递推关系与生成函数
组合数学例题和知识点总结
组合数学例题和知识点总结组合数学是一门研究离散对象的组合结构及其性质的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些例题来深入理解组合数学中的重要知识点。
一、排列组合排列是指从给定的元素集合中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列。
组合则是指从给定的元素集合中取出若干个元素组成一组，不考虑其顺序。
例题 1：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行排列，有多少种不同的排列方式？解：根据排列的公式，＼（A_{5}＾3 ＝ 5×4×3 ＝ 60\）（种）例题 2：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行组合，有多少种不同的组合方式？解：根据组合的公式，＼（C_{5}＾3 ＝＼frac{5×4×3}｛3×2×1} ＝10\）（种）知识点总结：1、排列数公式：＼（A_{n}＾m ＝ n×（n 1)×（n 2)××（n m ＋ 1)＼）2、组合数公式：＼（C_{n}＾m ＝＼frac{n!｝｛m!（n m)！｝＼）二、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集的元素个数。
例题 3：在一个班级中，有 20 人喜欢数学，15 人喜欢语文，10 人既喜欢数学又喜欢语文，求喜欢数学或语文的人数。
解：设喜欢数学的集合为 A，喜欢语文的集合为 B，则喜欢数学或语文的人数为＼（｜A ∪ B| ＝｜A| ＋｜B| ｜A ∩ B| ＝ 20 ＋ 15 10＝ 25\）（人）知识点总结：容斥原理的一般形式：＼（｜＼cup_{i=1}＾｛n} A_i| ＝＼sum_{i=1}＾｛n} ｜A_i| ＼sum_{1\leq i ＜ j\leq n} ｜A_i ∩ A_j| ＋＼sum_{1\leq i ＜ j ＜ k\leq n} ｜A_i ∩ A_j∩ A_k| ＋（－1)＾｛n 1} ｜A_1 ∩ A_2 ∩ ∩ A_n|＼）三、鸽巢原理鸽巢原理也叫抽屉原理，如果有 n ＋ 1 个物体放入 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会放有两个或更多的物体。
求数列通项公式的几种基本方法
求数列通项公式的几种基本方法一、递推法递推法是一种常用的求解数列通项公式的方法。
它是基于数列中的前一项或前几项与后一项或后几项之间的关系来推导数列的通项公式。
通过观察数列中的规律，我们可以写出数列中相邻两项之间的递推关系式，并利用该关系式递推得到数列的通项公式。
举例说明，假设要求解数列的通项公式：1,3,5,7,9,...通过观察数列可以发现，每一项都比前一项大2，可以推测数列的递推关系式为an = an-1 + 2、其中an表示数列中的第n项。
进一步，假设第一项为a1，则有a2 = a1 + 2，a3 = a2 + 2，依此类推。
通过这种方式，可以逐步得到数列中的每一项。
在本例中，由于数列的首项为1，所以数列的通项公式为an = 2n-1二、代数法代数法是另一种常用的求解数列通项公式的方法。
它通过假设数列的通项公式为一些未知数表达式，然后通过已知条件求解未知数的值，从而得到数列的通项公式。
举例说明，假设要求解数列的通项公式：1,4,9,16,25,...通过观察数列可以发现，每一项都是一些整数的平方。
假设数列的通项公式为an = n^2，其中n表示数列中的第n项。
我们可以通过验证前几项来确定这个假设是否成立。
在本例中，当n=1时，a1 = 1^2 = 1，当n=2时，a2 = 2^2 = 4，通过验证可知假设成立，因此数列的通项公式为an = n^2三、解方程法解方程法也是一种常用的求解数列通项公式的方法。
它通过设立数列中的一些项之间的方程，然后求解这个方程，从而得到数列的通项公式。
举例说明，假设要求解数列的通项公式：2,5,10,17,26,...通过观察数列可以发现，每一项都比前一项大3、5、7、9，可以推测数列的递推关系式为an = an-1 + 1 + (2n-1)。
其中an表示数列中的第n项。
进一步，假设第一项为a1，则有a2 = a1 + 1 + 1，a3 = a2 +1 + 3，依此类推。
组合数学知识点总结
组合数学知识点总结组合数学是一门研究离散对象的计数、排列、组合和优化等问题的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学、化学等众多领域都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下组合数学的一些重要知识点。
一、基本计数原理1、加法原理如果完成一件事情有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn种不同的方法。
2、乘法原理如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
这两个原理是组合数学中最基本的原理，许多计数问题都可以通过这两个原理来解决。
二、排列与组合1、排列从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的排列数，记为 A(n, m)，其计算公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素进行排列，排列数为 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 602、组合从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的组合数，记为 C(n, m)，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m! （n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素的组合数为 C(5, 3) ＝ 5!／ 3! （5 3)！＝ 10组合与排列的区别在于，排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
三、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集中元素的个数。
设A1, A2, …， An 是有限集合，其元素个数分别为｜A1|，｜A2|，…，｜An|，则它们的并集的元素个数为：｜A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| ＝∑｜Ai| ∑｜Ai ∩ Aj| ＋∑｜Ai ∩ Aj ∩Ak| … ＋（－1)＾（n 1) ｜A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An|容斥原理在解决包含与排除问题时非常有用。
chap7递推关系生成函数
-------(1) -------(2)
指数生成函数(EGF)
序列h0,h1,h2,…的指数生成函数定义为
g
(e )
( x ) h0 h1
x 1!
