最大公因数(短除法)ppt
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(1) 两个数都是质数: ____ 2 和 ____ 5 。
(2) 两个数都是合数: ____ 4 和 ____ 9 。
(3) 一个质数一个合数: ____ 13 和 ____ 8 。
7. 有一张长方形纸，长 70 cm，宽 50 cm。如果要 剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的 小正方形的边长最大是几厘米? 10 厘米。
①求出 4和8、16和32、17和34 的最大公因数 .
②求出 1和7、8和9、9和16 的最大公因数 . 1和7的最大公因数：1 8和9的最大公因数：1
4和8的最大公因数：4
16和32的最大公因数：16 17和34的最大公因数：17
9和16的最大公因数：1
从这组题中 当两个数只有公因 你发现了什么？ 数1时，它们的最 从这组题中 你又发现了什1。 大公因数也是 么？
站右边，是 12 和 18 公因数的站中间。
1
2
3
4
9
6
12
2
怎样求 18 和 27 的最大公因数。
它们的公因 数 1， 3， 9 中，9 最大。
我是这样 表示的。
我是看 18 的因
数中有哪些是
27 的因数 · · · · · ·
你还有其他方法吗? 和同学讨论一下。
观察一下，两个数的公因数和它们的最大公因 数之间有什么关系?
互 质 数 的 几 种 特 殊 情 况
1、相邻的两个自然数（0除外）。
2、相邻的两个奇数。
3、两个不相同的质数。 4、小的数是质数，大的数不是它的 倍数的两个数。 5、大的数是质数的两个数。
6、1和任何一个自然数（0除外）。 7、2和任何奇数。
（如图）有一块长方体木块，长7dm，宽 5dm，高4.5dm。如果把它锯成同样大小的小正 方体木块，最大可以锯成棱长是多少的小方块而 又不浪费木料？
要把它们截成同样长的小 棒，不能有剩余，每根小
棒最长是多少厘米? 12 cm
12、16 和 44 的最大公因数是 4 。
16 cm
答: 每根小棒最长是 4 厘米。
44 cm
公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。例如， 5 和 7 是互质数，7 和 9 也是互质数。 想一想：互质的两个数必须都是质数吗? 请你 举出两个合数互质的例子来。 4 和 9，8 和 15。
18和30的最大公因数是 2×3＝6
把所有的除数连乘起来，就得到这两个数的最大公因数
18和30的最小公倍数是 2×3×3×5＝90 把所有的除数和最后的两个商连乘起来， 就得到这两个数的最小公倍数
先同时除以公因数2
2 12 18 3 6 9 2 3
再同时除以公因数3
除到两个商只有公 因数1为止.
把所有的除数连乘,得到12和18的最 大公因数是2×3 = 6
先把下面两个数分解质因数，再求出它们的最小公倍数． 30＝（ 2 ）×（ 3 ）×（ 5 ） 42＝（ 2 ）×（ 3 ）×（ 7 ）
30和42的最大公因数是 2×3 ＝ 6
30和42的最小公倍数是 2×3×5×7＝210 A＝2×2 B＝2×2×3
A和B的最小公倍数是 2×2＝4 A和B的最小公倍数是 2×2×3＝12
几个数的公倍数的个数是（ 无数的） 几个数的公因数的个数是（有限的）
最小公因数和最大公倍数都只有一个
任何几个数中都有公因数（ 1 ） 不能直接判断的一般用（短除法）
练习
1、已知 A＝2×3×5
B ＝3 × 5 × 7
A和B和最小公倍数是（ 210 ） 3× 5× 2× 7
判断
两个数的积一定是这两个数的公倍数．（ √ ）
8. 男、女生分别排队，要使每排的人数相同，每排 最多有多少人? 这时男、女生分别有几排?
