八年级数学十字相乘法因式分解
八年级数学十字相乘法因式分解
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
解因式
解：2(6x 2＋x)2－11(6x 2＋x) ＋5 = [(6x2＋x) －5][2(6x 2＋x)－1]
= (6x 2＋x－5) (12x 2＋2x－1 )
= (6x －5)(x ＋1) (12x 2＋2x－1 )
1
－5
6
－5
2
－1
－1－10=－11
1
1
－5＋6=1
练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x＋6)(x＋1)
2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2)
3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y)
4、 10(x ＋2)2－29(x＋2) ＋10
答案 (2x－1)(5x＋8)
5、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
例5 将 2x 2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 分 解因式
；宁波象山包船捕鱼 宁波象山包船捕鱼
；
的事。 ? 她不属于我们，因为她是天使。 是“国家”错了 ? 在民法的慈母般的眼里，每一个人就是整个国家。——孟德斯鸠 1 ? 一百年前的法兰西。正义的一天—— ? 1898年1月13日，著名作家左拉在《震旦报》上发表致共和国总统的公开信，题为《我控诉》，将一宗为当局所讳的 冤案公曝天下，愤然以公民的名义指控“国家犯罪”，替一位素昧平生的小人物鸣不平…… ? 该举震撼了
八年级上册双十字相乘法因式分解练习100题及答案
八年级上册双十字相乘法因式分解练习100题及答案(1) 2236642821193x xy y x y ++--+(2) 22254251515403x y z xy yz xz ---+- (3) 22163812141115x xy y x y -+--- (4) 2227256491157x y z xy yz xz ++--+(5) 22218530192544x y z xy yz xz +-+-- (6) 26397a ab a b -+- (7) 222151015313130x y z xy yz xz +++-- (8) 222362130555774a b c ab bc ac +++-- (9) 227544265x xy x y +-+-(10) 2292310402816x xy y x y -++-+(11) 2471076p pq p q --++(12) 2272193273m mn n m n ----(13) 22221682782x y z xy yz xz +----(14) 223682867457m mn n m n +-+-+(15) 2221132431214x xy y x y -+-+-(16) 2264178132a ab b a b +---+(17) 2225155102824a b c ab bc ac ---++ (18) 2228324471715x xy y x y -++-+ (19) 227233019233x xy y x y +----(20) 221433182824x xy y x y ++--(21) 222181469821x y z xy yz xz -++-- (22) 2276123735m mn n m n -+-++ (23) 2262016312x xy y x y +--- (24) 2228354333331x y z xy yz xz ---++(25) 22254358723x y z xy yz xz +---+(26) 2235262m mn n m n --++(27) 22826649156x xy y x y -+-++(28) 22429672m mn n m n --++(29) 2262377152m mn n m n +++++(30) 2236121512268x xy y x y +-++-(31) 22214428614022a b c ab bc ac +++++(32) 22215612191727x y z xy yz xz ++--+(33) 22232155282228a b c ab bc ac -+-+-(34) 2228105181514x y z xy yz xz +++++(35) 223669301986x xy y x y ++--- (36) 22254645715x y z xy yz xz ++--+ (37) 224123827x xy x y -++- (38) 2227278713050x y z xy yz xz ++--+ (39) 2226653531x y z xy yz xz -+--+ (40) 2256282853512x xy y x y +-+++ (41) 223764104m mn n m n -----(42) 2272512214028x xy y x y --++- (43) 24030126x xy x y -+--(44) 22253416812x y z xy yz xz +++++(45) 222015529245x xy y x y +-+++(46) 2222875531239x y z xy yz xz +++++(47) 222721628511x y z xy yz xz +---+(48) 21052428x xy x y --++(49) 224131227618x xy y x y +-+-+(50) 22283525239x y z xy yz xz +--+-(51) 2212281532285x xy y x y ++--+(52) 222405235321x y z xy yz xz -++++(53) 2227216442023x y z xy yz xz --+-- (54) 229333035x xy y x y -++- (55) 222664152310x y z xy yz xz +---+ (56) 224233524320x xy y x y +-+++ (57) 22261825334525x y z xy yz xz --++- (58) 2279211220x xy x y -+-- (59) 22212355443216x y z xy yz xz ++-+- (60) 22316217156p pq q p q ++--- (61) 2283512453525a ab b a b -++-+(62) 222561012193434x y z xy yz xz --+++(63) 2235223201215p pq q p q -++--(64) 2224571544162x y z xy yz xz +---+(65) 221522523296p pq q p q +-+++(66) 22456624553810x xy y x y +++++(67) 22817212993828x xy y x y ++--+(68) 2223231820360x y z xy yz xz -+-+-(69) 2235622427618x xy y x y -++--(70) 22216153341214x y z xy yz xz -+--+(71) 222152045184x y z xy yz xz --++- (72) 22401030411310x xy y x y +-+++ (73) 22228202516x y z xy yz xz +--+- (74) 22242943931x y z xy yz xz -+--+ (75) 223362u uv u v -+--(76) 22813646314m mn n m n ++++ (77) 22263366124247x y z xy yz xz ----- (78) 22449161415p q p q ---+(79) 22728x xy y x y ---+(80) 2228330142134x y z xy yz xz +++++(81) 22754353234x xy y x y -+---(82) 2223542371526x y z xy yz xz -+-++(83) 221456543036x xy y x y ---++(84) 2224078273022x y z xy yz xz ---+-(85) 226349144320a ab b a b -----(86) 2254366752525x xy y x y -+-++(87) 222153550128a b c ab bc ac +++--(88) 2272751820328x xy y x y ++-+-(89) 22409947312x xy y x y +-+-+(90) 225228101415p pq q p q -+++- (91) 222116310624x xy y x y -+-+- (92) 222821522822a b c ab bc ac -+++-(93) 227633410x xy x y +--+(94) 222212812371048x y z xy yz xz -+-++ (95) 22218206462921a b c ab bc ac +++--(96) 222910820x xy y x y ++--(97) 222351412214632x y z xy yz xz --+--(98) 2224633038328x xy y x y +++++(99) 227302512204a ab b a b --++-(100) 2223144231513x y z xy yz xz ++--+八年级上册双十字相乘法因式分解练习100题答案(1)(441)(973)x y x y+-+-(2)(653)(955)x y z x y z-++-(3)(835)(243)x y x y-+--(4)(956)(8)x y z x y z-+-+ (5)(955)(26)x y z x y z+++-(6)(91)(7)a a b+-(7)(353)(525)x y z x y z+-+-(8)(436)(975)a b c a b c+-+-(9)(91)(365)x x y++-(10)(954)(24)x y x y-+-+ (11)(476)(1)p q p---(12)(833)(9)m n m n--+(13)(724)(332)x y z x y z-+--(14)(447)(971)m n m n++-+ (15)(722)(37)x y x y-+--(16)(62)(71)a b a b--+-(17)(55)(35)a b c a b c+--+ (18)(73)(445)x y x y-+-+ (19)(961)(853)x y x y++--(20)(234)(76)x y x y+-+(21)(673)(322)x y z x y z+---(22)(67)(5)m n m n----(23)(4)(643)x y x y+--(24)(54)(87)x y z x y z-++-(25)(65)(97)x y z x y z-+--(26)(3)(22)m n m n+-+(27)(36)(821)x y x y----(28)(72)(631)m n m n+-+ (29)(32)(271)m n m n++++ (30)(634)(652)x y x y-++-(31)(764)(272)a b c a b c++++ (32)(534)(323)x y z x y z-+-+(33)(835)(45)a b c a b c+---(34)(455)(22)x y z x y z++++ (35)(453)(962)x y x y+-++ (36)(96)(6)x y z x y z-+-+ (37)(427)(61)x y x-+-(38)(872)(94)x y z x y z-+-+ (39)(6)(65)x y z x y z++-+ (40)(774)(843)x y x y++-+(41)(32)(322)m n m n--++ (42)(44)(737)x y x y-++-(43)(52)(863)x x y+--(44)(32)(52)x y z x y z++++ (45)(551)(45)x y x y++-+ (46)(475)(7)x y z x y z++++ (47)(32)(773)x y z x y z-+--(48)(24)(52)x y x---(49)(46)(433)x y x y++-+ (50)(8)(35)x y z x y z-+--(51)(235)(651)x y x