h2
x
2
2!
hk
x
k
k!
例. 排列数序列 P(n,0), P(n,1), …, P(n,n)的EGF是 g(e)(x) = ( 1+x )n . 对比组合数序列C(n,0), C(n,1), …, C(n,n)的GF是 g(x) = ( 1+x )n . 注: hk = 指数生成函数的k次项系数k!
除多项式外,经常用到的函数还有:
1 1 x
1 (1 x ) 1
2
1 x x
2
( 1 x )( 1 x ) 1 2 x 3 x
2
n k 1 n (1 x ) x k (1 x ) k 1 n0
第一部分小结
Fibonacci数列 线性常系数齐次递推关系的求解 线性常系数非齐次关系的求解
转移矩阵
对于线性齐次常系数递推关系, 以4阶为例 hn - a1 hn-1 - a2 hn-2 - a3 hn-3 … - a4 hn-4 = 0 我们有如下计算的hn方法,
hn a 1 hn 1 1 h 0 n2 hn 3 0 a2 0 1 0 a3 0 0 1 a 4 hn 1 a 1 0 hn 2 1 h 0 0 n3 0 hn 4 0
5b
4 r 0
x ) (
r
组合数学中的生成函数理论
组合数学中的生成函数理论生成函数是组合数学中的重要工具，它在数论、组合数学、离散数学等领域得到广泛应用。
生成函数可以将一个序列转化为一个多项式，通过运算和变换可以得到序列的各种性质和计算方法。
在组合数学中，生成函数理论被广泛用于解决计数问题、组合恒等式、递推关系等。
本文将介绍生成函数理论的基本概念和应用。
一、生成函数的定义和基本性质生成函数是一种特殊类型的函数，它将序列中的每个元素与变量的幂指数相对应。
设有序列 {a0, a1, a2, ...}，其生成函数定义为：G(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ...生成函数可以是普通生成函数或指数生成函数，取决于序列元素的性质。
普通生成函数适用于有限序列，而指数生成函数适用于无限序列。
生成函数具有以下基本性质：1. 加法性：若序列 {a_n} 和 {b_n} 的生成函数分别为 G(x) 和 F(x)，则它们的和的生成函数为 G(x) + F(x)。
2. 乘法性：若序列 {a_n} 和 {b_n} 的生成函数分别为 G(x) 和 F(x)，则它们的乘积的生成函数为 G(x) * F(x)。
3. 幂次性：若序列 {a_n} 的生成函数为 G(x)，则 a_k 的生成函数为[G(x)]^k。
二、生成函数的应用生成函数理论在组合数学中有广泛的应用，以下是几个典型的应用例子：1. 计数问题：生成函数可以用于计算集合中元素的个数。
例如，设有一堆硬币，其中有若干个1元硬币和2元硬币，求总金额为n元的组合个数。
我们可以设定序列 {c_n} 表示总金额为n元的组合个数，得到其生成函数C(x)。
通过对序列的运算和变换，可以得到C(x) 的表达式，进而计算出总金额为n元的组合个数。
2. 组合恒等式：生成函数可以用于证明组合恒等式。
通过构造适当的生成函数，并利用生成函数的运算性质，可以证明一些看似复杂的组合恒等式。
这为组合数学的证明提供了简洁且直观的方法。
3. 递推关系：生成函数可以用于求解递推关系。
生成函数的作用
生成函数的作用生成函数是一种非常强大的数学工具，尤其在组合数学和离散数学中应用广泛。
生成函数是一种类型的函数，它可以将数字序列转换成一个形式简洁明了、易于处理的代数式，从而方便地解决各种计数问题。
生成函数的作用非常广泛，包括求组合数、求排列组合方案、求解递推关系等等，下面我们将详细说明其作用。
一、组合数和二项式定理组合数是指在给定的一组对象中选取若干个对象（不考虑顺序），计算的是选取方案数目。
生成函数可以用来求解组合数问题，其基本方法是构造一个多项式，并利用多项式乘法规则和二项式定理来计算组合数。
二项式定理是指：$(a+b)^n$的展开式中$a^k$的系数是${n\choose{k}}$。
我们可以借助生成函数定义$(1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}{n\choose{k}}x^k$，然后取$x=1$，即可得到组合数的求和公式。
