概率统计5-1

n lim P A p 0 n n
贝努里(Bernoulli)大数定律的意义 在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率 nA “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是指： n nA 频率 与 p 有较大偏差 n
nA p n
是小概率事件,
因而在 n 足够大时, 可以用频率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.
(2) 切比雪夫（Chebyshev） 大数定律 设 r.v. 序列 X 1 , X 2 ,, X n , 相互独立， 均且具有限方差， 且被同一常数C所界, D(Xi) < C ( i = 1 , 2 , 3 …..) 1 n 1 n 0 有 lim P X E ( X ) ε 1 则 k i n n i 1 n k 1 证明见P149 注1 X 1 , X 2 ,, X n , 不一定有相同的数学期望与方差， 2 2 可设 E ( X k ) k , D( X k ) k , k 1,2, 1 n 1 n 有 lim P X k k 0 n n k 1 n k 1 注2 X 1 , X 2 ,, X n , 相互独立的条件可以去掉，代之以

P( X ) f ( x)dx


切贝雪夫( chebyshev)不等式
E (X ) 1 f ( x)dx xf ( x)dx 0
x
设随机变量 X 的方差 D ( X )存在，则对于任意实数 > 0,
D( X ) P(| X E ( X ) | ε) 2 ε
n
n 0 P A p P n
k 1
k
PYn E (Yn ) 1 2 n
n pq
E( X k ) 0
n lim P A p 0 n n
故
n lim P A p 1 n n
或
nA lim P p 0 n n
第k次试验A发生
第k次试验A 发生
设 P( X k 1) p, 则 E ( X k ) p, D( X k ) pq n 1 n X 1 , X 2 ,, X n 相互独立，n A X k 记 Yn X k , n k 1 pq k 1 由 Chebyshev 不等式 E (Yn ) p, D(Yn ) n X
k
5000
P940 X 1060
6000 k
83 0.7685 108
0.959036
1 X P 0.01 6000 6
P940 X 1060
1000k e 1000 k! k 941
1059
0.937934
定义1 设Y1 , Y2 ,, Yn ,是相互独立的一系列 r.v.， 此时Yi都有共同的分布，则称 Y1 , Y2 ,, Yn , 是独立同分布的随机变量序列 定义2 a 是一常数， 若 0 有
P(| X E ( X ) | ) 1 D( X )
2
当 2 D(X) 无实际 意义,
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例1 设有一大批种子,其中良种占1/6. 试估计在任选的6000 粒种子中,良种所占比例与1/6 比较上下小于1%的概率. 解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数 , X ~ B (6000,1/6 ) 5000 E ( X ) 1000, D( X ) 6 X 1
P 0.01 6 6000
P(| X 1000 | 60)
6

实际精确计算
1 5 C 6 6 k 941 取 = 1000 用Poisson 分布近似计算
1059 k 6000
1 60 2 1 X P 0.01 6000 6
n
lim P Yn a 0
P
(或 lim PYn a 1 ) n 或lim Yn a( p) n
则称 r.v. 序列 Y1 , Y2 ,, Yn , 依概率收敛于常数 a , 记作
Yn a
n
定义3
设{Xn}是一随机变量序列，并且E(Xn)存在，若令 1 n X Xi n i 1
lim[ X n E ( X )] 0( p)
n
则称 r.v. 序列{Xn}服从大数定理
（1） 贝努里（Bernoulli） 大数定律 设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数, p 是每次试验中 A 发生的概率, 则 0 有
1, 证 引入 r.v. 序列{Xk} X k 0,
1 lim P X k 0 n n k 1
大数定律意义 具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列的算术平均值 依概率收敛于数学期望. 当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数. 数学 算术 可被 近似代替 期望 均值
第五章 大数定律与中心极限定理
本章要解决的问题 1. 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 2. 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？ 3. 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 4. 大样本统计推断的理论基础 是什么？ 答复 大数 定律
中心极 限定理
§5.1 大数定律 重要不等式 设非负 r.v. X 的期望 E( X )存在，则对于任意实数 > 0, E( X ) P( X ) 证 仅证连续型 r.v.的情形
n 1 lim 2 D( X k ) 0 n n k 1
切比雪夫大数定理指出，n个相互独立，且具有有限 的相同的数学期望与方差的随机变量，当n充分大时，它 们的算术平均值以很大的概率接近他们的数学期望
若去掉切贝雪夫大数定律中方差存在这一条件，添上 服从同分布这一条件，则切贝雪夫大数定律变为 辛钦大数定律：(推论） 设 r.v. 序列 X 1 , X 2 ,, X n ,相互独立，服从同一分布， 且具有相同数学期 望 , 则 0 有 n