一元二次方程整数根问题

一元二次方程整数根问题的十二种思维策略
班级__________ 姓名________________
1•利用判别式
例1.( 2000年黑龙江中考题) 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程
2 2 2
mx 4x 4 0与x 4mx 4m 4m 5 0的根都是整数。

解：丁方程mx 4x 4 0有整数根，
=16-16m>0,得 m K 1
又T方程x 2 4 mx 4 m 2 4 m 5 0有整数根
二V 16 m24(4 m24m 5) 0 得m5
4
5
综上所述，—K n K 1
4
/• x可取的整数值是-1 , 0, 1
当m=-1时，方程为—x 2-4x+4=0没有整数解，舍去。

而 0 /• m=1
例2. (1996年四川竞赛题)已知方程x2mx m 1 0有两个不相等
的正整数根，求m的值。

解：设原方程的两个正整数根为x
1，x
2
，则m=- (x
1
+x
2
)为负整数.
2
-V m 4m 4 一定是完全平方数
设m2 4 m 4 k 2 ( k为正整数)
二(m 2) 2k 28
即: (m 2 k)(m 2 k) 8
■/ m+2+k> m+2-k,且奇偶性相同
m 2 k 4 或m2k 2 m 2 k 2 m 2 k 4 解得m=1> 0 (舍去)或 m=- 5。

2
当m=—5时，原方程为x -5x+6=0，两根分别为x
1 =2，x
2
=3。

2.利用求根公式
例 3. ( 2000 年全国联赛)设关于 x 的二次方程
根都是整数，那么符合条件的整数 a 有 ______________
解:当a=1时,x=1
当a z 1时，原方程左边因式分解，得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得X 1 1,X 2
1 2
1 a
•/ X 是整数
/. 1-a= ± 1, ± 2, /• a=-1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有 5个.
例6.(1994年福州竞赛题)当m 是什么整数时,关于x 的方程
(k 2 6k 8)X 2 (2k 2 6k 4)X k 2
4的两根都是整数，求满足条件
的所有实数k 的值。

解：V (2 k 2 6k
由求根公式得x
zv
4)2
2k 2
4( k 2
4)( k 2
6k 8)
4( k
6) 2
2( k 2
6k 4 2( k 6k~8T 6)
2
X 1
1
厂
4 k~
由于x 工-1，则有k
4
X 2
两式相减，得
2 x 1
1
4
X
2
X i (X 2 3)
由于X 1 X 2是整数，
故可求得X1
2, X 2 X i
2, x 2 2 或
X 1 1, X 2
10
分别代入，易得k=2° , 6,
3
3•利用方程根的定义
3。

例4•当b 为何值时，方程
X 2 bx 2
2x b(b 1) 0有相同
的整数根？并且求出它们的整数根？
解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b) 当b 工2
时,x=1+b,代入第一个方程，得(1 解得 b=1,x=2 当b=2时,两方程无整数根• /• b=1,相同的整数根是2
4利用因式分解
b)2
b(1
b)
例5. (2000年全国竞赛题)已知关于X
的方程 (a
1)x 2 2x a
2
x (m 1)x m 1 0的两根都是整数？
解：设方程的两整数根分别是 x
1 , x
2
，由韦达定理得
X1 X2 m 1L ①X1 X2 m 1L ②由②①消去m，可得X1 X2 X 2 X1 2 (X1 1)( X2 1) 3 1 3 1 ( 3)
则有X1 1 1 或X1 1 1
X2 1 3 X2 1 3
解
得: X1 2 或X1 0
X2 4 X2 2
由此X i X2 8或o,分别代入②，得m 7或m 1
5.利用根与系数的关系
例7.(1998年全国竞赛题)求所有正实数a,使得方
程
2 X ax 4a 0仅有整数根.
解：设方程的两整数根分别是X
1，x
2
，且X1 X2
由根与系数的关系得X1 X2 a 0L ①X1 X2 4a 0L ②
由①得a x a…③
x 2 a
2 将③代入②得4a X X2 X1 a 4a X1X2
a
X
1~2
4 x18
显然x
1工4，故x
1
可取5, 6, 7, 8。