y+-+-(52)(8)(552)x y z x y z-+++ (53)(84)(944)x y z x y z++--(54)(35)(361)x y x y--+ (55)(36)(24)x y z x y z---+ (56)(75)(454)x y x y++-+ (57)(65)(635)x y z x y z+--+ (58)(935)(34)x y x--+ (59)(675)(25)x y z x y z----(60)(372)(33)p q p q+++-(61)(45)(835)a b a b-+-+(62)(852)(726)x y z x y z+--+ (63)(55)(733)p q p q-+--(64)(53)(975)x y z x y z-+--(65)(56)(351)p q p q-+++ (66)(962)(545)x y x y++++ (67)(967)(924)x y x y+-+-(68)(436)(83)x y z x y z--+-(69)(743)(566)x y x y---+ (70)(833)(25)x y z x y z++-+ (71)(552)(342)x y z x y z-++-(72)(865)(552)x y x y-+++ (73)(45)(742)x y z x y z-+--(74)(734)(63)x y z x y z++-+ (75)(231)(2)u v u--+(76)(92)(927)m n m n+++ (77)(96)(766)x y z x y z++--(78)(273)(275)p q p q+---(79)(8)(91)x y x y-+-(80)(236)(45)x y z x y z++++ (81)(71)(754)x y x y---+ (82)(563)(77)x y z x y z-+++(83)(26)(766)x y x y+---(84)(872)(54)x y z x y z-++-(85)(925)(774)a b a b++--(86)(625)(935)x y x y----(87)(37)(55)a b c a b c+-+-(88)(834)(967)x y x y+++-(89)(833)(534)x y x y-+++ (90)(525)(43)p q p q---+ (91)(34)(736)x y x y---+(92)(43)(275)a b c a b c--+-(93)(32)(925)x x y-+-(94)(376)(742)x y z x y z-+++(95)(24)(956)a b c a b c+-+-(96)(24)(25)x y x y+-+(97)(772)(526)x y z x y z++--(98)(852)(364)x y x y++++(99)(52)(752)a b a b-++-(100)(32)(74)x y z x y z-+-+。
十字相乘因式分解法
十字相乘因式分解法摘要：一、引言二、十字相乘法的基本概念1.什么是十字相乘法2.十字相乘法的符号表示三、十字相乘法的应用1.分解单项式2.分解多项式四、十字相乘法的优势与局限1.优势2.局限五、结论正文：一、引言十字相乘法是一种常用的因式分解方法，尤其在初中阶段数学学习中占据着重要地位。
本文将对十字相乘法进行详细介绍，包括其基本概念、应用以及优势与局限。
二、十字相乘法的基本概念1.什么是十字相乘法十字相乘法是一种因式分解方法，主要用于分解二次多项式。
具体操作步骤如下：首先，将二次多项式的二次项系数a、常数项b和一次项系数c、d分别填入一个十字形的四个格子中（如下所示）。
```c da |b | a b|-------|-------| c d | c d```然后，根据a、b、c、d的值，利用乘法分配律进行计算，得出两个括号中的表达式。
最后，将这两个括号中的表达式相乘，即可得到原二次多项式的因式分解式。
2.十字相乘法的符号表示我们可以用如下符号表示十字相乘法：```(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd```其中，a、b、c、d为常数，x为变量。
三、十字相乘法的应用1.分解单项式假设我们有一个单项式：ax^2 + bx + c。
我们可以先提取出公因式x，得到x(ax + b) + c。
然后，我们可以使用十字相乘法分解ax + b，从而得到单项式的因式分解式。
2.分解多项式十字相乘法主要用于分解二次多项式，如ax^2 + bx + c。
我们可以根据二次项系数a、常数项b和一次项系数c、d的值，将多项式表示为(ax + b)(cx + d)的形式。
然后，利用乘法分配律计算括号中的表达式，最后将两个括号中的表达式相乘，即可得到原二次多项式的因式分解式。
四、十字相乘法的优势与局限1.优势十字相乘法具有较高的实用价值，尤其在初中阶段数学学习中。
它可以帮助学生快速、准确地分解二次多项式，从而简化问题，便于求解。
最新人教版初中数学八年级上册 14.3《因式分解》十字相乘法教案
因式分解十字相乘法◆教学目标◆◆知识与技能：理解十字相乘法的概念和意义；◆过程与方法：会用十字相乘法把形如x2＋px＋q的二次三项式分解因式；.◆情感态度：培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性和层次性渗.◆教学重点与难点◆◆重点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆难点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆教学过程◆自主学习一. 创设情境1．口答计算结果：（1） (x＋2)(x＋1) （2） (x＋2)(x－1) （3）(x－2)(x＋1)（4） (x－2)(x－1)（5）(x＋2)(x＋3) （6） (x＋2)(x－3)（7） (x－2)(x＋3) （8） (x－2)(x－3)2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?归纳： .二．探索尝试根据上面的公式试将下列多项式写成两个一次因式相乘的形式：x2＋(2＋3)x＋2×3＝；x2＋(－1－2)x＋(－1)×(－2)＝；x2＋(－1＋2)x＋(－1)×2＝；x2＋(1－2)x＋1×(－2)＝ . 由上面的分析可知形如x2＋px＋q的二次三项式，如果常数项q能分解为两个因数a、b的积，并且a＋b恰好等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2＋px＋q＝x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)三．例题举例基础题（1）x2＋7x＋6 （2）x2－5x－6 （3）x2－5x＋6四.练习：（1）x2－7x＋6 （2）a2－4a－21（3）t2－2t－8 （4）m2＋4m－12拓展题（1）x2＋xy－12y2（2）x4＋5x2－6五.练习：（1）x2－13xy－36y2 （2）a2－ab－12b2（3）m4－6m2＋8 （4）x4＋10x2＋9六.课堂小结：对二次三项式x2＋px＋q进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.2．符号规律: 当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.七.课外延伸：把下列多项式分解因式：（1） 342+-x x （2）1282+-x x （3）1582++x x （4）762-+x x（5）11102--a a （6）432-+m m （7）302-+x x （8）13122--x x（9）2282y xy x -+ （10）2234b ab a ++ （11）22208y xy x -- （12）2254n mn m --（13）434--x x （14）1522--x x （15）24102-+x x （16）24142+-x x 八.思考：1.请将下列多项式因式分解：①362132++x x ② 12724++x x ③()()242112222+---x x x x2. 先填空,再分解（尽可能多的）： x 2 ( )x + 60 = ；◆板书设计◆15.4.4 因式分解之十字相乘法二. 创设情境二．探索尝试三．例题举例课 堂 小 结课 外 延 伸◆课后思考◆。
部编数学八年级上册专题31十字相乘法因式分解(解析版)含答案
专题31 十字相乘法因式分解1．下列式子中，因式分解正确的是( )A ．2815(3)(5)x x x x -+=--B ．2815(3)(5)x x x x -+=-+C ．2815(3)(5)x x x x -+=++D ．2815(3)(5)x x x x -+=+-【答案】A【分析】根据十字相乘法即可分解因式．【详解】解：2815(3)(5)x x x x -+=--．故选：A ．【点睛】本题主要考查用十字相乘法分解因式，掌握分解因式的方法是解题的关键．2．将多项式x 2－2x －8分解因式，正确的是（ ）A ．（x ＋2）（x －4）B ．（x －2）（x －4）C ．（x ＋2）（x ＋4）D ．（x －2）（x ＋4）【答案】A【分析】利用十字相乘法分解即可．【详解】解：()()2－2－8=24x x x x +-，故选：A ．【点睛】本题考查用十字相乘法进行因式分解，正确掌握十字相乘法是求解本题的关键．3．分解因式x 2-5x -14，正确的结果是（ ）A ．（x －5）（x －14）B ．（x －2）（x －7）C ．（x －2）（x ＋7）D ．（x ＋2）（x －7）【答案】D【分析】根据-14=-7×2，-5=-7+2，进行分解即可．【详解】解：x 2-5x -14=（x -7）（x +2），故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解-十字相乘法是解题的关键．4．把多项式256x x -+分解因式，下列结果正确的是（ ）A ．(1)(6)x x -+B ．(6)(1)x x -+C ．(2)(3)x x ++D ．(2)(3)x x --【答案】D【分析】利用公式2()()()x a b x ab x a x b +++=++即可得答案．【详解】解：256(2)(3)x x x x -+=--故选:D ．【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握公式2()()()x a b x ab x a x b +++=++．5．如果x 2+kx ﹣10＝（x ﹣5）（x +2），则k 应为（ ）A ．﹣3B ．3C ．7D ．﹣7【答案】A【分析】根据多项式乘以多项式把等号右边展开，即可得答案．【详解】解：（x -5）（x +2）=x 2-3x -10，则k =-3，故选：A ．【点睛】本题主要考查了因式分解，关键是掌握x 2+（p +q ）x +pq =（x +p ）（x +q ）．6．如果多项式x 2﹣5x +c 可以用十字相乘法因式分解，那么下列c 的取值正确的是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可．【详解】解：A 、252x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；B 、253x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；C 、()()25414x x x x -+=--，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意；D 、255x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；故选C【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解．7．因式分解22212x x --=_________【答案】()()223x x +-【分析】先提公因式再利用十字相乘法进行因式分解即可；【详解】解：()()22212=232x x x x ---+；故答案为：()()223x x +-．【点睛】本题考查分解因式．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．8．分解因式：2246a a --=______．【答案】()()231a a -+##()()213a a +-【分析】先提取公因数，再用十字相乘法分解因式即可；【详解】解：原式=()()()2223231a a a a --=-+；故答案为：()()231a a -+；【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如x 2+px +q 的二次三项式，若能找到两数a 、b ，使a •b =q 且a +b =p ，那么x 2+px +q = x 2+（a +b ）x +a •b =（x +a ）（x +b ）．