可不是随便说说的，这是实实在在的贡献啊！双曲守恒律方程及其差分方法，它们不仅仅是数学中的概念，更是打开科学大门的重要工具。
它们让我们能够更深入地理解这个世界，让我们的生活变得更加丰富多彩。
所以说啊，别小看了这双曲守恒律方程及其差分方法。
它们就像是隐藏在数学世界里的宝藏，等待着我们去发掘，去探索。
它们的价值和意义，远远超出了我们的想象。
总之，双曲守恒律方程及其差分方法，那可是相当重要啊！我们可得好好研究，好好利用，让它们为我们的生活带来更多的惊喜和进步！这就是我对它们的看法，你们觉得呢？。
严格双曲守恒律
严格双曲守恒律【最新版】目录1.严格双曲守恒律的定义和概述2.严格双曲守恒律的数学表达式3.严格双曲守恒律的应用领域4.严格双曲守恒律的意义和价值正文严格双曲守恒律是一种描述物理量之间关系的数学定律，广泛应用于物理学、力学和天文学等领域。
它对于研究和解决许多实际问题具有重要意义。
本文将从严格双曲守恒律的定义和概述、数学表达式、应用领域以及意义和价值四个方面进行详细介绍。
一、严格双曲守恒律的定义和概述严格双曲守恒律，又称为双曲守恒律，是一种描述物理量之间关系的数学定律。
它主要研究两个物理量之间的变化关系，通过守恒定律来描述这种关系。
严格双曲守恒律在物理学、力学和天文学等领域具有广泛的应用。
二、严格双曲守恒律的数学表达式严格双曲守恒律的数学表达式为：ΔU = ΔK + ΔU_p其中，ΔU 表示总能量的变化，ΔK 表示动能的变化，ΔU_p 表示势能的变化。
这一公式表明，在一个封闭系统中，能量守恒，即总能量的变化等于动能和势能的变化之和。
三、严格双曲守恒律的应用领域严格双曲守恒律在许多领域具有广泛的应用，如：1.力学系统：在力学系统中，严格双曲守恒律可以用于研究物体在保守力作用下的运动规律，如简谐振动、平动、转动等。
2.天文学：在天文学领域，严格双曲守恒律可以用于研究天体在引力作用下的运动规律，如行星运动、卫星轨道等。
3.物理学：在物理学领域，严格双曲守恒律可以用于研究量子力学中的能量守恒问题，如薛定谔方程等。
四、严格双曲守恒律的意义和价值严格双曲守恒律在科学研究中具有重要的意义和价值，主要表现在以下几个方面：1.理论价值：严格双曲守恒律为研究物理量之间的变化关系提供了一种理论框架，有助于深化我们对自然现象的理解。
2.实践价值：严格双曲守恒律在实际应用中具有重要的指导作用，如在工程设计、能源利用和环境保护等方面，都可以利用严格双曲守恒律来优化方案，提高效率。
3.基础价值：严格双曲守恒律是能量守恒定律的一种具体表现形式，对于研究和解决许多实际问题具有重要的基础性作用。
双曲型方程的稳定性分析
双曲型方程的稳定性分析双曲型方程在数学和物理领域都有着广泛的应用。
它们的解析和数值解法都是繁琐而复杂的。
在这篇文章中，我们将讨论双曲型方程的稳定性分析。
什么是双曲型方程？双曲型方程是指以下形式的偏微分方程：$au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}=f$其中，$a,b,c$ 是实数常数，$f$ 是已知函数，$u_{xx}$ 表示$u$ 对 $x$ 求二阶偏导数，$u_{xy}$ 是 $u$ 对 $x$ 和 $y$ 同时求一阶偏导数，$u_{yy}$ 表示 $u$ 对 $y$ 求二阶偏导数。
双曲型方程有着很多特殊的性质。
第一，它们的解在某些方向上会因为初始条件的扰动而产生巨大变化，这个方向称为双曲线方向。
第二，方程的数值解法很难求出精确的解，因为它们的行为是不稳定的。
什么是稳定性分析？稳定性分析是一种数学方法，用于研究动态系统的行为。
在这个上下文中，动态系统是指随时间变化的系统，例如物理系统或生态系统。
稳定性分析用于研究在系统发生小扰动时会发生什么。
如果扰动越来越大，系统被认为是不稳定的。
如果扰动逐渐消失，系统就被认为是稳定的。
如何进行双曲型方程的稳定性分析？对于双曲型方程 $au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}=f$ ，采用特征方程和特征向量的方法可以得到解析解。
其波动形式为$u(x,y)=\sum_{i=1}^{n}(A_i+B_ix+C_iy)e^{-\lambda_i t}$，其中$\lambda_i$ 是本征值，而 $A_i$，$B_i$ 和 $C_i$ 是本征向量。
但是，这个波动形式并不适用于数值解法中。
因此，我们需要考虑数值解法如何来检测双曲型方程的稳定性。
一种方法是使用 Von Neumann 稳定性分析技术。
这种方法的思想是将数值解视为 Fourier 级数的形式，其中每一个分量都服从相同的演化规律。
然后，将 Fourier 级数的形式代入数值解，并将其带入原方程中。
双曲型守恒方程若干差分格式收敛性判别法则及高分辨率的度量
双曲型守恒方程若干差分格式收敛性判别法则及高分辨率的度
量
陈传淡
【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2002(041)002
【摘要】应用Tadmor的关于双曲型守恒方程式差分逼近的收敛性判别法,对于若干差分逼近式,引入一些参数,只要在上机时适当调整此参数值,即可得到其收敛性.此外还首先提出关于判别分辨率高低的度量方法概念.