二、排列组合方案排列组合方案是指在给定的一组对象中选取若干个对象，并考虑顺序的方法数目。
生成函数可以用来求解排列组合方案问题，其基本方法是利用多项式的乘法和求和规则，构造不同类型的多项式。
例如，我们可以用$x^n$表示选取$n$个对象的方案数目，用$x^k$表示选取$k$个对象的方案数目，然后构造多项式$f(x)=(1+x)^n$和$g(x)=(1+x)^k$，然后将它们相乘，就可以得到$x^n$的系数，从而求出选取$n$个对象的方案数目。
三、递推关系递推关系是指包含一些递推式的数学问题，其中每个递推式都表示一个数列中每个项的值与其前面某些项的值有关。
生成函数可以用来解决递推关系问题，其中关键是要将递推式转换为代数式。
具体而言，可以采用常见的递推关系公式，如斐波那契数列、卡特兰数列等，构造多项式，然后根据生成函数和乘法和求和规则，通过求导数和代数运算等方法，求得数列的各项值。
四、整合计数问题在组合数学和离散数学中，往往需要解决一些复杂的计数问题。
这些问题可能涉及到一些组合排列、离散几何、随机化等方面的知识，难以通过简单的手工计算得到答案。
七种常见递推数列通项的方法--全方位无死角!!!
七种常见递推数列通项的方法--全方位无死角递推数列是数学中的一个重要概念，它描述了一个数列中每一项与前面相邻的一或多项之间的关系。
递推数列也常常出现在实际问题中，解决递推数列的关键就是找到数列中的通项公式。
本文将介绍七种常见递推数列通项的方法，帮助读者全面深入地理解和掌握这一概念。
第一种方法：递推关系法递推关系法是最常见的求递推数列通项的方法。
它通过观察数列中每一项与前面相邻的一或多项之间的关系，找到数列的递推关系式。
通过递推关系式，我们可以通过已知的一或多项来计算下一项的值，从而求得数列的通项公式。
例如，斐波那契数列就是一个常见的递推数列。
该数列的递推关系为：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n项的值，F(n-1)和F(n-2)分别表示第n-1项和第n-2项的值。
通过递推关系式，我们可以从已知的F(0)和F(1)计算出后续的项的值，从而得到斐波那契数列的通项公式。
第二种方法：差分法差分法是一种利用数列的差分性质求递推数列通项的方法。
差分法可以通过计算数列中相邻项之间的差值，并找到相邻项差值之间的递推关系，从而求出数列的通项公式。
例如，等差数列就是一种可以使用差分法求解的递推数列。
对于等差数列，其通项公式为：a(n)=a(1)+(n-1)d，其中a(n)表示第n项的值，a(1)表示第一项的值，d表示等差数列的公差。
通过对等差数列进行差分，我们可以发现相邻项之间的差值是一个常数d，从而得到等差数列的通项公式。
第三种方法：代数法代数法是一种利用代数的方法求递推数列通项的方法。
代数法可以通过将数列中的项表示成代数形式，构建代数方程，并通过解方程得到数列的通项公式。
例如，等比数列就是一种可以使用代数法求解的递推数列。
对于等比数列，其通项公式为：a(n)=a(1)*r^(n-1)，其中a(n)表示第n项的值，a(1)表示第一项的值，r表示等比数列的公比。
通过将等比数列的项表示成代数形式，我们可以得到一个代数方程，并通过解方程得到等比数列的通项公式。
生成函数自动计算
生成函数自动计算生成函数是数学中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
生成函数可以将一个数列转化为一个函数，从而简化数列的计算和分析过程。
本文将介绍生成函数的定义、性质和应用，并举例说明如何利用生成函数自动计算数列。
一、生成函数的定义生成函数是一个形如$G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的函数，其中$a_n$是数列$(a_0,a_1,a_2,\ldots)$的通项。
生成函数的主变量是$x$，它表示数列中每一项的权重。
通过生成函数，我们可以将数列中的每一项与$x^n$相乘后再求和，从而得到一个函数。
生成函数的常见形式有普通生成函数、指数生成函数和母函数等。
二、生成函数的性质生成函数具有许多重要的性质，其中一些性质如下：1. 生成函数的收敛半径是一个重要的性质，它决定了生成函数的收敛范围。