男生有 48 人。
女生有 36 人。
48 和 36 的最大公因数是 12。 48÷12 = 4 (排) 36÷12 = 3 (排) 答: 每排最多有 12 人，这时男生有 4 排,女生有 3 排。
9.* 小巧匠。
例题
求28和42的最大公因数
2 28 42 21 3
7 14
2
28和42的最大公因数 2×7＝14
练习 求18和30的最大公因数． 2 18 30 3 9 15 3 5
2×3＝6
练习
求60和90的最大公因数． 2 60 3 30 5 10 2
90 45 15 3
2×3 × 5＝30
练习 求17和12的最大公因数． 12 7 7 12 1 7和12的最大公因数是1
4. 写出下列各分数分子和分母的最大公因数。 7 ( 1 ) 9 8 ( 4 ) 36 18 ( 18 ) 72 9 ( 3 ) 15
5. 在相应的(
公因数。
)里写出相邻阶梯上两个数的最大
72 36 ( 36 ) 24 ( 12 ) 18 ( 6 ) 15 ( 3 ) 10 ( 5 )
6. 按要求写出两个数，使它们的最大公因数是 1。
所有的公因数都是最大公因数的因数，
最大公因数是它们的倍数。
巩固练习
1．口答填空：
12的因数是( )；
18的因数是(
12和18的公因数是( 12和18的最大公因数是( )。
)；
)；
你知道吗？
利用分解质因数的方法，可以比较简便地求出 两个数的最大公因数。例如: 24 = 2×2×2×3 36 = 2×2×3×3 24 和 36 的最大公因数 = 2×2×3 = 12。
1、2、4是16和12公有的因数， 叫做它们的公因数。其中， 4是最大的公因数叫做它们 的最大公因数。
质数：只有1和它本身两个因数的数 合数：除了1和它本身两个因数， 还有其它因数的数。
两个数相乘，其中这两个数都叫做积的因数。
把一个合数分成几个质数的积， 叫分 解 质 因 数
分解质因数
2 1 8 9 3 3 3 0 3 1 5 5
11 33 11 3 1
33和11的最大公因数是11。
可以表示为（33，11）=11。
用短除法求出77和11的最大公因数和最小公倍数。
11 77 11
7 1
77和11的最小公倍数是11。
可以表示为（33，11）=33。
17和12的公因数和最大公因数各是多少？
公因数和最大公因数都是1 公因数只有1的两个数叫做互质数
5和7是不是互质数 6和8是不是互质数 3和10是不是互质数 判断两个数是不是互质数，只要看这两 个数的公因数只有1
讨论： 质数和互质数有什么不同？ 意义不同 质数是指的一个数 如2、3、5、7等 互质数是指两个数之间的关系 如2和3
规律探索： 倍数关系的两个数 最小公倍数就是（较大的数） 最大公因数就是（较小的数） 互质关系的两个数 最小公倍数就是（两个数的乘积） 最大公因数就是 （ 1 ）
18＝ 2 × 3 × 3
2
30＝ 2 × 3 × 5 公有的 独有的 质因数 质因数
18和30的最大公因数是： 2×3=6 18和30的最小公倍数是： 2×3×3×5=90
求18和30的最小公倍数和最大公因数公倍数
2
3
1 8
9 3
3 0 1 5
用公有的质因数2除 用公有的质因数3除
5
除到两个商是互质数为止
70、50和45的最大公因数是5， 所以正方体的棱长是5cm。
4.5dm
7dm
用短除法求出12和20的最大公因数
2 12 20 2 6 10 3 5 12和20的最大公因数是2×2=4。
可以表示为（12，20）=4。
用短除法求出12和16的最大公因数和最小公倍数。
2 12 16 2 6 8 3 4
12和16的最大公因数是2×2=4。 可以表示为（12，20）=4。
用短除法求出33和11的最大公因数和
两个数的积一定是这两个数的最小公倍数．（ × ） 例如：2和4的积是8，但是2和4的最小公倍数是4
学号是 12 的因数而不是 18 的因数的同学 站左边，是 18 的因数而不是 12 的因数的
站右边，是 12 和 18 公因数的站中间。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ我该站哪儿呢?