【总页数】4页(P160-163)
【作者】陈传淡
【作者单位】厦门大学数学系,福建,厦门,361005
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82
【相关文献】
1.双曲守恒型方程的二阶摄动有限差分格式 [J], 申义庆;高智;杨顶辉
2.应用随机选取法推出守恒双曲型方程某些差分格式的收敛性条件 [J], 陈传淡
3.一个求解双曲型守恒律方程的高分辨率GVC格式 [J], 朱庆勇
4.双曲型守恒律方程组的高分辨率全变差不增格式 [J], 于欣
5.一种构造三维双曲型方程完全守恒差分格式的方法 [J], 吴开腾;宁建国;尚新春因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类Chaplygin型双曲守恒律系统的黎曼问题及波的相互作用的开题报告
一类Chaplygin型双曲守恒律系统的黎曼问题及波的相互作用的开题报告一、研究背景Chaplygin型双曲守恒律系统是一类重要的非线性守恒律系统，广泛应用于物理学、力学和数学领域中。
该系统的黎曼问题及波的相互作用是一个较为基础的问题，在数学和物理学中有广泛的应用。
因此，研究该问题及其应用具有重要意义。
二、研究内容1. 系统的定义与分析针对Chaplygin型双曲守恒律系统的黎曼问题及波的相互作用，首先需要对该系统进行定义和分析，包括数学模型、物理背景、数学性质等。
2. 黎曼问题的求解在研究Chaplygin型双曲守恒律系统的黎曼问题及波的相互作用时，需要将其转化为黎曼问题的求解，进而探究其解的特征和性质。
3. 波的相互作用的研究同时，针对Chaplygin型双曲守恒律系统的波的相互作用，需要探究其传播规律、相互干涉等现象。
4. 应用研究最后需要将研究成果与实际应用相结合，探索Chaplygin型双曲守恒律系统的黎曼问题及波的相互作用在物理学、力学和数学领域中的实际应用。
三、研究方法1. 理论分析通过对Chaplygin型双曲守恒律系统和黎曼问题等相关理论进行分析，推导出黎曼问题的解和波的传播规律等理论结果。
2. 数值模拟通过数值模拟等方法，对黎曼问题及波的相互作用进行模拟，验证理论结果的正确性。
四、预期成果1. 探究Chaplygin型双曲守恒律系统的黎曼问题及波的相互作用的基础理论。
2. 推导Chaplygin型双曲守恒律系统的黎曼问题的解，研究波的传播规律及其相互作用现象。
3. 验证理论结果的正确性，并将研究成果与实际应用相结合，探索其在物理学、力学和数学领域中的实际应用。
五、研究意义1. 丰富和完善Chaplygin型双曲守恒律系统的理论。
2. 为物理和工程领域的实际应用提供理论支持。
3. 拓宽相关领域的研究方向，推动相关领域的发展。
双曲守恒律（Ⅰ）：粘性解
中国科学技术大学硕士学位论文双曲守恒律（Ⅰ）：粘性解姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：***20070501双曲守恒律（Ⅰ）：粘性解作者：闫进学位授予单位：中国科学技术大学引用本文格式：闫进双曲守恒律（Ⅰ）：粘性解[学位论文]硕士 2007华中科技大学硕士学位论文“假”的生产及其逻辑——对“华南虎事件”的分析姓名：张斌申请学位级别：硕士专业：社会学指导教师：吴毅20080603摘要“华南虎事件”是2007年公众关注的焦点，本研究起始于这样一个疑问：“华南虎事件”中陕西省有关方面为何要造假？本研究以故事的形式将事件较为完整地呈现出来，通过对事件的参与者陕西省林业厅、地方政府、评审专家、周正龙、官僚系统、网络、傅德志、新闻媒体、国家林业局等在事件中的表现的描述，揭示了他们背后的结构性力量，并由此逐渐呈现出了整个事件的逻辑。
本研究最终将这一逻辑用“体制性造假”来概括。
体制性造假是受到体制逼迫的产物，是地方政府在面临体制的困境时不得不为的选择，而为了达到体制性造假的目的，地方政府又充分利用其所掌握的体制资源和力量来造假，“华南虎事件”讲述的也就是地方政府在体制困境之下如何“趋利避害”的故事。
体制性造假受到网络、媒体、公众等的制约，造假将使政府公信力受损，但造假又不得不为，因此地方政府凭借体制对专家的控制来造假。
为了掩盖造假行为，地方政府对信息加以严格控制。
但对信息的控制遭遇到网络、媒体和专家的挑战，他们既是体制性造假的障碍，又刺激地方政府不断动用体制维护造假。
而意在对造假进行惩处的制度又被体制歪曲，从而变相加剧了体制性造假，这更是一种吊诡。
关键词：体制性造假信息控制行政问责AbstractIn 2007, the public focus on the Controversy of Huanan Tiger, and the doubt of why the local government has to fake spur me to start this disquisition.This paper inextenso narrate the story, throw the characterization of State Forestry Bureau, the local government, officeholder, the public, and the media, indicate the dominator behind them, then gradually get to the logic of the Controversy, and conclude it with "institutional fake".The institutional fake is caused by the unreasonable system, the local government have to fake in the dilemma caused by the system, in order to fake successfully, the local government use all his forces, the Controversy of Huanan Tiger is a story of how the local government fake in the dilemma.The institutional fake is enslaved to the public, the media, the public opinion, the validity would be damaged by the fake, but the local have no choice, so he has to use the experts to help to fake.In order to deceive the public, the local government has to blank off all the information.But now the monopolization of information is challenged by the public, the media. They are the limiting factors of faking but also the accelerating factors, which is self-contradictory.Key Words:The Institutional Fake; Monopolization of Information;the Condemn to Bureaucracy独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
高中物理两个力学守恒定律教学中的几个问题
高中物理两个力学守恒定律教学中的几个问题摘要：动量守恒与能量守恒是高中物理课程中非常重要的组成部分，同时这二者也是物理学中两条基础规律，还是物理教学重难点内容。
但从实际教学看，学生在对两条定律理解过程中还是有很多问题存在的，如学生只能做到从字面理解，但是对其内涵理解却并不深入。
对相关问题进行深入分析^p ，同时进行针对性解决意义重大，对学生更深层次学习与应用都是有非常大的好处的。
本文对力学守恒定律在教学过程中几个常见问题进行研究，希望能为相关教育工作提供一些借鉴。
高中物理;力学守恒定律;动量守恒;能量守恒能量守恒和动量守恒为高中物理课程两条重要且基本的规律，两定律为经验定律，是很多专家学者经大量实验事实总结归纳出来的。