2. 生成函数的导数可以用来计算原数列的各阶导数，进而得到数列的各种性质。
3. 生成函数的乘法运算可以表示数列的卷积运算，进而可以用于求解递推关系式。
4. 生成函数的逆变换可以将函数转化为数列，从而实现从生成函数到数列的转换。
三、生成函数的应用生成函数在组合数学、离散数学、概率论等领域中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 组合计数：生成函数可以用来计算组合数列的各种性质，如二项式系数、排列组合数、多项式系数等。
2. 递推关系：通过生成函数的乘法运算，我们可以将递推关系转化为代数方程，从而求解递推关系的通项公式。
3. 概率分布：生成函数在概率论中有广泛的应用，可以用来计算离散随机变量的期望、方差、生成函数等。
4. 组合恒等式：生成函数可以用来证明和推导各种组合恒等式，如二项式定理、斯特林数等。
四、生成函数的自动计算生成函数的自动计算是利用计算机程序来实现生成函数的计算和分析。
通过编写相应的算法和程序，我们可以快速地得到生成函数的各种性质和计算结果。
生成函数的自动计算在数学研究、工程应用和科学研究中都有着重要的作用。
数列通项公式的若干求法及转化思想
数列通项公式的若干求法及转化思想数列通项公式是数列中每一项的表达式，它可以帮助我们快速计算数列中的任意一项。
在数学学科中，数列通项公式的求法有多种，并且存在着一些转化思想可以帮助我们简化求解过程。
本文将介绍数列通项公式的若干求法以及相关的转化思想。
一、数列通项公式的递推关系求法在数列中，如果每一项都与前一项有规律地递推关系，我们可以通过观察这种递推关系来求解数列的通项公式。
以斐波那契数列为例，它的递推关系是每一项等于前两项的和。
即f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(n)表示第n项的值。
通过观察递推关系，我们可以推导出斐波那契数列的通项公式为f(n) = [(1+√5)/2]^n / √5 - [(1-√5)/2]^n / √5。
二、数列通项公式的公式求法有些数列的通项公式是通过数学公式直接求出的，这种方法适用于特定的数列。
比如等差数列，它的通项公式为a(n) = a(1) + (n-1)d，其中a(n)表示第n项的值，a(1)表示首项的值，d表示公差。
等比数列的通项公式为a(n) = a(1) * r^(n-1)，其中a(n)表示第n项的值，a(1)表示首项的值，r 表示公比。
三、数列通项公式的数学工具求法在数列的求解过程中，我们还可以借助一些数学工具来求出通项公式。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的求解数列通项公式的方法。
它基于拉格朗日插值多项式的思想，通过已知的数列项来构造多项式，再根据多项式的性质求解通项公式。
2. 生成函数法生成函数是一种将数列转化为形式幂级数的数学工具，通过求解生成函数的表达式可以得到数列的通项公式。
四、数列通项公式的转化思想在求解数列通项公式的过程中，有时我们可以通过一些转化思想简化求解过程，使得问题更易于处理。
1. 利用性质转化有些数列具有周期性或对称性的性质，我们可以利用这些性质来求解数列的通项公式。
比如，等差数列中差值为1的数列，可以通过平方或立方等方式进行变形，得到更简单的表达式。
求数列递推表达式常用的八种方法
求数列递推表达式常用的八种方法1. 通项公式法（Explicit Formula Method）通项公式法是一种使用列中已知项的数值来构建一个递推表达式的方法。
根据数列的性质和规律，可以通过观察和找到一个数学模型来表示数列的通项公式。
该公式可以直接给出任意项的值，无需依赖于前面的项。
2. 递推关系法（Recurrence Relation Method）递推关系法是通过关系式来定义后一项与前面一项之间的关系。
可以根据已知项之间的关系来构建递推关系，从而求得数列的递推表达式。
递推关系可以是线性或非线性的，具体要根据数列的性质来确定。
3. 线性代数法（Linear Algebra Method）线性代数法是将数列看作一个向量，通过矩阵运算来求得数列的递推表达式。
可以利用矩阵的特征值和特征向量等性质来求解。
