高中数学跟踪检测-全析高考常考的6大题型含解析

课时跟踪检测（五十五） 题型上——全析高考常考的6大题型

1．(唐山联考)已知F 为抛物线E :y 2

＝4x 的焦点,过点P (0,2)作两条互相垂直的直线m ,n ,直线m 交E 于不同的A ,B 两点,直线n 交E 于不同的两点C ,D ,记直线m 的斜率为k .

(1)求k 的取值范围；

(2)设线段AB ,CD 的中点分别为点M ,N ,证明:直线MN 过定点Q(2,0)． 解:(1)由题设可知k ≠0, 所以直线m 的方程为y ＝kx ＋2,

与y 2

＝4x 联立,整理得ky 2

－4y ＋8＝0.① 由Δ1＝16－32k ＞0,解得k ＜12

.

直线n 的方程为y ＝－1k

x ＋2,与y 2

＝4x 联立,

整理得y 2

＋4ky －8k ＝0,

由Δ2＝16k 2

＋32k ＞0,解得k ＞0或k ＜－2. 所以⎩⎪⎨

⎪⎧

k ≠0，k ＜12，k ＞0或k ＜－2，

故k 的取值范围为(－∞,－2)∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，12.

(2)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0)．

由①得,y 1＋y 2＝4k ,则y 0＝2k

,x 0＝2k 2－2k

,则M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2k 2－2k ，2k .同理可得N (2k 2

＋2k ,－2k )．

直线M Q 的斜率k M Q ＝

2

k 2k

2－2k

－2

＝－k

k 2＋k －1,

直线N Q 的斜率k N Q ＝－2k 2k 2＋2k －2＝－k

k 2＋k －1＝k M Q ,

所以直线MN 过定点Q(2,0)．

2．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0),B (2,0),焦点在x 轴上,离心率为

3

2

. (1)求椭圆C 的方程；

(2)如图所示,点D 为x 轴上一点,过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ,N ,过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证:△BDE 与△BDN 的面积之比为4

5

.

解:(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0),

由题意得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝2，c a ＝3

2

，解得c ＝3,所以b 2＝a 2－c 2

＝1,

所以椭圆C 的方程为x 2

4

＋y 2

＝1.

(2)证明:设D (x 0,0),M (x 0,y 0),N (x 0,－y 0),－2＜x 0＜2,所以k AM ＝y 0

x 0＋2

,

因为AM ⊥DE ,所以k DE ＝－2＋x 0

y 0

,

所以直线DE 的方程为y ＝－2＋x 0

y 0

(x －x 0)．

因为k BN ＝－

y 0

x 0－2

,

所以直线BN 的方程为y ＝－y 0

x 0－2

(x －2)．

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝－2＋x 0

y 0x －x 0，y ＝－y

0x 0

－2

x －2，

解得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4

5

x 0＋25，－45y 0,

所以S △BDE ＝12|BD |·|y E |,S △BDN ＝1

2|BD |·|y N |,

所以S △BDE S △BDN ＝12|BD |·|y E |12|BD |·|y N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－45y 0|－y 0|＝45

,

结论成立．

3．(南昌模拟)已知抛物线C :y 2

＝2px (p ＞0)的焦点为F ,准线为l ,过焦点F 的直线

交C 于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,y 1y 2＝－4.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)如图,点B 在准线l 上的正投影为E ,D 是C 上一点,且AD ⊥EF ,求△ABD 面积的最

小值及此时直线AD 的方程．

解:(1)依题意知F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫p

2，0, 当直线AB 的斜率不存在时,y 1y 2＝－p 2

＝－4,解得p ＝2. 当直线AB 的斜率存在时,设l AB :y ＝k ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

x －p 2(k ≠0),

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，

消去x 并整理,得y 2－2p k

y －p 2

＝0,

则y 1y 2＝－p 2,由y 1y 2＝－4得p 2

＝4,解得p ＝2. 综上所述,抛物线C 的方程为y 2

＝4x .

(2)设D (x 0,y 0),B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫t 2

4，t , 则E (－1,t ),又由y 1y 2＝－4,可得A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫4

t 2，－4t .

因为k EF ＝－t 2,AD ⊥EF ,所以k AD ＝2

t

,

则直线AD :y ＋4t ＝2t ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －4t 2,化简得2x －ty －4－8

t

2＝0.

由⎩⎪⎨

⎪⎧

2x －ty －4－8t 2＝0，y 2＝4x ，消去x 并整理,得y 2－2ty －8－16t

2＝0,Δ＝(－2t )2－4⎝ ⎛⎭

⎪⎫－8－16t 2＝4t 2

＋64t

2

＋32＞0恒成立,

所以y 1＋y 0＝2t ,y 1y 0＝－8－16

t 2

.

于是|AD |＝ 1＋t 2

4

|y 1－y 0|

＝

1＋t 2

4

y 1＋y 0

2

－4y 1y 0＝4＋t 2

t 2＋16

t

2＋8,

设点B 到直线AD 的距离为d ,则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2

2－t 2－4－8t 24＋t

2

＝

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪t 2＋16t 2＋824＋t

2

.

所以S △ABD ＝12|AD |·d ＝1

4

⎝ ⎛⎭

⎪⎫t 2＋16t 2＋83

≥16, 当且仅当t 4

＝16,即t ＝±2时取等号,即△ABD 的最小值为16. 当t ＝2时,直线AD :x －y －3＝0；当t ＝－2时,直线AD :x ＋y －3＝0.

4．(昆明调研)已知椭圆C :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4,P ⎝

⎛

⎭⎪⎫2，55是椭圆C 上的点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)O 为坐标原点,A ,B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点,设OD ―→＝OA ―→＋OB ―→

,证明:直线AB 的斜率与

OD 的斜率的乘积为定值．

解:(1)由题意知2c ＝4,即c ＝2,

则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

a 2－4

＝1,

因为点P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2，

55在椭圆C 上,