但是，对物理了解不深的人经常会认为两条定律是不可行而且没有用的。
当遇到力学相关问题，比如非弹性碰撞等，我们很容易看见动量守恒效果，但对机械守恒定律却无从查找，因此会生成动量守恒和机械守恒应用是否存在具体范围等相关问题。
本文在此基础上展开研究，希望能引起相关教育人员深思。
一、守恒定律对物理教学的重要性机械能与动能守恒是基于自然界发展变化而总结出来的两条规律，是对真实物理问题进行解决的有力手段。
很多物理学者对未知问题予以解决时都是先对守恒定律进行应用，如果问题仍然没有有效解决才对其他方法予以考虑。
因为动量守恒只需考量相互作用物体动量变化情况，不用对各环节加以分析^p ;机械能定律就需考虑起终状态机械能，无需考虑其中细节，所以选择对守恒定律进行应用可以起到很好的化繁为简的效果。
守恒定律是贯彻物理学始终的，对学生学好高中物理，还有将所有内容有机融合是具有非常大益处的。
我们应当深入了解守恒定律对物理教学的重要性，并在实际教学时给予相应重视与强化。
二、判别守恒定律的成立条件动量守恒成立即互相作用物体系统总动量是否可以得以维持，取决于系统是否受到外力，或者作用于系统外力合力的数值。
当系统未承受外力时，或外力合力等于零，那么内力作用就可以忽略不计，系统动量即可视为守恒。
用WENO方法求解双曲型守恒律方程组的初(边)值问题
Ａ ｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈ ｓ ｐ ｐｅ ｓ ｃ ｎｃ ｒ ｅ ｔ ｈ ＥＮＯ ｃ ｅ ｅ ｏ ｔ ｎ ｔａ ｎ ｓｒ ｃ ｉ ａ ｒ ｉ ｏ ｅ ｎ ｄ ｗｉｈ ｔ ｅ Ｗ ｓ ｈ ｍ ｓ ｆ ｒ ｂｏ ｈ ｉ ｉｉ ａ ｄ ｌ
Ｗｅ ｈ ｅ ｓｅ ｔ ｌ ｎｏｃｌ ｔｒ （ Ｅ ｉ ｔｄＥ ｓｎｉ ｌ Ｎｏ —ｓｉａｏｙ Ｗ ＮＯ）Ｍｅｈ ｄ ｇ ａｙ ｌ ｔｏ
ｆ ｒ Ａ ｙ ｒ ｌｃ Ｓｙ ｔ ｍ ｒ Ｃ ｏ ｅ ｖ ｔ ｏ ｗｓ ｏ Ｈ ｐｅ ｂｏ ｉ ｓ ｅ ｏ ｆ ｎｓ ｒ ａ ｉ ｎ Ｌａ
唐云 良 盛 万 成
摘要 本 文用 ＷＥ Ｏ 算法解 决双 曲型守恒律方 程组初 （ Ｎ 边值） 问题 ．给 出一种 满足
熵条 件、 Ｓ ６熵条件 和边界熵 条件 的 ＷＥ ＮＯ算 法。通过这个 算法就能得 到守恒律方程 组 的数值解 ，数值解和理 论解是非 常吻合的 ． 关键 词 守恒律 方程组 ， Ｗ Ｅ ＮＯ算法 ，边界熵条件 ， 熵条件
， ● ● Ｉ●１） ３
理 论 上 ，我 们 知道 在 一 些情 下 边 界 上会 出现 激 波反 射 和 激 波 反射 ．这 里仅 考 虑 况 ０ ㈣ ） 两 种情 况 ： １ ｎ≤一ｔ ） ， 上 一＜０＜Ｕ ； ） ＜一 上 ｏ２ ｕ ｔ 一＜０＜ｕ ０＜ｕ ． 一
ＤＴ ｎ、Ｓ ａ ｇ ．ａ ． ｎ 以及 ＴＺ ａ ｇ［４ １对于两维守恒律方程组的 Ｒｅ ｎ Ｙ ． ｎ （ ，５ ｈ ２ ，） ｉ ｍａｎ问题 已经
得到 了 既是数 值 又是解 析 解 ． 们发 现 ： 某些 初始 条件 下 ， 他 在 经典 的弱 解是 不存 在 的；
双曲守恒律问题数值求解方案探索
双曲守恒律问题数值求解方案探索双曲守恒律方程组是一类非线性偏微分方程组，广泛应用于流体力学、电磁学、量子力学等领域。
对于这类方程组，求解其数值解是一个具有挑战性的问题。
本文将探讨一些常用的数值求解方案以及它们的优缺点。
首先，我们介绍一种常用的求解双曲守恒律问题的方法——有限差分法。
有限差分法将空间进行网格划分，将双曲守恒律方程组转化为离散的代数方程组。
在时间上通过迭代求解离散方程组，得到所需的数值解。
有限差分法简单易实现，对于简单的双曲守恒律问题具有较好的数值精度。
然而，在处理细致结构和激波等问题时，有限差分法会出现振荡和数值耗散等问题。
为了解决有限差分法的局限性，有限体积法应运而生。
有限体积法是将空间进行网格划分，将双曲守恒律问题转化为控制体积上的积分方程，然后通过求解积分方程来得到所需的数值解。
有限体积法不仅可以处理激波等问题，而且对于守恒律问题的保守性有较好的保证。
然而，有限体积法在处理细致结构时可能会出现数值耗散和数值扩散等问题。
为了进一步提高求解效果，另一种常用的方法是有限元法。
有限元法是将双曲守恒律问题转化为弱形式，通过选择适当的试探函数和权函数，在有限维空间内进行求解。
有限元法不仅可以处理复杂的空间结构，而且对于激波和细致结构有较好的数值稳定性。
然而，有限元法在处理高维问题时需要较高的计算成本，并且对于非线性问题的收敛性也存在挑战。
除了上述常用的方法，还有许多其他的数值求解方案，例如高分辨率格式、间断加权有限元法和半离散差分法等。
这些方法各有优点，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
另外，近年来随着计算机硬件的发展，深度学习等新兴的数值求解方法也逐渐引起人们的关注。
总结来说，双曲守恒律问题的数值求解是一个具有挑战性的问题。
针对不同的问题特点，我们可以选择不同的数值求解方案。
有限差分法、有限体积法和有限元法是目前应用较广泛的求解方法，它们各有优缺点，在处理不同类型的问题时会有不同的表现。
守恒双曲型方程式初边值问题的隐式解及一维情形下激波稀疏波的确定
守恒双曲型方程式初边值问题的隐式解及一维情形下激波稀疏波的确定陈传淡【期刊名称】《厦门大学学报：自然科学版》【年(卷),期】1999(38)6【摘要】Theim plicitsolutionsoftheinitial-boundary value conservativehyperbolic problem are suggested and solved by the algebraic iterative m ethod num erically. This can be used in the solution ofthe sm ooth partfor the hyperbolic system to som e extent. By the geo- m etric m ethod, the position of the shock and rarefaction w ave for the scalar conservative hy- perbolic equation is determ inated.【总页数】6页(P937-942)【关键词】守恒双曲型方程;初边值问题;隐式解;激波;稀疏波【作者】陈传淡【作者单位】厦门大学数学系【正文语种】中文【中图分类】O241.82;O175.27【相关文献】1.带退化粘性项的单个守恒律一般初边值问题的解相应于稀疏波的L2-衰减估计[J], 冯蕊蕊2.一个三角型双曲守恒律系统的狄拉克激波解 [J], 李忠同;沈春3.守恒双曲型方程式激波计算区域分解法中的追踪及人工压缩方法 [J], 陈传淡4.具有delta-激波的非线性双曲守恒律的初边值问题 [J], 姚爱娣;盛万成5.一维粘性守恒律初边值问题粘性激波解的渐近稳定性 [J], 豆艳萍因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类双曲型守恒律方程组的初边值问题
上海大学硕士学位论文一类双曲型守恒律方程组的初边值问题姓名：姚爱娣申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：盛万成20070401摘要双曲型守恒律方程（组）的初值和初边值问题一直是数学家和物理学家关注的热点问题．边界熵条件的提出解决了一般初边值问题的不适定同题．初边值问题在理想悬浮物的沉积理论及控制论等中有广泛的应用．本文主要考虑构造一个含有乒波解的一类双曲型守恒律方程组的初边值问题的解．利用ＤｕｂｏｉｓＦ和ＬｅＦｌｏｃｈＰ在Ｊ．Ｄｉｆｆ．Ｅｑｕｓ．（１９９８，７１）中所得到的结果，选取一对合适的熵流对，使得在边界ｚ＝０上得到了一个边界熵条件．通过求解相应的Ｒｉｅｍａｎｎ问题，并利用这个边界熵条件及基本波的相互作用构造性的得到了方程组初边值问题的解．类似于一个边界的情况，又给出了边界ｚ＝１上的熵条件，进而得到了具有两个边界的初边值问题的解的构造．这里的初边值都是分段常数．关键词・初边值问题，相互作用，乒激波，熵流对，边界熵条件，Ｒｉｅｍａｎｎ问题．ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍａｎｄｔｈｅｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｓｙｓ－ｔｅｍｆｏｒｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｌａｗｓｆｏｒａａｒｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｅｓｅａｒｃｈｆｉｅｌｄｆｏｒｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎａｎｄｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｐｈｙｓｉｃｉｓｔｌｏｎｇｔｉｍｅ．Ｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｅｎｔｒｏｐｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｍａｋｅｓｔｈｅｃａｎｖａｌｕｅｐｒｏｂ－ｏｆｌｅｍｂｅｗｅｌｌ－ｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｉｄｅａｌｂｅａｐｐｌｉｅｄｗｉｄｅｌｙｉｎｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｓｅｄｉｍｅｎｔａｔｉｏｎｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎｓａｎｄｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅｆｏｒｉｕｌｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆａｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｓｙｓｔｅｍｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｌａｗｓｗｉｔｈ８－ｓｈｏｃｋｗａｖｅ￥．Ａｂｏｕｎｄａｒｙｅｎｔｒｏｐｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙ￡＝０ｊ８ｄｅｒｉｖｅｄｔｈａｎｋｓｔｏＤｕｂｏｉｓＦａｎｄＬｅＦｌｏｃｈＰ’ｓｂｙｔａｋｉｎｇａｒｅｓｕｌｔｓ（Ｊ．Ｄｉｆｆ．Ｅｑｕｓ．，１９９８，７１）ｓｕｉｔａｂｌｅｅｎｔｒｏｐｙ－ｆｉｕｘｐａｉｒ．ＢｙｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｉｓｏｂｔａｉｎｅｄＲｉｅｍａｕｎｂｙｐｒｏｂｌｅｍ，ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｔｈｅｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｅｏｕｓｔｒｕｃｔｉｖｅｌｙｂｏｕｎｄａｒｙｏｆｏｎｅｅｎｔｒｏｐｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｏｆｅｌｅｍｅｎｔａｒｙｗａｖｅｓ．Ａｎａｌｏｇｕｅｔｏｔｈｅｃａｓｅｂｏｕｎｄａｒｙ，ｗｅｏｂｔａｉｎａｌｓｏｇｉｖｅｔｈｅｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｅｎｔｒｏｐｙｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｓｔａｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｎｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙ善＝１．ｔｈｅｎｗｅｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｄａｔａｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓｔａｔｅｓ．ｗｉｔｈｔｗｏｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ．Ｈｅｒｅ，ｔｈｅｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙＫｅｙｗｏｒｄｓ：ａｙｅｐｉｅｃｅｗｉｓｏｉｎｉｔｉａｌ－ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍ，ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｏｆｅｌｅｍｅｎｔａｒｙＷａＶｅｓ，Ｒｉｅｍａｎｕｐｒｏｂｌｅｍ，５－ｓｈｏｃｋＶｉＲＶｅ８，ｅｎｔｒｏｐｙ－ｆｌｕｘｐａｉｒ，ｂｏｕｎｄａｒｙｅｎｔｒｏｐｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．原创性声明本人声明；所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作．除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文不包含其他人已发表或撰写过的研究成果．参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．０７．＆２－０本论文使用授权说明本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即－学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容．（保密的论文在解密后应遵守此规定）繇娥姊臌。
双曲守恒型方程若干数值方法研究的开题报告
双曲守恒型方程若干数值方法研究的开题报告一、选题背景及意义双曲守恒型方程广泛应用于流体力学、气象学、岩土工程等领域中。
这类方程具有非线性、守恒性和波动性等特点，解析解难以求得，因此需要采用数值方法进行求解。
当前，学者们在研究数值方法时，主要关注于方案的精度、稳定性和计算效率等方面。
在实际工程应用中，数值方法的优劣直接关系到数值计算结果的可靠性和准确性。
因此，本文旨在探讨双曲守恒型方程的若干数值方法，并比较各方法的优劣，为实际工程提供参考。
二、研究内容本文将重点研究以下双曲守恒型方程数值解法：1. 经典有限差分法：该方法为一种基本的数值解法，对传输、对流等问题有较好的适用性，但对解的精度和稳定性会受到网格分辨率和 CFL 数值限制条件的影响。
2. 高分辨格式 WENO 方法：该方法利用一系列加权本质正交函数，重点关注解的高阶性能，并能很好地捕捉解的非光滑部分。
该方法适用于高阶时间和空间精度，但在可压缩条件下收敛缓慢。
3. 小波分析方法：该方法引入小波分析的思想，将解分解为多个不同频率的分量，从而实现空间和时间多分辨率分析，对高维非线性守恒律方程组具有很好的应用潜力。
四、研究目标和意义1. 系统比较若干数值方法在求解双曲守恒型方程的适用性和差异，为数值计算提供理论依据。
2. 为数值模拟在实际工程中的应用提供参考。
3. 推动数值方法的发展进步，提高数值计算的精度和计算效率。
五、研究方法和进度1. 研究方法：（1）总结文献，了解双曲守恒型方程的研究现状及数值方法的相关进展。
（2）针对研究题目，设计相应的数值算例进行模拟实验。
（3）对模拟得到的结果进行对比分析，评估不同数值方法的表现。
2. 进度安排：第一周：阅读相关文献，了解双曲守恒型方程研究现状第二周：了解经典有限差分法的计算原理和步骤第三周：设计经典有限差分法的数值算例进行模拟实验第四周：对经典有限差分法得到的结果进行分析和评估第五周：了解高分辨格式 WENO 方法的计算原理和步骤第六周：设计 WENO 方法的数值算例进行模拟实验第七周：对 WENO 方法得到的结果进行分析和评估第八周：了解小波分析方法的计算原理和步骤第九周：设计小波分析方法的数值算例进行模拟实验第十周：对小波分析方法得到的结果进行分析和评估第十一周：撰写开题报告六、预期成果1. 精读、总结若干数值方法在求解双曲守恒型方程中的应用和局限性。
一类双曲守恒律方程组退化Goursat问题整体光滑解的存在性