这种方法适用于一些特殊的线性数列，但对于非线性数列则不适用。
4. 拟合法（Curve Fitting Method）拟合法是通过数学函数来逼近数列的变化趋势，从而得到递推表达式。
可以选择不同的函数模型，如多项式、指数函数、对数函数等，并使用最小二乘法来拟合数列的数据点。
这种方法适用于不规律和随机的数列。
5. 差分法（Difference Method）差分法是通过数列中相邻项之间的差值来构建递推表达式。
可以通过一次差分、二次差分等方法来获得递推关系，进而求解数列的递推表达式。
这种方法适用于差分规律明显的数列。
6. 特殊性质法（Special Property Method）特殊性质法是根据数列的特殊性质来求解递推表达式。
可以利用数列的对称性、周期性、递增性、递减性等特点来构建递推关系。
该方法需要对数列的性质特别敏感，适用性较为有限。
7. 生成函数法（Generating Function Method）生成函数法是将数列看作一个形式幂级数，通过对生成函数进行操作来求解递推表达式。
可以利用生成函数的性质和运算法则来求得数列的递推关系，进而得到递推表达式。
生成函数 数列
生成函数数列生成函数是数学中的一个重要概念，可以用来描述和分析数列及其性质。
在本文中，我们将深入探讨生成函数及其在数列中的应用。
一、什么是生成函数？生成函数是一种将数列转换为代数函数的工具。
它可以将一个数列转化为一个多项式函数，从而使我们能够更方便地研究数列的性质和特征。
生成函数的一般形式为：G(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...其中，a0、a1、a2等为数列的项系数，x为自变量。
通过生成函数，我们可以将数列的每一项与自变量的幂次对应起来，从而方便地进行运算和分析。
二、生成函数的应用1.求解递推关系递推关系是数列中相邻项之间的关系，通过递推关系可以得到数列的所有项。
生成函数可以将递推关系转化为代数方程，从而求解数列的通项公式。
例如，对于斐波那契数列（Fibonacci sequence），其递推关系为Fn= Fn-1 + Fn-2，其中F0 = 0，F1 = 1。
我们可以通过生成函数的方法求解出斐波那契数列的通项公式。
2.计算数列的和与平均值通过生成函数，我们可以将数列的每一项与自变量的幂次对应起来。
通过对生成函数进行求导、积分等操作，我们可以得到数列的各种和与平均值。
例如，对于等差数列（Arithmetic sequence），其生成函数为G(x) = a + (a + d)x + (a + 2d)x^2 + ...，其中a为首项，d为公差。
通过对生成函数进行求导，我们可以得到等差数列的和公式。
3.求解组合问题生成函数在组合数学中有着广泛的应用。
通过生成函数，我们可以求解各种组合问题，如排列、组合、划分等。
例如，对于二项式系数（Binomial coefficients），其生成函数为G(x) = (1 + x)^n。
通过对生成函数进行展开，我们可以得到二项式系数的性质与应用。
三、生成函数的性质生成函数具有许多重要的性质，这些性质使得我们能够更方便地进行数列的分析和计算。
求递推数列的通项公式的十一种方法
求递推数列的通项公式的十一种方法
递推数列是一种数学数列，其中每一项都是由前一项推算出来的。
通
项公式则是通过已知的数列项之间的关系，找出数列的整体规律，从而可
以直接计算任意一项的值。
下面将介绍11种方法来推导递推数列的通项公式。
1.递归定义法
递归定义法是通过规定数列的首项以及前面项与后面项之间的关系，
来表达出数列的通项公式。
2.直接求和法
直接求和法是通过将数列的前n项求和，并将结果化简得出通项公式。
3.递推关系法
递推关系法是通过规定数列前两项之间的关系，并将该关系推广到前
n项之间的关系，从而求出通项公式。
4.变量代换法
变量代换法是通过引入新的变量，将原数列表示成一个新的数列，从
而得到新数列的通项公式。
5.假设公式法
假设公式法是通过猜测数列的通项公式，并验证猜测的公式是否符合
已知项的规律。
6.拆项法
拆项法是通过拆解数列的项，将数列表示成两个或多个部分，再求和得出通项公式。
7.枚举法
枚举法是通过穷举数列的前几项，找出数列项之间的规律，推算出通项公式。
8.差分法
