高一数学 初高中衔接教材 数与式课件

㈡分组分解法 对于四项或四项以上的多项式，如果既没
有公式可用，也没有公因式可以提取,则可以 先将多项式分组处理,这种利用分组来因式分 解的方法叫做分组分解法．
★分组分解的关键是适当分组
用分组分解法，一定要想想分组后能否 继续完成因式分解，由此合理选择分组的 方法．
㈢十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把某些二次 三项式ax2+bx+c分解因式的方法叫做十字 相乘法.
讲座内容 一、乘法公式 二、因式分解 三、多项式的基本理论
一、乘法公式 1.平方差公式： (a+b) (a-b)=a2-b2 2.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 3.立方和公式： a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 4.立方差公式： a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 5.三数和平方公式：
二、解答题 例1.分解因式
(x 2 2 x 1 )2 3 (x 2 2 x ) 7
【思解析路】( 我x 2 们 可2 以x 把 (1 x) 22 +2 x3 )看(x 成2一 个2 x 整)体 ，7 展开
后 两个可以二 利次x 用三2 十项2 字式x 相积2 乘的2 法形x 进式2 行， 2 分并x 解且 ，可1 而以 3 分继x 解续2 以分 后解2 x ，. 是7
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的 提公因式法和公式法外，还有十字相乘法、分组分 解法、求根公式法等等．
㈠提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式， 可以把这个公因式提到括号பைடு நூலகம்面，将多项 式写成因式乘积的形式，这种因式分解的 方法叫做提公因式法.
★ 公因式的确定方法:
①取各项系数的最大公约数; ②字母取各项的相同字母; ③各字母的指数取次数最低的.
式子前添一项（2-1），然后 依次用平方差公式运算.
二、解答题
例1.已知 x 1 求 3,
x
x的4 值x.14
【思路】观察已知式与所求式的次数关系,很容易想
到把已知式子两边同时平方.
【解析】 x 1 3, 两边同时平方得:
x
x2 2x1 1 9, 所以 x x2
x2
1 x2
7,
再两边同时平方得:
一个二次三项式ax2+bx+c如果能够因式 分解，一般有两种方法供选择：
（1）十字相乘法（2）求根公式法
十字相乘法只能将部分二次三项式因式分 解，而求根公式法具有一般性.所以
遇见二次三项式因式分解: 首先考虑能否提取公因式; 其次考虑能否选用十字相乘法; 最后考虑求根公式法．
因因式式分分解解应应用用举举例例
注意：系数a不能丢掉.
★一个二次三项式ax2+bx+c能不能分解成两 个一次因式的乘积，取决于方程ax2+bx+c=0 是否存在实数根.
于是： ①△>0时，ax2+bx+c 可分解成两个不同的 一次因式的乘积； ②△=0时，ax2+bx+c 是关于x的完全平方 式，即分解为两个相同的一次因式乘积; ③△<0时，ax2+bx+c 不能分解为两个一次 因式的乘积.
x4
2x2
1 x2
1 x4
49,所以
x4
1 x4
47
【点评】对于乘法公式 ①各乘法公式的使用条件,不可混淆; ②公式中的a,b可以是数，也可以是数学式子; ③注意公式的正用、逆用、灵活运用.
二、因式分解
因式分解是代数式的一种重要恒等变形，它与 整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程 及各种恒等变形中起着重要的作用,是一项基本技 能．
二、解答题
还有其他方法分组 分解吗?
例2.已知 ak3, b2k,2,c3k1
求 a 2 b 2 c 2 2 a的 b 值2 b . c 2 ac
【思 解析路】a 如2 果 把b 2 a, b,c c2 直 接2 代a 进 去b 2 ,计b 算 量c 2 很a 大,所c以
先对所 求a 的2 式 b 子2 进 行2 a 因式 分 2 解b b ,再 代2 进a c 去 . c 2 c
a b 2 2 c a b c 2
abc2
k 3 2 k 2 3 k 1 2
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【点评】
分解因式有时并不是单一方法的应用， 而是多种方法的综合应用，一般来讲，我们 可以用下面的口诀来记忆：
一、填空题训练 二、解答题剖析
一、填空题 -8y2看成常数项，6y看成一
次项系数
1.分解因式 5x26xy8y2 .5x4yx2y
2.分解因式 4 xy22 yx3 2x . y2xy2
提取公因式2（x-y）2，注意符号
一、填空题
展开后分组分解
3.分解因式 x 2 y x 3 y 2 x y 3 .xyxy3
即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)
(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如 果是负数，则应提出负号，利用恒等变形 把它转化为正数).
㈣求根公式法
要把二次三项式ax2+bx+c在实数范围内 分解因式，可先用求根公式求出相应的一元 二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1和x2，然 后分解成ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),这种因 式分解的方法叫做求根公式法.
x 2 2 x2x 2 2 x 6
x 2 2 x 3 x 2 2 x 2
x 3 x 1 x 2 2 x 2
【点评】
用十字相乘法分解因式也要注意分解彻 底，有时可能会多次使用十字相乘法，并 且对于项数较多的多项式，应合理使用分 组分解法，找公因式，如五项可以三、二 组合.
★正确的十字相乘必须满足以下条件： a1 c1
(1)在式子 a2 c2中，竖向的两个数必须满 足关系a1a2=a，c1c2=c, 斜向的两个数必须满 足关系a1c2+a2c1=b.
（2）由十字相乘图中的四个数写出分解后 的两个一次因式时，图的上一行两个数中， a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数 项;在下一行的两个数中，a2是第二个因式中 的一次项的系数，c2是常数项.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
乘乘法法公公式式应应用用举举例例
一、填空题训练 二、解答题剖析
一、填空题
逆用完全平方公式
1.若 x2y22x 则2y代2 数 式0,
x2010的y值201为1
.0
2.计算: 2 1 2 2 1 2 4 1 2 8 . 1 216-1