第62卷 第2期吉林大学学报(理学版)V o l .62 N o .22024年3月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a r 2024d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023266一类双曲守恒律方程组退化G o u r s a t 问题整体光滑解的存在性赵佳敏,肖 伟(长安大学理学院,西安710064)摘要:针对一类双曲守恒律方程组退化G o u r s a t 问题,研究其整体光滑解的存在性.首先,引入特征角α,β,建立α,β和压力P 的特征分解;其次,利用α,β的特征分解得到不变区域,进而得到特征角的最大模估计;最后,通过压力P 的特征分解以及连续性方法建立解的梯度估计,从而证明退化G o u r s a t 问题解的存在性.关键词:双曲守恒律方程组;特征分解;退化G o u r s a t 问题;平面稀疏波中图分类号:O 175.2 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2024)02-0197-08E x i s t e n c e o fG l o b a l S m o o t hS o l u t i o n s f o rD e g e n e r a t eG o u r s a t P r o b l e mo f aC l a s s o fH y p e r b o l i cC o n s e r v a t i o nL a wS ys t e m s Z H A OJ i a m i n ,X I A O W e i(S c h o o l o f S c i e n c e s ,C h a n g a nU n i v e r s i t y ,X i a n 710064,C h i n a )A b s t r a c t :W e s t u d i e d t h e e x i s t e n c e o f t h e g l o b a l s m o o t h s o l u t i o n s f o r d e g e n e r a t eG o u r s e t pr o b l e mo f a c l a s s o fh y p e r b o l i cc o n v e r s a t i o nl a ws y s t e m s .F i r s t l y ,w e i n t r o d u c e dc h a r a c t e r i s t i ca n g l e s α,β,a n d e s t ab l i s h e dc h a r a c t e r i s t i cde c o m p o s i t i o n sf o r α,βan d p r e s s u r e P .S e c o n d l y ,t h e c h a r a c t e r i s t i c d e c o m p o s i t i o n s o f α,βw e r e u s e d t o o b t a i n t h e i n v a r i a n t r e g i o n ,a n d t h e n t h em a x i m u mn o r me s t i m a t e o f t h ec h a r a c t e r i s t i ca n g l e s w e r e o b t a i n e d .F i n a l l y,t h e g r a d i e n te s t i m a t e so ft h es o l u t i o n w e r e e s t a b l i s h e db y t h e c h a r a c t e r i s t i c d e c o m p o s i t i o n o f p r e s s u r e P a n d c o n t i n u i t y m e t h o d ,w h i c h p r o v e d t h e e x i s t e n c e o f t h e s o l u t i o n s t o t h e d e ge n e r a t eG o u r s e t p r o b l e m.K e yw o r d s :h y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s y s t e m ;c h a r a c t e r i s t i cd e c o m p o s i t i o n ;d e g e n e r a t e G o u r s a t p r o b l e m ;pl a n a r r a r e f a c t i o nw a v e 收稿日期:2023-06-27.第一作者简介:赵佳敏(1998 ),女,汉族,硕士研究生,从事偏微分方程的研究,E -m a i l :1362531542@q q .c o m.通信作者简介:肖 伟(1983 ),男,汉族,博士,副教授,从事偏微分方程的研究,E -m a i l :x i a o w e i 1802002@c h d .e d u .c n .基金项目:陕西省自然科学基础研究计划项目(批准号:2018J Q 1084)㊁陕西省重点研发计划项目(批准号:2019G Y 202)和长安大学中央高校基本科研业务费专项基金(批准号:300102121101).1 引言与预备知识非线性双曲守恒律方程组来源于物理和力学等中的许多自然现象.其中二维R i e m a n n 问题的研究在理论和实际中均具有重要意义.对于E u l e r 方程的二维R i e m a n n 问题,文献[1]基于广义特征分析法和数值实验提出了一系列猜想.但跨音速结构的存在以及小尺度结构[2-3]使得该类问题的解更复杂.文献[4-5]根据对称性避免了这些结构,得到了一些有意义的结果.对于G o u r s a t 问题,B a r t h w a l 等[6]为得到对应二维R i e m a n n 问题直到真空边界的全局解的存在性,考虑E u l e r 方程组G o u r s a t 型边值问题,并在文献[7]中通过特征分解和自举法的思想得到了简单波和平面稀疏波相互作用相应的二维R i e m a n n 问题在真空边界处解的整体存在性;D a i 等[8]考虑气体动力学压差方程的G o u r s a t 问题,证明了退化真空G o u r s a t 问题整体光滑解的存在性;H u 等[9]利用文献[8]的方法将非线性波动方程局部解延拓为整体解.S o n g 等[10]为得到f (P )=P 条件下退化到声速线上解的存在性,在二维压力梯度系统的研究中构造了一种新型波,这种新型波称为解的半双曲片.半双曲片作为上述结构中的一种,经常出现在E u l e r 方程及相关模型的二维R i e m a n n 问题中.L i 等[11]通过引入特征角研究了二维可压缩E u l e r 方程半双曲片结构;H u 等[12]对等温E u l e r 系统的半双曲片解进行了研究.该类型解在翼型的跨音速流和G u d e r l e y 反射中应用广泛.F e n g 等[13]证明了一类压强定律的二维可压缩Eu l e r 方程半双曲片解的存在性;C h e n 等[14]研究了二维可压缩E u l e r 系统中非理想气体在相应大小尖角处的膨胀问题,用推广局部解并结合估计和双曲性得到了非理想气体与真空交界处全局解的存在性.本文与文献[10]不同,主要利用特征角建立C 1估计得到整体光滑解.考虑下列双曲守恒律方程组的退化G o u r s a t 问题:u t +P x =0,v t +P y =0,P t +f (P )(u x +v y )=0ìîíïïïï,(1)其中P 为压力,(u ,v )为速度,f (P )ɪC 2满足f >0, f ᶄ>0, 12f ᶄ2+f f ᵡ>0.(2) 令v 4=0,c 1,c 4,v 1为3个实数且c 1>c 4>0,定义ηi 췍f (P i ),i =1,4.考虑平面稀疏波R 14(η):η=f (P ),η4ɤηɤη1,v =ʏP P 41f (s )d s ,0<P 4ɤP ɤP 1,u =u 1=u 4=0ìîíïïïïïï.(3)图1 退化双曲区域F i g .1 D e g e n e r a t e h y p e r b o l i c r e gi o n s 考虑在稀疏波R 14(η)中的正特征线︵A B ,其中点A 为声速点.