递推关系与生成函数

20Βιβλιοθήκη 复习• 令a是一个实数 . 那么对于所有的 x 和 y （0 ≤ |x| <|y|）,
•
a a k k ( x y) k x y k 0
a
a aa 1a 2a k 1 k k!
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又因为 |y|<1
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递归生成函数
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内容
• 利用生成函数来求解常系数的线性齐次 递推关系. • 牛顿二项定理的应用.
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复习: 牛顿二项定理
如果 n是一个正整数 并且 r 是一个非零整数, 那么
n k (1 rx ) ( rx ) k 0 k k n k k ( 1) r x k k 0
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通过牛顿二项定理 (1-2x)-1 = 1+2x+22x2+…+2nxn….. (1-3x)-1 = 1+3x+32x2+…+3nxn….. 于是, g(x) = 1 + (-2)x + (-15)x2 +…+ (5×2n – 4×3n)xn+… 可以得到 hn = 5×2n – 4×3n (n = 0, 1, 2, …).
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定理 7.2.2
令 q1, q2, …, qt 为常系数线性齐次递推关 系 (7.20) 的特征方程的互异的根. 此时， 如果 qi是 si重根, 则该递推关系对qi的部分 一般解为 Hn(i) = c1qin + c2nqin + … + csinsi-1qin = (c1 +c2n+…+csinsi-1)qin 递推关系的一般解则是 hn = Hn(1) + Hn (2) + … + Hn(t).
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例子
• 错位排列数列 D0, D1, D2,…, Dn 满足两个 递推关系 • Dn = (n-1)Dn-1+(n-1)Dn-2, (n ≥ 2) • Dn = nDn-1 + (-1)n, (n ≥ 1). • 第一个递推关系的阶 是多少 且 a1 ，a2 ， bn等于多少。 • 第二个递推关系的 ……..
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练习
• 一个 1＊n 棋盘. 我们把每个方格都涂上 红色或者蓝色. 令 hn 表示没有两个连续 的方格被同时涂上红色的方法的个数. 找 到并且证明这样的一个递推关系hn. 然后 求得公式 hn. • 求解递推关系 hn = 4hn-1 – 4hn-2, (n ≥ 2) .
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注解
• 如果特征方程的根 q1, q2, …, qk 不是互异 的, 那么 hn = c1q1n+c2q2n+…+ckqkn 就不 是递推关系的一个一般解.
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例题 (续)
• 求解满足初始值 h0 = 1 和 h1 = -2的递推 关系 hn = 5hn-1 – 6 hn-2, (n≥2). 提示: 令 g(x) = h0+h1x+h2x2+…+hnxn+…. 为 h0, h1, h2, …, hn … 的生成函数。此时， 我们有下列方程
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g(x) = h0+h1x+h2x2+…+hnxn+…. -5xg(x) = -5h0x -5h1x2 - 5h2x3 -…- 5hn-1 xn …. 6x2 g(x) = 6h0x2 +6h1x3 +6h2x4 +…+6hn-2xn +…. 将三个方程相加, 得到 (1-5x+6x2)g(x) = h0+(h1-5h0)x+(h25h1+6h0)x2+…+(hn-5hn-1+6hn-2)xn+…. = h0+(h1-5h0)x = 1-7x 因此, g(x) = (1-7x)/(1-5x+6x2) = 5/(1-2x) – 4/(1-3x)
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练习
令a为一个实数. 根据牛顿二项式定理, 二项 式系数 c(a, 0), c(a, 1) ,…c(a, n),…的无穷 生成函数是什么？ 令 k 是一个整数， 并令序列 h0, h1, h2,…, hn, …使得hn等于 e1+e2+…ek=n的非负整 数的个数. 这个序列的生成函数是什么?
n
n k 1 k k r x , k k 0

(| x || r |1 )
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例题
确定平方项的序列 0, 1, 4, …, n2,…..的生成函数 解答: 把 n =2 、 r =1带入上面的牛顿二项式, (1-x)-2 = 1+2x+3x2+…+nxn-1+…. 因此 x/(1-x)2=x+2x2 + 3x3+…+nxn +….. 微分, 我们得到 （1+x)/(1-x)3=1+22x+32x2+…+n2xn-1+….. 乘 x, 得到 x(1+x)/(1-x)3.
1 y
令
k
n k 1 n 1 k 1 y n 0
n
y x
1 x

k
n k 1 n 1 k 1 x n 0
n
n k 1 n k 1 1 x n 0
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齐次的
• 如果bn = 0，则线性递推关系 hn = a1hn-1+a2hn-2+…+akhn-k+bn, (n ≥ k) 称为齐次的. • 如果a1, a2, …, ak 是常数,则称线性递推关 系式具有常系数.
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定理 7.2.1
• 令q 为一个非零数. 则 hn = qn 是常系数线性递推关系 hn – a1hn-1 – a2hn-2 – … – akhn-k= 0, (ak ≠ 0, n ≥ k) (7.20) 的解，当且仅当q是多项式 xk – a1xk-1 – a2xk-2 – … – ak = 0. (7.21) 的一个根。 • 如果多项式方程有k个不同的根 q1, q2, …, qk, 则 hn = c1q1n + c2q2n + … + ckqkn (7.22) 是下述意义下式 (7.20) 的一般解: 无论给定 h0, h1, …, 什么初 始值，都存在 常数c1, c2, …, ck 使得式 (7.22) 是满足递推关 系 (7.20) 和初始条件的唯一的序列.
n k 1 n x n n 0