1
2
3
4
9
6
12
学号是 12 的因数而不是 18 的因数的同学 站左边，是 18 的因数而不是 12 的因数的
42 和 54 6 5和9 1
16 和 48 16
1
3. 选出正确答案的编号填在横线上。 (1) 9 和 16 的最大公因数是______ A 。
A. 1
A. 4
B. 3
B. 6
C. 4
C. 8
D. 9
D. 16
(2) 16 和 48 的最大公因数是______ D 。 (3) 甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因 数是______ C 。 A. 1 B. 甲数 C. 乙数 D. 甲、乙两数的积
的边长必须既是 16 的因数，又是 12 的因数。
16的因数
1， 2， 4， 8，16
12的因数
1， 2 ， 3， 4，6，12
要使所用的正方形地砖都是整块的，地砖
的边长必须既是 16 6 12 的因数，又是 12 的因数。 1 42 8 16 3
16的因数
12的因数
地砖边长可以是1dm、2dm、4dm, 最大是4dm。
什么是因数？ 请你写出16和12的所有因数。
你是怎样找出一个 数的因数的？
16的因数有
16 8 4 2 1
12的因数有 12 2 6 4 3 1
16的因数
12的因数
最大公因数
我们家贮藏室
1
长 16 dm，宽 12 dm。
如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏 室的地面铺满(使用的地砖都是整块)。可以选择边 长是几分米的地砖? 边长最大是几分米?
可以在长方形纸上 画一画，看看能画 出多少个正方形。
可以用正方形 纸片摆一摆。 用边长是 3 dm 的地砖不行啊。
12dm
用边长 1dm 的方砖，可以铺满，都是整块。
16dm
12dm
用边长 2dm 的方砖，可以铺满，都是整块。
12dm
用边长 4dm 的方砖，可以铺满，都是整块。
要使所用的正方形地砖都是整块的，地砖
当两个数成倍数关 系时，较小的数就 是它们的最大公因 数。
互质数
练习十五
1. 填空。 (1) 10 和 15 的公因数有 _____________ 。 1， 5 (2) 14 和 49 的公因数有 _____________ 。 1， 7
2. 找出下面每组数的最大公因数。 6和9 3 15 和 12 30 和 45 34 和 17 15 和 16 3 15 17
(2) 两个数都是合数: ____ 4 和 ____ 9 。
(3) 一个质数一个合数: ____ 13 和 ____ 8 。
7. 有一张长方形纸，长 70 cm，宽 50 cm。如果要 剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的 小正方形的边长最大是几厘米? 10 厘米。
①求出 4和8、16和32、17和34 的最大公因数 .
②求出 1和7、8和9、9和16 的最大公因数 . 1和7的最大公因数：1 8和9的最大公因数：1
4和8的最大公因数：4
16和32的最大公因数：16 17和34的最大公因数：17
9和16的最大公因数：1
从这组题中 当两个数只有公因 你发现了什么？ 数1时，它们的最 从这组题中 你又发现了什1。 大公因数也是 么？
站右边，是 12 和 18 公因数的站中间。
1
2
3
4
9
6
12
2
怎样求 18 和 27 的最大公因数。
它们的公因 数 1， 3， 9 中，9 最大。
我是这样 表示的。
我是看 18 的因
数中有哪些是
27 的因数 · · · · · ·
你还有其他方法吗? 和同学讨论一下。
观察一下，两个数的公因数和它们的最大公因 数之间有什么关系?
互 质 数 的 几 种 特 殊 情 况
1、相邻的两个自然数（0除外）。
2、相邻的两个奇数。
3、两个不相同的质数。 4、小的数是质数，大的数不是它的 倍数的两个数。 5、大的数是质数的两个数。
6、1和任何一个自然数（0除外）。 7、2和任何奇数。
（如图）有一块长方体木块，长7dm，宽 5dm，高4.5dm。如果把它锯成同样大小的小正 方体木块，最大可以锯成棱长是多少的小方块而 又不浪费木料？
要把它们截成同样长的小 棒，不能有剩余，每根小
棒最长是多少厘米? 12 cm
12、16 和 44 的最大公因数是 4 。
16 cm
答: 每根小棒最长是 4 厘米。
44 cm
公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。例如， 5 和 7 是互质数，7 和 9 也是互质数。 想一想：互质的两个数必须都是质数吗? 请你 举出两个合数互质的例子来。 4 和 9，8 和 15。
18和30的最大公因数是 2×3＝6
把所有的除数连乘起来，就得到这两个数的最大公因数
18和30的最小公倍数是 2×3×3×5＝90 把所有的除数和最后的两个商连乘起来， 就得到这两个数的最小公倍数
先同时除以公因数2
2 12 18 3 6 9 2 3
再同时除以公因数3
除到两个商只有公 因数1为止.