令︵B C 为严格凸的负特征线,且点C 为声速点.在区域退化双曲区域A B C 内求解,其中︵A C 为声速线,如图1所示.令(ξ,η)=x t ,y æèçöø÷t ,则式(1)为-ξu ξ-ηu η+P ξ=0,-ξv ξ-ηv η+P η=0,-ξP ξ-ηP η+f (P )(u ξ+v η)=0ìîíïïïï,(4)其特征值为Λʃ=ξηʃf (P )(ξ2+η2-f (P ))ξ2-f (P )=d ηd æèçöø÷ξ.(5)将式(4)化简,得(f (P )-ξ2)P ξξ+(f (P )-η2)P ηη-2ξηP ξη-2(ξP ξ+ηP η)+f ᶄ(P )f (P)(ξP ξ+ηP η)2=0.(6) 引入特征角:t a n (α)=Λ+,t a n (β)=Λ-;马赫角:ω=α-β2;流角:τ=α+β2.方向导数定义为∂ʃ=∂ξ+Λʃ∂η.从而891 吉林大学学报(理学版) 第62卷ξ=f c o s (τ)s i n (ω),η=f s i n (τ)s i n (ω)ìîíïïïï.(7)2 P 的特征分解根据文献[15],首先限制αɪπ2,éëêêùûúúπ,βɪ-π2,éëêêùûúú0.设∂+=c o s (α)∂ξ+s i n (α)∂η, ∂-=c o s (β)∂ξ+s i n (β)∂η.(8)用∂ʃP 表示特征角α,β的一阶方向导数.性质1 一阶偏导关系为∂+α=f ᶄ2f t a n (ω)∂+P,∂-α=-2s i n 2(ω)f+f ᶄ2f ta n (ω)∂-P ,∂+β=2s i n 2(ω)f-f ᶄ2f t a n (ω)∂+P ,∂-β=-f ᶄ2ft a n (ω)∂-P ,∂ʃτ=ʃs i n 2(ω)f ,∂ʃω=-s i n 2(ω)f+f ᶄ2f t a n (ω)∂ʃP ìîíïïïïïïïïïïïïïïïï.(9) 证明:由式(7),(8)得∂+ξ=c o s (α)=f ᶄ2f∂+P c o s (τ)s i n (ω)-f [s i n (τ)s i n (ω)+c o s (τ)c o s (ω)]∂+α+[s i n (τ)s i n (ω)-c o s (τ)c o s (ω)]∂+β2s i n 2(ω),(10)∂+η=s i n (α)=f ᶄ2f∂+P s i n (τ)s i n (ω)+f [c o s (τ)s i n (ω)-s i n (τ)c o s (ω)]∂+α+[c o s (τ)s i n (ω)+s i n (τ)c o s (ω)]∂+β2s i n 2(ω).(11)结合式(10)及式(11)得∂+α=2s i n 2(ω)f -∂+β,(12)同理∂-β=-2s i n 2(ω)f -∂-α.(13)将式(12)代入式(10)得∂+β=2s i n 2(ω)f -fᶄ2f ta n (ω)∂+P ,(14)同理∂-α=-2s i n 2(ω)f +fᶄ2f t a n (ω)∂-P .(15)由式(12),(14)得∂+α=f ᶄ2ft a n (ω)∂+P,(16)991 第2期 赵佳敏,等:一类双曲守恒律方程组退化G o u r s a t 问题整体光滑解的存在性同理∂-β=-f ᶄ2fta n (ω)∂-P .(17)根据τ,ω与特征角α,β的关系得∂ʃτ=ʃs i n 2(ω)f,(18)∂ʃω=-s i n 2(ω)f+f ᶄ2f t a n (ω)∂ʃP .(19) 定理1(∂ʃ的交换子关系) 对任意的C 2-光滑函数I (ξ,η),有∂+∂-I -∂-∂+I =1s i n (2ω)[(∂+β-c o s (2ω)∂-α)∂+I -(c o s (2ω)∂+β-∂-α)∂-I ].(20) 定理1证明略.定理2 压力P 的特征分解为∂-∂+P =∂+P -s i n (2ω)f+f ᶄf 14c o s 2(ω)∂+P +f ᶄ2f +f ᶄf 14c o s 2(ωæèçöø÷)∂-éëêêùûúúP ,∂+∂-P =∂-P -s i n (2ω)f+f ᶄf 14c o s 2(ω)∂-P +f ᶄ2f +f ᶄf 14c o s 2(ωæèçöø÷)∂+éëêêùûúúP ìîíïïïï.(21) 证明:∂-∂+P =∂-[c o s (α)P ξ+si n (α)P η]=[-s i n (α)P ξ+c o s (α)P η]∂-α+c o s (α)∂-P ξ+s i n (α)∂-P η.(22) 令Ⅰ=[-s i n (α)P ξ+c o s (α)P η]∂-α, Ⅱ=c o s (α)∂-P ξ+si n (α)∂-P η.在Ⅰ中,将P 代入式(8),可得P ξ=-si n (β)∂+P -s i n (α)∂-P s i n (2ω),P η=-c o s (β)∂+P -c o s (α)∂-P s i n (2ω)ìîíïïïï.(23)由式(15)及式(23),有Ⅰ=-2t a n (ω)c o s 2(ω)f ∂+P +t a n (ω)f ∂+P +t a n (ω)f∂-P +f ᶄ2f ∂+P ∂-P -f ᶄ4f 1c o s 2(ω)∂+P ∂-P -f ᶄ4f 1co s 2(ω)(∂-P )2.(24)在Ⅱ中,有Ⅱ=c o s (α)c o s (β)f -ξ2(f -ξ2)P ξξ+t a n (α)+t a n (β)(f -ξ2)P ξη+t a n (α)t a n (β)(f -ξ2)P éëêêùûúúηη.(25)根据特征角的定义,可得t a n (α)+t a n (β)=2ξηξ2-f , t a n (α)t a n (β)=η2-f ξ2-f.(26)将式(26)代入式(25),并结合式(6)有Ⅱ=c o s (α)c o s (β)f -ξ22(ξP ξ+ηP η)-f ᶄf (ξP ξ+ηP η)éëêêùûúú2,(27)根据式(7)及式(23)可得ξP ξ+ηP η=f 1s i n (ω)∂+P +∂-P 2c o s (ω),(28)(ξP ξ+ηP η)2=f 4s i n 2(ω)c o s 2(ω)(∂+P +∂-P )2.(29)根据式(24)可得002 吉林大学学报(理学版) 第62卷c o s (α)c o s (β)f -ξ2=-s i n 2(ω)f .(30)再结合式(28)~(30),有Ⅱ=-t a n (ω)f(∂+P +∂-P )+f ᶄf 14c o s 2(ω)(∂+P +∂-P )2.(31)于是∂-∂+P =∂+P -s i n (2ω)f+f ᶄf 14c o s 2(ω)∂+P +f ᶄ2f +f ᶄf 14c o s 2(ωæèçöø÷)∂-éëêêùûúúP ,(32)同理∂+∂-P =∂-P -s i n (2ω)f+f ᶄf 14c o s 2(ω)∂-P +f ᶄ2f +f ᶄf 14c o s 2(ωæèçöø÷)∂+éëêêùûúúP .(33) 推论1 压力P 的二阶偏导齐次形式为∂+-∂-P s i n 2(ωæèçöø÷)=-f ᶄ4f t a n 2(ω)-∂-P s i n 2(ωæèçöø÷)2-f ᶄ2f -∂-P s i n 2(ωæèçöø÷)∂+P + f ᶄ4fc o s 2(ω)(∂+P )-∂-P s i n 2(ωæèçöø÷),-∂-∂+P s i n 2(ωæèçöø÷)=-f ᶄ4f t a n 2(ω)∂+P s i n 2(ωæèçöø÷)2-f ᶄ2f ∂+P s i n 2(ωæèçöø÷)(-∂-P )+ f ᶄ4fc o s 2(ω)(-∂-P )∂+P s i n 2(ωæèçöø÷)ìîíïïïïïïïïïï.(34)3 边界值估计和局部存在性首先给出︵A B ,︵B C 的边界条件.假设点B 的位置靠近点A ,圆弧︵A B 不超过圆的14.对于凸负特征图2 局部区域F i g.2 L o c a l a r e a s 线︵B C 在点C 处的倾斜角βC ,设-π2<βC <0.局部区域如图2所示,给出方向导数∂+和-∂-在区域A B C 内的指向.边界值条件:已知α,β在边界︵A B ,︵B C 上的值β︵AB =0,π2ɤα︵B C ɤπ+βC ,βC ɪ-π2,æèçöø÷0.(35) 引理1(边界值估计) α,β在边界︵A B ,︵B C 上,下式成立:π2ɤα︵A B ɤπ, βCɤβ︵B C ɤ0, π4ɤω︵A B ,︵B C ɤπ2.