2020最新高中数学 第三章 统计案例章末复习课学案 新人教A版必备2-3

第三章统计案例

章末复习课

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1．线性回归方程中的系数及相关指数R2，独立性检验统计量K2公式复杂，莫记混用错．2．相关系数r是判断两随机变量相关强度的统计量，相关指数R2是判断线性回归模型拟合效果好坏的统计量，而K2是判断两分类变量相关程度的量，应注意区分．3．在独立性检验中，当K2≥6.635时，我们有99.9%的把握认为两分类变量有关，是指“两分类变量有关”这一结论的可信度为99%而不是两分类变量有关系的概率为99%.

专题一回归分析思想的应用

回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化．如果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题．

[例1] 下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．

注：年份代码1～7分别对应年份2008—2014.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据：∑7

i ＝1 y i ＝9.32，∑7

i ＝1 t i y i ＝40.17，

∑7

i ＝1 （y i －y ）2

＝0.55，7≈2.646.

参考公式：相关系数r ＝

∑n

i ＝1 （t i －t ）（y i －y ）

∑n

i ＝1 （t i －t ）2

∑n

i ＝1 （y i －y ）

2

，

回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝

∑n

i ＝1 （t i －t ）（y i －y ）

∑n

i ＝1 （t i －t ）

2

，a ^＝y －b ^t . 解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得

t ＝4，∑7

i ＝1 (t i －t )2

＝28,

∑7

i ＝1 （y i －y ）2

＝0.55，

∑7

i ＝1 (t i －t )(y i －y )＝∑7

i ＝1 t i y i －t ∑7

i ＝1 y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，

r ≈

2.89

0.55×2×2.646

≈0.99.

因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．

(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^

＝∑7

i ＝1 （t i －t ）（y i －y ）∑7

i ＝1 （t i －t ）2

＝2.8928≈0.10， a ^

＝y ^－b ^

t ＝1.331－0.10×4≈0.93.

所以y 关于t 的回归方程为y ^

＝0.93＋0.10t .

将2018年对应的t ＝11代入回归方程得y ^

＝0.93＋0.10×11＝2.03. 所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量约为2.03亿吨． 归纳升华

解决回归分析问题的一般步骤

1．画散点图．根据已知数据画出散点图．

2．判断变量的相关性并求回归方程．通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系．在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程．

3．实际应用．依据求得的回归方程解决问题．

[变式训练] 近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车持有量急剧增加，某市空气中的PM 2.5(直径小于等于2.5微米的颗粒物)的含量呈逐年上升的趋势，如图是根据该市环保部门提供的2010年至2014年该市PM 2.5年均浓度值画成的散点图．(为便于计算，把2010年编为1，2011年编号为2，…，2014年编号为5)

(1)以PM 2.5年均浓度值为因变量，年份的编号为自变量，利用散点图提供的数据，用最小二乘法求出该市PM 2.5年均浓度值与年份编号之间的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；

(2)按世界卫生组织过渡期目标－1的标准，空气中PM 2.5的年均浓度限值为35微克/立方米，该市若不采取措施，试预测到哪一年该市空气中PM 2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织过渡期目标－1设定的限值．

解：(1)由散点图可得，变量x i ，y i 组成的几组数据为(1，13)，(2，15)，(3，20)，(4，22)，(5，25)，则x －＝3，y －

＝19，所以

b ^＝

（－2）×（－6）＋（－1）×（－4）＋0×1＋1×3＋2×6

（－2）2＋（－1）2＋02＋12＋22

＝3.1， a ^

＝y －－b ^x －

＝19－3.1×3＝9.7.

所以所求线性回归方程为y ^

＝3.1x ＋9.7.

(2)由3.1x ＋9.7＞35，得x ＞25331＝85

31，因为x ∈N ，所以x ＝9.故可预测到2018年该

市空气中PM 2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织过渡期目标－1设定的限值.

专题二 独立性检验的应用

独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法．常用等高条形图来直观反映两个分类变量之间差异的大小；利用假设检验求随机变量K 2

的值能更精确地判断两个分类变量间的相关关系．

[例2] 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．