9．因式分解：289x x --=______________．【答案】()()19x x +-【分析】根据二次三项式的特征，采取十字相乘因式分解法直接分解即可．【详解】解：采取十字相乘因式分解法直接分解289x x --，289x x \--()()19x x =+-，故答案为：()()19x x +-．【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，根据代数式特征选择恰当的因式分解方法是解决问题的关键．10．因式分解：2412x x --=_______．【答案】(6)(2)x x -+【分析】利用十字相乘法分解因式即可得．【详解】解：因为1262,624-=-´-+=-，且4-是x 的一次项的系数，所以2412(6)(2)--=-+x x x x ，故答案为：(6)(2)x x -+．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．11．观察下列因式分解中的规律：①()()23212x x x x ++=++；②()()271025x x x x ++=++；③()()25623x x x x -+=--；④()()28422x x x x -=+--；利用上述系数特点分解因式26x x +-=__________．【答案】()()32x x +-【分析】利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：()()2632x x x x +-=+-，故答案为：()()32x x +-．【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是明确二次项系数为1的十字相乘法公式：()()2()x a b x ab x a x b +++=++．12．分解因式：x 2﹣7xy ﹣18y 2＝___．【答案】()()92x y x y -+【分析】根据十字相乘法因式分解即可．【详解】x 2﹣7xy ﹣18y 2()()92x y x y =-+，故答案为：()()92x y x y -+．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．三、解答题13．阅读材料：由多项式乘法：（x +a ）（x +b ）＝x ²+（a +b ）x +ab ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x ²+（a +b ）x +ab ＝（x +a ）（x +b ）．示例：分解因式：x 2+5x +6＝x ²+（2+3）x +2×3＝（x +2）（x +3）． 请用上述方法分解因式：(1)x 2-3x -4；(2)x 2-7x +12．【答案】(1)()()14x x +-(2)()()34x x --【分析】（1）根据-4=1×(−4)，1-4=-3即可分解因式；（2）根据-3×(-4)=12，-3-4=-7即可分解因式．（1）解：x 2−3x −4=x 2+(1-4)x +1×(−4)=(x +1)(x −4)；（2）解：x 2−7x +12=x 2+(−3−4)x +(−3)×(−4)=(x −3)(x −4)．【点睛】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数．14．阅读理解题：由多项式乘法：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：()()()2x a b x ab x a x b +++=++．示例：分解因式：()()()2256232323x x x x x x ++=+++´=++．分解因式：()()()()222121212x x x x x x éùéùëû--=++-+´-=+û+ë．多项式()2x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．(1)尝试：分解因式：()()268____________x x x x ++=++；(2)应用：请用上述方法将多项式：256x x -+、256x x --进行因式分解．【答案】(1)2，4(2)()()23x x --，()()16+-x x 【分析】（1）利用阅读材料的方法解答，即可求解；（2）利用阅读材料的方法解答，即可求解；(1)268x x ++()22424x x =+++´()()24x x =++；故答案为：2，4(2)解：256x x -+()()()()22323x x éùéùëû=+-+-+-´-ëû()()23x x =--；256x x --()()21616x x éùéùëû=++-+-ë´û()()16x x =+-【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，理解阅读材料的因式分解方法是解题的关键．15．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：2(2)(3)56x x x x ++=++；2(1)(3)23x x x x -+=+-．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：256(2)(3)x x x x ++=++；223(1)(3)x x x x +-=-+．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子223x x +-分解因式．这个式子的二次项系数是111=´，常数项3(1)3-=-´，一次项系数2(1)3=-+，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：223(1)(3)x x x x +-=-+．利用这种方法，将下列多项式分解因式：(1)2710x x ++=__________；(2)223x x --=__________；(3)2712y y -+=__________；(4)2718x x +-=__________．【答案】(1)()()25x x ++(2)()()31x x -+(3)()()34y y --(4)()()92x x +-【分析】（1）仿照题意求解即可；（2）仿照题意求解即可；（3）仿照题意求解即可；（4）仿照题意求解即可．(1)解：根据题意可知()()271025x x x x ++=++(2)解：根据题意可知()()22331x x x x --=-+(3)解：根据题意可知()()271234y y y y =---+(4)解：根据题意可知()()271892x x x x +-=+-【点睛】本题主要考查分解因式，正确理解题意是解题的关键．16．阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道，()()225710x x x x --=-+．反过来，就得到2710x x -+的因式分解形式，即2710(2)(5)x x x x -+=--．把这个多项式的二次项系数1分解为11´，常数项10分解为(2)(5)-´-，先将分解的二次项系数1，1分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再把2-，5-分别写在十字交叉线的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉相乘，再求代数和，此时正好等于一次项系数7-（如图1）．像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其正好等于一次项系数，我们把这种借助“十字”方式，将一个二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．例如，将二次三项式243x x +-分解因式，它的“十字”如图2：所以，()()243143x x x x +-=+-．请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：(1)256x x ++= ；(2)2273x x -+= ；(3)()222x m x m +--= ．【答案】(1)（x +2）（x +3）(2)（2x -1）（x -3）(3)（x +2）（x -m ）【分析】根据阅读材料中的十字相乘法即可得出答案．（1）解：由上图可知：x 2+5x +6=（x +2）（x +3），故答案为：（x +2）（x +3）；（2）解：由上图可知：2x 2-7x +3=（2x -1）（x -3），故答案为：（2x -1）（x -3）；（3）解：由上图可知：x2+（2-m）x-2m=（x+2）（x-m），故答案为：（x+2）（x-m）．【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，关键是读懂材料掌握十字相乘的基本步骤．17．探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？（1）观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：________；（2）（阅读与理解）：由多项式乘法，我们知道（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左地使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解，即：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）此类多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．猜想并填空：x2+8x+15=x2+[（_____）+（_____）]x+（___）×（___）=（x+____）（x+_____）（3）上面多项式x2+8x+15的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程．（4）请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：x2-x-12【答案】（1）不能；（2）3；5；3；5；3；5；（3）x2+8x+15；（4）（x-4）（x+3）【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征进行判断即可；（2）将x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）即可得出答案；（3）根据整式乘法计算（x+3）（x+5）的结果即可；（4）将x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]即可得出答案．【详解】解：（1）因为x2+8x+16=（x+4）2，所以x2+8x+15不是完全平方公式，故答案为：不能；（2）∵x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）∴x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）=（x+3）（x+5），故答案为：3，5，3，5，3，5；（3）∵（x+3）（x+5）=x2+5x+3x+15=x2+8x+15，∴x2+8x+15=（x+3）（x+5）因此多项式x2+8x+15的因式分解是符合题意的；（4）x2-x-12=x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]=（x+3）（x-4）．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，掌握x 2+（a +b ）x +ab =（x +a ）（x +b ）的结构特征是正确应用的前提．18．由多项式乘法：（x +a ）（x +b ）＝x 2+（a +b ）x +ab ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2+（a +b ）x +ab ＝（x +a ）（x +b ）．示例：分解因式：x 2+5x +6＝x 2+（2+3）x +2×3＝（x +2）（x +3）．（1）尝试：分解因式：x 2+6x +8＝（x +____）（x +____）；（2）应用：请用上述方法解方程：①x 2﹣3x ﹣4＝0；②x 2﹣7x +12＝0．【答案】（1）2，4；（2）①1x =-或4x =；②3x =或4x =【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得；（2）①利用十字相乘法将左边因式分解为()()41x x -´+后求解可得；②利用十字相乘法将左边因式分解()()43x x -´-后求解可得．