(36) 引理2(局部解的存在性) 对于边值问题(1)-(2)-(35),存在δ>0,使得在区域D δ上存在唯一C 1解,且δ只依赖于在边界︵A B ,︵B C 上α,β,P 的C 1范数.引理1和引理2的证明参见文献[16].引理3(不变三角形区域) 对任意局部C2解,有αȡπ2, βɤ0, π2ɤα-βɤπ, ʃ∂ʃα>0, ʃ∂ʃβ<0.(37) 证明:由局部解的存在性可知,存在ω0ɪπ4,πæèçöø÷2,使得在D ω0内存在解.当εңπ4时,在D ε内有102 第2期 赵佳敏,等:一类双曲守恒律方程组退化G o u r s a t 问题整体光滑解的存在性∂+α>0,∂-β>0.根据式(14)及式(17)有∂+P ︵A B >0, -∂-P ︵B C >0.(38)结合式(34)知,在D ω0内有∂+P >0,-∂-P >0.利用式(15)~(17),在D ω0内有∂+α>0,-∂-α>0,-∂-β<0.由式(9)及式(32),有-∂-∂+β-M 2∂+β=2t a n (ω)f2c o s 2(ω)1-f f ᵡf ᶄæèçöø÷2-éëêêùûúú32∂-β,(39)其中M 2=t a n (ω)2s i n 2(ω)∂+β-1t a n (ω)-3s i n (2ω)-2f f ᵡf ᶄ2t a n (ωæèçöø÷)∂-β+t a n (ω)c o s (2ω)f.由式(2)及式(39),有∂+β︵AB =0,(40)从而得∂+β<0.因此∂+ω=2∂+(α-β)>0.于是,在D ω0内有ʃ∂ʃα>0,ʃ∂ʃβ<0,进而得到不变区域αȡπ2, βɤ0, π2ɤα-βɤπ.(41)4 梯度估计引理4(∂ʃP 的一致有界) 对于在退化双曲区域A B C 内的光滑解,∂ʃP 在A B C 内的最大值是一致有界的:∂+P >0, -∂-P >0,m a x A B C{∂+P ,-∂-P }ɤ2m a x ︵A B ,︵B C{∂+P ,-∂-P }.(42) 证明:在引理3证明中有∂+P >0,-∂-P >0.根据式(34)可证式(42)成立,即证m a x A B C ∂+P s i n 2(ω),-∂-P s i n 2(ω{})ɤ2m a x ︵A B ,︵B C∂+P s i n 2(ω),-∂-Ps i n 2(ω{})췍M .因此,只需证明对于∀μ>0,m a x A B C ∂+P s i n 2(ω),-∂-P s i n 2(ω{})<M +μ.显然,当εңωB 时结论成立,即在点B 附近区域D ε满足结论.假设结论不成立,则必存在第一个点P 1在ω=ω1上,有∂+P s i n 2(ω)=M +μ或-∂-P s i n 2(ω)=M +μ,且在D ω1内有∂+P s i n 2(ω)<M +μ, -∂-P s i n 2(ω)<M +μ.不妨设在ω=ω1处,∂+P s i n 2(ω)=M +μ,-∂-P s i n 2(ω)<M +μ.过点P 1作负特征线,由于-∂-∂+P s i n 2(ωæèçöø÷)P 1=f ᶄ4f 1c o s 2(ω)(-∂-P -∂+P )∂+P s i n 2(ω)-f ᶄ2f ∂+P s i n 2(ω)(-∂-P )<0,(43)因此由连续性可知,存在P 1的邻域ɣ(P 1),使得-∂-∂+P s i n 2æèçöø÷ωɣ(P 1)<0.则在邻域ɣ(P 1)内存在点P ᶄ1ɪD ω1ɘɣ(P 1),使得∂+P s i n 2(ω)P 1<∂+P s i n 2(ω)P ᶄ1,与假设矛盾.由μ的任意性知结论成立.引理5(α,β的一阶梯度估计)假设在D ε内有C 1连续解ε<πæèçöø÷2,则存在与ε无关的常数C ,使得(α,β) C 1(D ε)ɤC t a n 2(ε).(44)202 吉林大学学报(理学版) 第62卷证明:根据∂ʃP 的一致有界,有∂+α=f ᶄ2ft a n (ω)∂+P ɤC t a n (ε),(45)同理∂-α,∂ʃβɤCt a n (ε).(46)由式(8)有∂ξ=-s i n (β)∂++s i n (α)∂-s i n (α-β)成立,则∂ξαɤ-s i n (β)∂+α+s i n (α)∂-αs i n (α-β)ɤC t a n 2(ε),(47)同理可得∂ηα,∂ξβ,∂ηβɤCt a n 2(ε).5 全局解引理6(C 2估计) 假设在D ε内存在C 2解ε<πæèçöø÷2,则存在与ε无关的常数C ,使得 (α,β) C 2(D ε)ɤC t a n 5(ε).(48) 证明:由式(15),(16)有∂-∂+α=A 1∂-∂+P +低阶项, ∂+∂-α=B 1∂+∂-P +低阶项,(49)因此∂-∂+α,∂+∂-α有界.结合式(20),对于∂+∂+α有∂-(∂+∂+α)+D 1∂+∂+α=低阶项.(50)因此∂+∂+α有界,同理可得∂-∂-α有界.综上,得到了∂+∂+α,∂+∂-α,∂-∂+α,∂-∂-α的有界性,同理可证明∂+∂+β,∂+∂-β,∂-∂+β,∂-∂-β的有界性.由式(19),得∂ʃωɤC t a n (ε),(51)由式(15),(16),得∂-∂+αɤC t a n 3(ε), ∂+∂-αɤC t a n 3(ε),(52)同理∂+∂+αɤC t a n 3(ε), ∂-∂-αɤC t a n 3(ε).(53)则∂ξξα=-s i n (β)∂+α+s i n (α)∂-αs i n (α-βæèçöø÷)ξ=-s i n (β)∂+-s i n (β)∂+α+s i n (α)∂-αs i n (α-βæèçöø÷)+s i n (α)∂--s i n (β)∂+α+s i n (α)∂-αs i n (α-βæèçöø÷)s i n (α-β)ɤC t a n 5(ε),(54)同理∂ξηα,∂ηηα,∂ηξαɤC t a n 5(ε).(55)再同理β成立.由局部存在性定理及先验估计,并结合式(6),(7)和式(1)可得:定理3 退化G o u r s a t 问题(1)-(2)-(35)在区域A B C 内存在整体光滑解.参考文献[1] Z HA N G T ,Z H E N GYX.C o n j 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非齐次双曲型守恒律组的整体解的研究
非齐次双曲型守恒律组的整体解的研究丁美玲【摘要】主要是在文献[1]的齐次方程的基础上对非齐次的双曲型守恒律的整体解进行研究,主要对两个问题进行了研究,第一个是如何除了非齐次项,主要是利用广义的Glimm把非齐次的转化为齐次的.第二个是证明解的存在性.主要利用激波的一些性质.【期刊名称】《西安文理学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(018)001【总页数】4页(P19-21,50)【关键词】双曲守恒律;整体解;广义Glimm;激波【作者】丁美玲【作者单位】南京航空航天大学理学院数学系,南京210016【正文语种】中文【中图分类】O715.27其中发散.始值u0(x)，v0(x)适合:(i)对任意的x1＜x2，x1 x2＞0有其中(ui，vi)=(u0(xi)，v0(xi))i=1，2.(ii)在x=0时其中(u±，v±)=(u0(0±0)，v0(0±0)).定义1在上半平面(t≥0，－∞ ＜x＜+∞)上定义的有界可测函数u(x，t)，v(x，t)为齐次方程的广义解，如果对任意的φi(x，t)∈(t≥0，i=1，2)有对任意非负的函数ψ(x，t)∈(t＞0)有对于齐次方程的整体解研究可见参考文献［1］，本文我们主要利用广义的Glimm 格式在齐次方程的基础上把非齐次项加进去.(1)对于齐次方程，其激波和特征线为:它们分别是能够同(u0，v0)用后向前向中心稀疏波或激波连接的所有右状态(u，v)的集合这四条向曲线把(u，v)平面分成四个角区域，分别记为Ⅰ(p0)，Ⅱ(p0)，Ⅲ(p0)，Ⅳ(p0)，(p0=(u0，v0)).其具有如下的性质(具体可见参考文献［1］)性质1若(u1，v1)∈S1(u0，v0)，则S1(u1，v1)∈Ⅲ(p0)，(u≤u1)若(u1，v1)∈S2(u0，v0)，则S2(u1，v1)∈Ⅱ(p0)，(u≤u1)性质2沿激波极线(逆激波极线)，r1和r2均严格单减(单增)且对其上任意两点A，B有，沿后向(前向)特征轨线，r1严格单增，r2不变(r2严格单增，r1不变).其中为齐次方程的黎曼不变量).性质3从后向(前向)特征轨线或激波极线上任两点引出的前向(后向)激波极线不相交.