从而易得a=25, 18, 16。

6.构造新方程
例8.(1996年全国联赛)方程(x a)(x 8) 1 0有两个整数根，求a的值.
解：原方程变为(X 8) 2(8 a )( x 8) 1 0
设y=x-8，则得新方程为y2(8 a)y 1 0
设它的两根为y 1 ，y2，贝U y1y2 a 8, y1 y2 1
•- x是整数，二y
1，y
2
也是整数，则y
1
，y
2
只能分别为1，-1或-1，1
即y1+y 2 =o
7.构造等式
--a=8
例9.(2000年全国联赛 C 卷)求所有的正整数
a,b,c 使得关于x 的方程
8. 分析等式
例10.(1993年安徽竞赛题)n 为正整数，方程x 2
C 、3 1)x .一 3n 6 0
有一个整数根，则 n= ___________ .
解：设已知方程的整数根为a,则 a 2 ( ■. 3 1)a 、3n 6 0 整理得 a 2
a 6
. 3( a n)
因为a 为整数，所以a 2 a 6为整数
、3( a n)也一定是整数，要使 、3( a n)为整数，必有a n 由此得a 2 a 6 0，即n 2
n 6 0
解得n=3或-2 (舍去)
二n=3。

9. 反客为主
例11.(第三届《祖冲之杯》竞赛题)求出所有正整数a,使方程
2
ax 2(2a 1)x 4(a 3) 0至少有一个整数根.
解：由原方程知x 工2,不妨将方程整理成关于的一元一次方程 (x 2 4 x 4) a 2x 12
得a
2x 12
1 (因为是正整数)
(x 2)2
则得(x 4)( x 2) 0
解得4x2
因此，x 只能取-4，-3，-1，0, 1，2。

分别代入a 的表达式，故所求的正整数
a 是1，3，6，10。

2 x
3 ax 2 b (x X 1 )( x X 2)
2
x 3bx 2 c (x X 3 )( x X 4 )
2
x
3cx 2a (x
X 5 )( x
X 6 )
令x=1，并将三式相加，注意到
X
i
> 1 (i=1，2,…6 )，有
3 (a b c) (1 X 1)(1 X 2) (1 X 3)(1 X 4) (1 X 5)(1 X 6 ) 0 0 0 0
但：
a > 1， b> 1， c> 1， 又有3- (a+b+c) < 0， 解：设三个方程的正整数解分别为 /• 3- (a+b+c) =0 故 a=b=c=1
2 2
3ax 2b 0,x 3bx 2c 0,x 3cx 2a 0所有的根都是正整数
X i ,X 2,X 3,X 4,x 5,x ，则有
10. 利用配方法
例12.(第三届《祖冲之杯》竞赛题)已知方程(a 2
1)x 2
2(5a 1)x 24 0
6 X 1
, X 2
a 1
当 a-1=-1 ， -2 ， -3 ， -6，即 a=0， -1 ， -2 ， -5 时，x 为负整数。

1
但 a=0 时，x 2 > 0; a=-5 时,x 〔 = ? =-1 ^又 a 工-1 - - a=-2。

11利用奇偶分析
例13.(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程x 2
1999x a 0有两个质 数根,则常数a= _____________ .
解：设方程的两个质数根为 x 1 , x 2( x 1 V x 2)
由根与系数的关系得 x 1 +x 2 =1999.
显然 x 1 =2,x 2=1997,于是 a=2X 1997=3994.
12.利用反证法
例14.不解方程，证明方程x 2
1997 x 1997
0无整数根
证明：假设方程有两个整数根aB ,则a +B =1997, a^ =1997,由第二式知a^均为奇 数，于是a +B 为偶数，但这与第一式相矛盾，所以a , B 不可能都是整数.
假设方程只有一个整数根，则a +B 不可能是整数，也与第一式相矛盾，所以方程不可 能只有一个整数根.
综上所述,原方程无整数根.
有两个不等的负整数根，则整数a 的值是 解：
原方程可变为 2 2
a x
即a 2 (ax
ax
10 ax
2
x 10 ax
5)2 (x
5 (x 2
x
25
1)2
1) 2x 24 0
x 2 2x 1
得:。