差分法是通过计算数列项之间的差值，找出数列项之间的规律，从而得到通项公式。
9.生成函数法
生成函数法是通过将数列视为多项式的系数，构造一个生成函数，再通过求导、积分等运算得到通项公式。
10.求和公式法
求和公式法是通过利用已知的数列求和公式，计算数列的前n项和，并化简得出通项公式。
11.对称性法
对称性法是通过观察数列的对称性，推断出数列的通项公式。
7用生成函数求解递推关系
g ( x ) − 1 + 2 x = 5 x [ g ( x ) − 1] − 6 x 2 g ( x )
解出 1− 7x 5 4 g( x ) = = − 2 1− 5x + 6x 1− 2x 1− 3x = 5∑ ( 2 x ) n − 4∑ ( 3 x ) n =
n= 0 n=0
∞ ∞
∑ (5 ⋅ 2
=
5 2 n 1 2 + ( n + 1) 2 n − (-5) n x n − ∑0 49 7 49 n=
∞
2 n 1 5 n hn = − 2 + ( n + 1) 2 − (-5) n 49 7 49
例4 解2
求解递推式
hn + hn − 1 − 1 6 hn − 2 + 20 hn − 3 = 0 h0 = 0, h1 = 1, h2 = − 1
§4 用生成函数求解递推关系
一、生成函数的定义 对给定数列
h 0 , h1 , h 2 ,⋯ , h n ,⋯
2 n
令 g ( x ) = h0 + h1 x + h2 x + ⋯ + hn x + ⋯
称 g ( x )为数列 {hn } 的生成函数。 的生成函数。
给定数列 求和 展开
生成函数
例1 常函数 例2 例3
例4 解3
∞
求解递推式
hn + hn − 1 − 1 6 hn − 2 + 20 hn − 3 = 0 h0 = 0, h1 = 1, h2 = − 1
2 3
g ( x ) = h0 + h1 x + h2 x + h3 x + ... =
数列通项公式常见求法
数列通项公式常见求法数列通项公式是指数列的一般项的表达式。
在数学问题中，求得数列通项公式可以帮助我们更方便地计算数列中的任意一项数值，解决各种与数列相关的问题。
本文将介绍数列通项公式的常见求法，包括递推法、通项公式和生成函数。
一、递推法递推法是一种通过已知数列的前几项来推导出数列通项公式的方法。
递推法的基本思路是找出数列每一项与前几项之间的关系式。
常见的递推法有差分法、倒推法、倍增法和特殊递推法。
1.差分法差分法是一种通过数列中相邻两项之间的差值来推导出通项公式的方法。
对于一个数列 {an}，用 a(n+1) - an 的差来表示，通过不断地进行差分运算，直到差分为常数时，就可以得到数列的通项公式。
以斐波那契数列为例，我们知道斐波那契数列的通项公式是 fn = fn-1 + fn-2，其中 f0 = 0，f1 = 1、通过差分法可以推导出这个通项公式。
2.倒推法倒推法是一种逆序求解数列问题的方法，即从数列的最后一项逐步向前推导出每一项的值。
通过找出数列每一项与后几项之间的关系，从最后一项开始计算，并倒序得到数列的每一项的值。
以等差数列为例，设数列通项公式为 an = a + (n-1)d，其中 a 为首项，d 为公差。
已知 a1 和 an 的值，可以通过倒推法求得数列的通项公式。
3.倍增法倍增法是一种通过将数列每一项扩大或缩小倍数，使得这些倍数值之间构成等差或等比数列的方法。
通过找出数列每一项与前几项之间的倍关系，可以得到数列的通项公式。
以 2 的幂次方数列为例，我们知道这个数列的通项公式是 an = 2^n，其中 n >= 0。
通过倍增法可以推导出这个通项公式。
4.特殊递推法特殊递推法是对一些特殊的数列使用递推法求解通项公式的方法。
这类数列往往具有一些特殊的性质或规律，通过观察和分析这些特点，可以推导出数列的通项公式。
以全为奇数或全为偶数的等差数列为例，可以通过特殊递推法得到数列的通项公式。
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20Βιβλιοθήκη 复习• 令a是一个实数 . 那么对于所有的 x 和 y （0 ≤ |x| <|y|）,
•
a a k k ( x y) k x y k 0
a
a aa 1a 2a k 1 k k!