【详解】解：（1）2268(24)24(2)(4)x x x x x x ++=+++´=++，故答案为：2，4；（2）①2340x x Q --=，2(41)(4)10x x +-++-´=，(4)(1)0x x \-+=，则10x +=或40x -=，解得：1x =-或4x =，②27120x x -+=Q ，2(34)(3)(4)0x x +--+-´-=，(3)(4)0x x \--=，则30x -=或40x -=，解得：3x =或4x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法中的因式分解法．19．阅读材料：解方程22350x x +-=我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式2235x x +-，①竖分二次项与常数项：2x x x =×，()()3557-=-´+．②交叉相乘，验一次项：57x x -+752x x x Þ-=．③横向写出两因式：()()223557x x x x +-=-+．（2）根据乘法原理：若0ab =，则0a =或0b =，则方程22350x x +-=可以这样求解22350x x +-=方程左边因式分解得()()570x x -+=所以原方程的解为15=x ，27x =-．试用上述方法和原理解下列方程：（1）2560x x ++=；（2）2670x x --=．【答案】（1）12x =-，23x =-；（2）11x =-，27x =【分析】（1）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可；（2）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可．【详解】解：（1）2560x x ++=，()()230x x ++=，20,30x x +=+=，12x =-，23x =-．（2）2670x x --=，()()170x x +-=，10,70x x +=-=，11x =-，27x =．【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式的应用，解题的关键是正确利用十字相乘法分解因式．20．阅读下列材料：材料1：将一个形如x 2＋px ＋q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q ＝mn 且p ＝m ＋n ，则可以把x 2＋px ＋q 因式分解成（x ＋m ）（＋n ）的形式，如x 2＋4x ＋3＝（x ＋1）（x ＋3）；x 2﹣4x ﹣12＝（x ﹣6）（x ＋2）材料2：因式分解：（x ＋y ）2＋2（x ＋y ）＋1解：将“x ＋y ”看成一个整体，令x ＋y ＝A ，则原式＝A 2＋2A ＋1＝（A ＋1）2，再将“A ”还原，得原式＝（x ＋y ＋1）2上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x 2﹣6x ＋8分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x ﹣y ）2＋4（x ﹣y ）＋3【答案】（1）()()42x x --；（2）()()31x y x y -+-+【分析】（1）根据材料1的方法，满足()()()()842,642=-´--=-+-，进而进行因式分解即可；（2）根据材料1的方法，满足313,413=´=+，根据材料2将“x y -” 看成一个整体，进而因式分解即可【详解】（1）()()()()842,642=-´--=-+-Q \x 2﹣6x ＋8()()42x x =--（2）令x y A -=,313,413=´=+Q 则（x ﹣y ）2＋4（x ﹣y ）＋3(3)(1)A A =++\（x ﹣y ）2＋4（x ﹣y ）＋3=()()31x y x y -+-+【点睛】本题考查了因式分解，运用整体思想是解题的关键．。
如何利用十字相乘法分解因式
数学篇学思导引所谓的“十字相乘法”就是借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式ax 2+bx +c 分解因式的方法.十字相乘法在因式分解中经常用到，它可以解答很多公式法、配方法等不能解答的问题.在运用十字相乘法分解因式时需要拆分常数项或二次项系数，并逐一核验对角线乘积的和是否等于一次项系数，若相等，则拆分成功，否则拆分不成功，需要舍弃，最后将拆分后的项按照乘积的形式书写出来，即可完成因式分解.一、二次项系数为“1”时，拆常数项，凑一次项对于二次三项式x 2+bx +c ，当二次项系数为1时，采用十字相乘法分解因式通常是“拆常数项，凑一次项”.即将常数项c 拆分成两个因数c 1和c 2,使这两个因数c 1和c 2的乘积结果刚好是常数项c ,同时c 1和c 2的和刚好是一次项系数b .如图1所示:只要能满足c =c 1c 2,b =c 1+c 2,则x 2+bx +c =x 2+(c 1+c 2)x +c 1c 2=(x +c 1)(x +c 2).图1例1分解因式y 2-8y +15.分析：此二项式的二次项系数为“1”，直接拆分常数项15即可.常数项15=1×15=-1×图2解：y 2-8y +15=(y -3)(y -5).例2分解因式x 2-2x -15.分析：此题可直接拆分常数项-15，因为常数项是负数，所以拆分的因数中需要安排一个负号，这就需要核验一次项系数后确定.-15=-1×15=1×（-15）=-3×5=3×（-5），-1×15和1×（-15）的情形很容易看出不符合要求，另外两种情形如图3、图4所示；拆分为图3核验结果为1×5+1×（-3）=2，不等于一次项系数-2，舍弃；图4验核结果为1×（-5）+1×3=-2，等于一次项系数-2，核验正确.图3图4解：x 2-2x -15=（x +3）（x -5）.评注：从以上的解题过程可以发现:当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，每个因数的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.二、二次项系数不为“1”时，拆两头，凑中间如何利用十字相乘法分解因式盐城市初级中学陈爱荣数学篇学思导引“拆两头，凑中间”，即分别把二次项系数a 和常数项c 各自拆分成两个因数a 1和a 2、c 1和c 2,使a 1和a 2的乘积结果等于二次项系数a ，c 1和c 2的乘积结果等于常数项c ,并使a 1c 2+a 2c 1正好等于一次项系数b ，如图5所示，则ax 2+bx +c =a 1a 2x 2+（a 1c 2+a 2c 1）x +c 1c 2=(a 1x +c 1)(a 2x +c 2),a x1c 1a x 2c 2a x 1a 22c 1c 2(a +1c a c x 221)图5例3分解因式5x 2+7x -6.分析：此题中二次项系数不为“1”，需要拆分二次项系数和常数项系数，即5=1×5，-6=-1×6=1×（-6）=-2×3=2×（-3），如下图6-1至6-8所示，然后逐一核对对角线乘积和与一次项系数是否一致，由表1可知，图6-6的分解符合题意.图6-1图6-2图6-3图6-4图6-5图6-6图6-7图6-8表1十字相乘法数据核验表序号12345678图示6-16-26-36-46-56-66-76-8数据验核1×6+5×（-1）=11×（-6）+5×1=-11×1+5×（-6）=-291×（-1）+5×6=291×3+5×（-2）=-71×（-3）+5×2=71×2+5×（-3）=-131×（-2）+5×3=13取舍情况舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×解：5x 2+7x -6=(5x -3)(x +2).例4分解因式9+5x -4x 2.分析：此题二次项系数为负数，如果提取负号则可以转化为二次项系数为正数的情形，即9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）.然后求解出4x 2-5x -9的因式分解结果即可.二次项系数可拆分为4=1×4=2×2，常数项可拆分为-9=-1×9=1×（-9）=-3×3，如下图7-1至7-9所示，然后逐一核对对角线乘积和转化后的一次项系数（-5）是否一致.由表2可知，图7-2的分解符合题意.图7-1图7-2图7-3图7-4图7-5图7-6图7-7图7-8图7-9表2十字相乘法数据核验表（转化后）序号123456789图示7-17-27-37-47-57-67-77-87-9数据验核1×9+4×（-1）=51×（-9）+4×1=-51×1+4×（-9）=-351×（-1）+4×9=351×3+4×（-3）=-91×（-3）+4×3=92×9+2×（-1）=162×（-9）+2×1=-162×（-3）+2×3=0取舍情况舍弃，×正确，√舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×舍弃，×解：9+5x -4x 2=-（4x 2-5x -9）=-（x +1）（4x -9）.评注：当二次项系数和常数项系数有多种拆分情况时，同学们需要逐一核验拆分后对角线乘积的和是否与一次项系数一致，然后舍弃所有不符合的情况，保留正确的拆分情况.此外，如果二次项系数是负数，则应先将负号提到括号外面，使二次项系数为正数，然后再进行因式分解.27。
八年级数学十字相乘法因式分解
手机在线电影 现在手机看电视已经成为每个人生活的一部分，哪呢怎么才能离线的观看自己喜欢看的电视呢？ 手机在线电影 手机怎么下载首先，我们要在手机面板上，找到我们需要的软件，这样我们才可以完成下面的每一个步奏；进入之后，我们可以看到右上角有一个下载的图标，我们点击这个图标就可以进入了；进入之后，我们可以按照自己的意愿，来操作和下载，我们需要的每一个剧情，可以按 手机在线电影 电脑安装影视客户端观看免费电影和电视剧，不需付任何费用，高清1080p电影和电视剧 手机在线电影 Window可安装客户端Mac也可安装客户端 手机在线电影 1、打开任何浏览器，输入网址访问，选择客户端去，进行下载客户端2、根据你的电脑系统来选择哪个安装包，有Window客户端安装程序和Mac客户端安装程序 手机在线电影 3、首页操作简化，左上角菜单有：热门影片、推荐影片、电影、电视剧和动漫。除了这点，你也可以使用搜索功能，去找你想要的片子~4、观看任何影片时，你可以调整360、720或1080高清。尽量选择1080真的非常高清~ 手机在线电影 在我们使用腾讯看剧的时候，我们往往不会只观看一个剧目，那么我们在观看多个电视剧的时候，我们要怎么快速找到自己要长时间追的电视剧呢？办法自然是有的，我们可以选择将电视剧添加到我的收藏里面，这样我们下次观看的时候，直接在我的收藏里面找到该电视剧即可 手机在线电影 电脑：Windows10腾讯：V201010.29 手机在线电影 1、首先呢，我们就是需要打开腾讯2、然后我们打开自己想看的电视剧，进入到播放界面3、找到上方的工具栏，找到一个爱心形状4、点击一下，便可将正在观看的电视剧添加到收藏了 手机在线电影 暴风影音怎么下载电视剧？暴风影音下载电视剧方法，在使用暴风影音时很多人想下载电视剧但是不知道怎么下载，下面小编就和大家分享暴风影音怎么下载电视剧？暴风影音下载电视剧方法 手机在线电影 暴风影音 手机在线电影 暴风影音怎么下载电视剧1、在下载电视剧之前你需要等登陆暴风影音的账号，如果没那就先注册暴风影音账号再登陆。2、登陆之后点击暴风影音界面的《电视剧》再找到自己想要下载的电视剧进入《影片详情》界面。3、打开电视剧的影片详情界面后点击《下载》图标，再选择的
华师大八上数学 12.5.4 因式分解--十字相乘法
怎样形式的多项式才能用这种方法呢？
1、二次三项式且二次项，一次项和常数项 都存在。
2、二次项系数为“1”。
十字相乘法
2 x 1 x 2 3x x 3 xx
22
步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式
x x
2
1
2
x
2 x
3x
3
6 x
当二次项系数和常 数项符号都是正的 时候，可以分解为 两个与一次项系数 同号的因数。
x
合 并
7 x
利用十字相乘法的难点在于如何分解二次项系数和常 数项，再怎样交叉相乘，因此在分解的时候，要仔细 观察，并多次尝试，使相加的结果等于一次项系数。
针对性练习：将下列各式分解因式
1 2 3
5 y 17 y 6
2
5 y 2 y 3 m 3 2m 5 2 3a 1 a 3
2m 11m 15
2
6a 20a 6
2
例2、利用十字相乘法分解因式：
1
2x 3x 9
2
解：原式
2x 3 x 3
16a b
3 3
3 x
2