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例题（续）
(1+x+x2+x3+x4+x5)(1+x+x2)(1+x+x2+x3+x4) 是什 么样序列的生成函数? 令 xe1(0≤e1≤5), xe2, (0≤e2≤2), xe3 (0≤e3≤4) 分别表 示第一因子，第二因子和第三因子中的典型 项。 假设e1 +e2+e3 = n. 相乘后得到 xe1xe2xe3 = xn, 因此，乘积中 xn 的系数是 e1 +e2+e3 = n 的整数解的个数 hn，其中 0≤e1≤5, 0≤e2≤2 以及 0≤e3≤4. (注意 hn = 0 如果 n>11)
摘要
• • • • • • 线性齐次递推关系 生成函数 递归和生成函数 一个几何的例子 指数生成函数 作业
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线性齐次递推关系
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线性递推关系
• 令 h0, h1,…, hn, … 是一个数列，如果存 在量 a1, a2, …, ak, ak ≠ 0, 和量bn (每一个 量 a1, a2, …, ak, bn 可能依赖于 n) ，使得 hn = a1hn-1+a2hn-2+…+akhn-k+bn, (n ≥ k). 则称该序列满足k阶线性递推关系.
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例题（续）
• 由三个字母a, b, c组成的长度为n的一些 单词将在通信信道上传输，满足条件： 传输中不得有两个a连续出现在任一个单 词中。确定通信信道允许传输的单词个 数。
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提示
• 首先, 找到特征关系式 并且求出它的解. • 令 hn 表示允许传输的长度为 n的单词的个数. 我 们有 h0 = 1 和 h1 = 3. 令 n ≥ 2. 如果第一个字母 是 b 或者 c, 那么这个单词就可以有 hn-1种方法 构成. 如果第一个字母是 a , 那么第二个字母是 b 或者 c. 这样, hn = 2 hn-1 + 2hn-2, (n ≥ 2). b a b
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练习 (续)
令 hn 表示方程 3e1 + 4e2 + 2e3 + 5e4 = n非负 整数解的个数. 找到h0, h1, h2, …, hn,…….的 生成函数 g(x) 提示: 令 f1 = 3e1, f2 = 4e2, f3 = 2e3 并且 f4 =5e4. 于是hn 也等于 f1 + f2 + f3 + f4 = n 的非负整 数解的个数，其中 f1 是 3的倍数, f2 是 4的 倍数, f3 是偶数 并且 f4 是 5的倍数.
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例题（续）
确定苹果、香蕉、橘子和梨的n-组合的个数, 其中 在每个n-组合中苹果的个数是偶数，香蕉的个数 是奇数，橘子的个数在0和4之间，而且至少要有 一个梨 提示: 该问题等价于找出 e1 + e2 + e3 + e4 = n. 的非负整数解的个数
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其中 e1 是偶数 (e1 为苹果数), e2 是奇数, 0 ≤e3≤4, 而 e4 ≥1. 我们为每种类型的水果建 立一个因子， 其中的指数为那种类型水果 的n- 组合中所允许的数:
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生成函数
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生成函数的方法
• • • 利用代数的方法计算一个问题可能性的 次数 生成函数是无穷次可微函数的泰勒级数 如果你可以找到一个函数和它的泰勒级 数, 那么泰勒级数的系数则给出这个问 题的解.
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生成函数的定义
令 h0, h1, …, hn, …… 是一个无穷的数列. 它的 生成函数 被定义为无穷级数 g(x) = h0 + h1x + h2x2 +…+ hnxn +…… 在 g(x)中，xn 的系数是这个序列的第n项 hn, 从而， xn 作为hn的“位置持有者”。
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注解
• 多项式方程 (7.21) 叫做 递推关系 (7.20) 的特征方程 ，而它的 k 个根叫做 特征根. • 如果特征根 互异, 那么式(7.22) 就是式 (7.20) 的一般解.
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例题
• 求解满足h0 = 1, h1 = 2 and h2 = 0的递推 关系 hn = 2hn-1+hn-2 – 2hn-3, (n ≥ 3) . 提示: 这个递推关系的特征方程为 x3 – 2x2 – x + 2 = 0 而它的三个根 1, -1 , 2. 根据定理7.2.1, hn = c11n + c2(-1)n + c32n 是一般解.
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例题
1. 无限序列的生成函数 1, 1, 1, …, 1, …, 它的每一 项都等于1 g(x) = 1 +x+x2+…+xn+… = 1/(1-x) 2. M是一个正整数. 二项式序列 c(m,0), c(m,1) c(m, 2),…., c(m,m) 的生成函数是 gm(x)=c(m,0)+c(m,1)x+c(m,2)x2+…+c(m,m)xm = (1+x)m (二项式定理).
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例题
• 求递推关系 hn = 4hn-1 – 4hn-2, (n ≥ 2) . 提示: 特征方程是 x2-4x+4 = 0. 这样 2 是２ 重特征根. 特征关系的一般解为 hn = c12n + c2n2n.
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练习
• 求特征关系 hn = -hn-1 +3hn-2+5hn-3 +2hn-4, (n ≥ 4).
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练习
令hn代表好几袋子苹果、香蕉、橘子和梨 的总个数, 并且每个袋子中苹果的个数是 偶数, 香蕉的隔数是 5的倍数, 橘子的个数 至多为 4 并且梨的个数为 0 或者 1. 提示: 计算这个问题的生成函数的xn的系数.
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练习（续）
确定方程 e1 + e2 + … + ek = n非负整数解e1, e2, …, ek 的个数hn的生成函数。 提示: ∏k (x+x3+x5+x7+……).
g(x) = (1 + x2 + x4 +…)(x + x3 + x5 +…)(1 + x + x2 + x3 + x4) (x + x2 + x3 + x4 +…)
1 x 1 x5 x 1 x2 1 x2 1 x 1 x 2 5 x (1 x ) (1 x 2 ) 2 (1 x) 2