高中数学2.2.4逆变换与逆矩阵旋转变换课件苏教选修40.ppt

2
，
1
2
故对应的坐标变换公式为x′＝12x＋ 23y
.
y′＝－ 23x＋12y
令
x＝－1，y＝0
得x′＝－12
y′＝
3 2
.
所以所求的点 A′的坐标为－12， 23.
曲线在旋转变换作用下的象
[例 2] 已知曲线 C：x2＋y2＝2，将曲线 C 绕坐标原点逆时 针旋转 60°后，求得到的曲线 C′的方程．
[思路点拨] 先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线 方程．
[精解详析] 旋转变换对应的矩阵
M＝csions
60° 60°
－sin cos
1 6600°°＝2
3
－
3
2
，
1
2 2
设 P(x0，y0)为曲线 C 上任意的一点，它在矩阵 M 对应的变
换作用下变为 P′(x′0 ，y′0 )．
θ θ
－sin cos
θθ这样的矩阵，称为旋转变换矩阵．
旋转变换只改变几何图形的_相__对__位__置___，不会改变几何图形
的_形__状___．
点在旋转变换作用下的象
[例 1] 在直角坐标系 xOy 内，将每个点绕原点 O 按逆 时针方向旋转 135°的变换称为旋转角是 135°的旋转变换．
(1)试写出这个旋转变换的坐标变换公式和相应的矩阵； (2)求点 A(4,8)在这个旋转变换作用下的象 A′. [思路点拨] 根据其坐标变换公式写出旋转变换对应的 矩阵后求解．
[精解详析] (1)该变换的坐标变换公式为：
x′＝xcos 135°－ysin y′＝xsin 135°＋ycos
135° 135°
，该变换对应的矩阵为：
cos 135° sin 135°
－sin cos
113355°°＝－
2 2
2
2
－
2 2
－
2. 2
(2)由(1)知，当 x＝4，y＝8 时，
x′＝－6 2，y′＝－2 2，
所以点 A(4,8)在这个旋转变换作用下的象为
A′(－6 2，－2 2)．
α＝1，

22sin
α＋
22cos
α＝0.
∴sinα－π4＝－1， sinα＋π4＝0.
∴αα－＋ππ44＝＝－kππ2. ＋2kπ，
(k∈Z)
∴αα＝ ＝－ －ππ44＋ ＋2kkππ. ，
(k∈Z)
∴α＝－π4＋2kπ(k∈Z)．
2．设点 P 的坐标为(1，－2)，T 是绕原点逆时针旋转π3的旋转变 换，求旋转变换 T 对应的矩阵 A，并求点 P 在旋转变换 T 作 用下得到的点 P′的坐标．
P′(x′，y′)，∴xy′′＝＝122x3－x＋2123yy，，
(1)
x′＝12，
将
x＝1，y＝0
代入(1)式得 y′＝
3 2.
由(1)消去 y，并将 x＝－1 代入，得 x′＋ 3y′＝－2.
∴曲线 E′仍为抛物线，它的焦点坐标 F′12， 23，准线方程 l′：x＋ 3y＋2＝0.
5．将抛物线 E：y2＝4x 绕它的顶点逆时针旋转 60°，得到曲线
E′.求曲线 E′的焦点坐标和准线方程． 解：已知抛物线 y2＝4x 的焦点坐标为 F(1,0)，准线方程 l：
1 x＝－1.旋转变换对应的矩阵为2
－
3 2
.
3 1
2 2
设点 P(x，y)为变换前坐标系中任意一点，经变换后得到
22－ 2
2 2 2.
2 2
2
由xy′′＝
2 2
2
－
2 2
2 2
xy＝

22x－ 22x＋
22y， 22y
x′＝ 得
22x－y，
y′＝ 22x＋y，
x＝ 解得
22x′＋y′，
y＝ 22y′－x′，
6．已知椭圆x42＋y32＝1 经过矩阵 M 对应的变换作用下变为椭圆x32
＋y42＝1，求变换矩阵 M. 解：将椭圆x42＋y32＝1 变换为椭圆x32＋y42＝1，可以伸压变换，
可以是反射变换(关于原点成中心反射或关于直线 y＝x 与 y
＝－x 成轴对称)，还可以是旋转变换(绕原点旋转 90°)，其
理解与掌握旋转变换对应的变换矩阵和坐标变换公式是解 答该类问题的关键，对于特殊图形的旋转变换，也可根据数形 结合直接得出，如本例中，曲线 C 是以原点为圆心的圆，所以 它不管旋转多少度，所得的图形仍是其自身．
3．将双曲线 C：x2－y2＝1 上的点绕原点逆时针旋转 45°，得到 新图形 C′，试求 C′的方程． 解：根据题意，得旋转变换矩阵
03，
0 1
－1 0
20＝02，01
－1 0
0