把所有的除数连乘,得到12和18的最 大公因数是2×3 = 6
先把下面两个数分解质因数，再求出它们的最小公倍数． 30＝（ 2 ）×（ 3 ）×（ 5 ） 42＝（ 2 ）×（ 3 ）×（ 7 ）
30和42的最大公因数是 2×3 ＝ 6
30和42的最小公倍数是 2×3×5×7＝210 A＝2×2 B＝2×2×3
A和B的最小公倍数是 2×2＝4 A和B的最小公倍数是 2×2×3＝12
几个数的公倍数的个数是（ 无数的） 几个数的公因数的个数是（有限的）
最小公因数和最大公倍数都只有一个
任何几个数中都有公因数（ 1 ） 不能直接判断的一般用（短除法）
练习
1、已知 A＝2×3×5
B ＝3 × 5 × 7
A和B和最小公倍数是（ 210 ） 3× 5× 2× 7
判断
两个数的积一定是这两个数的公倍数．（ √ ）
8. 男、女生分别排队，要使每排的人数相同，每排 最多有多少人? 这时男、女生分别有几排?
男生有 48 人。
女生有 36 人。
48 和 36 的最大公因数是 12。 48÷12 = 4 (排) 36÷12 = 3 (排) 答: 每排最多有 12 人，这时男生有 4 排,女生有 3 排。
9.* 小巧匠。
例题
求28和42的最大公因数
2 28 42 21 3
7 14
2
28和42的最大公因数 2×7＝14
练习 求18和30的最大公因数． 2 18 30 3 9 15 3 5
2×3＝6
练习
求60和90的最大公因数． 2 60 3 30 5 10 2
90 45 15 3
2×3 × 5＝30
练习 求17和12的最大公因数． 12 7 7 12 1 7和12的最大公因数是1
4. 写出下列各分数分子和分母的最大公因数。 7 ( 1 ) 9 8 ( 4 ) 36 18 ( 18 ) 72 9 ( 3 ) 15
5. 在相应的(
公因数。
)里写出相邻阶梯上两个数的最大
72 36 ( 36 ) 24 ( 12 ) 18 ( 6 ) 15 ( 3 ) 10 ( 5 )
6. 按要求写出两个数，使它们的最大公因数是 1。
所有的公因数都是最大公因数的因数，
最大公因数是它们的倍数。
巩固练习
1．口答填空：
12的因数是( )；
18的因数是(
12和18的公因数是( 12和18的最大公因数是( )。
)；
)；
你知道吗？
利用分解质因数的方法，可以比较简便地求出 两个数的最大公因数。例如: 24 = 2×2×2×3 36 = 2×2×3×3 24 和 36 的最大公因数 = 2×2×3 = 12。
1、2、4是16和12公有的因数， 叫做它们的公因数。其中， 4是最大的公因数叫做它们 的最大公因数。
质数：只有1和它本身两个因数的数 合数：除了1和它本身两个因数， 还有其它因数的数。
两个数相乘，其中这两个数都叫做积的因数。
把一个合数分成几个质数的积， 叫分 解 质 因 数
分解质因数
2 1 8 9 3 3 3 0 3 1 5 5
11 33 11 3 1
33和11的最大公因数是11。
可以表示为（33，11）=11。
用短除法求出77和11的最大公因数和最小公倍数。
11 77 11
7 1
77和11的最小公倍数是11。
可以表示为（33，11）=33。
17和12的公因数和最大公因数各是多少？
公因数和最大公因数都是1 公因数只有1的两个数叫做互质数
5和7是不是互质数 6和8是不是互质数 3和10是不是互质数 判断两个数是不是互质数，只要看这两 个数的公因数只有1
讨论： 质数和互质数有什么不同？ 意义不同 质数是指的一个数 如2、3、5、7等 互质数是指两个数之间的关系 如2和3
规律探索： 倍数关系的两个数 最小公倍数就是（较大的数） 最大公因数就是（较小的数） 互质关系的两个数 最小公倍数就是（两个数的乘积） 最大公因数就是 （ 1 ）