性质4从前向(后向)特征轨线上任两点引出的前向(后向)激波极线不相交.性质5从前向(后向)激波极线上任一点引出后向(前向)激波极线两者仅有这一交点.(2)用广义的Glimm格式在齐次方程的基础上把非齐次项加进去，具体方法如下:给变量x，t以步长r，s，使其满足G－F－L条件即:.把x，t的上半平面分为:xk=kr，tn=ns，k=0，±1，±2，…;n=0，1，2，….令初值，(m为偶数)，m l＜x＜(m+2)l在0≤t＜h中解黎曼问题其解记为(x，t)，0≤t＜h.令则Us(x，t)=(vs(x，t)，us(x，t))T即为近似解.当h≤t＜2h，令Us(x，t)=Us((m+1+θ)，s－0)，m l＜x＜(m+2)l，m为奇数，则t=h上是分片常数，记作U1m+1(m为奇数)，再解黎曼问题其解为(x，t).令，则Us(x，t)=(vs(x，t)，us(x，t))T即为近似解.设t＜kh已定义，先定义t=kh，解黎曼问题，令Uks(x，t)=Uks((m+1+θ)，s－0)，m l＜x＜(m+2)l，则t=kh是分片常数，记为(m为奇数)，再解黎曼问题其解为(x，t).令则 Us(x，t)=(vs(x，t)，us(x，t))T即为非齐次方程的近似解.引理1若ur(x，t－)，vr(x，t－)是齐次方程的参考解，则参考解ur(x，t)，vr(x，t)在带域Tn+1内至多有一个前向激波，其他均为前向稀疏波和后向激波.证明若齐次方程在Tn+1层以ur(x，t－)，vr(x，t－)为参考解，由参考文献［1］可知引理正确，现把ur(x，t－)变为原来的(1－αs)倍，相当于将其向左平移，vr(x，t－)不变，由性质1－5可知，引理正确.推论1［见1］r1(ur(x，t)，vr(x，t))对任何t是x的不增函数.引理2［见1］与引理1相同假设下如参考解ur(x，t)，vr(x，t)在任何带域Tk(Tk:{ks＜t≤N s，N＞k≥0}，N为正整数或+∞)都含有一个前向激波，其位置x=xr(t)，(0＜t≤Ns)，则(i)ur(xr(t)－0，t)和vr(xr(t)+0，t)是t的不增函数.(ii)vr(xr(t)+0，t)－vr(xr(t)－0，t)是t的不增函数，(0＜t≤Ns).推论2［见1］在t＞0内vaxr vr(x，t)是t的不增函数.引理3［见1］参考解ur(x，t)，vr(x，t)在t等于常数t＞0时，对x的总变差一致有界.定理1 始值问题(1)，(2)式在始值适合条件(3)～(5)的式时，在上半平面(t≥0，－∞ ＜x＜+∞)存在着广义解(u(x，t)，v(x，t))它同ur(x，t)，vr(x，t)一样，满足u(x，t)，v(x，t)的变差有界，且在t＞0内(x，t)是t的不增函数，r1(u(x，t)，v(x，t))对任何固定的t是x的不增函数.证明由引理可知x，t)x，t)序列本身有界，且其全变差有界，由Helly定理可知，可从参考解序列中选出一子列(urij(x，t)，vrij(x，t))几乎处处收敛到一个有界可测函数(u(x，t)，v(x，t))，并且满足(6)，(7)式的意义下满足方程和熵条件.且它们的全变差都有界，在t＞0时，由推论2可得v(x，t)的全变差也是t的不增函数，由推论1知r1(u(x，t)，v(x，t))对任何t是x的不增函数.【相关文献】［1］丁夏哇，张同，王靖华，等.拟线性守恒律方程组的整体解［J］.中国科学，1973(3):239－254.［2］张同，郭于法.一类拟线性方程的整体解［J］.数学学报，1965，15:386－396.［3］LAX PD.Hyperbolic systems of conservation lawsⅡ［J］.Comm.Pure.Appl.Math.，1957，10:537－566.［4］ SMOLLER JA，JOHNSON JL.Global solutions for an extended class of hyperbolic systems of conservation laws［J］.Archive for Rational Mechanics and Analysis，1969，32(3):169－189.［5］ rge time behavior of solutions of balance law with periodic initial data［J］.Nonlinear Differential Equations Appl.，1995，2:111－113.。
双曲型守恒律方程离散格式的若干特性述评
jk jk jjj+ j+ j j
( 4)
其中 U ik ( x , y ) 表示在 ( a ) 中 , 即重构步中 , 从控制 σi 内部得到的 U 在点 ( xkj , ykj ) 的近似 , U jk ( xkj + , 体 9 σi 有相同边界 9 σij的相邻控 yk ) 而表示与从控制体 9 σi 内部得到的 U 在同一点 ( xkj + , ykj + ) 的近似 。 制体 9 单调通量或者 R iemann 解算器对于格式最终的性能影 响是非常重要的 ,也是本文研究的重点 。 3 ) 时间离散 (时间积分 ) 。 4 ) 形成代数方程组求解 。 5 ) 进行相应 的后处理 。 对于 CFD 中的网格生成 , 高精度 FDM 格式和双 曲型守恒律方程的高分辨率 FVM 格式 ,间断解问题的 FVM 方法 ,加权本质无振荡格式 , 计算格式的应用等 , 水鸿寿 、 应隆安 、 滕振寰 、 李荫藩 、 宋松和 、 周铁 、 徐振 礼、 刘儒勋 、 邱建贤 、 谭维炎 、 吴子牛 、 王斌 、 杨志峰 、 王
e ( U ) t + F ( U ) x ≤0
2
的 ,证明了连续的椭圆型 、 双曲型 、 抛物型方程组解的 存在唯一性 。对于双曲型方程 , 给出了目前仍在广泛 应用的稳定性判别的 CFL 条件 。对于椭圆型方程 , 证 明解的性质时候广泛采用的是和 H ilbert的第 19, 20, 23 问题有关系的如下的由德国数学家 R iem ann 提出 的 D irichlet原理 (对应于力学中的最小位能原理 ) 。 2 D irichlet问题 : 求 u ( x, y ) ∈C (Ω) ∩C (Ω) , 满足 2 Ω, u =φ on 9 Ω, 其中 ,φ∈C ( 9 Ω) ( 5 ) u = 0 in 1 R iem ann提出的 D irichlet原理 : 当 u0 ∈A ≡{ u ∈C (Ω)
一类双曲型守恒律方程组的初边值问题的开题报告
一类双曲型守恒律方程组的初边值问题的开题报告一、选题的背景和意义守恒律方程组是自然界中许多物理过程的数学描述，被广泛应用于流体力学、气动力学、电磁学等领域，具有重要的理论和实际意义。
而双曲型守恒律方程组则是一类较为特殊的守恒律方程组，具有许多独特的数学特征和物理意义，如波动性、不可压缩性、粘性等。
因此，研究双曲型守恒律方程组的数学理论和数值方法是现代数学和数值计算的一个重要研究方向。
双曲型守恒律方程组的初边值问题是该领域中的一个核心问题。
在实际应用中，我们需要利用数值方法求解该问题，以获得方程组的数值解，从而更好地理解和预测物理过程中出现的现象，如激波、涡旋和反射等。
因此，研究和发展有效的数值方法对于解决实际问题具有重要的意义。
二、研究的内容和目的本课题旨在研究一类双曲型守恒律方程组的初边值问题，并探讨其数学理论和数值方法。
具体内容包括：1. 分析双曲型守恒律方程组的数学特征，如双曲性、不可压缩性和粘性等。
对该方程组的解的存在性、唯一性和稳定性进行分析。
2. 研究双曲型守恒律方程组的数值方法，如有限差分法、有限元法和高阶方法等。
对这些方法的数学原理和稳定性进行分析和比较。
3. 构造和实现符合实际情况的数值算法，对比不同算法的计算精度和收敛性能。
验证数值方法的可靠性和有效性。
三、研究的关键问题和难点1. 双曲型守恒律方程组的数学特征分析：该方程组的本质特征是双曲型，但在不同情况下也可能具有部分抛物型或椭圆型特征。
因此，需要深入分析该方程组的特征，并确定适合的求解方法。
2. 数值方法的稳定性分析：对于该方程组，采用高阶的数值方法能够提高算法的精度和收敛速度，但也会带来更大的数值稳定性问题。
因此，需要对算法的数值稳定性进行深入研究。
3. 符合实际的数值算法构造与实现：针对实际问题，需要构造和实现符合实际情况的数值算法，并通过大量的数值实验验证算法的有效性和可靠性。
但如何同时保证算法的精度和速度是一个难点。