3＝－0
3 .
故点 A，B，C，D 在旋转变换 M 的作用下分别变为点 A′(0， －2)，B′( 3，0)，C′(0,2)，D′(－ 3，0)，从而椭圆曲线 Γ： x42＋y32＝1 在逆时针旋转 90°后所成的曲线为椭圆曲线 Γ ′：x32＋ y42＝1.
中反射与旋转较为方便，所以矩阵
M
可
以
是
0 1
1 0
或
0 1
－10或－10
－01或－01
10等．
7．已知椭圆 C：x2＋y2＋xy＝3，将曲线 C 绕原点 O 顺时针旋
转π4，得到椭圆 C′.求： (1)椭圆 C′的标准方程；
(2)椭圆 C 的焦点坐标．
因为绕原点逆时针sions
90° 90°
－sin cos
9900°°＝01
－10.
所以10
－1 0
－02＝－20，
0 1
－1 0
0 －
3＝
代入 xy＝1，
得曲线 C′的方程为 y2－x2＝2.
(2)由(1)知曲线 C′的焦点为(0,2)，(0，－2)，渐近线方程为 y＝
±x.
4．求直线 y＝ 3x 绕原点逆时针旋转π6后所得的直线的方程． 解：直线 y＝ 3x 的倾斜角为π3，绕原点逆时针旋转π6后所得 的直线的倾斜角为π2，故所求的直线方程为 x＝0.
M＝scions
60° 60°
－sin cos
1 6600°°＝2
3
－
3
2
，
1
2 2
对应的坐标变换公式为x′＝12x－ 23y， y′＝ 23x＋12y，
可得xy′′＝＝122×3×3－3＋2123××44＝＝33－3224＋43，， 即点 B 的坐标为3－24 3，3 32＋4， 由于线段 OA 旋转过程中所扫描过的图形是半径为 OA，圆心 角为π3的扇形， 而 OA＝ 32＋42＝5， 所以相应的面积为 S＝12×π3×52＝265π.
2
M＝scions
45° 45°
－sin cos
4455°°＝
2 2
2
－
2
2
，
2
2
任意选取双曲线 x2－y2＝1 上的一点 P(x0，y0)，它在变换作
用下变为 P′(x，y)，
x＝ 则有
22x0－
22y0，
y＝ 22x0＋ 22y0，
那么
1．若点
A
22，
22在矩阵csions
α α
－sin cos
αα对应的变换作用下得
到的点为(1,0)，求 α.
解：由csions
α α
2
－sin α cos α

22＝10，
2
得
22cos
α－
22sin
得12(x′－y′)2＋12(x′＋y′)2＋12(x′2－y′2)＝3. ∴椭圆 C′的方程为x22＋y62＝1.
(2)∵椭圆 C′的焦点坐标为(0，±2)，
∴椭圆 C 的焦点坐标为 F1(－ 2， 2)，F2( 2，－ 2)．
8．已知点 A(3,4)，点 A 绕原点逆时针旋转 60°后得到的对应点 为 B，求点 B 的坐标，并求出线段 OA 旋转过程中所扫描过 的图形的面积． 解：由题意可得旋转变换矩阵为
解：由题意知旋转变换矩阵
A＝csionsπ3π3
－csoinsππ33＝1223
－
3 2
1 2
1
设
P′(x′，y′)，则2
3
－
3 2
1
－12＝yx′′
2 2
∴xy′′＝＝122＋3－13.，
1 则有2
－
3 2

3 1
yx00＝xy′0′0 ，
2 2
故x0＝12x′0 ＋ 3y′0 ， y0＝12y′0 － 3x′0 .
因为点 P(x0，y0)在曲线 C：x2＋y2＝2 上， 所以 x0 2＋y0 2＝2， 即 12x′0 ＋ 3y0′2＋12y′0 － 3x0′2＝2， ∴x′0 2＋y′0 2＝2. 从而曲线 C′的方程为 x2＋y2＝2.
2
对应的变换作用下的图形这里
2
A(0,0)，B(2,0)，
2
2
C(1,1)．
解析：在 M1 下，A→A′(0,0)，B→B′(－2,0)，C→C′(－
1，－1)．
在 M2 下，A→A″(0,0)，B→B″(0,2)，C→C″(－1,1)．
在 M3 下，A→A
，B→B 2， 2)，C→C ， 2)．
2
解：(1)矩阵
A＝
－
2
2 2
2
2
，
2
2
设椭圆 C 上的点 P(x，y)变换后为 P′(x′，y′)，
2
则
2
－
2 2