y
2 2
4x y
探究：怎样将 x 3x 2 分解因式呢？ 能用提公因式或公式法吗？
2
计算：
x 1 x 2
2 2 2
x 2x x 2 x 2 1 x 2Байду номын сангаас x 3x 2
回顾： x a x b x a b x ab
1
（
a）
1
（12） [ -4 ]
人教版八年级上册数学《因式分解--十字相乘法与分组分解法》专题讲义(含答案)
因式分解的基本方法例题精讲一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +-【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】 把a 视为未知数，其它视为参数。
北师大版八年级(下)数学第16讲：分解因式-十字相乘法(教师版)——王琪
分解因式-十字相乘法一. 十字相乘法1.对于二次三项式 ,将a和c分别分解成两个因数的乘积。
2. 规律内涵:(1)把二次三项式分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.3. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.二．分组分解法1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3. 注意: 分组时要注意符号的变化.1．若2x3﹣ax2﹣5x+2=（2x2+ax﹣1）（x﹣b），则a+b=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4解：∵（2x2+ax﹣1）（x﹣b）=2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b，∴2x3﹣ax2﹣5x+2=2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b，∴﹣a=a﹣2b，﹣5=﹣（ab+1），b=2，解得：a=2，b=2，∴a+b=4，故选D2．计算结果为x2+7x﹣18的是（）A．（x+2）（x﹣9）B．（x﹣2）（x+9）C．（x+3）（x+9） D．（x﹣3）（x+6）解：x2+7x﹣18=（x﹣2）（x+9）．故选：B．3．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．22解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．∴a=﹣5，b=11，c=6，则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．故选C．4．多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y解：2x2﹣xy﹣15y2=（2x+5y）（x﹣3y）．故选：B．5．如果多项式x2﹣mx+6分解因式的结果是（x﹣3）（x+n），那么m，n的值分别是（）A．m=﹣2，n=5 B．m=2，n=5 C．m=5，n=﹣2 D．m=﹣5，n=2解：x2﹣mx+6=（x﹣3）（x+n）=x2+（n﹣3）x﹣3n，可得﹣m=n﹣3，﹣3n=6，解得：m=5，n=﹣2．故选C6．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2﹣2x﹣15=（x+3）（x﹣5）C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D．2x+4=2（x+4）解：A、x2﹣4=（x+2）（x﹣2）；故本选项错误；B、x2﹣2x﹣15=（x+3）（x﹣5）；故本选项正确；C、3mx﹣6my=3m（x﹣2y）；故本选项错误；D、2x+4=2（x+2）；故本选项错误．故选B．7．把多项式x2+y2﹣2xy﹣1因式分解的结果是（）A．（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）C．（x+y﹣1）（x﹣y+1） D．（x﹣y+1）（y﹣x+1）解：原式=（x﹣y）2﹣1=（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）故选A8．多项式ab﹣bc+a2﹣c2分解因式的结果是（）A．（a﹣c）（a+b+c）B．（a﹣c）（a+b﹣c）C．（a+c）（a+b﹣c）D．（a+c）（a﹣b+c）解：原式=（ab﹣bc）+a2﹣c2=b（a﹣c）+（a+c）（a﹣c）=（a﹣c）（a+b+c）故选A9．下列因式分解正确的是（）A．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x﹣y﹣1）B．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x+y﹣1）C．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x+y+1）D．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x+y）2﹣1=（2x+y+1）（2x+y﹣1）解：4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x﹣y﹣1）．故选；A．10．下列分解因式正确的是（）A．（x+y）（﹣y）=x﹣y2 B．x2﹣3=（x+1）（x﹣1）﹣2C．a2+b2﹣2ab+1=（a﹣b）2+1 D．x2﹣4xy+4y2=（x﹣2y）2解：（A）等式右边还是多项式，故A错误；（B）等式右边不是整式乘积的形式，故B错误；（C）等式右边不是整式乘积的形式，故C错误；（D）等式左边是一个多项式，右边是乘积形式，故选D11．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3解：∵x2+ax+b=（x+1）（x﹣3），∴a=1﹣3=﹣2，b=﹣3×1=﹣3，故选：B．12．下列多项式变形不正确．．．的是（）A．a2﹣4a+3=（a﹣2）2﹣1 B．a2﹣4a+3=（a﹣1）（a﹣3）C．a2﹣4a+3=（a2﹣a）﹣（3a﹣3） D．a2﹣4a+3=（a﹣）2﹣a解：A、a2﹣4a+3=a2﹣4a+4﹣1=（a﹣2）2﹣1，故本选项不符合题意；B、a2﹣4a+3=（a﹣1）（a﹣3），故本选项不符合题意；C、a2﹣4a+3=（a2﹣a）﹣（3a﹣3），故本选项不符合题意；D、a2﹣4a+3=a2﹣4a+（）2+2a﹣2a=（a﹣）2﹣（4+2）a，故本选项符合题意；故选：D．13．将多项式x2﹣3x﹣4分解因式后正确的是（）A．（x+2）（x﹣2）﹣3x B．x（x﹣3）﹣4 C．（x﹣1）（x+4）D．（x+1）（x﹣4）解：x2﹣3x﹣4=（x+1）（x﹣4）．故选D．14．下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（）A．x2﹣7x+12=x（x﹣7）+12 B．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x+4）C．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4） D．x2﹣7x+12=（x+3）（x+4）解：下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4），故选C15．若x2+mx﹣15=（x+3）（x+n），则mn的值为（）A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10解：由x2+mx﹣15=（x+3）（x+n）=x2+（3+n）x+3n，比较系数，得m=3+n，﹣15=3n，解得m=﹣2，n=﹣5，则mn=（﹣2）×（﹣5）=10．故选：C．16．下列因式分解中正确的是（）A．m2﹣n2=（m﹣n）2 B．3m2﹣6m﹣9=3（m﹣3）（m+1）C．x4﹣2x2y2+y4=（x2﹣y2）2 D．x2﹣3x﹣4=（x+4）（x﹣1）解：A、原式=（m+n）（m﹣n），不符合题意；B、原式=3（m2﹣2m﹣3）=3（m﹣3）（m+1），符合题意；C、原式=（x2﹣y2）2=（x+y）2（x﹣y）2，不符合题意；D、原式=（x﹣4）（x+1），不符合题意，故选B17．下列因式分解错误的是（）A．3x2﹣6xy=3x（x﹣2y） B．x2﹣9y2=（x﹣3y）（x+3y）C．4x2+4x+1=（2x+1）2 D．x2﹣y2+2y﹣1=（x+y+1）（x﹣y﹣1）解：A、3x2﹣6xy=3x（x﹣2y），正确，不合题意；B、x2﹣9y2=（x﹣3y）（x+3y），正确，不合题意；C、4x2+4x+1=（2x+1）2，正确，不合题意；D、x2﹣y2+2y﹣1=x2﹣（y﹣1）2=（x+y﹣1）（x﹣y+1），故此选项错误，符合题意；故选：D．18．因式分解与整数乘法一样，都是一种恒等变形，即在变形的过程中，形变值不变，于是将多项式x2﹣y2+（2x+2y）分解因式的结果为（）A．（x+y）（x﹣y+2） B．（x+y）（x﹣y﹣2）C．（x﹣y）（x﹣y+2） D．（x﹣y）（x﹣y﹣2）解：x2﹣y2+（2x+2y）=（x+y）（x﹣y）+2（x+y）=（x+y）（x﹣y+2），故选：A．19．能分解成（x+2）（y﹣3）的多项式是（）A．xy﹣2x+3y﹣6 B．xy﹣3y+2x﹣y C．﹣6+2y﹣3x+xy D．﹣6+2x﹣3y+xy解：（x+2）（y﹣3）=xy﹣3x+2y﹣6．故选：C．20．下列各式按如下方法分组后，不能分解的是（）A．（2ax﹣10ay）+（5by﹣bx） B．（2ax﹣bx）+（5by﹣10ay）C．（x2﹣y2）+（ax+ay）D．（x2+ax）﹣（y2﹣ay）解：A．（2ax﹣10ay）+（5by﹣bx）=2a（x﹣5y）+b（5y﹣x）=（x﹣5y）（2a﹣b），故此选项不合题意；B．（2ax﹣bx）+（5by﹣10ay）=x（2a﹣b）+5y（b﹣2a）=（x﹣5y）（2a﹣b），故此选项不合题意；C．（x2﹣y2）+（ax+ay）=（x+y）（x﹣y）+a（x+y）=（x+y）（x﹣y+a），故此选项不合题意；D．（x2+ax）﹣（y2﹣ay）=x（x+a）﹣y（y﹣a），无法分解因式，符合题意．故选：D．基础演练1．若多项式x2+mx+12因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣6），则m的值是（）A．8 B．﹣4 C．﹣8 D．4解：由题意可知：x2+mx+12=（x﹣2）（x﹣6），∴x2+mx+12=x2﹣8x+12∴m=﹣8故选C2．下列因式分解结果正确的是（）A．15a3+10a2=5a（3a2+2a） B．9﹣4x2=（3+4x）（3﹣4x）C．a2﹣10a﹣25=（a﹣5）2 D．a2﹣3a﹣10=（a+2）（a﹣5）解：A、15a3+10a2=5a2（3a+2），故此选项错误；B、9﹣4x2=（3+2x）（3﹣2x），故此选项错误；C、a2﹣10a﹣25无法因式分解，故此选项错误；D、a2﹣3a﹣10=（a+2）（a﹣5），正确．故选：D．3．若把多项式x2+mx﹣6分解因式后含有因式x﹣2，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．3解：设x2+mx﹣6=（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a，可得m=a﹣2，2a=6，解得：a=3，m=1，故选B．4．下列各等式中正确的是（）A．=±2 B．2+=2C．a2﹣a﹣2=（a+1）（a﹣2） D．（a m）n=a m+n解：A、=2，故此选项错误；B、2+无法计算，故此选项错误；C、a2﹣a﹣2=（a+1）（a﹣2），故此选项正确；D、（a m）n=a mn，故此选项错误；故选：C．5．下列因式分解结果正确的是（）A．10a3+5a2=5a（2a2+a）B．4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）解：A、10a3+5a2=5a2（2a+1），故此选项错误；B、4x2﹣9=（2x+3）（2x﹣3），故此选项错误；C、a2﹣2a﹣1，无法因式分解，故此选项错误；D、x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1），此选项正确．故选：D．6．多项式x2﹣11x+30分解因式的结果为（）A．（x+5）（x﹣6）B．（x﹣5）（x+6）C．（x﹣5）（x﹣6）D．（x+5）（x+6）解：x2﹣11x+30=（x﹣5）（x﹣6）．故选：C．7．对于a2﹣2ab+b2﹣c2的分组中，分组正确的是（）A．（a2﹣c2）+（﹣2ab+b2） B．