21
又因为 |y|<1
28
递归生成函数
29
内容
• 利用生成函数来求解常系数的线性齐次 递推关系. • 牛顿二项定理的应用.
30
复习: 牛顿二项定理
如果 n是一个正整数 并且 r 是一个非零整数, 那么
n k (1 rx ) ( rx ) k 0 k k n k k ( 1) r x k k 0
34
通过牛顿二项定理 (1-2x)-1 = 1+2x+22x2+…+2nxn….. (1-3x)-1 = 1+3x+32x2+…+3nxn….. 于是, g(x) = 1 + (-2)x + (-15)x2 +…+ (5×2n – 4×3n)xn+… 可以得到 hn = 5×2n – 4×3n (n = 0, 1, 2, …).
12
定理 7.2.2
令 q1, q2, …, qt 为常系数线性齐次递推关 系 (7.20) 的特征方程的互异的根. 此时， 如果 qi是 si重根, 则该递推关系对qi的部分 一般解为 Hn(i) = c1qin + c2nqin + … + csinsi-1qin = (c1 +c2n+…+csinsi-1)qin 递推关系的一般解则是 hn = Hn(1) + Hn (2) + … + Hn(t).
3
例子
• 错位排列数列 D0, D1, D2,…, Dn 满足两个 递推关系 • Dn = (n-1)Dn-1+(n-1)Dn-2, (n ≥ 2) • Dn = nDn-1 + (-1)n, (n ≥ 1). • 第一个递推关系的阶 是多少 且 a1 ，a2 ， bn等于多少。 • 第二个递推关系的 ……..
10
练习
• 一个 1＊n 棋盘. 我们把每个方格都涂上 红色或者蓝色. 令 hn 表示没有两个连续 的方格被同时涂上红色的方法的个数. 找 到并且证明这样的一个递推关系hn. 然后 求得公式 hn. • 求解递推关系 hn = 4hn-1 – 4hn-2, (n ≥ 2) .
11
注解
• 如果特征方程的根 q1, q2, …, qk 不是互异 的, 那么 hn = c1q1n+c2q2n+…+ckqkn 就不 是递推关系的一个一般解.
32
例题 (续)
• 求解满足初始值 h0 = 1 和 h1 = -2的递推 关系 hn = 5hn-1 – 6 hn-2, (n≥2). 提示: 令 g(x) = h0+h1x+h2x2+…+hnxn+…. 为 h0, h1, h2, …, hn … 的生成函数。此时， 我们有下列方程
33
g(x) = h0+h1x+h2x2+…+hnxn+…. -5xg(x) = -5h0x -5h1x2 - 5h2x3 -…- 5hn-1 xn …. 6x2 g(x) = 6h0x2 +6h1x3 +6h2x4 +…+6hn-2xn +…. 将三个方程相加, 得到 (1-5x+6x2)g(x) = h0+(h1-5h0)x+(h25h1+6h0)x2+…+(hn-5hn-1+6hn-2)xn+…. = h0+(h1-5h0)x = 1-7x 因此, g(x) = (1-7x)/(1-5x+6x2) = 5/(1-2x) – 4/(1-3x)
19
练习
令a为一个实数. 根据牛顿二项式定理, 二项 式系数 c(a, 0), c(a, 1) ,…c(a, n),…的无穷 生成函数是什么？ 令 k 是一个整数， 并令序列 h0, h1, h2,…, hn, …使得hn等于 e1+e2+…ek=n的非负整 数的个数. 这个序列的生成函数是什么?
n
n k 1 k k r x , k k 0
(| x || r |1 )
31
例题
确定平方项的序列 0, 1, 4, …, n2,…..的生成函数 解答: 把 n =2 、 r =1带入上面的牛顿二项式, (1-x)-2 = 1+2x+3x2+…+nxn-1+…. 因此 x/(1-x)2=x+2x2 + 3x3+…+nxn +….. 微分, 我们得到 （1+x)/(1-x)3=1+22x+32x2+…+n2xn-1+….. 乘 x, 得到 x(1+x)/(1-x)3.
