行列式展开定理
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
-2 3 1
解：按第一行展开
D=a11A11 +a12A12 +a1nA1n =1(-8)+0+(-2)5 =-18.
按第二列展开
D=a12A12 +a22A22 +a32A32
=0 (-1)1+2 1 3 +1 (-1)2+2 1 -2 +3 (-1)3+2 1 -2
-2 1
-2 1
13
=0+1(-3)+3(-1)5 =-3-15 =-18 .
b +2 a 0 a b
10 a b
= (b + 2 a )
b +2 a a 0 a
1a 0 a
b +2 a b a 0
1b a 0
= (b + 2a )
00 b 0 1 0 ab 1a 0a 1b a0
= (b +2 a) b ( -1 ) 1+3
10b 1aa 1b 0
= (b + 2a) b
10 b
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a11 a13 a14
M32= a21 a23 a24
a41 a43 a44
A32=(-1)3+2M32 =-M32
下页
一、余子式与代数余子式
定义1 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,
a32 - a1a3
a3n-2 - a1a3n-3
a3n-1 - a1a3n-2
1
an - a1 an2 - a1an
ann-2 - a1ann-3 ann-1 - a1ann-2
定理2 n阶行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元
素的代数余子式乘积的和等于零.即
ai1Aj1+ ai2Aj2+ + ainAjn =0 (i j)， a1iA1j+a2iA2j+ + ani Anj =0 (i j).
下页
三、利用展开定理计算行列式
例1．分别按第一行与第二列展开行列式
a2n-1 - a1a2n-2 a3n-1 - a1a3n-2
an - a1 an2 - a1an
ann-2 - a1ann-3 ann-1 - a1ann-2
下页
1
0
Dn
=
0
0
0
1
a2 - a1 a22 - a1a2
a2n-2 - a1a2n-3 a2n-1 - a1a2n-2
1
a3 - a1
M13= a31 a32 a34
a41 a42 a44
A13=(-1)1+3M13 =M13
下页
二、展开定理
定理1 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应
的代数余子式乘积的和.即
D=ai1Ai1 +ai2Ai2 + + ainAin (i=1, 2, , n)， D=a1jA1j +a2jA2j + + anj Anj (j=1, 2, , n).
= (3n-1 + 3n-2 + + 32 + 3) + 2
3 3n-1 - 1
3n + 1
=
+2=
2
2
下页
例5. 证明范得蒙（Vandermonde）行列式
1 1 1 1
a1 a12 Dn = a1n-3
a2 a22 a2n-3
来自百度文库
a3 a32 a3n-3
an an2 = (ai - a j ) ann-3 1 j i n
1 0 -2 D= 1 1 3
-2 3 1
解：按第一行展开
D=a11A11 +a12A12 +a13A13
=1(-1)1+1 1 3 +0(-1)1+2 1 3 +(-2)(-1)1+3 1 1
31
-2 1
-2 3
=1(-8)+0+(-2)5 =-18.
下页
例1．分别按第一行与第二列展开行列式
1 0 -2 D= 1 1 3
余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.
令Aij=(-1)i+jMij， Aij称为元素aij的代数余子式.
再如，求4阶行列式中a13的代数余子式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a22 a24
7 14 =(-1)(-1)3+2 1 1 2
7 -2 -5
r1 - r2 r3 + 2r2
6 02 1 12 9 0 -1
=1(-1)2+2 6 2 =-6-18 =-24. 9 -1
下页
0aba
例3. 计算行列式 D = a 0 a b
ba0a aba0
解：D =
b +2 a a b a
1a b a
a1n-2 a2n-2 a3n-2 ann-2
a1n-1 a2n-1 a3n-1 ann-1
证明：从最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得
1
1
1
1
0
Dn
=
0
0
0
a2 - a1
a3 - a1
a22 - a1a2
a32 - a1a3
a2n-2 - a1a2n-3 a3n-2 - a1a3n-3
0 a a-b = (b + 2a) b a a-b
0 b -b
b -b
= b2 (b + 2 a ) ( b - 2 a)
下页
2 1 1 1
-1 2 1 1
例4. 计算行列式 Dn = -1 -1 2 1
-1 -1 -1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 -1 2 1 1 0 2 1 1
解： Dn = -1 -1 2 1 + 0 -1 2 1
-1 -1 -1 2 0 -1 -1 2
1 1 1 1
= 3 + D + D 0 3 2 2
=0 0 3 2
n-1
n -1
n -1
0 0 0 3
= 3n-1 + 3n-2 + + 32 + D2 , ( D2=5 )
下页
1 2 34
例2．计算行列式 D = 1 0 1 2 3 -1 -1 0 1 2 0 -5
解： 将某行(列)化为一个非零元后展开
1 2 34 D= 1 0 1 2
3 -1 -1 0 1 2 0 -5
r1 + 2r3 r4 + 2r3
7 0 14 1 0 12 3 -1 -1 0 7 0 -2 -5
2.2 行列式按行(列)展开
一、余子式与代数余子式 定义1 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,
余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.
令Aij=(-1)i+jMij，Aij称为元素aij的代数余子式.