（a2﹣2ab+b2）﹣c2C．a2+（﹣2ab+b2﹣c2） D．（a2+b2）+（﹣2ab﹣c2）解：a2﹣2ab+b2﹣c2=（a2﹣2ab+b2）﹣c2=（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．故选B．8．若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（）A．正数 B．负数 C．非负数D．非正数解：多项式m3﹣m2﹣m+1，=（m3﹣m2）﹣（m﹣1），=m2（m﹣1）﹣（m﹣1），=（m﹣1）（m2﹣1）=（m﹣1）2（m+1），∵m＞﹣1，∴（m﹣1）2≥0，m+1＞0，∴m3﹣m2﹣m+1=（m﹣1）2（m+1）≥0，故选C．9．多项式x2y2﹣y2﹣x2+1因式分解的结果是（）A．（x2+1）（y2+1） B．（x﹣1）（x+1）（y2+1）C．（x2+1）（y+1）（y﹣1）D．（x+1）（x﹣1）（y+1）（y﹣1）解：x2y2﹣y2﹣x2+1=y2（x2﹣1）﹣（x2﹣1）=（y2﹣1）（x﹣1）（x+1）=（y﹣1）（y+1）（x﹣1）（x+1）．故选：D．10．把多项式1+a+b+ab分解因式的结果是（）A．（a﹣1）（b﹣1）B．（a+1）（b+1） C．（a+1）（b﹣1）D．（a﹣1）（b+1）解：1+a+b+ab=（1+a）+b（1+a）=（1+a）（1+b）．故选：B．巩固提高11．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a=﹣2，b=﹣3 B．a=2，b=3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3解：根据题意得：x2+ax+b=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，则a=﹣2，b=﹣3，故选A12．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（）A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣15解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2），x2+15x﹣34=（x+17）（x﹣2），∴乙为x﹣2，∴甲为x+2，丙为x+17，∴甲与丙相加的结果x+2+x+17=2x+19．故选：A．13．若多项式x2+px+12可以因式分解为（x+m）（x+n）的形式，且p、m、n均为整数，则满足条件的整数p共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个解：∵多项式x2+px+12可以因式分解为（x+m）（x+n）的形式，且p、m、n均为整数，∴p=±13，±8，±7，共6个，故选C14．对下列各整式因式分解正确的是（）A．2x2﹣x+1=x（2x﹣1）+1 B．x2﹣2x﹣1=（x2﹣1）2C．2x2﹣xy﹣x=2x（x﹣y﹣1）D．x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）解：A、原式不能分解，错误；B、原式=（x﹣1﹣）（x﹣1+），错误；C、原式=x（2x﹣y﹣1），错误；D、原式=（x+2）（x﹣3），正确．故选D．15．下列运算正确的是（）A．×= B．•=1C．﹣2x2﹣3x+5=（1﹣x）（2x+5）D．（﹣a）7÷a3=a4解：A、原式=2×=，错误；B、原式=|a﹣b|•=1或﹣1，错误；C、原式=（1﹣x）（2x+5），正确；D、原式=﹣a4，错误．故选C．16．已知二次三项式x2﹣kx﹣15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k的取值范围有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：根据题意得：﹣15=﹣1×15=1×（﹣15）=﹣3×5=3×（﹣5），可得﹣k=14，﹣14，2，﹣2，解得：k=﹣14，14，﹣2，2，共4个，故选D17．分解因式x2﹣m2+4mn﹣4n2等于（）A．（x+m+2n）（x﹣m+2n）B．（x+m﹣2n）（x﹣m+2n）C．（x﹣m﹣2n）（x﹣m+2n）D．（x+m+2n）（x+m﹣2n）解：x2﹣m2+4mn﹣4n2=x2﹣（m2﹣4mn+4n2）=x2﹣（m﹣2n）2=（x+m﹣2n）（x﹣m+2n）．故选：B．18．分解因式与整式乘法一样，都是一种恒等变形，即在变形的过程中，形变值不变，于是将多项式x2﹣y2+3x﹣3y分解因式的结果为（）A．（x+y+3）（x﹣y）B．（x﹣y一3）（x﹣y）C．（x+y﹣3）（x﹣y） D．（x﹣y+3）（一x﹣y）解：x2﹣y2+3x﹣3y=（x+y）（x﹣y）+3（x﹣y）=（x﹣y）（x+y+3）．故选：A．19．多项式x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8分解因式的结果是（）A．（x﹣5y+1）（x﹣5y﹣8） B．（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）C．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y﹣2）D．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y+2）解：x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8=（x﹣5y）2+2（x﹣5y）﹣8=（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）．故选：B．20．下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a=5a（3a+1） B．﹣x2+y2=（y+x）（y﹣x）C．ax+x+ay+y=（a+1）（x+y）D．﹣a2﹣4ax+4x2=﹣a（a+4x）+4x2解：A、15a2+5a=5a（3a+1），正确；B、﹣x2+y2=（y+x）（y﹣x），正确；C、ax+x+ay+y=（ax+ay）+（x+y）=（a+1）（x+y），正确；D、﹣a2﹣4ax+4x2=﹣a（a+4x）+4x2结果不是积的形式，故本选项错误．故选D．1．若x2﹣x﹣n=（x﹣m）（x﹣3），则mn=（）A．6 B．4 C．12 D．﹣12解：∵x2﹣x﹣n=（x﹣m）（x﹣3）=x2﹣（m+3）x+3m，∴m+3=1，﹣n=3m，解得：m=﹣2，n=6，则mn=﹣12．故选D2．若x2﹣px+q=（x﹣2）（x+3），则p﹣q的值为（）A．5 B．7 C．﹣7 D．﹣5解：∵x2﹣px+q=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，∴﹣p=1，q=﹣6，解得：p=﹣1，q=﹣6，则p﹣q=﹣1+6=5，故选A．3．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣7x+12=x（x﹣7）+12 B．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x+4）C．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4） D．x2﹣7x+12=（x+3）（x+4）解；∵x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4），∴只有选项C正确．故选；C．4．把多项式ab﹣1+a﹣b因式分解的结果是（）A．（a+1）（b+1） B．（a﹣1）（b﹣1）C．（a+1）（b﹣1）D．（a﹣1）（b+1）解：ab﹣1+a﹣b=（ab﹣b）+（a﹣1）=b（a﹣1）+（a﹣1）=（a﹣1）（b+1）；ab﹣1+a﹣b=（ab+a）﹣（b+1）=a（b+1）﹣（b+1）=（a﹣1）（b+1）．故选D．5．把a2﹣b2+2b﹣1因式分解，正确的是（）A．（a+b）（a﹣b）+2b﹣1 B．（a+b+1）（a﹣b﹣1）C．（a+b﹣1）（a+b+1） D．（a+b﹣1）（a﹣b+1）解：a2﹣b2+2b﹣1=a2﹣（b2﹣2b+1）=a2﹣（b﹣1）2=（a﹣b+1）（a+b﹣1）．故选：D．6．下列因式分解结果正确的是（）A．x2+3x+2=x（x+3）+2 B．4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）D．a2﹣2a+1=（a+1）2解：A、原式=（x+1）（x+2），故本选项错误；B、原式=（2x+3）（2x﹣3），故本选项错误；C、原式=（x﹣2）（x﹣3），故本选项正确；D、原式=（a﹣1）2，故本选项错误；故选：C．7．如果多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），那么下列结论正确的是（）A．m=6 B．n=1 C．p=﹣2 D．mnp=3解：∵多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），∴（3x+2）（x+p）=3x2+（3p+2）x+2p=mx2﹣nx﹣2，∴p=﹣2，3p+2=﹣n，解得：n=1．故选：B．8．已知多项式x2+bx+c分解因式为（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（）A．b=2，c=3 B．b=﹣4，c=3 C．b=﹣2，c=﹣3 D．b=﹣4，c=﹣3解：∵x2+bx+c=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3，∴b=﹣2，c=﹣3．故选：C．9．把x2﹣y2+2y﹣1分解因式结果正确的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y+1）C．（x+y﹣1）（x+y+1） D．（x﹣y+1）（x+y+1）解：原式=x2﹣（y2﹣2y+1）=x2﹣（y﹣1）2=（x+y﹣1）（x﹣y+1），故选B．10．把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（）A．（x+y+3）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）C．（x+y﹣3）（x﹣y+1） D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）解：x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3=（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4）=（x﹣1）2﹣（y+2）2=[（x﹣1）+（y+2）][（x﹣1）﹣（y+2）]=（x+y+1）（x﹣y﹣3）．故选D．1．分解因式x2﹣4x﹣5正确的是（）A．（x﹣5）（x+1）B．（x+5）（x﹣1）C．（x﹣5）（x﹣1）D．（x+5）（x+1）解：x2﹣4x﹣5=（x﹣5）（x+1）．故选：A．2．下列分解因式正确的是（）A．x3﹣x=x（x2﹣1） B．m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2）C．（a+4）（a﹣4）=a2﹣16 D．x2+y2=（x+y）（x﹣y）解：A、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），分解不彻底，故本选项错误；B、运用十字相乘法分解m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2），正确；C、是整式的乘法，不是分解因式，故本选项错误；D、没有平方和的公式，x2+y2不能分解因式，故本选项错误．故选B．3．多项式2x（x﹣2）﹣2+x中，一定含下列哪个因式（）A．2x+1 B．x（x+1）2C．x（x2﹣2x）D．x（x﹣1）解：2x（x﹣2）﹣2+x=2x2﹣3x﹣2=（x﹣2）（2x+1）．所以多项式2x（x﹣2）﹣2+x中，一定含因式（x﹣2）或（2x+1）．故选：A．4．已知（2x﹣9）（3x﹣2）﹣（3x﹣2）（x﹣6）可分解因式为（3x+a）（x﹣b），其中a、b均为整数，则3a+b的值为（）A．﹣6 B．3 C．9 D．﹣3解：∵（2x﹣9）（3x﹣2）﹣（3x﹣2）（x﹣6）=（3x﹣2）（2x﹣9﹣x+6）=（3x﹣2）（x﹣3），∴a=﹣2，b=3，∴3a+b=3×（﹣2）+3=﹣3．故选D．5．