数学实验和数学建模

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五、实验任务
1、试制定一张完整的个人住房商业贷款（万元）利率和还款表，贷款期从 一年至二十年，表中应包含以下各项：贷款期（年、月），年利率，月 利率，月还款额和本息总额.注意个人住房十年期贷款的年利率为4.41%， 十年以上贷款年利率不变，仍为4.41%. 2、从还款周期的比较看出，逐月还款比逐年还款付出较少的本息总额，那 么逐周还款情况又将如何？考虑是否有必要采取尽可能短的周期（比如 每日一次）还款?
2、人才培养的需要
（1）21世纪培养的各类专业技术人才，应该具有将他所涉及的专业实 际问题建立数学模型的能力，这样才能在实际工作中发挥更大的创造性。
（2）为了培养学生的定量思维能力和创造能力，就必须在数学教育 中培养学生的建模能力与数值计算及数据处理的能力，加强在应用数学方 面的教育。 （3）通过学习本课程使同学们具有应用数学知识解决实际问题的意 识和能力。
一、数学实验与建模课的提出
二、数学建模竞赛简介 三、建立数学模型的方法与步骤 四、数学建模实例 五、实验任务
一、数学实验与建模课的提出
１、生活工作的需要
现代社会正经历着由工业社会向信息社会过渡的变革, 信息社会有两个主要的特征：
一是计算机技术的迅速发展与广泛应用； 二是数学的应用范围急剧扩展,几乎社会生活中的每 个领域都有数学的应用。
x
x
i
表示定期还款额
ai
第
表示第
i
次还款后的欠款（ i 0,1, 2
, n ）其中
n 为还款次数
, n)
个月的情况为: ai ai 1 (1 r ) x
(i 1, 2,
又由常识知道，最后一次还款应该全部还清；故
an 0
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于是得数学模型（差分方程）:
ai ai 1 (1 r ) x (i 1, 2, an 0
其中
, n)
a0 , r , n
已知常数.
２、模型的求解 显然
a2 a1 (1 r ) x
a3 a2 (1 r ) x
a0 (1 r )2 x(1 r ) x
a0 (1 r)3 x(1 r)2 x(1 r) x
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ak a0 (1 r )k x(1 r )k 1 x(1 r )k 2
ai ai 1 (1 r ) x
(i 1, 2,
, n)
这样在下一个月还款时不但还了本金及其利息而且还多还了利 息的利息，虽然这个数值很小，但数额一累加就大了，对银行来说 就是一个不小的数目。改进的方法为月借款利率不能是
r0 12 ，而是月利率为 1 r0 1 12
代入上面的数学模型计算可知差额消失，故从消 费者利益出发采用等额本金递减还款法较好。
若贷款10000元2年内还清则第一个月还款额为:
a0 y1 ra0 n
代入数据计算得:
10000 y1 10000*0.0033 449.67 24 ra0 y yi yi 1 以后每个月递减 1.3750 n
还本合计:
n 1 sn (1 r )a0 10413 2
这些数是怎么算的？对不对？
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（一）、问题分析
随着经济的发展，金融正越来越多地进入普通人的生活：贷款、保 险、养老金和信用卡等；个人购买住房、汽车是其中重要的一项，大多 数的工薪阶层都会产生按揭贷款购物的想法，但对商家所给出的数据表 了解不多, 现从数学模型的角度来揭开中间的内幕。 首先，我们要弄清楚“按揭”的涵义。所谓按揭，是消费者、商家、 银行之间的一种协定，是消费者因购买资金不足而向银行贷款购物（以 所购物作为抵押），而还款按照约定的时间间隔定期偿还贷款并付息的 一种消费方式。现在的问题是对于不同的还款方式：(1)如何计算各期 还款额.(2)若自己设定一个每月还款数额需还多长时间. (3)还款本息 合计的计算方法.