18＝ 2 × 3 × 3
2
30＝ 2 × 3 × 5 公有的 独有的 质因数 质因数
18和30的最大公因数是： 2×3=6 18和30的最小公倍数是： 2×3×3×5=90
求18和30的最小公倍数和最大公因数公倍数
2
3
1 8
9 3
3 0 1 5
用公有的质因数2除 用公有的质因数3除
5
除到两个商是互质数为止
70、50和45的最大公因数是5， 所以正方体的棱长是5cm。
4.5dm
7dm
用短除法求出12和20的最大公因数
2 12 20 2 6 10 3 5 12和20的最大公因数是2×2=4。
可以表示为（12，20）=4。
用短除法求出12和16的最大公因数和最小公倍数。
2 12 16 2 6 8 3 4
12和16的最大公因数是2×2=4。 可以表示为（12，20）=4。
用短除法求出33和11的最大公因数和
两个数的积一定是这两个数的最小公倍数．（ × ） 例如：2和4的积是8，但是2和4的最小公倍数是4
学号是 12 的因数而不是 18 的因数的同学 站左边，是 18 的因数而不是 12 的因数的
站右边，是 12 和 18 公因数的站中间。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ我该站哪儿呢?
1
2
3
4
9
6
12
学号是 12 的因数而不是 18 的因数的同学 站左边，是 18 的因数而不是 12 的因数的
42 和 54 6 5和9 1
16 和 48 16
1
3. 选出正确答案的编号填在横线上。 (1) 9 和 16 的最大公因数是______ A 。
A. 1
A. 4
B. 3
B. 6
C. 4
C. 8
D. 9
D. 16
(2) 16 和 48 的最大公因数是______ D 。 (3) 甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因 数是______ C 。 A. 1 B. 甲数 C. 乙数 D. 甲、乙两数的积
的边长必须既是 16 的因数，又是 12 的因数。
16的因数
1， 2， 4， 8，16
12的因数
1， 2 ， 3， 4，6，12
要使所用的正方形地砖都是整块的，地砖
的边长必须既是 16 6 12 的因数，又是 12 的因数。 1 42 8 16 3
16的因数
12的因数
地砖边长可以是1dm、2dm、4dm, 最大是4dm。
什么是因数？ 请你写出16和12的所有因数。
你是怎样找出一个 数的因数的？
16的因数有
16 8 4 2 1
12的因数有 12 2 6 4 3 1
16的因数
12的因数
最大公因数
我们家贮藏室
1
长 16 dm，宽 12 dm。
如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏 室的地面铺满(使用的地砖都是整块)。可以选择边 长是几分米的地砖? 边长最大是几分米?
可以在长方形纸上 画一画，看看能画 出多少个正方形。
可以用正方形 纸片摆一摆。 用边长是 3 dm 的地砖不行啊。
12dm
用边长 1dm 的方砖，可以铺满，都是整块。
16dm
12dm
用边长 2dm 的方砖，可以铺满，都是整块。
12dm
用边长 4dm 的方砖，可以铺满，都是整块。
要使所用的正方形地砖都是整块的，地砖
当两个数成倍数关 系时，较小的数就 是它们的最大公因 数。
互质数
练习十五
1. 填空。 (1) 10 和 15 的公因数有 _____________ 。 1， 5 (2) 14 和 49 的公因数有 _____________ 。 1， 7
2. 找出下面每组数的最大公因数。 6和9 3 15 和 12 30 和 45 34 和 17 15 和 16 3 15 17