若多项式ax2+bx+c因式分解的结果为（x﹣2）（x+4），则abc的值为（）A．﹣16 B．16 C．8 D．﹣8解：根据题意得：ax2+bx+c=（x﹣2）（x+4）=x2+2x﹣8，∴a=1，b=2，c=﹣8，则abc=﹣16．故选A6．分解因式a2﹣2a+1﹣b2正确的是（）A．（a﹣1）2﹣b2 B．a（a﹣2）﹣（b+1）（b﹣1）C．（a+b﹣1）（a﹣b﹣1）D．（a+b）（a﹣b）﹣2a+1解：原式=（a﹣1）2﹣b2=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．故选C．7．下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a=5a（3a+1） B．﹣x2﹣y2=﹣（x2﹣y2）=﹣（x+y）（x﹣y）C．k（x+y）+x+y=（k+1）（x+y）D．1﹣a2﹣b2+2ab=（1+a﹣b）（1﹣a+b）解：A.15a2+5a=5a（3a+1），故此选项错误；B．﹣x2﹣y2两项符号相同无法运用平方差公式进行分解，故此选项正确；C．k（x+y）+x+y=（k+1）（x+y），故此选项错误；D.1﹣a2﹣b2+2ab=（1+a﹣b）（1﹣a+b），故此选项错误．故选：B．8．下列式子中，因式分解错误的是（）A．a2﹣bc+ac﹣ab=（a﹣b）（a+c） B．ab﹣5a+3b﹣15=（b﹣5）（a+3）C．x2﹣6xy﹣1+9y2=（x+3y+1）（x+3y﹣1） D．x2+3xy﹣2x﹣6y=（x+3y）（x﹣2）解：A、a2﹣bc+ac﹣ab=（a2﹣ab）+（ac﹣bc）=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c），故本选项正确；B、ab﹣5a+3b﹣15=（ab﹣5a）+（3b﹣15）=a（b﹣5）+3（b﹣5）=（b﹣5）（a+3），故本选项正确；C、x2﹣6xy﹣1+9y2=（x2﹣6xy+9y2）﹣1=（x﹣3y）2﹣1=（x﹣3y+1）（x﹣3y﹣1），故本选项错误；D、x2+3xy﹣2x﹣6y=（x2+3xy）﹣（2x+6y）=x（x+3y）﹣2（x+3y）=（x+3y）（x﹣2），故本选项正确．故选C．9．下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a=5a（3a+1）B．﹣x2﹣y2=﹣（x+y）（x﹣y）C．ax+x+ay+y=（a+1）（x+y）D．a2﹣bc﹣ab+ac=（a﹣b）（a+c）解：A、15a2+5a=5a（3a+1），正确；B、﹣x2﹣y2=﹣（x2+y2），故本选项错误；C、ax+x+ay+y=（a+1）（x+y），正确；D、a2﹣bc﹣ab+ac=（a﹣b）（a+c），正确．故选B．10．分解因式x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1），乙看错了b的值，分解结果为（x﹣2）（x+1），那么x2+ax+b分解因式的正确结果为（）A．（x﹣2）（x+3）B．（x+2）（x﹣3）C．（x﹣2）（x﹣3）D．（x+2）（x+3）解：因为（x+6）（x﹣1）=x2+5x﹣6，（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，由于甲看错了a的值没有看错b的值，所以b=6，乙看错了b的值而没有看错a的值，所以a=﹣1，所以多项式x2+ax+b为x2﹣x+6=（x﹣3）（x+2）故选B．11．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x﹣1）（x+3），则a，b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=﹣2，b=﹣3解：x2+ax+b=（x﹣1）（x+3）=x2+2x﹣3，故a=2，b=﹣3，故选：B．12．若多项式x2+ax+b分解因式的结果（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（）A．a=1，b=﹣6 B．a=5，b=6 C．a=1，b=6 D．a=5，b=﹣6解：∵多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x﹣2）（x+3），∴x2+ax+b=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，故a=1，b=﹣6，故选：A．13．如果多项式x2+ax+b可因式分解为（x﹣1）（x+2），则a、b的值为（）A．a=1，b=2 B．a=1，b=﹣2 C．a=﹣1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=2解：根据题意得：x2+ax+b=（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，则a=1，b=﹣2，故选B14．多项式（x+2）（2x﹣1）﹣2（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m﹣n的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．5解：∵（x+2）（2x﹣1）﹣2（x+2）=（x+2）（2x﹣1﹣2）=（x+2）（2x﹣3），∴m=2，n=﹣3．∴m﹣n=2﹣（﹣3）=5．故选D．15．下列四个等式中错误的是（）A．1﹣a﹣b+ab=（1﹣a）（1﹣b）B．1+a+b+ab=（1+a）（1+b）C．1﹣a+b+ab=（1﹣a）（1+b） D．1+a﹣b﹣ab=（1+a）（1﹣b）解：A、1﹣a﹣b+ab=（1﹣a）+（﹣b+ab）=（1﹣a）﹣b（1﹣a）=（1﹣a）（1﹣b），故本选项不符合题意；B、1+a+b+ab=（1+a）+（b+ab）=（1+a）+b（1+a）=（1+a）（1+b），故本选项不符合题意；C、∵（1﹣a）（1+b）=1﹣a+b﹣ab≠1﹣a+b+ab，∴错误，故本选项符合题意；D、1+a﹣b﹣ab=（1+a）+（﹣b﹣ab）=（1+a）﹣b（1+a）=（1+a）（1﹣b），故本选项不符合题意．故选C．16．把x2﹣y2﹣2y﹣1分解因式结果正确的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）C．（x+y﹣1）（x+y+1）D．（x﹣y+1）（x+y+1）解：原式=x2﹣（y2+2y+1），=x2﹣（y+1）2，=（x+y+1）（x﹣y﹣1）．故选A．17．分解因式a2﹣b2+4bc﹣4c2的结果是（）A．（a﹣2b+c）（a﹣2b﹣c） B．（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）C．（a+b﹣2c）（a﹣b+2c） D．（a+b+2c）（a﹣b+2c）解：a2﹣b2+4bc﹣4c2，=a2﹣b2+4bc﹣4c2，=a2﹣（b2﹣4bc+4c2），=a2﹣（b﹣2c）2，=（a﹣b+2c）（a+b﹣2c）．故选C．18．下列多项式中，不能进行因式分解的是（）A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1解：A、两个平方项异号，可用平方差公式进行因式分解，故A正确；B、两个平方项同号，不能运用平方差公式进行因式分解，故B错误；C、可先运用提公因式法，再运用十字相乘法，原式=a（a2﹣3a+2）=a（a﹣1）（a﹣2），故C正确；D、可先分组，再运用公式法，原式=（a﹣b）2﹣1=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D正确．故选：B．。
八年级数学十字相乘法因式分解
例2 分解因式 3x 2－10x＋3
解：3x 2－10x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1) 3x
－1
－9x－x=－10x
例3 分解因式 5x 2－17x－12
解：5x 2－17x－12 5x
＋3
=(5x＋3)(x－4) x
－4
－20x＋3x=－17x
例4 将 2(6x 2＋x) 2－11(6x 2＋x) ＋5 分
=(2x 2－3xy－2y 2)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y－1)(x－2y＋2)
2
1
(2x＋y)
－1
1
－2 (x－2y)
2
－4＋1=－3
2(2x＋y) － (x－ 2 y)=3x＋4y
在分组分解法中，我们学习 了形如 x 2＋(p＋q)x＋pq 的式子 的因式分解问题。 即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
解因式
解：2(6x 2＋x)2－11(6x 2＋x) ＋5 = [(6x 2＋x) －5][2(6x 2＋x)－1] = (6x 2＋x－5) (12x 2＋2x－1 ) = (6x －5)(x ＋1) (12x 2＋2x－1 )
1
－5
6
－5
2
－1－1－ຫໍສະໝຸດ 0=－1111－5＋6=1
练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x＋6)(x＋1)
x
p
3_十字相乘法(含答案)
因式分解之“十字相乘法”【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项ax 2+bx+c （a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数a c a c 1122，，，满足a a a c c c 1212==，，并且a c a c b 1221+=，那么二次三项式ax 2+bx+c 即()a a x a c a c x c c 122122112+++ 可以分解为()()a x c a x c 1122++。
这里要确定四个常数a c a c 1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
【思考】10~20以内的平方数心算办法。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例1. 已知：x 2－11x +24>0，求x 的取值范围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
例1解： ∵x 2－11x +24>0 ∴(x －3)(x －8)>0 分解为⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-08030803x x x x 或 ∴ x >8 或 x <3例2. 如果x 4－x 3+mx 2－2mx －2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式。
分析：应当把x 4分成x 2·x 2，而对于常数项－2，可能分解成(－1)×2，或者分解成(－2)×1，由此分为两种情况进行讨论。
例2解：（1）待定系数法，设原式分解为(x 2+ax －1)(x 2+bx +2)，其中a 、b 为整数，去括号，得： x 4+(a +b )x 3+x 2+(2a －b )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： a +b =－1, m =1, 2a －b =－2m解得：a =－1，b =0，m =1 此时，原式=(x 2+2)(x 2－x －1)（2）设原式分解为(x 2+cx －2)(x 2+dx +1)，其中c 、d 为整数，去括号，得：x 4+(c +d )x 3－x 2+(c －2d )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： c +d =－1, m =－1, c －2d =－2m解得：c =0, d =－1, m =－1 此时，原式=(x 2－2)(x 2－x +1)2. 在几何学中的应用例3. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x －y －x 2+2xy －y 2+2=0，求长方形的面积。
14.3因式分解(4)——+十字相乘法讲练课件+2023-2024学年人教版八年级数学上册
(3)若x2＋px＋6可分解为两个一次二项式的积，则整数p的所有可能值 为 ±7，±5 ．
设将相同的个位数字设为m，十位数字分别为p，q，且p＋q＝10. ∴两个两位数分别表示为(10p＋m)，(10q＋m)． ∴它们的乘积为(10p＋m)(10q＋m) ＝100pq＋10pm＋10qm＋m2 ＝100pq＋10m(p＋q)＋m2 ＝100pq＋100m＋m2＝100(pq＋m)＋m2.