例如，求4阶行列式中a32的代数余子式
解：按第一行展开
D=a11A11 +a12A12 +a1nA1n =1(-8)+0+(-2)5 =-18.
按第二列展开
D=a12A12 +a22A22 +a32A32
=0 (-1)1+2 1 3 +1 (-1)2+2 1 -2 +3 (-1)3+2 1 -2
-2 1
-2 1
13
=0+1(-3)+3(-1)5 =-3-15 =-18 .
b +2 a 0 a b
10 a b
= (b + 2 a )
b +2 a a 0 a
1a 0 a
b +2 a b a 0
1b a 0
= (b + 2a )
00 b 0 1 0 ab 1a 0a 1b a0
= (b +2 a) b ( -1 ) 1+3
10b 1aa 1b 0
= (b + 2a) b
10 b
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a11 a13 a14
M32= a21 a23 a24
a41 a43 a44
A32=(-1)3+2M32 =-M32
下页
一、余子式与代数余子式
定义1 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,
a32 - a1a3
a3n-2 - a1a3n-3
a3n-1 - a1a3n-2
1
an - a1 an2 - a1an
ann-2 - a1ann-3 ann-1 - a1ann-2
定理2 n阶行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元
素的代数余子式乘积的和等于零.即
ai1Aj1+ ai2Aj2+ + ainAjn =0 (i j)， a1iA1j+a2iA2j+ + ani Anj =0 (i j).
下页
三、利用展开定理计算行列式
例1．分别按第一行与第二列展开行列式
a2n-1 - a1a2n-2 a3n-1 - a1a3n-2
an - a1 an2 - a1an
ann-2 - a1ann-3 ann-1 - a1ann-2
下页
1
0
Dn
=
0
0
0
1
a2 - a1 a22 - a1a2
a2n-2 - a1a2n-3 a2n-1 - a1a2n-2
1
a3 - a1
M13= a31 a32 a34
a41 a42 a44
A13=(-1)1+3M13 =M13
下页
二、展开定理
定理1 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应
的代数余子式乘积的和.即
D=ai1Ai1 +ai2Ai2 + + ainAin (i=1, 2, , n)， D=a1jA1j +a2jA2j + + anj Anj (j=1, 2, , n).
= (3n-1 + 3n-2 + + 32 + 3) + 2
3 3n-1 - 1
3n + 1
=
+2=
2
2
下页
例5. 证明范得蒙（Vandermonde）行列式
1 1 1 1
a1 a12 Dn = a1n-3
a2 a22 a2n-3
来自百度文库
a3 a32 a3n-3
an an2 = (ai - a j ) ann-3 1 j i n
1 0 -2 D= 1 1 3
-2 3 1
解：按第一行展开
D=a11A11 +a12A12 +a13A13
=1(-1)1+1 1 3 +0(-1)1+2 1 3 +(-2)(-1)1+3 1 1
31
-2 1
-2 3
=1(-8)+0+(-2)5 =-18.
下页
例1．分别按第一行与第二列展开行列式
1 0 -2 D= 1 1 3
余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.
令Aij=(-1)i+jMij， Aij称为元素aij的代数余子式.
再如，求4阶行列式中a13的代数余子式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a22 a24
7 14 =(-1)(-1)3+2 1 1 2
7 -2 -5
r1 - r2 r3 + 2r2
6 02 1 12 9 0 -1
=1(-1)2+2 6 2 =-6-18 =-24. 9 -1
下页
0aba
例3. 计算行列式 D = a 0 a b
ba0a aba0
解：D =
b +2 a a b a
1a b a
a1n-2 a2n-2 a3n-2 ann-2
a1n-1 a2n-1 a3n-1 ann-1
证明：从最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得
1
1
1
1
0
Dn
=
0
0
0
a2 - a1
a3 - a1
a22 - a1a2
a32 - a1a3
a2n-2 - a1a2n-3 a3n-2 - a1a3n-3
0 a a-b = (b + 2a) b a a-b
0 b -b
b -b
= b2 (b + 2 a ) ( b - 2 a)
下页
2 1 1 1
-1 2 1 1
例4. 计算行列式 Dn = -1 -1 2 1
-1 -1 -1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 -1 2 1 1 0 2 1 1
解： Dn = -1 -1 2 1 + 0 -1 2 1
-1 -1 -1 2 0 -1 -1 2
1 1 1 1
= 3 + D + D 0 3 2 2
=0 0 3 2
n-1
n -1
n -1
0 0 0 3
= 3n-1 + 3n-2 + + 32 + D2 , ( D2=5 )
下页
1 2 34
例2．计算行列式 D = 1 0 1 2 3 -1 -1 0 1 2 0 -5
解： 将某行(列)化为一个非零元后展开
1 2 34 D= 1 0 1 2
3 -1 -1 0 1 2 0 -5
r1 + 2r3 r4 + 2r3
7 0 14 1 0 12 3 -1 -1 0 7 0 -2 -5
2.2 行列式按行(列)展开
一、余子式与代数余子式 定义1 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,
余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.
令Aij=(-1)i+jMij，Aij称为元素aij的代数余子式.
例如，求4阶行列式中a32的代数余子式