自然数学建模与数学实验课同时也走进了大学课堂。
三、建立数学模型的方法与步骤
1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必 要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 ——即 建立数学模型。 在难以得出解析解时，可
显然与表中所提供的数据基本吻合。
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若贷款100000元,每月还500、800、1000元需用的时间
代入
x ln( ) x a0 r n ln(1 r )
得:
n 362,
168,
125
即若贷款10万元， 每个月各还500,800,1000元所对应的时间为362,168,125月
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对于等额本金递减还款法
月均等额本息还款法 月均还本 息（元） 还本息合 计（元） 10396
等额本金递减还款法 月还本金 （元） 还本金合 计（元） 10396
2
3 5 8 10 12
3.96
3.96 3.96 4.41 4.41 4.41
0.33
0.33 0.33 0.3675 0.3675 0.3675
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36 60 96 120 144
二、数学建模竞赛简介
1992 年我国大学生数学建模竞赛开始举办，从最初 的几十所学校、几百个队发展到05年，全国 30 个省 （市、自治区）以及香港各院校３千多个队参赛。 全国大学生数学建模竞赛，是由教育部高等教育司 与中国工业与应用数学学会联合举办的大学生科技活动， 竞赛每年 9月上旬举行，竞赛面向全国本专院校的学生， 不分专业。由 3 位同学组成一个队，在三天的时间里， 团结协作，利用数学知识与计算机知识，建立一个数学 模型，解决一个实际问题，最后提交一篇自己撰写的论 文。
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综合上述检验数据，说明我们所得到的公式比较符合实际情况。
进一步深入思考
细心的读者会发现两者存在着一定的差额，若按贷款10万元12年还 清来计算，则两者相差1千多元，但是上述两种算法都是人民银行许可 的，《金陵晚报》针对此种现象作过报道并引起了央行的重视。同学们 经过分析可以发现在月等额还款中第 i 个月的情况为:
a0 (1 r )
r (a0
i
n a0 (i 1)a0 yi r[a0 ] (i 1, 2, 个月的情况为: n n
n
)
, n)
ra0 这样就得到一个差分方程: y yi yi 1 n
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用数学模型表示为
a0 y1 ra0 n y y a0 r i i 1 n
黄河水院基础部数学教研室
数学实验与建模课是一种新的教学模式， 是大学数学课程的重要组成部分。 它将数学知识、数学建模与计算机应用三者 融为一体，通过数学实验与建模课程学习，同 学们经过自己动手计算、体验解决实际问题的 全过程，既初步掌握了数学软件的使用，同时 也培养了同学们的创新精神。
§1数学实验与建模的基础知识
这其中必 有数学公式， 哼哼，我 要找出它。。。。
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（二）、模型的建立与求解
1、 月均等额还款的数学模型 计算每月还款额 一个月后欠银行的本得和为: a0 (1 r ) 式中
a0
表示借款额（即贷款本金）；
r
：借款利率；
但为了减少欠款,设每月还 元,因而一个月后还欠款: a1 a0 (1 r ) x 式中
n
n
即为每月还
x
元的前提下还清贷款所需的月数.
所还本息合计的计算法
sn nx
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４、等额本金递减还款法的数学模型
等额本金递减还款法,即每月等额偿还本金与贷款利息之 和，只不过贷款利息遂月递减 一个月后欠银行的本得和为:
第二个月的还款额为: y2 第
a0 ra0 同样为了减少欠款,还了 y1 元,因而: y1 n a0 a0
x
的数学表达式。
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3、每月还款一定数额所需时间的计算
在上面的模型中,若
n
x
为已知,求还款的月数
x n 由 a0 (1 r ) [(1 r ) 1] 0 r
变形后两边取自然对数整理得 式中
x (1 r ) 可得 x ra0 x ln( ) x a0 r n ln(1 r )
全国大学生数学建模竞赛
China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling (CUMCM) 宗旨： 创新意识 团队精神 重在参与 与 公平竞争
全国大学生数学建模竞赛网址:
在竞赛过程中，学生们的聪明才智和创造精神得到 了充分的发挥，提交了许多出色的答卷，也有力地促进 了高等院校的数学教学改革，充分显示了数学建模竞赛 活动的强大生命力。

4.模型求解。
借助 计算机 求出数值解。
5.模型的检验与应用。
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现实问题
观察、分析 简化、假设
建立模型
收集数据
求解模型
错误
验证模型
正 确
应用
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四、数学建模实例
开封市住房公积金管理中心提供的测算表(以10000元为例)
贷款利率
贷款 期限 (年 )
1
年利率% 3.96
月利率% 0.33
还款 期数 (月 ) 1
已知. y 就是银行所说的递减金额.
其中
a0 , r , n
所还本息合计的计算：sn
yi
i 1
n
a0 n 1 a0 a0 r (a0 )r (a0 a0 )r n n 1 n 1 a0 [1+r (1 )r (1 )r ] n n