5.＝－3(x2－xy－2y2) ＝－3(x＋y)(x－2y)．
基础巩固
1．分解因式： (1)x2＋7x＋12; (2)x2＋6x－7. (1)解：原式＝(x＋3)(x＋4)． (2)解：原式＝(x＋7)(x－1)．
2．分解因式： (1)x2－5x＋6; (2)x2－6x－27. (1)解：原式＝(x－2)(x－3)． (2)解：原式＝(x－9)(x＋3)．
(3)x2－15x＋14； 解：原式＝(x－14)(x－1)． (4)x2－2x－8. 解：原式＝(x－4)(x＋2)．
4．分解因式： (1)3x2－7x－6； 解：原式＝(3x＋2)(x－3)． (2)4x2－5xy＋y2. 解：原式＝(4x－y)(x－y)．
5．如果二次三项式x2＋ax＋2可分解为(x－1)·(x＋b)，那么a＋b的值 为 －5 ．
5．分解因式： (1)2x2＋x－3; (2)2x2－7x＋3. (1)解：原式＝(2x＋3)(x－1)． (2)解：原式＝(2x－1)(x－3)．
人教初中数学八上《因式分解》十字相乘法》教案 (公开课获奖)
因式分解十字相乘法◆教学目标◆◆知识与技能：理解十字相乘法的概念和意义；◆过程与方法：会用十字相乘法把形如x2＋px＋q的二次三项式分解因式；.◆情感态度：培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性和层次性渗.◆教学重点与难点◆◆重点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆难点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆教学过程◆自主学习一. 创设情境1．口答计算结果：〔1〕 (x＋2)(x＋1) 〔2〕 (x＋2)(x－1) 〔3〕(x－2)(x＋1) 〔4〕 (x－2)(x－1)〔5〕(x＋2)(x＋3) 〔6〕 (x＋2)(x－3)〔7〕 (x－2)(x＋3) 〔8〕 (x－2)(x－3)2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?归纳： .二．探索尝试根据上面的公式试将以下多项式写成两个一次因式相乘的形式：x2＋(2＋3)x＋2×3＝；x2＋(－1－2)x＋(－1)×(－2)＝；x2＋(－1＋2)x＋(－1)×2＝；x2＋(1－2)x＋1×(－2)＝ . 由上面的分析可知形如x2＋px＋q的二次三项式，如果常数项q能分解为两个因数a、b的积，并且a＋b恰好等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2＋px＋q＝x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)三．例题举例根底题〔1〕x2＋7x＋6 〔2〕x2－5x－6 〔3〕x2－5x＋6四.练习：〔1〕x2－7x＋6 〔2〕a2－4a－21〔3〕t2－2t－8 〔4〕m2＋4m－12拓展题〔1〕x2＋xy－12y2〔2〕x4＋5x2－6五.练习：〔1〕x2－13xy－36y2 〔2〕a2－ab－12b2〔3〕m4－6m2＋8 〔4〕x4＋10x2＋9六.课堂小结：对二次三项式x 2＋px ＋q 进行因式分解，应重点掌握以下三个方面： 1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.2．符号规律: 当q ＞0时，a 、b 同号，且a 、b 的符号与p 的符号相同；当q ＜0时，a 、b 异号，且绝对值较大的因数与p 的符号相同.七.课外延伸：把以下多项式分解因式：〔1〕 342+-x x 〔2〕1282+-x x 〔3〕1582++x x 〔4〕762-+x x 〔5〕11102--a a 〔6〕432-+m m 〔7〕302-+x x 〔8〕13122--x x 〔9〕2282y xy x -+ 〔10〕2234b ab a ++ 〔11〕22208y xy x -- 〔12〕2254n mn m -- 〔13〕434--x x 〔14〕1522--x x 〔15〕24102-+x x 〔16〕24142+-x x八.思考：1.请将以下多项式因式分解：①362132++x x ② 12724++x x ③()()242112222+---x x xx2. 先填空,再分解〔尽可能多的〕： x 2( )x + 60 = ； ◆板书设计◆因式分解之十字相乘法二. 创设情境 二．探索尝试 三．例题举例 课 堂 小 结 课 外 延 伸 ◆课后思考◆15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕b a ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标〔一〕教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． 〔二〕能力训练要求1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． 〔三〕情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ [生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． [师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．〔演示课件〕1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．[生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕．〔演示课件〕等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕．〔投影仪演示学生证明过程〕[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD 〔SSS 〕． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕．〔演示课件〕[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． 〔课件演示〕[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD 〔等边对等角〕．设∠A=x ，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习D CA BD CABDC A B〔一〕课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：〔1〕72° 〔2〕30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形〔AB=AC ，∠BAC=90°〕，AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．〔二〕阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题． 〔二〕1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．D C A BEDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔 〕 A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔 〕 A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm ，那么其腰长为〔x+2〕cm ，根据题意，得 2〔x+2〕+x=16．解得x=4．E DC A B P所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算：(1))1)(1(yx x y x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕ba ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
因式分解之十字相乘法
待定系数法 二次六项式
学习心得
• 1.十字相乘法的两种模型： =(x+p)(x+q) acx2+(ad+bc)x+bd=
x2+(p+q)x+pq (ax+b)(cx+d)
.
猜想 合并同类项
• 2.双十字相乘法： (ax+by+c)(dx+ey+f)=(a+d)x2+(bd+ae)xy+bey2+(af+cd)x+(bf+ce)y+cf
• (x-7)(x-4)=x2-7x-4x+(-7)×(-4) =x2-11x+28 x • =x2+3x-8x+3×(-8) =x2-5x-24 x -7 +3 -4 -7x-4x ∴x2-11x+28=(x-7)(x-4) ∴x2-5x-24= . (x-8)
x
x
-8
(x+3) +3x-8x (x+3)(x-8)
2x
3x
-2y 4xy-10xy
• 2.3x2+11x+10=(3x )( x 3x x
)
• 4.7x2-19x-6=( x x
)( x
)
5 2 1 6x+5x
x
7
2
7×(-3)x+2x
模型小结
• 1.6x2+7x+2=(2x-1)(3x ) • 2.3x2+11x+10=(3x )( x ) • 3.5x2-6xy-8y2=( x )( x ) • 4.7x2-19x-6=( x )( x ) 的
(完整版)十字相乘法因式分解
当q>0时，q分解的因数a、b( 当q<0时， q分解的因数a、b(
) 同号 ) 异号
观察：p与a、b符号关
系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结： 当q>0时，q分解的因数a、b(
) 同号
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5) x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b(
) 异号
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填 、 符号
__ __ x2 4x 3 =（x + 3）（x + 1）
_-_ __ x2 2x 3 =（x
3）（x + 1）
_-_ _-_ y2 9y 20 =（y
4）（y 5）
_-_ __ t2 10t 56 =（t
4）（t +14）
当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符号相同
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为 -1 时 ， 先提出负号再因式分解 。
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
人教版八年级数学--十字相乘法
竖分首末交叉验，
横写因式不能乱。
巩固3
a2-17ab+72b2
课堂小结
十字相乘法：借助十字交叉线分解因式的方法 竖分首末交叉验， 横写因式不能乱。 因式分解 方法小结： 提公因式 公式法 十字相乘法
随堂练习 因式分解：
（1） (a+b)2 – (a+b) – 20 （2）(x2+2x)2–7(x2+2x)–8 （3） 5x5–15x3y–20xy2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8x+15 = (x-3) (x-5)
-3
(x-3)
巩固1 因式分解：
竖分首末交叉验，
(1) y2–7y–30 (2) a2-6a+9 (3) –t2+4t–3
横写因式不能乱。
x2 + (p+q)x + pq =( x + p )( x + q ) 例2 因式分解：
(1) (
2+5 ( 2 ) y
横写因式不能乱。
（3） 2x2+13x+15
竖分首末交叉验， 横写因式不能乱。
2 y )+6
y4+5y2+6
(2) (
2- 5 ( ) a+b a+b )+6
巩固2 因式分解：
竖分首末交叉验，
(1) (a-b)2 + 2(a-b) – 15
横写因式不能乱。
(2) x4 – 20x2 + 91
(3) m2 x2 – 2mx -35
x2 + (p+q)x + pq =( x + p )( x + q )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
|标签：手机在无线网络下打开无线网下载个电影电视剧，坐车的时候就有电视看了 智能手机能联上无线网的地方 1、下载一个暴风影音 2、打开联上无线网，关掉手机流量 3、打开暴风影音界面，找自己喜欢的电影点击 4、看到一个箭头向下加横杆的点一下，选择哪一集，等缓存完了就好 众所周知在火车上网络信号是极其不稳定的，想要看电视剧，就要把电视剧提前下载到电脑上，下面让我们来一起看看电视剧怎么下载吧！爱奇艺6.8.89.67Windows腾讯 1、使用爱奇艺，打开“爱奇艺”，打开想下载的电视剧。2、点击“下载”，选择想下载的集数，等待缓存完成即可。3、使用腾讯，打开“腾讯”，打开想下载的电视剧，点击“下载”，选择想下载的集数，等待缓存完成即可。4、总结如下。 爱奇艺是大家经常要用到的一款播放软件，可有的时候我们会用爱奇艺筛选自己喜欢的电视剧，那么应该如何解决这个问题呢？下面就让小编给大家介绍一下解决问题的方法。 1、首先打开爱奇艺APP，然后点击右上角的导航图标。2、在导航页面中找到“电视剧”，点击“电视剧”。3、然后点击“筛选”按钮，进行筛选。4、再选择不同地区，不同类型，不同年份和是否付费的电视剧即可。5、总结如下。 追剧是大部分人放假休闲的首选之一，那么现在对于一些比较好看的电视剧都是要收费才能看，那么如果我们特别想看一部剧，还不想花钱，怎么办呢？让小编来告诉你吧！ 演.0.60 1、我们里，我们要输入内容，内容是什么呢？先