1 y
令
k
n k 1 n 1 k 1 y n 0
n
y x
1 x
k
n k 1 n 1 k 1 x n 0
n
n k 1 n k 1 1 x n 0
4
齐次的
• 如果bn = 0，则线性递推关系 hn = a1hn-1+a2hn-2+…+akhn-k+bn, (n ≥ k) 称为齐次的. • 如果a1, a2, …, ak 是常数,则称线性递推关 系式具有常系数.
5
定理 7.2.1
• 令q 为一个非零数. 则 hn = qn 是常系数线性递推关系 hn – a1hn-1 – a2hn-2 – … – akhn-k= 0, (ak ≠ 0, n ≥ k) (7.20) 的解，当且仅当q是多项式 xk – a1xk-1 – a2xk-2 – … – ak = 0. (7.21) 的一个根。 • 如果多项式方程有k个不同的根 q1, q2, …, qk, 则 hn = c1q1n + c2q2n + … + ckqkn (7.22) 是下述意义下式 (7.20) 的一般解: 无论给定 h0, h1, …, 什么初 始值，都存在 常数c1, c2, …, ck 使得式 (7.22) 是满足递推关 系 (7.20) 和初始条件的唯一的序列.
n k 1 n x n n 0
22
例题（续）
(1+x+x2+x3+x4+x5)(1+x+x2)(1+x+x2+x3+x4) 是什 么样序列的生成函数? 令 xe1(0≤e1≤5), xe2, (0≤e2≤2), xe3 (0≤e3≤4) 分别表 示第一因子，第二因子和第三因子中的典型 项。 假设e1 +e2+e3 = n. 相乘后得到 xe1xe2xe3 = xn, 因此，乘积中 xn 的系数是 e1 +e2+e3 = n 的整数解的个数 hn，其中 0≤e1≤5, 0≤e2≤2 以及 0≤e3≤4. (注意 hn = 0 如果 n>11)
摘要
• • • • • • 线性齐次递推关系 生成函数 递归和生成函数 一个几何的例子 指数生成函数 作业
1
线性齐次递推关系
2
线性递推关系
• 令 h0, h1,…, hn, … 是一个数列，如果存 在量 a1, a2, …, ak, ak ≠ 0, 和量bn (每一个 量 a1, a2, …, ak, bn 可能依赖于 n) ，使得 hn = a1hn-1+a2hn-2+…+akhn-k+bn, (n ≥ k). 则称该序列满足k阶线性递推关系.
8
例题（续）
• 由三个字母a, b, c组成的长度为n的一些 单词将在通信信道上传输，满足条件： 传输中不得有两个a连续出现在任一个单 词中。确定通信信道允许传输的单词个 数。
9
提示
• 首先, 找到特征关系式 并且求出它的解. • 令 hn 表示允许传输的长度为 n的单词的个数. 我 们有 h0 = 1 和 h1 = 3. 令 n ≥ 2. 如果第一个字母 是 b 或者 c, 那么这个单词就可以有 hn-1种方法 构成. 如果第一个字母是 a , 那么第二个字母是 b 或者 c. 这样, hn = 2 hn-1 + 2hn-2, (n ≥ 2). b a b
27
练习 (续)
令 hn 表示方程 3e1 + 4e2 + 2e3 + 5e4 = n非负 整数解的个数. 找到h0, h1, h2, …, hn,…….的 生成函数 g(x) 提示: 令 f1 = 3e1, f2 = 4e2, f3 = 2e3 并且 f4 =5e4. 于是hn 也等于 f1 + f2 + f3 + f4 = n 的非负整 数解的个数，其中 f1 是 3的倍数, f2 是 4的 倍数, f3 是偶数 并且 f4 是 5的倍数.
23
例题（续）
确定苹果、香蕉、橘子和梨的n-组合的个数, 其中 在每个n-组合中苹果的个数是偶数，香蕉的个数 是奇数，橘子的个数在0和4之间，而且至少要有 一个梨 提示: 该问题等价于找出 e1 + e2 + e3 + e4 = n. 的非负整数解的个数
24
其中 e1 是偶数 (e1 为苹果数), e2 是奇数, 0 ≤e3≤4, 而 e4 ≥1. 我们为每种类型的水果建 立一个因子， 其中的指数为那种类型水果 的n- 组合中所允许的数: